Estatística - Momento

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ECO 1721 Introdução à Estatística Econômica 
Professor: Juarez Figueiredo 
Momentos de Variáveis Aleatórias Reais 
 
1. Introdução 
Para descrever completamente uma variável aleatória real necessita-se conhecer sua 
função de distribuição, ou a sua função de probabilidades no caso discreto, ou sua 
função de densidade de probabilidades no caso contínuo. Muitas vezes, pela 
complexidade do problema ou pela falta de informações, é conveniente elaborar uma 
descrição parcial por meio de um conjunto de indicadores capazes de caracterizar os 
principais aspectos da distribuição da variável aleatória. Esses indicadores recebem a 
denominação de parâmetros da distribuição da variável aleatória. A principal família de 
parâmetros de uma distribuição tem por elementos números reais denominados 
momentos da variável aleatória. 
2. Momentos Ordinários de uma Variável Aleatória Real 
Seja X uma variável aleatória real, do tipo discreto ou do tipo contínuo. Chama-se 
momento ordinário de ordem k de X e representa-se por 
kμ
a expectância da função kX
para k = 0, 1, 2, 3, ... , ou seja, 
(2.1) 
 kkμ E X para k 0,1,2,3,.... 
 
Assim, 
(2.2)  
X
X
k
X
x R
k
k
k
X
R
x p (x) se X for discreta
μ E X para k 0,1,2,3,....
x f (x)dx se X for continua




  





 
Em particular, tem-se 
(2.3) 
 
 
 
0
0
1
1
2
2
μ E X E(1) 1
μ E X E(X) (comumente denotado simplesmente por μ) 
μ E X
   


 


 
Para que o momento ordinário de ordem k exista é necessário que as expressões 
definidas em (2.2) sejam absolutamente convergentes. Demonstra-se que se existe o 
momento ordinário de ordem k, existem todos os momentos ordinários de ordem 
inferior a k. 
2 
 
 Exemplo 1 
Seja X uma variável aleatória do tipo discreto com a seguinte função de probabilidade 
 
X
x
p (x) , para x 1,2,3
6
 
 
Determinar os momentos ordinários de ordem k (k=0,1, 2, 3, ....) de X. 
Solução 
 
   
3 3
k k k +1 k 1 k 1
k
x 1 x 1
x 1 1
μ E X x x 1 2 3 para k 0,1,2,3,....
6 6 6
 
 
       
 
 
Exemplo 2 
Seja X uma variável aleatória do tipo discreto com a seguinte função de probabilidade 
 
X
1
se x 0
3
p (x)
2
se x 1
3


 
 

 
Determinar os momentos ordinários de ordem k (k=0,1, 2, 3, ....) de X e, a partir de sua 
expressão, calcular E(X) e V(X). 
Solução 
(i) Neste caso o momento ordinário de ordem zero não pode ser calculado pela 
expressão (2.1), uma vez que teríamos 
 
 
3
0 0 0 0
0 X X X
x 1
μ E X x p (x) 0 p (0) 1 p (1)

   
 
onde ocorre que 
00
não é definida. Entretanto, sabe-se que 
0μ 1
, de acordo com (2.3). 
Logo a utilização da expressão (2.2) deve-se restringir ao cálculo dos momentos 
ordinários de ordens k=1, 2, 3, ... 
Assim tem-se, 
 
 
3
k k k k
k X X X
x 1
1 2 2
μ E X x p (x) 0 p (0) 1 p (1) 0 1
3 3 3

      
 
3 
 
Portanto, 
k
1, se k 0
μ 2
, se k 1,2,3,....
3


 

 
Consequentemente, 
(ii) 2
2
1 2 1
2 2 2 2
E(X) μ e V(X) μ μ
3 3 3 9
 
       
 
 
 
Exemplo 3. 
Seja X uma variável aleatória do tipo contínuo com a seguinte função de densidade de 
probabilidade 
 6
X
5x , para x 1
f (x)
0 , para outros valores
 


 
Determinar os momentos ordinários de X. 
Solução 
  
1
k k 6 k 6
k 5
k
1 1
1
5ln x se k 5
5μ E X x x dx x dx se k 5x
5 k5
k 5
se k 5

 
  

   

      
 
   
  
Logo, os momentos ordinários de X somente existem até o de ordem 4. 
 
