Estatística - Resumo teórico 7.1

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ECO 1721 - Introdução à Estatística Econômica 
7-Distribuições Bidimensionais 
Resumo Teórico 
Professores: Thadeu Keller Filho e Juarez Figueiredo 
7.1 Variáveis Aleatórias Bidimensionais 
Considere-se uma experiência aleatória de espaço amostral S. Sejam X=X(s) e 
Y=Y(s) funções que associam, cada uma, um número real a cada elemento s
.S
 O 
par ordenado 
 ,X Y
denomina-se variável aleatória bidimensional associada a S. 
 Nota: 
eX Y
são variáveis aleatórias unidimensionais, denominadas componentes 
 marginais de 
 , .X Y 
 
7.2 Variáveis Aleatórias Bidimensionais do Tipo Discreto 
 7.2.1 Definição 
 Uma variável aleatória bidimensional 
 ,X Y
é do tipo discreto (ou é discreta) se 
 
eX Y
são do tipo discreto. 
 7.2.2 Função de Probabilidade Conjunta 
 Seja 
 ,X Y
uma variável aleatória bidimensional do tipo discreto. Denomina-se 
 Função de Probabilidade Conjunta associada a 
 ,X Y
a função definida por 
    , ;XYp x y P X x Y y  
 
 O conjunto 
    2, / , 0XY XYS x y R p x y  
 denomina-se suporte da distribuição 
 conjunta de 
 , .X Y
 
 7.2.3 Propriedades da Função de Probabilidade Conjunta 
 Toda função de probabilidade conjunta possui as seguintes propriedades: 
a) 
 , 0XYp x y 
 
b) 
 
 ,
, 1
XY
XY
x y S
p x y


 
c) 
  Para todo ,XYA S P X Y A 
 
=
 
( , )
,XY
x y A
p x y


 
 Nota: Uma função real definida no 
2R
é função de probabilidade de alguma 
 variável aleatória bidimensional se e somente se satisfaz as duas primeiras 
 propriedades anteriores, ditas Propriedades Características. 
2 
 
 7.2.4 Determinação das Distribuições Marginais 
 Conhecida a função de probabilidade conjunta de 
 ,X Y
, as funções de 
 probabilidade das variáveis aleatórias marginais 
eX Y
podem ser determinadas 
 como segue: 
 
   ,X XY X
y
p x p x y x S 
 
   ,Y XY Y
x
p y p x y y S 
 
 7.2.5 Distribuições condicionadas 
 Para cada variável aleatória bidimensional do tipo discreto definem-se duas famílias 
 de variáveis aleatórias condicionadas: 
 / onde YX Y y y S 
e
 /Y X x
onde 
 
,Xx S
cujas funções de probabilidade são denotadas, respectivamente, por
 
 /X yp x
e 
 / .Y xp y
 
 Os conjuntos 
   / 1 // 0X y X yS x R p x  
 
  / 1 // 0Y x Y xS y R p y  
 
 são denominados suportes de 
 /X Y y
e 
 / ,Y X x
respectivamente. 
 As funções de probabilidades condicionadas são obtidas da seguinte maneira: 
 
   
 
 
 
 / /
; ,
/
XY
X y X y
Y
P X x Y y p x y
p x P X x Y y x S
P Y y p y
 
     

 
 para todo 
Yy S
. 
 
   
 
 
 
 / /
; ,
/
XY
Y x Y x
X
P Y y X x p x y
p y P Y y X x y S
P X x p x
 
     

 
 para todo 
Xx S
.
 
