Estatística - Resumo teórico 7.2

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Unidade I – Cálculo de Probabilidades – Capítulo 7 – 
Distribuições Multidimensionais 
 
1 
 
ECO 1721 – Introdução à Estatística Econômica 
UNIDADE I – Cálculo de Probabilidades 
7. Distribuições Bidimensionais e Multidimensionais - Complemento 
Referências: Resumo Teórico 7, Rice – Cap 3, Montgomery e Runger – Cap. 5, Larson 
– Cap. 5 e Meyer – Cap. 6 e Cap. 7 
 
Função de distribuição de variáveis aleatórias bidimensionais (RT7 – Seção 7.4) 
Exemplo 1. Seja (X,Y) uma variável aleatória bidimensional do tipo contínuo com 
função de densidade de probabilidade conjunta 
 XY
1
f (x,y) 6 x y para 0 x 2 e 2 4
8
y      
 
Determinar a função de distribuição de (X,Y). 
Solução 
Inicialmente, considere-se (a exemplo do caso unidimensional) a extensão da definição 
da função de densidade para 2R apresentada a seguir 
 
XY
1
6 x y para 0 x 2 e 2 4
f (x,y) 8
0 para outros valores
y

     


 
Então, tem-se 
 
yx
XY UVF (x,y) P X x,Y y f (u,v) du dv
 
     
 
Evidentemente, para 
 2(x,y) R |x <0 ou y< 2
o integrando é nulo e tem-se 
XYF (x,y) 0
 
Por outro lado, para 
 2 2XY(x,y) R (x,y) R |0< x 2 e 2< y 4    
tem-se 
   
y y yx x
XY
0 2 0 2 2
1 1
F (x,y) P X x,Y y (6 u v) dvdu 6 u dv vdv du
8 8
 
          
 
 
   
 
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Distribuições Multidimensionais 
 
2 
 
     
x x
yy 2 2
XY 2 2
0 0
1 1 1 1
F (x,y) 6 u v v du 6 u (y 2) y 4 du
8 2 8 2
   
          
    
 
     
x x x x
XY
0 0 0 0
1 1 1 1
F (x,y) (y 2) 6 u y 2 du (y 2) 6 du u du y 2 du
8 2 8 2
 
                
 
   
 
   
xx x2 2
XY 0 00
1 1 1 1 1 1
F (x,y) (y 2) 6u u y 2 u (y 2) 6x x y 2 x
8 2 2 8 2 2
    
            
    
 
 XY
1 1 1 1 1
F (x,y) x(y 2) 6 x y 1 x(y 2) 12 x y 2
8 2 2 8 2
    
              
    
 
Ou seja 
 XY
1
F (x,y) x(y 2) 10 x y
16
   
 
Além disso, tem-se que: 
- para qualquer ponto na região 
 2 2XY(x,y) R (x,y) R |0< x 2 e y 4    
 
a integral 
 
yx
XY UVF (x,y) P X x,Y y f (u,v) du dv
 
     
pode ser calculada fazendo-se 
y = 4 na expressão 
 XY
1
F (x,y) x(y 2) 10 x y
16
   
o que fornece 
 XY
1
F (x,y) x 6 x
8
 
 
- para qualquer ponto na região 
 2 2XY(x,y) R (x,y) R |x 2 e 2 y 4     
 
a integral 
 
yx
XY UVF (x,y) P X x,Y y f (u,v) du dv
 
     
pode ser calculada fazendo-se 
x = 2 na expressão 
 XY
1
F (x,y) x(y 2) 10 x y
16
   
o que fornece 
 XY
1
F (x,y) (y 2) 8 y
8
  
 
Portanto, finalmente tem-se: 
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3 
 
i) para 
 2(x,y) R |x <0 ou y< 2
 
XYF (x,y) 0
 
ii) para 
 2 2XY(x,y) R (x,y) R |0< x 2 e 2< y 4    
 
 XY
1
F (x,y) x(y 2) 10 x y
16
   
 
iii) para 
 2(x,y) R |0< x 2 e y 4  
 
 XY
1
F (x,y) x 6 x
8
 
 
iv) para 
 2(x,y) R |x 2 e 2 y 4   
 
 XY
1
F (x,y) (y 2) 8 y
8
  
 
v) para 
 2(x,y) R |x 2 e y 4  
 
XYF (x,y) 1
 
 
Exemplo 2. Seja (X,Y) uma variável aleatória bidimensional do tipo contínuo com 
função de densidade de probabilidade conjunta 
(x y)
XY
para x 0 e 0
f (x,y)
0 para outros valores
e y   