Exemplo 4. 
Seja X uma variável aleatória do tipo contínuo com função de densidade de 
probabilidade 
 2x
X
2 , para x 0
f (x)
0 , para outros valores
e 


 
Determinar os momentos ordinários de X e calcular E(X) e V(X). 
 
     kk k 2x 2xk k k k
0 0
1 1 k!
μ E X x 2 dx 2x 2dx k 1
2 2 2
e e
 
        
 onde 
 
 k+1
denota a função gama de parâmetro k+1. 
4 
 
     22
1 2 11 2 2
2 31! 1 1 2! 1 2 1 1
E(X) μ e V(X) μ μ
2 2 2 2 2 2 4 4 4 4
   
             
 
 
Exemplo 5. 
Seja X uma variável aleatória do tipo contínuo com função de densidade de 
probabilidade 
  5
X
6 1 x , para 0 x 1
f (x)
0 , para outros valores
   


 
Determinar os momentos ordinários de X e calcular E(X) e V(X). 
Solução 
(i) 
   
1
5k k
k
0
(k 1) (6) k!5!
μ E X x 6 1 x dx 6 (k 1,6) 6
(k 7) (k+6)!
B
  
      
 
onde 
(k+1,6)B
denota a função beta de parâmetros k+1 e 6 e 
 n
denota a função gama de 
parâmetro n. 
Então segue 
 
 kk
k!120 720
μ E X 6
(k+6)(k+5)(k+4)(k+3)(k+1)k! (k+6)(k+5)(k+4)(k+3)(k+1)
  
 
Logo: 
(ii) 
2
1 2
720 1 720 1
E(X) μ , E(X ) μ
7.6.5.4.3.2 7 8.7.6.5.4.3 28
     
 
 2
2
2 1
1 1 1 1 7 4 3
V(X) μ μ 0,0153
28 7 28 49 196 196
 
         
 
 
 
3. Momentos Centrais de uma Variável Aleatória Real 
Seja X uma variável aleatória real, do tipo discreto ou do tipo contínuo, de média 
 1μ μ E X 
. Chama-se momento central (ou centrado) de ordem k de X e representa-
se por 
kν
a expectância da função 
   
k k
E X-E(X) E X-μ   
   
para k = 0, 1, 2, 3, ... , 
ou seja, 
(3.1) 
   
k k
kν E X-E(X) E X-μ para k 0,1,2,3,....        
 
5 
 
Assim, 
(3.2) 
 
 
X
X
k
X
x R
k k
X
R
x -E(X) p (x) se X for discreta
ν para k 0,1,2,3,....
x -E(X) f (x)dx se X for continua




 





 
Em particular, tem-se: 
 
 (3.3) 
   
   
   
0 0
0
1 1
k
2 2 2 2
k
ν E X E(X) E X μ E(1) 1
ν E X E(X) E X μ E(X) μ E(X) E(X) 0
ν E X E(X) E X μ E(X) μ E(X) E (X) = V(X)
         
   
                

           
   
 
 
Exemplo 6. 
Seja X uma variável aleatória do tipo discreto com a seguinte função de probabilidade 
 
x
X
1
p (x) 2 , para x 0 ou x 1
3
  
 
Determinar os momentos centrais de ordem k (k=0,1, 2, 3, ....) de X. 
 1
x
x 0
1 1 2
μ E(X) x 2 (0 2)
3 3 3

    
 
 
1 k k k k k
k x 0 1
k
x 0
2 1 1 2 2 1 2 1
ν E (X E(X)) x 2 0 2 1 2 2
3 3 3 3 3 3 3 3

            
                        
               

 
donde 
 
 
kk k
k k+1
1
ν E (X E(X)) 2 2 para k 0,1,2,3,...
3
          
 
Exemplo 7. 
Seja X uma variável aleatória do tipo contínuo com a seguinte função de densidade de 
probabilidade 
6 
 
 
X
1
f (x) , para 0 x 4
4
  
 
Determinar os momentos centrais de ordem k (k=0,1, 2, 3, ....) de X. 
Solução 
 4 4 4
2
0
0 0
1 1 1 1
μ E(X) x dx x dx x 2
4 4 4 2
 
    
  
 
 
       
4 4 4
k k k k 1
k
00 0
1 1 1 1
ν E X E(X) x 2 dx x 2 dx x 2
4 4 4 (k 1)
              
 
donde 
 
 
k 1k 1
k
1
ν 2 2 para k 0,1,2,3,...
4(k 1)
    
 
 
 
4. Relação entre os Momentos Ordinários e os Momentos Centrais 
O cálculo dos momentos centrais fica muito facilitado se for utilizada a seguinte relação 
existente entre o momento central de ordem k e os momentos ordinários de ordens não 
superiores a k: 
     
k k
k k j j j k j j j j k j
k k 1 k 1
j=0 j=0
ν E X-E(X) E X-μ E C ( 1) μ X C ( 1) μ E X 
 
