Estatística - Processo de Poisson

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ECO 1721 – Introdução à Estatística Econômica 
Professor: Juarez da Silveira Figueiredo 
O Processo de Poisson 
 
1. O Processo de Poisson 
Considere-se um fenômeno aleatório que consiste na série de ocorrências, ao longo do 
tempo, de um evento raro A (isto é, um evento de probabilidade muito reduzida). Seja 
[0, t) o intervalo de tempo decorrido entre o instante inicial e um certo instante t, 
genérico. Para cada instante t, define-se a variável aleatória 
tX
que representa o número 
de ocorrências de A no intervalo de tempo considerado. Desse modo, tem-se uma 
família de variáveis aleatórias indexadas pelo parâmetro tempo, o que constitui um 
processo estocástico. O modelo probabilístico usualmente empregado nesse caso é 
denominado processo estocástico de Poisson. 
Com relação a esse fenômeno, há interesse em estudar duas variáveis aleatórias: (i) o 
número de ocorrências do evento A em um intervalo de tempo fixado; e (ii) o tempo 
transcorrido até registrar-se a ocorrência de certo número de vezes, n, do evento A. 
 
1.1. A Distribuição de Poisson 
Admitindo-se que a taxa média de ocorrências do evento A, por unidade de tempo, é 

 
prova-se que para cada instante do tempo fixado, t, a variável aleatória Xt tem 
distribuição de Poisson, com parâmetro 
t 
. Então a sua função de probabilidade é 
 x
p(x) = para x 0,1,2,3, ....
x!
e  

 
Portanto, a probabilidade de não ocorrer nenhuma vez o evento considerado é 
 0
p(0) =
0!
e
e

 
 
e a probabilidade de ocorrer n vezes o referido evento é 
 n
p(n) =
n!
e   
 
 
 
 
2 
 
1.2. A Distribuição de Erlang 
Seja agora a variável aleatória T que representa o tempo transcorrido até a n-ésima 
ocorrência do evento A. Prova-se que essa variável aleatória tem distribuição gama de 
parâmetros 

 e p, onde p é um inteiro positivo, isto é p = n = 1, 2, ..... Ou seja, T possui 
distribuição de Erlang (caso particular da distribuição gama quando o parâmetro p é 
inteiro). A função de densidade de probabilidade da distribuição de Erlang de 
parâmetros 
e n
 é 
 n n
n -1 t n -1 tf(t) = t t para t 0
(n) ( 1)!
e e
n
    
 
 
Fazendo n = 1 na expressão da distribuição de Erlang (
, n
) acima indicada obtém-se a 
expressão da distribuição exponencial de parâmetro 

, a qual é consequentemente um 
caso particular daquela. 
Prova-se que: 
i) a variável aleatória que representa o tempo transcorrido até a primeira ocorrência do 
evento A tem distribuição exponencial de parâmetro 

; 
ii) a variável aleatória que representa o tempo transcorrido entre duas ocorrências 
consecutivas, quaisquer, do evento A tem distribuição exponencial de parâmetro 

; 
iii) a distribuição de Erlang de parâmetros 

 e n equivale à distribuição de uma soma 
de n variáveis aleatórias independentes com distribuição exponencial de parâmetro 

, 
no caso T (como acima definida) correspondente à soma das variáveis aleatórias 
iT
 que 
representam os tempos transcorridos entre a (i-1)-ésima e a i-ésima ocorrências do 
evento A, para i = 1,2,3,...,n. 
 n
i
i = 0
T = T
 
Portanto, a variável aleatória que representa o tempo transcorrido até a n-ésima 
ocorrência do evento A tem distribuição de Erlang, de parâmetros n e 

. 
 
1.3. A Relação entre as Distribuições de Poisson e Gama (Erlang) 
Considere-se T uma variável aleatória com distribuição de Erlang de parâmetros 

 e n. 
A sua função de distribuição acumulada, F(t), é expressa por 
 n
n -1 u
t
F(t) = P(T t) = 1 P(T > t) = 1 u du
(n)
e    

 
que pode ser escrita alternativamente como 
 
3 
 
 
 
n 1 u
t
F(t) = P(T t) = 1 P(T > t) = 1 u du
(n -1)!
e       
 
Na expressão da integral acima, fazendo agora a mudança de variável 
s= u
 tem-se 
 n -1
s
t
s
F(t) = P(T t) = 1 P(T > t) = 1 ds
(n -1)!
e


   
 
Essa integral é do mesmo tipo da integral abaixo indicada 
 n x
a
x
dx
n!
e
I
 
 
 , com 
a = u
, n substituído por n-1 e x por s 
que foi examinada no estudo da função gama. Portanto, considerando uma das 
propriedades da função gama (ver a 5ª propriedade da função gama, na nota didática 
correspondente), tem-se 
 n x a kn-1
k = 0a
x a
dx
(n -1)! k!
e e
  
 
 com 
a = t
 
Consequentemente 
 
 
t kn-1
n 1 u
k = 0t
( t)
F(t) = P(T t) = 1 P(T > t) = 1 u du 1
(n -1)! k!
e
e
         
Observando agora que se X tem distribuição de Poisson de parâmetro 
a = t
 então
a kn-1
k = 0
a
P(X n-1) com a t
k!
e
a

  
 percebe-se que existe uma relação entre as 
funções de distribuição de probabilidade acumulada das distribuições de Poisson e de 
Erlang. 
Uma análise das expressões acima apresentadas mostra que: 
i) o tempo eventualmente transcorrido até registrar-se n ocorrências do evento A é 
maior que t se, e somente se, até esse instante não ocorrer mais de n-1 vezes o evento A 
(ou seja, o evento A ocorrer, no máximo, n-1 vezes); 
ou, equivalentemente, 
ii) o tempo eventualmente transcorrido até registrar-se n ocorrências do evento A é 
menor que t se, e somente se, até esse instante ocorrer n vezes ou mais o evento A (ou 
seja, o evento A ocorrer, no mínimo, n vezes); 
 
 
 
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Bibliografia: 
Meyer, Paul L.: Probabilidade – Aplicações à Estatística 
Livros Técnicos e Científicos Editora S. A., Rio de Janeiro, 1978