 
Determine a função de distribuição 
Solução 
Nesse caso, tem-se 
 
yx
XY UVF (x,y) P X x,Y y f (u,v) du dv
 
     
 
Considerando-se a expressão de 
XYf (x,y)
é fácil perceber que o integrando é 
identicamente nulo para qualquer ponto tal que x < 0 ou y < 0, consequentemente, nessa 
região tem-se 
XYF (x,y) 0
 
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4 
 
Por outro lado, para a região em que x > 0 e y > 0 a integral é muito fácil de ser 
calculada 
 
y yx x
(u v) u v
XY
0 0 0 0
F (x,y) P X x,Y y du dv du dve e e         
 
       
yx
0 0
u v u v x y
XY
x y
0 0
F (x,y) P X x,Y y du dv 1 1e e e e e e             
 
Ou seja 
  x yXYF (x,y) 1 1e e   
 
Deve-se notar que as funções de distribuição marginais de X e de Y são: 
i) 
        x y x y xX XY
y y y
F (x) lim F (x,y) lim 1 1 1 lim 1 1e e e e e    
  
        
 
ii) 
        x y y x yY XY
x x x
F (y) lim F (x,y) lim 1 1 1 lim 1 1e e e e e    
  
        
 
e ainda que X e Y são independentes pois 
  x yXY X YF (x,y) 1 1 F (x)F (y)e e    
 
 
Determinação de uma distribuição condicionada (RT7 – Seção 7.2.5) 
Exemplo 3. O fluxo de veículos em uma estrada pouco movimentada pode ser abordado 
por um processo de Poisson. Assim sendo, considere-se que o número de automóveis 
que passam em certa estrada secundária é uma variável aleatória do tipo discreto com 
distribuição de Poisson, com taxa média igual a 1 automóvel a cada 4 minutos durante o 
período diurno. Na referida estrada existe uma loja de produtos regionais que funciona, 
diariamente, no horário das 8h às 18h. A partir de um levantamento estatístico foi 
estimada em 20% a probabilidade de um automóvel que passa naquela estrada parar na 
loja. Nessas condições, determinar: 
a) a distribuição de probabilidade do número de automóveis, N, que passam durante o 
intervalo de uma hora nessa estrada e, também, a distribuição do número de automóveis, 
X, que passam diariamente na estrada durante o período de funcionamento da loja; 
b) a distribuição do número de automóveis que param na loja condicionada ao número 
de automóveis que passam na estrada no horário de funcionamento da loja, (Y | X=x); 
c) a distribuição conjunta de X e Y; 
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5 
 
d) a distribuição marginal de Y; 
e) o valor esperado do número de automóveis que param diariamente na loja. 
Solução 
a) Nas condições estabelecidas, a variável aleatória N tem distribuição de Poisson de 
parâmetro 
λ 1automóvel / 4min 15automóveis / 60min 15automóveis / hora  
; logo a 
função de probabilidade de N é 
 15 n
N
15
p (n) para n 0,1,2,3,...
n!
e
 
 
Por outro lado, nas mesmas condições, considerando o período de funcionamento da 
loja – das 8h às 18h – tem-se: 
 
α 15.10 150 
 
Portanto, nesse caso X também tem distribuição de Poisson e a sua função de 
probabilidade é expressa por 
 150 x
X
150
p (x) para x 0,1,2,3,...
x!
e
 
 
b) Supondo que automóveis distintos parem na loja independentemente uns dos outros e 
admitindo homogeneidade dos automóveis no que diz respeito ao hábito de parar na 
loja, dado que passam x automóveis na estrada, a distribuição do número daqueles que 
param na mesma, (Y | X=x), é binomial, de parâmetros n = x e p = 0,2; portanto, a 
função de probabilidade da variável aleatória (Y | X=x) é 
 
y y x y
Y|X xp (y|x) 0,2 0,8 para y 0,1,2,..., xC
 
 
c) a distribuição conjunta de X e de Y é obtida por 
150 x
y y x y
XY X Y|X x
150
p (x,y) p (x)p (y|x) 0,2 0,8 para x 0,1,2,3,... e y 0,1,2,..., x
x!
C
e    
 
d) a distribuição de probabilidade marginal da variável aleatória Y que representa onúmero eventual de automóveis que param na loja é 
 150 x 150 x
y y x y y x y
Y x
x y x y
150 150 x!
p (y) 0,2 0,8 0,2 0,8
x! x! y!(x y)!
C
e e
  