 
 Dessas expressões resulta: 
          / /,XY Y X y X Y xp x y p y p x p x p y 
 
 7.2.6 Independência de Variáveis Aleatórias Discretas 
 As variáveis aleatórias discretas
eX Y
são ditas independentes se e somente se 
      ,XY Y Xp x y p y p x
 
 ou, equivalentemente, se e somente se 
    /Y Y xp y p y
 
 ou, ainda, se e somente se 
3 
 
    /X X yp x p x
 
7. 3 Variáveis Aleatórias Bidimensionais do Tipo Contínuo 
 7.3.1 Definição 
 Uma variável aleatória bidimensional 
 ,X Y
é do tipo contínuo (ou é contínua) se 
 
eX Y
são do tipo contínuo. 
 7.3.2 Função de Densidade de Probabilidade Conjunta 
 A toda variável aleatória bidimensional do tipo contínuo corresponde uma função, 
 
 ,XYf x y
, dita Função de Densidade de Probabilidade Conjunta, com as seguintes 
 propriedades: 
a) 
 , 0XYf x y 
 
b) 
   
( , )
, , 1
XY XY
XYx y S
f x y dy dx f x y dy dx
 
  
    
 
 onde o conjunto 
    2, / , 0XY XYS x y R f x y  
é o suporte de 
 , .X Y
 
c) para todo 
2 ,A R
 
    
 ,
, ,XY
x y A
P X Y A f x y dydx

   
 
 Notas: 
 Uma função real definida no 
2R
 é função de densidade de probabilidade de 
alguma variável aleatória bidimensional
 ,X Y
se e somente se satisfaz as duas 
primeiras propriedades, ditas Propriedades Características. 
 Para todo 
  2, ,a b R    ; ;P X a Y b P a X a b Y b       
 
 
 , 0
XY
a b
a b
f x y dy dx 
 
 Convenciona-se representar analiticamente as funções de densidade conjunta 
apenas nos pontos pertencentes ao suporte de 
 , .X Y
 
 7.3.3 Determinação das Densidades Marginais 
 Conhecida a função de densidade conjunta de 
 ,X Y
, as funções de densidade das 
 componentes marginais
eX Y
podem ser determinadas como segue: 
 
 
   ,X XY Xf x f x y dy x S


 
 
   ,Y XY Yf y f x y dx y S


 
 
4 
 
 7.3.4 Distribuições Condicionadas (ou Condicionais) 
 Para cada variável aleatória bidimensional do tipo contínuo definem-se duas 
 famílias de variáveis aleatórias condicionadas: 
 / onde YX Y y y S 
e
 
 /Y X x
onde 
,Xx S
cujas funções de densidade de probabilidade são 
 denotadas respectivamente por
 /X yf x
e 
 / .Y xf y
 
 Os conjuntos 
   / 1 // 0X y X yS x R f x  
 
  / 1 // 0Y x Y xS y R f y  
 
 são denominados suportes de 
 /X Y y
e 
 / ,Y X x
respectivamente. 
 As funções de densidade de probabilidades condicionadas são obtidas da seguinte 
 maneira: 
 
 
 
 / /
,XY
X y X y
Y
f x y
f x x S
f y
 
 para todo 
Yy S
 
 
 
 
 / /
,XY
Y x Y x
X
f x y
f y y S
f x
 
 para todo 
Xx S
 
 Dessas expressões resulta: 
          / /,XY Y X y X Y xf x y f y f x f x f y 
 
 7.3.5 Independência de Variáveis Aleatórias Contínuas 
 As variáveis aleatórias contínuas 
eX Y
são ditas independentes se e somente se 
      ,XY Y Xf x y f y f x
 
 ou, equivalentemente, se e somente se 
    /Y Y xf y f y
 
 ou, ainda, se e somente se 
    /X X yf x f x
 
 
7.4 Função de Distribuição de uma Variável Aleatória Bidimensional 
A toda variável aleatória bidimensional (X,Y) corresponde uma função real de duas 
variáveis 
XYF (x,y)
, denominada função de distribuição, definida por 
 
  2XYF (x,y) = P X x,Y y para todo (x,y) R  
 
A função de distribuição é também denominada: Função de Distribuição 
Acumulada ou Função de Repartição. 
5 
 
7.4.1 Propriedades de Função de Distribuição 
(I) Propriedades Características: 
(i) 
XY0 F (x,y) 1 
 
(ii) 
XY XY XYF ( ,y) F (x, ) 0 e F ( , ) 1      
 
(iii) 
XYF (x,y)
 é monótona não decrescente em cada variável x e y 
(iv) 
XYF (x,y)
é contínua à direita em relação a cada variável: 
 