          
      
 
ou seja, 
(4.1) 
 
k
k j j j
k k 1 k j
j=0
ν E X-E(X) ( 1) C μ μ      
 
Para os momentos centrais de ordens mais baixas, os coeficientes 
j
kC (j 0,1,2,3,...,k)
podem ser obtidos facilmente por recorrência, utilizando-se as seguintes propriedades 
dos coeficientes binomiais: 
(4.2) 
0
kC 1 0,1,2,3,....k 
 
(4.3) 
j j-1 j
k k-1 k-1C C C k 1,2,3,.... e j 1,2,3,...,k   
 
A partir do desenvolvimento de (4.1), para o momento central de ordem 2 tem-se: 
7 
 
 
 
2
2 j j j 0 0 1 1 2 2
2 k 1 k j 2 1 2 2 1 1 2 1 0
j=0
ν E X-E(X) ( 1) C μ μ C μ μ C μ μ C μ μ        
 
e observando que 
2
0 1 2μ 1, μ μ E(X) e μ E(X )   
 bem como que 
0 2 1
2 2 2C C 1 e C 2  
 
então segue 
(4.4) 
 
2 2 2 2 2 2
2 2 1 1 2 1ν E X-E(X) V(X) μ 2μ μ μ μ E(X ) E (X)          
 
Também são importantes as relações válidas entre os momentos centrais e os momentos 
ordinários para os casos do terceiro e do quarto momentos centrais, apresentadas a 
seguir, por meio de desenvolvimento similar: 
 
     
3
3 3 j j j
3 1 3 1 3 j
j 0
ν E X-E(X) E X-μ 1 C μ μ 

      
    
 
 
 
3
j j j 0 0 1 1 2 2 3 3
3 3 1 3 j 3 1 3 3 1 2 3 1 1 3 1 0
j 0
ν 1 C μ μ C μ μ C μ μ C μ μ C μ μ

     
 
 
2 3 3 3
3 3 1 2 1 1 1 3 1 2 1 1ν μ 3μ μ 3μ μ μ μ 3μ μ 3μ μ       
 
(4.5) 
3
3 3 1 2 1ν μ 3μ μ 2μ  
 
 
     
4
4 4 j j j
4 1 4 1 4 j
j 0
ν E X-E(X) E X-μ 1 C μ μ 

      
    
 
 
 
4
j j j 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4
4 4 1 4 j 4 1 4 4 1 3 4 1 2 4 1 1 4 1 0
j 0
ν 1 C μ μ C μ μ C μ μ C μ μ C μ μ C μ μ

      
 
 
2 4 4
4 4 1 3 1 2 1 1ν μ 4μ μ 6μ μ 4μ μ    
 
(4.6) 
2 4
4 4 1 3 1 2 1ν μ 4μ μ 6μ μ 3μ   
 
 
Finalmente, com relação aos momentos ordinários e centrais, convém destacar que: 
(i) o primeiro momento ordinário é a média ou expectância da distribuição, consistindo 
assim em uma medida de posição que indica o “centro” da mesma; 
(ii) o segundo momento central é a variância e portanto relaciona-se com a variabilidade 
ou grau de dispersão dos valores da distribuição; 
(iii) o terceiro momento central relaciona-se à simetria da distribuição; 
8 
 
(iv) o quarto momento central relaciona-se à curtose (achatamento) da distribuição. 
 
 
5. Momentos de Variáveis Aleatórias Multidimensionais 
Os conceitos de momentos ordinários e centrais, analisados para uma variável aleatória 
unidimensional, podem ser facilmente estendidos para o caso de variáveis aleatórias 
multidimensionais. Isso será feito a seguir, com ênfase no caso particular de variáveis 
aleatórias bidimensionais. 
5.1 Momentos Conjuntos de Variáveis Aleatórias Bidimensionais 
a) Momento conjunto ordinário 
Definição 
Seja (X, Y) uma variável aleatória bidimensional. Define-se o momento conjunto (ou 
misto) ordinário de ordens i e j dessa variável por 
  i ji, jμ E X Y para i, j 0,1,2,3,...  
Notas: 
    i 0 ii,0μ E X Y E X para i 0,1,2,3,...   
    0 j j0, jμ E X Y E Y para j 0,1,2,3,...    
    1 11,1μ E X Y E X Y  
  i ji, jμ E X Y para i, j 0,1,2,3,...  
  i ji, jμ E X Y para i, j 0,1,2,3,...  
Cálculo 
i) Se (X, Y) é discreta 
 
 
XY
i j i j
i, j XY
(x,y) R
μ E X Y x y p (x,y) para i, j 0,1,2,3,...

