Resolução do Portifólio 1 geometria analitica ufc virtual ead

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Portifólio 1
Geometria Analítica
Tutor.: Prof. Me. Breno Sampaio
1. - (01) Considere os pontos A = (−3, 4), B = (1, 0), C = (5, 5), D = (−2, 7) e
N = (pi,−pi√3).
(a) Quais dos pontos localizam-se nos quadrantes ímpares?
(b) Quais dos pontos localizam-se nos quadrantes pares?
(c) Quais estão sobre os eixos?
(d) Quais pertencem ao primeiro quadrante?
Solução: 1 :
associando como um par (x, y) qualquer coordenada no plano cartesiano, temos
que um ponto está no
1o Quadrante: x > 0 e y > 0
2o Quadrante: x < 0 e y > 0
3o Quadrante: x < 0 e y < 0
4o Quadrante: x > 0 e y < 0
Se um ponto está sobre o eixo Ox temos que y = 0 e se está sobre o eixo Oy então
x = 0, Já o ponto estiver sobre os dois eixos, dizemos que ele está na origem do
sistema de coordenadas, ou seja, no ponto (0, 0)
Com isso, temos como solução: (a) Ponto C; (b) Pontos A, D e N; (c) Ponto B; (d)
Ponto C.
2. (06) Se (2,−1), (5,−1) e (3, 2) são três vértices de um paralelogramo, quais são as
possíveis coordenadas do quarto vértice?
Solução: 2 : Primeiro temos que lembrar alguma propriedades dos paralelogra-
mos.
1o− Um paralelogramo é um quadrilátero que possui dois lados opostos e para-
lelos, e os outros dois opostos e também paralelos.
2o− Em um paralelogramos as suas diadonais se interseptam no seu ponto mé-
dio.(Essa propriedade que iremos usar).
Com isso, seja A = (2,−1), B = (5,−1), C = (3, 2) e D = (xD, yD) os vértices do
paralelogramos.
♣ Se AB for uma diagonal, então CD será outra diagonal, logo
xmAB = xmCD e ymAB = ymCD .
1
Daí, xmAB =
2 + 5
2
=
3 + xD
2
= xmCD → xD = 4
ymAB =
−1 − 1
2
=
2 + yD
2
= ymCD → yD = −4
♣ Se AC for uma diagonal, então BD será outra diagonal, logo
xmAC = xmBD e ymAC = ymBD .
Daí, xmAC =
2 + 3
2
=
5 + xD
2
= xmBD → xD = 0
ymAC =
−1 + 2
2
=
−1 + yD
2
= ymBD → yD = 2
♣ Se AD for uma diagonal, então BC será outra diagonal, logo
xmAD = xmBC e ymAD = ymBC .
Daí, xmAD =
2 + xD
2
=
5 + 3
2
= xmBC → xD = 6
ymAD =
−1 + yD
2
=
−1 + 2
2
= ymBC → yD = 2
Portanto, os possíveis vértices D = (x, y) são: (4,−4), (0, 2) e (6, 2).
3. (07) Encontre os valores de k para que o ponto A cujas coordenadas são (k, 7)
esteja:
(a) no eixo Oy;
(b) na bissetriz y = −x dos quadrantes pares;
(c) na bissetriz y = x dos quadrantes ímpares;
(d) no primeiro quadrante;
(e) no segundo quadrante.
Solução: 3 : Tomamos como parte dessa solução as explicações presentes na
solução da questão 1. Assim, para o item (a) devemos ter k = 0. Para os itens (b)
e (c) basta uma substituição direta, logo para (b) devemos ter k = −7 e para (c)
k = 7. Para os demais, em (d) k > 0 e em (e) k < 0.
4. (10) Dados os vetores A = (1, 3), B = (5,−5) e C = (−2,−2), determine:
(a) A + B − C
(b) A + (B + C)
(c) O vetor X, tal que X = (C − A) + (B + A)
Solução: 4 :
(a) A+ B−C = (1, 3)+ (5,−5)− (−2,−2) = (1+ 5− (−2), 3+ (−5)− (−2)) = (8, 0)
(b) A + (B + C) = (1, 3) + ((5,−5) + (−2,−2)) = (1, 3) + (3,−7) = (4,−4)
(c) X = (C − A) + (B + A) = C + B = (5,−5) + (−2,−2) = (3 − 7)
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5. (17) Num triângulo ABC, sejam M,N, P, os pontos médios dos lados AB, BC e AC,
respectivamente. Mostre que
AN + BP + CM = 0
Solução: 5 :
Considere a figura abaixo:
Podemos verificar facilmente que AB+BC+CA = 0 já que AB = B−A, BC = C−B
e CA = A − C.
Agora, observer que

AB + BN = AN
BC + CP = BP
CA + AM = CM
.
ComoAM = AB/2, BN = BC/2 eCP = CA/2, pois os pontosM,N, P, são os pontos
médios dos lados AB, BC e AC.
Assim passamos a ter

AB + BC/2 = AN
BC + CA/2 = BP
CA + AB/2 = CM
.
Somando todas as equações temos AB + BC/2 + BC + CA/2 + CA + AB/2 = AN +
BP + CM⇒
(AB + BC + CA) + (AB + BC + CA)/2 = AN + BP + CM⇒
AN + BP + CM = 0
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