+ +
0 0
XY 0 XY XY 0 XY
x x y y
lim F (x ,y) F (x,y) e lim F (x,y ) F (x,y)
 
 
 
(v) Seja I o intervalo (de forma retangular) em 2R definido por 
 
 2 1 2 1 2 1 2 1 2(x,y) R |x x x e y y y com x x e y yI        
 
 então 
   1 2 1 2 XY 2 2 XY 1 2 XY 2 1 XY 1 1P P x <X x , y <Y y F (x ,y ) F (x ,y ) F (x ,y ) F (x ,y ) I       
 
(II) Utilização no Cálculo de Probabilidades: 
A quinta das propriedades características acima é aquela que é utilizada no cálculo 
de probabilidades envolvendo a função de distribuição. Além disso, tem-se também 
que:(i) 
X XY XY
y
F (x) lim F (x,y) F (x, )

  
 
(ii) 
Y XY XY
x
F (y) lim F (x,y) F ( ,y)

  
 
(iii) para uma variável aleatória bidimensional (X,Y) discreta: 
 
0 0
0 0 XY 0 0 XY 0 0 XY
x x ,y y
P X x ,Y y p (x ,y ) F (x ,y ) lim F (x,y)
  
    
 
(iv) para uma variável aleatória bidimensional (X,Y) contínua: 
2
XY XYf (x,y) F (x,y)
x y


 
 
 (III) Independência de Variáveis Aleatórias 
Se as duas componentes, X e Y, de uma variável aleatória bidimensional (X,Y) são 
independentes, tem-se: 
 
XY X YF (x,y) = F (x) F (y)
 
 
 
 
6 
 
7.5 Expectância e Momentos de Variáveis Aleatórias Bidimensionais 
Analogamente ao caso unidimensional, para as variáveis aleatórias bidimensionais, tem-
se: 
7.5.1 Definição de Expectância 
 (I) para (X, Y) discreta: 
 
 
XY
XY
(x,y) R
E XY xy p (x,y)

  
 
 (II) para (X, Y) contínua: 
 
 
XY
XY
R
E XY xyf (x,y) dx dy
 
Notas: 
. A expectância pode não existir, caso a expressão que a define seja uma série ou uma 
integral divergente; nesse caso diz-se que a expectância é infinita. 
. Se existe, a expectância é um número real; diz-se então que a expectância é finita. 
7.5.2 Definição de Expectância de uma Função 
Sejam (X,Y) uma variável aleatória bidimensional e h(X, Y) uma função dessa variável. 
Define-se a expectância de h(X, Y) por 
 (i) 
 
XY
XY
(x,y) R
E h X, Y h(x, y) p (x,y)

    
 
 (ii) 
 
XY
XY
R
E h X, Y h(xy) f (x,y) dx dy   
 
Nota. 
. A expectância pode não existir, caso a expressão que a define seja uma série ou uma 
integral divergente; nesse caso diz-se que a expectância é infinita. 
7.5.3 Propriedades 
P1) Se c é uma constante E(c ) = c 
P2) Se c é uma constante e h(x,y) uma função 
   E ch X, Y cE h X, Y      
 
P3) Se g(x) e h(y) são duas funções 
       E g X h Y E g X E h Y            
 
P4) Se X e Y são independentes 
     E XY E X E Y
 
7 
 
7.5.4 Momentos Conjuntos de uma Variável Aleatória Bidimensional 
a) Momento conjunto ordinário 
Definição 
Seja (X, Y) uma variável aleatória bidimensional. Define-se o momento conjunto (ou 
misto) ordinário de ordens i e j dessa variável por 
 
 i ji, jμ E X Y para i, j 0,1,2,3,... 
 
Notas: 
. 
   i 0 ii,0μ E X Y E X para i 0,1,2,3,...  
 
. 
   0 j j0, jμ E X Y E Y para j 0,1,2,3,...   
 