 
 
 
 
 
ou seja 
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6 
 
150 x y+y 150 y y x y x y
y x y
Y
x y x y
150 x! 150 0,2 150 0,8
p (y) 0,2 0,8
x! y!(x y)! y! (x y)!
e e
     

 
 
  
 
donde 
     
y x y x y150 150 y
Y
x y x y
150 0,2 150 0,8 1200,30
p (y)
y! (x y)! y! (x y)!
e e
   
 
 
 
  
 
Fazendo agora a substituição de variáveis k=x-y na somatória, segue 
150 y k 150 y 30 y
120
Y
k 0
30 120 30 30
p (y) . para y 0,1,2,3,...
y! k! y! y!
e e e
e
  


   
 
Logo Y tem distribuição de Poisson de parâmetro 30. 
e) o valor esperado do número de automóveis que param na loja é 
 
 E Y 30
 
 
Distribuição Multinomial (RT7 – Seção 7.11.1) 
Exemplo 4. Em certa cidade, o mercado de seguros residenciais é dominado por duas 
grandes seguradoras – A e B – que detêm, respectivamente, 50% e 35%, dos seguros 
contratados, enquanto as demais possuem, em conjunto, uma participação de apenas 
15%. De acordo com os registros das seguradoras, atualmente há 50.000 apólices de 
seguros residenciais e as projeções feitas para o próximo ano, indicam que, além da 
renovação delas, serão vendidas mais 10.000 novas apólices de seguro residencial (um 
crescimento de 20% para o mercado), supondo-se mantidas as mesmas condições atuais 
para mercado securitário. Seja (X,Y,Z) a variável aleatória tri-dimensional que 
representa o número de novos seguros contratados, respectivamente, pelas seguradoras 
A, B e pelo grupo (C) formado por todas as demais. Nessas condições, determinar a 
distribuição de probabilidade dessa variável aleatória. 
Solução 
Como o número de apólices de seguro é muito grande, pode-se considerar que as 
frequências relativas correspondentes às participações de mercado das seguradoras são 
aproximadamente iguais às probabilidades contratação de uma nova apólice para A, B e 
C. Além disso, admitindo-se que proprietários de imóveis distintos contratem os seguros 
residenciais de forma independente uns dos outros, a variável aleatória tem distribuição 
multinomial (no caso, trinomial), de parâmetros: 
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7 
 
 n = 10.000, 
1 2 3 4p 0,35,p 0,30,p 0,25 e p 0,10   
 
Portanto, considerando a interdependência das três variáveis e exprimindo a última em 
termos das duas primeiras, a função de probabilidade da variável (X,Y,Z) é 
x y 10000 x y
XYZ XY
10000!
p (x,y,z) p (x,y) 0,50 0,35 0,15
x!y!(10000 x y)!
  
 
para x e y inteiros, sendo x 0, y 0 e x y 10000   
 
As distribuições marginais de X e de Y são: 
i) 
x 10000 x
X
10000!
p (x) 0,50 0,50 para x inteiro com 0 x 10000
x!(10000-x)!
  
 
ii) 
y 10000 y
Y
10000!
p (y) 0,35 0,65 para y inteiro com 0 y 10000
y!(10000-y)!
  
 
Note-se que as distribuições marginais são binomiais. 
 
