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Portifólio 5
Geometria Analítica
Tutor.: Prof. Me. Breno Sampaio
1. - (61) Esboce o gráfico de cada uma das elipses abaixo, destacando as coordenadas
dos focos e dos vétices.
(a) x2 + 4y2 = 16
(b) 49x2 + 40y2 = 1960
(c) 36x2 + 9y2 = 4
(d) x2 + 2y2 = 5
Solução: 1 : Vale lembrar de antes colocar as elipses na forma
x2
a2
+
y2
b2
= 1 ou
x2
b2
+
y2
a2
= 1, lembrando que sempre a > b pois isso nos dá a posição dos eixos
focal e normal.
(a) x2 + 4y2 = 16 ⇒

a = 4
b = 2
c = 4
√
3
. Logo, as coordenadas dos vértices são
(−4, 0), (4, 0) e as coordenadas dos focos são (−4√3, 0), (4√3, 0).
(b) 49x2 + 40y2 = 1960 ⇒

a = 7
b = 4
√
10
c = 3
. Logo, as coordenadas dos vértices
são (0,−7), (0, 7) e as coordenadas dos focos são (0,−3), (0, 3).
1
(c) 36x2 + 9y2 = 44 ⇒

a =
2
3
b =
1
3
c =
√
3
3
. Logo, as coordenadas dos vértices são
(0,−2
3
), (0,
2
3
) e as coordenadas dos focos são (0,−
√
3
3
), (0,
√
3
3
).
(d) x2 + 2y2 = 5 ⇒

a =
√
5
b =
√
5
2
c =
√
5
2
. Logo, as coordenadas dos vértices são
(0,−√5), (0, √5) e as coordenadas dos focos são (0,−
√
5
2
), (0,
√
5
2
).
2
2. - (62) Encontre as coordenadas dos vértices e a área de um quadrado com lados
paralelos aos eixos coordenados e inscrito na elipse de equação 9x2 + 16y2 = 100.
Solução: 2 :
Como oa elipse 9x2 + 16y2 = 100 tem centro na origem, então as diagonais do
quadrado também tem sentro na origem. tomando as reta y = x e y = −x como as
diagonais do quadrado. Logo, se x = y⇒ 9x2 + 16x2 = 100⇒ x2 = 100
25
⇒ x = ±2
que é um resultado análogo para y = −x portando os pontos de interção das
diagonais com a elipse são (−2, 2) (−2,−2) (2,−2) e (2, 2).
A área desse quadrado é 16 U.A.
3
3. - (64) Encontre a equação da hiperbole com centro na origem, dados:
(a) os vértices (4, 0) e (−4, 0) e os focos (5, 0) e (−5, 0);
(b) os focos em (0, 6) e (0,−6) e a excentricidade 3/2;
(c) passando por (2, 4) com vértices em (0, 3) e (0,−3);
(d) focos em (4, 0) e (−4, 0) e um de seus pontos: (5, 3)
(e) excentricidade 2, eixo principal: eixo dos x e um ponto da curva: (4, 1)
Solução: 3 :
(a) Ja temos que a = 16 e c = 5. Daí, b2 = c2 − a2 ⇒ b2 = 9. Portanto a equação
pedida é
x2
16
− y
2
9
= 1.
(b) Ja temos que c = 6 e como e =
c
a
=
3
2
⇒ a = 4. Daí, b2 = c2 − a2 ⇒ b2 = 20.
Portanto a equação pedida é
y2
16
− x
2
20
= 1.
(c) Nesse caso temos a = 3. Daí, como o ponto (2, 4) pertence a hiperbole,
temos
42
9
− 2
2
b2
= 1⇒ b2 = 36
7
. Porntado a hiperbole procurada é
y2
9
− 7x
2
36
= 1.
(d) Nesse caso temos c = 4. Daí, como o ponto (5, 3) pertence a hiperbole,
temos
52
a2
− 3
2
b2
= 1 e como c2 = a2 + b2 ⇒ 5
2
a2
− 3
2
16 − a2 = 1 ⇒ a
2 = 40 ou a2 = 10,
como b2 = c2 − a2 segue que a2 = 10 e assim b2 = 16 − 10 = 6 Porntado a hiperbole
procurada é
x2
10
− y
2
6
= 1.
(e) Como o eixo principal é o eixo dos x segue que a hiperbole tem forma
x2
a2
− y
2
b2
= 1. Com sua excentricidade é 2, segue que c = 2a e assim c2 = a2 + b2 ⇒
b2 = 3a2. Daí, como ponto (4, 1) pertence a hiperbole temos
16
a2
− 1
3a2
= 1 ⇒ a2 =
47
3
⇒ b2 = 47. Portanto a hiperbole procuara é 3x
2
47
− y
2
47
= 1.
4. - (65) Um ponto se desloca no plano de modo que sua distância ao ponto (3, 2)
fica sempre igual ao dobro da distância à reta de equação x + 2 = 0. Deduza a
equação da curva descrita e identifique-a.
Solução: 4 :
Seja P = (x, y) o ponto descrito na questão. Logo, d(P,Q) = 2d(P, r) onde Q = (3, 2)
e r : x + 2 = 0. Daí,
√
(x − 3)2 + (y − 2)2 = 2 |x · 1 + y · 0 + 2|√
12 + 02
= 2|x + 2|. Assim
(x−3)2+(y−2)2 = (2x+4)2 ⇒ (y−2)2 = (2x+4)2−(x−3)2 = (2x+4−x+3)(2x+4+x−3) =
(x + 7)(3x + 1) = 3x2 + 22x + 7
Como 3x2 + 22x + 7 = 3
(
x +
11
3
)2
− 58
9
, segue que (y − 2)2 = 3
(
x +
11
3
)2
− 58
9
⇒
3
(
x +
11
3
)2
− (y − 2)2 = 58
9
e portanto temos a equação de uma hiperbole.
4
5. - (69) Determinar a equação da hipérbole que tem as seguintes propriedades:
(a) seu centro é a origem
(b) um de seus focos é F1(0,−2)
(c) um de seus pontos é P(1,
√
3)
Solução: 5 :
Para solução dessa questão vamos seguir uma solução análoga a questão 64(d).
Nesse caso temos c = 2. Daí, como o ponto (1,
√
3) pertence a hiperbole, temos
3
a2
− 1
b2
= 1 e como c2 = a2 + b2 ⇒ 3
a2
− 1
4 − a2 = 1 ⇒ a
2 = 6 ou a2 = 2, como
b2 = c2−a2 segue que a2 = 2 e assim b2 = 4−2 = 2 Porntado a hiperbole procurada
é
y2
2
− x
2
2
= 1.
5