. 
   1 11,1μ E X Y E X Y 
 
. 
 i ji, jμ E X Y para i, j 0,1,2,3,... 
 
. 
 i ji, jμ E X Y para i, j 0,1,2,3,... 
 
Cálculo 
i) Se (X, Y) é discreta 
 
 
XY
i j i j
i, j XY
(x,y) R
μ E X Y x y p (x,y) para i, j 0,1,2,3,...

   
 
ii) Se (X, Y) é contínua 
 
 
XY
i j i j
i, j XY
R
μ E X Y x y f (x,y) dx dy para i, j 0,1,2,3,...   
 
 
b) Momento conjunto central 
Definição 
Seja (X, Y) uma variável aleatória bidimensional. Define-se o momento conjunto (ou 
misto) central de ordens i e j dessa variável por 
 
    i ji, jν E X E(X) Y E(Y) para i, j 0,1,2,3,...   
 
Nota 
. 
          1,1ν E X E X Y E Y E X Y E X E Y          
 
8 
 
Cálculo 
i) Se (X, Y) é discreta 
 
        
XY
i j i j
i, j XY
(x,y) R
ν E X-E X Y-E Y x-E X y-E Y p (x,y) para i, j 0,1,2,3, ...

                 
 
ii) Se (X, Y) é contínua 
 
        
XY
i j i j
i, j XY
R
ν E X-E X Y-E Y x-E(X) y E(Y) f (x,y) dx dy para i, j 0,1,2,3,...           
 
7.6 Função Geratriz de Momentos 
7.6.1 Definição e Cálculo 
Definição 
Seja (X, Y) uma variável aleatória bidimensional, define-se a função geratriz de 
momentos de (X, Y) por 
 
 1 2t X t YXY 1 2(t , t ) EM e 
 
Cálculo: 
(i) se (X,Y) for discreta 
 
 1 2 1 2t X t Y t x t y 2XY 1 2 XY XY
x y
(t , t ) E p (x,y) para (x,y) RM e e   
 
(ii) se (X,Y) for contínua 
 1 2t X t YXY 1 2(t , t ) EM e 
 
 
 1 2 1 2
2
XY
t X t Y t x t y
XY 1 2 XY
R
(t , t ) E f (x,y)dx dyM e e   
 
7.6.2 Propriedades 
P1) 
   1 2 1 2t X t Y t X t YXY 1 2
1 1
(t , t ) E E X
t t
M e e 
 
 
 
 
 
   1 2 1 2t X t Y t X t YXY 1 2
2 2
(t , t ) E E Y
t t
M e e 
 
 
 
 
 
   1 2 1 2
i+j i j
t X t Y t X t Yi j
XY 1 2i j i j
1 2 1 2
(t , t ) E E X Y
t t t t
M e e 
  
 
   
 
9 
 
Deve-se observar que essas derivadas avaliadas no ponto 
1 2(t , t ) (0,0)
fornecem os 
momentos conjuntos ordinários de (X, Y). 
P2) Se X e Y são independentes, então 
 
       1 2 1 2 1 2t X t Y t X t Y t X t YXY 1 2 X 1 Y 2(t , t ) E E E E (t ) (t )M e e e e e M M   
 
Cálculo 
i) Se (X, Y) é discreta 
 
 
XY
i j i j
i, j XY
(x,y) R
μ E X Y x y p (x,y) para i, j 0,1,2,3,...

   
 
ii) Se (X, Y) é contínua 
 
 
XY
i j i j
i, j XY
R
μ E X Y x y f (x,y) dx dy para i, j 0,1,2,3,...   
 