   
 
ii) Se (X, Y) é contínua 
 
 
XY
i j i j
i, j XY
R
μ E X Y x y f (x,y) dx dy para i, j 0,1,2,3,...   
 
9 
 
b) Momento conjunto central 
Definição 
Seja (X, Y) uma variável aleatória bidimensional. Define-se o momento conjunto (ou 
misto) central de ordens i e j dessa variável por 
     
i j
i, jν E X E(X) Y E(Y) para i, j 0,1,2,3,...    
Nota 
           1,1ν E X E X Y E Y E X Y E X E Y           
Cálculo 
i) Se (X, Y) é discreta 
 
        
XY
i j i j
i, j XY
(x,y) R
ν E X-E X Y-E Y x-E X y-E Y p (x,y) para i, j 0,1,2,3, ...

                 
 
ii) Se (X, Y) é contínua 
 
        
XY
i j i j
i, j XY
R
ν E X-E X Y-E Y x-E(X) y E(Y) f (x,y) dx dy para i, j 0,1,2,3,...           
 
 
Exemplo 8. Seja (X, Y) uma variável aleatória bidimensional discreta com função de 
probabilidade conjunta 
 
 XY
1
p (x,y) , para (x,y) (0,0), ( 1,0), (0,1)
3
  
 
Determinar os momentos ordinários de (X, Y). 
Solução 
A tabela a seguir apresentada mostra a função de probabilidade conjunta da variável 
aleatória (X, Y). 
 
 
10 
 
 Y 
X 
0 1 
Xp (x)
 
-1 
 1
3
 
0 
1
3
 
0 
 1
3
 
1
3
 
2
3
 
Yp (y)
 
 
2
3
 
1
3
 
1 
 
Então: 
a) 
     
0
i ii i i
i,0 X
x 1
1 2 1
μ E X x p (x) 1 0 1 para i 1,2,3,...
3 3 3

       
 
b) 
 
1
j j j j
0,j Y
y 0
2 1 1
μ E Y y p (y) 0 1 para j 1,2,3,...
3 3 3

     
 
c) 
 
2
XY
i j i j i j i j i j i j
i,j XY
(x,y) R
1 1 1
μ E X Y x y p (x,y) ( 1) 0 ( 1) 1 0 0 0 0 1 0
3 3 3

         
 
ou seja 
 
 i ji,jμ E X Y 0 para i,j 1,2,3,...  
 
 
Exemplo 9. Seja (X, Y) uma variável aleatória bidimensional discreta com a seguinte 
função de probabilidade conjunta 
 
XY
y1
p x para x =1,2 e y=1, 2
8

 
Determinar a expressão geral dos momentos conjuntos dessa variável. 
Solução 
   
2 2 2 2 2 2
i j y i j y i j 1 j 2 i j 2
i,j
x 1 y=1 x 1 y=1 x=1 x=1
1 1 1 1
μ x y x x y x x 1 x 2 x x x +2 x
8 8 8 8
 
        
 
     
2 2 2
i j 2 i+1 j i+2 i 1 i 1 j i 2 i 2
i,j
x=1 x=1 x=1
1 1 1
μ x x +2 x x 2 x 1 2 2 1 2
8 8 8
   
 
        
  
 
  
 
 
11 
 
     i 1 i 1 j i 2 i 2 i 1 j i+j+2i,j
1 1
μ 1 2 2 1 2 1 2 2 2 para i, j 0,1,2,3,...
8 8
             
 
 
 i 1 j i+j+2i,j
1
μ 1 2 2 2 para i, j 0,1,2,3,...
8
    
 
 
Então: 
(i) 
   2 0 31,0
1 1 14 7
E(X) μ 1 2 2 2 1 4 1 8
8 8 8 4
          
 
(ii) 
   2 3 0 42,0
1 1 8 1 16 26 13
E X μ 1 2 2 2
8 8 8 4
  
       
 
(iii) 
     
2
2 2 13 7 13 49 52 49 3V X E X E X
4 4 4 16 16 16
 
        
 
 
(iv) 
   1 1 30,1
1 1 2 2 8 13
E Y μ 1 2 2 2
8 8 8
  
      
 
(v) 
   2 1 2 40,2
1 1 2 4 16 23
E Y μ 1 2 2 2
8 8 8
  
      
 
(vi)     
2
2 2 23 13 23 169 184 169 15V Y E Y E Y
8 8 8 64 64 64
 
        
 
 
(vii) 
   2 1 41,1
1 1 4 2 16 23
E XY μ 1 2 2 2
8 8 8
  
      
 