Distribuição Hipergeométrica Multidimensional (RT7 – Seção 7.11.2) 
Exemplo 5. Na Pesquisa Mensal de Emprego, realizada pelo Instituto Brasileiro de 
Geografia e Estatística, as pessoas entrevistadas são classificadas em uma das seguintes 
categorias: (i) A - na força de trabalho e ocupada; (ii) B - na força de trabalho e 
desocupada; e (iii) C - fora da força de trabalho. Suponha que a pesquisa será realizada 
em uma localidade com 10.000 pessoas residentes. Suponha, também, que no período 
de referência da pesquisa os contingentes de pessoas integrantes das três categorias 
acima mencionadas sejam, respectivamente: 7.000, 5.000 e 2.500. Se a pesquisa for 
realizada selecionando-se uma amostra de 1.000 pessoas com igual probabilidade de 
seleção e sem reposição, determine a distribuição de probabilidade da variável aleatória. 
Solução 
Sejam as variáveis aleatórias definidas a seguir: 
X = número eventual de pessoas na categoria A; 
Y = número eventual de pessoas na categoria B; 
Z = número eventual de pessoas na categoria C. 
Considerando a interrelação que existe entre as variáveis X, Y e Z – expressa por 
X+Y+Z = 1.000 – e que desse modo a terceira variável pode ser descartada, 
exprimindo-a em termos das duas outras, a distribuição de probabilidade da variável 
aleatória (X,Y,Z) é hipergeométrica tri-variada e sua função de probabilidade é 
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x y 1000 x y
7000 500 2500
XYZ XY 1000
10000
p (x,y,z) p (x,y,1.000 x y) para 0 x 1000 , 0 y 500 e 0 1000 x y 1000
C C C
C
 
           
 
As distribuições marginais de X e Y são: 
i) x 1000 x
7000 3000
X 1000
10000
p (x) para x inteiro , com 0 x 1000
C C
C

  
 
ii) y 1000 y
500 2500
Y 1000
10000
p (y) para y inteiro , com 0 y 500
C C
C

  
 
Note-se que as distribuições marginais são hipergeométricas. 
 
Distribuição Normal Bidimensional (RT7 – Seção 7.11.4) 
Exemplo 6. O valor das vendas mensais de certa empresa, Y, e o valor de suas despesas 
mensais, X, tem distribuição normal bidimensional (X,Y), com os seguintes parâmetros:
X Y X Y XYμ 1500,μ 2920,σ 400,σ 300 e ρ 0,8    
 expressos na unidade R$ 1mil 
(exceto 
XYρ
) 
Nessas condições: 
a) Qual é a probabilidade de que o valor das vendas mensais seja superior a R$ 3840 
mil? 
b) Qual é a probabilidade de que o valor das despesas seja inferior a R$ 1599,22 mil 
sabendo-se que o valor das vendas foi R$ 1700 mil? 
c) Qual é a probabilidade do lucro da empresa estar compreendido entre R$ 1179,17 mil 
e R$ 1660,83 mil? 
Solução 
a) A componente Y tem distribuição normal: Y N(2920, 400) logo 
   
3840 2920 920
P Y >3840 P Z P Z P Z 2,30 0,5 H(2,30)
400 400
   
          
   
 
donde 
 P Y>3840 0,5 0,4893 0,0107  
 
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9 
 
b) A distribuição condicionada de X a um valor conhecido y de Y também é normal, 
sendo: 
     2 2 2XX|y X|y X|y X Y X|y X
Y
σ
X|Y y N μ ,σ com μ μ ρ (y μ ) e σ σ 1 ρ
σ
     
 
No caso, tem-se: 
   X|y
300
μ 1500 0,8 2470 2920 1500 0.8.0.75. 450 1500 0,6.450
400
       
X|yμ 1500 270 1230  
 
 2 2 2 2 2 2X|y X|yσ 300 1 0,8 300 .0,36 donde σ 300 .0,6 300.0,6 180     
 
Portanto {X | Y=1700} N(1230,180) e denotando {X | Y=1700} por T segue 
     
960 1230 270
P T <960 P Z< P Z< P Z< 1,5 P Z 1,5
180 180
    
        
   
 P T<960 0,5 H(1,50) 0,5000 0,4332 0,0668    
 
c) O lucro mensal da empresa é expresso por 
W Y X 
 ou seja é uma combinação 
linear de duas normais, X e Y; portanto, também tem distribuição normal. Isto é, tem-se 
  2 2 2W W W Y X W X Y X YW N μ ,σ com μ μ μ e σ σ σ 2ρσ σ    
 
No caso: 
2 2 2
W Wμ 2920 1500 1420 e σ 300 400 2.0,8.300.400 250000 192000 58000        
Logo 
 W W W WW N μ ,σ com μ 1420 e σ 58000 240,83  
e assim tem-se 
 
1179,17 1420 1901,66 1420
P 1179,17< W <1901,66 P Z
240,83 240,83
  
   
 
   
240,83 481,66
P 1179,17< W <1901,66 P Z< P 1< Z< 2 H(1)+H(2)
240,83 240,83
 
     
 
 
 P 1179,17< W<1901,66 0,3413 0,4772 0,8185  