 
7.7 Funções de Variáveis Aleatórias 
Teorema 
Seja (X, Y) uma variável aleatória bidimensional do tipo contínuo, com função de 
densidade de probabilidade conjunta 
XYf (x,y)
. Sejam 
1Z h (X,Y)
 e 
2W h (X,Y)
duas 
funções de (X, Y). Admita-se que essas duas funções, 
1h (.,.)
e 
2h (.,.)
satisfaçam as 
seguintes condições: 
(i) As equações 
1z h (x,y)
e 
2w h (x,y)
podem ser resolvidas univocamente para x e y, 
em termos de z e w, isto é, 
1x g (z,w)
 e 
2y g (z,w)
. 
(ii) As derivadas parciais 
x
z


, 
x
w


, 
y
z


 e 
y
w


existem e são contínuas. 
Nessas condições, a função de densidade de probabilidade conjunta de (Z, W), isto é, 
ZWf (z,w)
, pode ser determinada, sendo expressa por 
 ZW XY 1 2f (z,w) f g (z,w),g (z,w) (z,w)J
, onde 
(z,w)J
é o seguinte determinante 2x2 
 
1 1
2 2
g (z,w) g (z,w)x x
z w z w
(z,w)
y y g (z,w) g (z,w)
z w z w
J
  
   
 
   
   
 
Este determinante é denominado Jacobiano da transformação 
(x,y) (z,w)
. 
 
10 
 
7.8 Expectâncias e Variâncias Condicionadas 
7.8.1 Definições 
Seja (X,Y) uma variável aleatória bidimensional, do tipo discreto com função de 
probabilidade conjunta 
XYp (x,y)
, ou do tipo contínuo com função de densidade de 
probabilidade conjunta 
XYf (x,y)
. Conforme vimos anteriormente, as distribuições 
de probabilidade das variáveis aleatórias condicionadas (Y|X = x) e (X|Y = y) são 
obtidas a partir da distribuição conjunta de (X,Y), como segue: 
 
Tipo discreto: 
XY XY
X|Y Y|X
Y X
p (x,y) p (x,y)
p (x|y) e p (y|x)
p (y) p (x)
 
 
 
Tipo contínuo: 
XY XY
X|Y Y|X
Y X
f (x,y) f (x,y)
f (x|y) e f (y|x)
f (y) f (x)
 
 
 
Admitindo-se que (Y|X = x) e (X|Y = y) possuam variância finita, podemos 
calcular as expectâncias e variâncias dessas variáveis aleatórias, denominadas 
expectâncias e variâncias condicionadas: 
 
Tipo discreto: 
 
X|Y
x
E(X|Y y) E(X|y) x p (x|y)  
 
 
 
Y|X
y
E(Y|X x) E(Y|x) yp (y|x)  2 2
2
2
X|Y X|Y
x x
V(X|Y y) V(X|y) E(X |y) - E (X|y)
x p (x|y) x p (x|y)
   
 
   
 
 
 
 
 
2 2
2
2
Y|X Y|X
y y
V(Y|X x) V(Y|x) E(Y |x) - E (Y|x)
y p (y|x) y p (y|x)
   
 
   
 
 
 
Tipo contínuo: 
 
X|YE(X|Y y) E(X|y) x f (x|y) dx   
 
 
 
Y|XE(Y|X x) E(Y|x) yf (y|x) dy   
 
 
11 
 
 
2 2
2
2
X|Y X|Y
V(X|Y y) V(X|y) E(X |y) - E (X|y)
x f (x|y) x f (x|y)
   
  
  
 
 
 
2 2
2
2
Y|X Y|X
V(Y|X x) V(Y|x) E(Y |x) - E (Y|x)
y f (y|x) yf (y|x)
   
  
  
 
7.8.2 Variáveis Aleatórias Associadas às Expectâncias e Variâncias Condicionadas 
a) Expectâncias condicionadas aleatórias 
 
i) Represente-se por E(X|Y) uma variável aleatória que assume o valor E(X|y) 
quando a variável aleatória Y assume o valor y. Essa variável aleatória 
denomina-se expectância condicionada aleatória de X dado Y. 
 
ii) Analogamente, represente-se por E(Y|X) uma variável aleatória que assume o 
valor E(Y|x) quando a variável aleatória X assume o valor x. Essa variável 
aleatória denomina-se expectância condicionada aleatória de Y dado X. 
 
b) Variâncias condicionadas aleatórias 
 
i) Represente-se por V(X|Y) uma variável aleatória que assume o valor V(X|y) 
quando a variável aleatória Y assume o valor y. Essa variável aleatória 
denomina-se variância condicionada aleatória de X dado Y. 
 
ii) Analogamente, represente-se por V(Y|X) uma variável aleatória que assume o 
valor V(Y|x) quando a variável aleatória X assume o valor x. Essa variável 
aleatória denomina-se variância condicionada aleatória de Y dado X. 
 