 
Exemplo 10. Seja (X, Y) uma variável aleatória bidimensional contínua com função de 
densidade de probabilidade conjunta 
 
XYf (x,y) = x + y , para 0 < x < 1 e 0 < y < 1
 
Determinar a expressão geral dos momentos conjuntos ordinários de (X, Y) 
Solução 
A expressão geral dos momentos ordinários mistos é 
 1 1 1 1 1
i j i j i+1 j i j+1
ij
0 0 0 0 0
E(X Y ) x y (x + y)dx dy x y dx + x y dx dy =      
 
    
 
 1 11 1 1 1 i+2 i+1
j i+1 j+1 i j j+1
0 0 0 0 0 0
x x
y x dx + y x dx dy = y y dy
i+2 i 1
  
    
    
   
 
12 
 
 1 1 1
j j+1 j j+1
0 0 0
1 1 1 1
y y dy y dy y dy
i 2 i 1 i 2 i+1
 
     
   
  
 
 
1 1
j+1 j+2
0 0
1 1 1 1
y y
i 2 j+1 i+1 j+2
  

 
 
    ij
1 1 1 1 1 1
μ para i,j 0,1,2,3,...
i+2 j+1 i+1 j+2 i+2 ( j+1) i+1 j+2
    
 
Portanto, tem-se: 
     
i j
ij
1 1
μ E(X Y ) para i,j 0,1,2,3,...
i +2 j+1 i +1 j+2
    
1,0
1 1 1 1 4 3 7
E(X) μ
3.1 2.2 3 4 12 12

      
 
0,1
1 1 1 1 3 4 7
E(Y) μ
2.2 1.3 4 3 12 12

      
 
Observe-se que E(X) = E(Y) necessariamente, pois a função
     
i j
ij
1 1
μ E(X Y ) para i,j 0,1,2,3,...
i +2 j+1 i +1 j+2
   
 
É simétrica, ou seja trocando-se i por j ela assume os mesmos valores. 
2 2
2,0 02
1 1 1 1 3 2 5 5
E(X ) μ e E(Y )=μ =
4.1 3.2 4 6 12 12 12

      
 
2
2 2 5 7 11V(X) E(X ) E (X) V(Y)
12 12 144
 
      
 
 
     1,1
1 1 1 1 1 1 2 1
μ E(XY)
1+2 1+1 1+1 1+2 3.2 2.3 6 6 6 3
        
 
 
Exemplo 11. Seja (X, Y) uma variável aleatória bidimensional contínua com função de 
densidade de probabilidade conjunta 
 
2 αy
XYf (x,y) α para 0 x ye
  
 
Determinar a expressão geral dos momentos ordinários conjuntos de (X, Y). 
Solução 
13 
 
 
y y
y
i j i j 2 αy 2 j αy i 2 j αy i+1
i,j
0
0 0 0 0 0
1
μ E X Y x y α dx dy α y x dx dy α y x dy
i 1
e e e
  
  
 
     
     
 
 
y i+1 2
i j 2 j αy i+1 2 j αy i+j+1 αy
i,j
0
0 0 0
1 y α
μ E X Y α y x dy α y dy y dy
i 1 i 1 i 1
e e e
  
  
 
    
      
 
 
2 2
i j i+j+1 αy i+j+1 αy
i,j i+j+2
0 0
α α
μ E X Y y dy (αy) αdy
i 1 (i 1)α
e e
 
   
  
 
Fazendo a substituição de variável 
u αy
 resulta 
 
2
i j
i,j i+j+2 i+j
α (i j 1)!
μ E X Y (i j 2) para i,j 0,1,2,3,...
(i 1)α (i 1)α
 
      
 
 
Logo: 
i) 
 
2
i
i,0 i+2 i i
α (i 1)! i!
μ E X (i 2) para i 0,1,2,3,...
(i 1)α (i 1)α α

      
 
 
em particular, tem-se: 
   21,0 2,01 2 2
1! 1 2! 2
μ E X e μ E X
α α α α
     
 
ii) 
 j0,j j j
( j 1)! ( j 1)!
μ E Y para j 0,1,2,3,...
(1)α α
 
   
 
em particular, tem-se: 
   20,1 0,2 2 2
2! 2 3! 6
μ E Y e μ E Y
α α α α
     
 
iii) 
     
2
2 2
2 2
2 1 1
V X E X E X
α α α
 
     
 
 
 e 
 
     
2
2 2
2 2 2
6 2 6 4 2
V Y E Y E Y
α α α α
 
      
 
 
iv) 
 1,1 2 2
3! 3
μ E XY
2α α
  