7.8.3 Teoremas Básicos sobre Expectâncias e Variâncias Condicionadas Aleatórias 
Teorema 1. Lei das Expectâncias Iteradas 
i) 
 E E X|Y E(X)  
 
ii) 
 E E Y|X E(Y)  
 
 
Teorema 2. Decomposição da Variância 
i) 
   V(X) E V X|Y V E X|Y       
 
ii)
   V(Y) E V Y|X V E Y|X       
 
12 
 
7.9 Covariância entre X e Y 
 7.9.1 Definição 
     ( , ) ( )XY Cov X Y E X E X Y E Y      
 
 
 7.9.2 Propriedades da Covariância 
a) 
( , )Cov X Y
está expressa no produto das unidades de medida de X e de Y 
b) 
( , ) ( , )Cov X Y Cov Y X
 
c) 
( , ) ( )Cov X X Var X
 
d) 
     ( , )Cov X Y E XY E X E Y 
 
e) Se 
eX Y
são independentes, então 
( , ) 0Cov X Y 
 
 Nota: A recíproca não é verdadeira: existem variáveis aleatórias cuja 
 covariância é zero e que não são independentes. 
f) 
U a bX 
 
V c dY 
 
g) 
( , )Cov X Y Z W  
 
 , ( , ) ( , ) ( , )Cov X Z Cov X W Cov Y Z Cov Y W  
 
 
 7.9.3 Variância de uma Soma e de uma diferença de duas Variáveis Aleatórias 
        2 ,Var X Y Var X Var Y Cov X Y   
 
        2 ,Var X Y Var X Var Y Cov X Y   
 
 
7.10 Coeficiente de Correlação Linear (ou Coeficiente de Correlação de Pearson) 
 7.10.1 Definição 
 
 
   
,
XY
XY
X Y
Cov X Y
Var X Var Y
   
 
 7.10.2 Propriedades do Coeficiente de Correlação Linear 
a) 
XY
 é adimensional 
b) 
1 1XY  
 
c) Se 
eX Y
são independentes
0XY 
 
 Notas: 
 A recíproca não é verdadeira: existem variáveis aleatórias cujo 
coeficientede correlação linear é igual a zero e que não são 
independentes. 
 Se 
0, as variáveis aleatórias eXY X Y  são ditas “não correlacionadas” 
( , ) ( , )Cov U V bd Cov X Y 
13 
 
 d) U a bX  V c dY  0
0
XY
UV
XY
se bd
se bd



  
 
 
 
e) 1XY  
 se e somente se existem números reais 
e 0a b 
tais que 
   1P Y a bX  
 
 
f) 1XY  
 se e somente se existem números reais 
e 0a b 
tais que 
 
  1P Y a bX  
 
 7.10.3 Coeficiente de Determinação 
 2XY
denomina-se Coeficiente de Determinação e mede o grau de dispersão das 
 determinações de 
 ,X Y
em torno de uma linha reta. 
 
7.11 Algumas Distribuições Multidimensionais Importantes 
 7.11.1 Distribuição Multinomial 
A distribuição multinomial consiste em uma generalização da distribuição binomial 
e está associada à situação geral em que são feitas n realizações independentes de 
um experimento aleatório 
ε
 com mais de dois resultados possíveis. Seja k (k>2) o 
número de resultados possíveis em cada realização. Sejam 
iA
e 
 i iP A p
 com 
i=1,2,...,k respectivamente os eventos que representam os possíveis resultados e 
suas correspondentes probabilidades de ocorrência. Sejam as k variáveis aleatórias 
definidas a seguir: 
 
i iX número de vezes que ocorre o resultado A na série de n realizações
de
ε
,com 
 i=1,2,..,k 
 Então, a função de probabilidade da variável aleatória k-dimensional 
 
 1 2 kX ,X ,...,X
é expressa por 
 
1 2 k
1 2 k
k
x x x
X X ...X 1 2 k 1 2 k ik
i=1
i
i 1
n!
p (x , x ,..., x ) p p ...p com x n
x !

 


 
 Note-se que k 1
k i
i=1
x n x

 
e isso permite eliminar uma variável na expressão 
acima; é usual eliminar-se a variável 
kX
, substituindo seu valor 
kx
por k 1
i
i=1
n x


 
 É interessante destacar que a distribuição marginal de qualquer uma das variáveis 
componentes 
iX
 (i=1,2,3,...,k) é binomial. 
14 
 
A função geratriz de momentos da variável aleatória multinomial 
 1 2 kX ,X ,...,X
 é 
expressa por 
 
   1 1 2 2 k 1 k 1 1 1 2 2 k 1 k 1 1 2 k
1 2 k 1
t x t x ... t x t x t x ... t x x x x
1 2 k 1 1 2 kk
x x x
i
i 1
n!
t , t ,..., t E ... p p ...p
x !
M e e   

     


  

donde 
 
       1 2 k 11 2 k 1 k
1 2 k 1
x x x
t t t x
1 2 k 1 1 2 k kk
x x x
i
i 1
n!
t , t ,..., t ... p p ... p p
x !
M e e e







 
 
 
   1 2 k 1
n
t t t
1 2 k 1 1 2 k 1 kt , t ,..., t p p ... p pM e e e

     
 
 
 7.11.2 Distribuição Hipergeométrica Multidimensional 
 Essa distribuição é a generalização da hipergeométrica para mais de dois resultados 
 possíveis. Considere-se um conjunto de N elementos, cada um dos quais pertence a 
 uma única dentre as k classes possíveis. Representem-se por 
iA
 com i=1,2,...,k as 
referidas classes. Admita-se que a classe i tem 
iN
elementos (i=1,2,...,k) e que são 
selecionados do conjunto considerado, com igual probabilidade e sem reposição, n 
elementos. Sejam as k variáveis aleatórias definidas a seguir: 
 
i iX número de elementos da classe A eventualmente selecionados
com i=1,2,..,k 
 Então, a função de probabilidade da variável aleatória k-dimensional 
 
 1 2 kX ,X ,...,X
é expressa por 
 1 2 k
1 2 k
1 2 k
x x x k
N N N
X X ...X 1 2 k in
i=1N
C C ...C
p (x , x ,...,x ) com x n
C
 
 
 Note-se que k 1
k i
i=1
x n x

 
e isso permite eliminar uma variável na expressão 
acima; é usual eliminar-se a variável 
kX
, substituindo seu valor 
kx
por k 1
i
i=1
n x


 
 É interessante destacar que a distribuição marginal de qualquer uma das variáveis 
componentes 
iX
 (i=1,2,3,...,k) é hipergeométrica (simples). 
 
 
 
15 
 
 7.11.3 Distribuição Uniforme Bidimensional 
Uma variável aleatória bidimensional (X,Y) tem distribuição uniforme na região 
(retangular) do plano determinada por 
 
 2(x,y) R | a x b e c y dI      
 
se a sua função de densidade de probabilidade conjunta for expressa por 
 
XY
1
f (x,y) para a < x < b e c< y<d
(b a)(d c)

 
 
Pode-se ter uma variável aleatória bidimensional com distribuição uniforme em 
uma região de outros formatos (circular, poligonal, etc) no plano cartesiano; em 
qualquer dos casos o valor da função de densidade é constante e igual ao inverso da 
área da figura correspondente à região. 
Obs: a distribuição uniforme bidimensional possui propriedades idênticas às da 
uniforme unidimensional. 
 
 7.11.4 Distribuição Normal Bidimensional 
 Uma variável aleatória bidimensional (X,Y) tem distribuição normal bidimensional 
se a sua função de densidade de probabilidade for 
 
2 2
X X Y Y
XY 22
X X Y YX Y
x μ x μ x μ y μ1 1
f (x,y) exp 2
2(1 ρ ) σ σ σ σ2πσ σ 1 ρ
              
            
              
 
 com 
X Yμ ,μ R
 , 
*
X Y +σ ,σ R
 e 
ρ 1
 
ou, em termos da forma quadrática 
 2 2
X X Y Y
2
X X Y Y
x μ x μ x μ y μ1
Q(x,y) 2
(1 ρ ) σ σ σ σ
            
           
           
 
 
XY
2
X Y
1 1
f (x,y) exp Q(x,y)
22πσ σ 1 ρ
 
  
 
 
No tratamento matemático da função de densidade da distribuição normal 
bidimensional é conveniente efetuar as seguintes mudanças de variáveis: 
 
X Y
X Y
x μ x μ
u e v
σ σ
 
 
 
O que permite reescrever a expressão da função de densidade em termos das 
variáveis transformadas U e V da seguinte forma: 
16 
 
 
 2 222
1 1
f(u,v) = exp u 2ρ u v+ v
2(1 ρ )2π 1 ρ
 
  
  
 
 
 Função Geratriz de Momentos 
 A função geratriz de momentos da normal bidimensional tem por expressão 
 
 2 2 2 2XY 1 2 X 1 Y 2 X 1 X Y 1 2 Y 2
1
(t , t ) exp μ t μ t σ t 2ρσ σ t t σ t
2
M
 
     
 
 
 Momentos 
 (i) 
  XE X μ
 
 (ii) 
  YE Y μ
 
 (iii) 
  2XV X σ
 
 (iv) 
  2YV Y σ
 
 (v) 
  X Y X YE XY μ μ ρσ σ 
 
 (vi) 
  X YCov X,Y ρσ σ
 
 Distribuições Marginais 
 As componentes X e Y de uma variável aleatória bidimensional normal possuem 
distribuição normal, isto é: 
(i) 
 X XX N μ ,σ
 
(ii) 
 Y YY N μ ,σ
 
 Distribuições Condicionadas 
 As distribuições condicionadas associadas à distribuição conjunta da normal 
bidimensional são: 
(i) a função de densidade da variável aleatória condicionada (X|Y=y) é 
 
   
 
2
X
X|Y X Y2 22
YXX
σ1 1
f (x | y) exp x μ ρ y μ
σ2 σ 1 ρ2π σ 1 ρ
     
       
         
 
 que é a expressão da função de densidade de uma normal com: 
 
   XX Y
Y
σ
E X|Y y μ ρ y μ
σ
   
 e 
   2 2XV X|Y y σ 1 ρ  
 
 (ii) a função de densidade da variável aleatória condicionada (Y|X=x) é 
17 
 
   
 
2
Y
Y|X Y X2 22
XYY
σ1 1
f (y | x) exp y μ ρ x μ
σ2 σ 1 ρ2π σ 1 ρ
     
       
         
 
 que é a expressão da função de densidade de uma normal com: 
 
   YY X
X
σ
E Y|X x μ ρ x μ
σ
   
 e 
   2 2YV Y|X x σ 1 ρ  
 
 Independência das Componentes X e Y 
 A condição necessária e suficiente para a independência entre X e Y é que o 
coeficiente de correlação seja nulo, isto é 
ρ 0
. 
 Obs. Convém ressaltar que, em geral, quando o coeficiente de correlação é nulo 
isso não acarreta que as variáveis sejam independentes – são apenas linearmente 
não correlacionadas. Entretanto, no caso particular da distribuição normal, sendo 
nulo o coeficiente de correlação decorre também a independência das variáveis. 
Distribuição de uma Combinação Linear de Variáveis Normais 
Demonstra-se que qualquer combinação linear de variáveis aleatórias normais, 
independentes ou não, tem distribuição normal. 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------