Estatística - Resumo teórico 15.1

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ECO 1721 – Introdução à Estatística Econômica 
UNIDADE II – Inferência Estatística 
 
15. Testes sobre a variância de um universo normal 
Referências: Resumo Teórico 15, Montgomery e Runger – Cap. 9, Larson – Cap. 8 e 
Meyer – Cap. 15. 
 
Exemplo 1. Segundo especificações técnicas de fabricação, a variância do tempo de 
vida de certo tipo de bateria para automóvel não deve ser superior a 0,81 ano2. Em uma 
amostra aleatória de 10 baterias daquele tipo, observou-se que a variância de seu tempo 
de vida foi igual a 1,44 ano2. Admitindo-se que o tempo de vida das baterias possui 
distribuição normal, pergunta-se: 
a) Que conclusões podemos tirar sobre o atendimento das especificações de fabricação, 
ao nível de significância de 5%? 
b) Qual é o P-Valor correspondente à variância observada na amostra? 
 
Teste sobre a variância. 
Dados: n = 10 
2s 1,44
 
α 5%
 
a) 
Especificação do teste: 2
0
2
1
H : σ 0,81
H : σ 0,81
 


 
Estatística de decisão:   2
2
0
n -1 S
Q
σ

 
Valor observado da estatística 
Q
: 2
*
2
0
(n -1)s (10 1).1,44
Q 16,0
σ 0,81

  
 
Regra de decisão: *
0
*
0
se Q C aceita-se H
se Q C rejeita-seH
 


 
Sendo
C
o valor crítico do teste, para o qual tem-se 
 2νP χ C α onde ν n 1   
 
Então, no caso, 
 2 29 9;0,05ν 10 1 9 e P χ C α 0,05 donde C χ 16,92       
. 
2 
 
Comparando 
*Q 16,0
 com C = 16,92 verifica-se que 
*Q C
 e consequentemente 
deve-se aceitar 
0H
 com 
α 5%
. 
Conclusão: Não foram encontradas evidências de que as baterias estejam sendo 
fabricadas fora das especificações, uma vez que a variância dos tempos de vida 
observada na amostra não é significantemente maior do que 0,81 ano
2
, ao nível de 
significância adotado de 5%. 
 
b) 
O p-valor da estatística de decisão observada na amostra é 
p-valor: 
p=
   29P Q 16,0 P χ 16,0  
 
Efetuando interpolação linear com os valores da distribuição de qui-quadrado, tem-se: 
 
   2 29 9P χ 14,68 0,10 e P χ 16,92 0,05   
 logo 
valores áreas 
14,68 0,10 
16,00 A 
16,92 0,05 
 
E consequentemente tem-se: 
 
A 0,10 16,0 14,68 1,32
0,5893
0,05 0,10 16,92 14,68 2,24
 
  
 
 donde 
 
A 0,10 0,5893.0,05 0,10 0,0295 0,10 0,03 0,0705 0,071       
 
Assim, o p-valor correspondente à variância observada na amostra é 
 
p=
   29P Q 16,0 P χ 16,0 A 0,071 7,1%     
 
 
Exemplo 2. O tempo de vida das lâmpadas fabricadas por certa empresa possui 
distribuição normal de variância igual a 10 000 h2. Para melhorar a qualidade das 
lâmpadas, foi efetuada uma modificação em seu processo produtivo, tendo por objetivo 
diminuir a variabilidade dos tempos de vida das lâmpadas fabricadas. Após a 
modificação, o Departamento de Controle de Qualidade da empresa coletou uma 
amostra de 200 lâmpadas, escolhidas ao acaso do processo de fabricação, observando 
que sua variância é igual a 7 900 h2. 
3 
 
a) Ao nível de significância de 5%, que conclusões o Departamento de Controle de 
Qualidade pode tirar a respeito da modificação efetuada? 
b) Qual é o P-Valor correspondente à estatística de decisão observada na amostra? 
 
Dados: n = 200 
2s 7900
 
α 5%
 
a) 
Especificação do teste: 2
0
2
1
H : σ 10000
H : σ 10000
 


 
Estatística de decisão:   2
2
0
n -1 S
Q
σ

 
Valor observado da estatística 
Q
: 2
*
2
0
(n -1)s (200 1).7900
Q 157,21
σ 10000

  
 
Regra de decisão: *
0
*
0
se Q C aceita-se H
se Q C rejeita-seH
 


 
Seja C o valor crítico do teste, para o qual tem-se 
 2νP χ C α , onde ν n 1   
, 
ou seja 
 2νP χ C 1 α , com ν n 1    
. 
Então, no caso, 
 2199ν 200 1 199 e P χ C 1 α 1 0,05 0,95        
. 
Examinando a tabela da distribuição de qui-quadrado, verifica-se que o valor crítico 
procurado não se encontra diretamente disponível nela, porquanto não há valores da 
distribuição para 
ν 100
. Nesse caso deve ser empregada a aproximação de Fisher: 
 
   2ν
1
χ z 2ν 1 com z sendo um valor tal que P Z<z α
2
  
 
O valor correspondente da distribuição normal padronizada é 
 
 P Z<z 0,05 z 1,645  
 
Logo 
 
     
2 2 22
ν
1 1 1
χ 1,645 2.199 1 1,645 397 1,645 19,9249
2 2 2
        
 
donde 
 
 
22 2
ν
1 1 334,16
χ 1,645 19,925 (18,280) 167,08
2 2 2
    
 
4 
 
Comparando 
*Q 157,21
 com C = 167,08 verifica-se que 
*Q C
 e assim deve-se 
rejeitar 
0H
 , com 
α 5%
. 
Conclusão: Há evidência de que a modificação efetuada no processo produtivo diminuiu 
a variabilidade do tempo de vida das lâmpadas fabricadas, uma vez que o tempo de vida 
das lâmpadas observadas na amostra apresentou uma variância significantemente menor 
que 10.000 h
2
, ao nível de significância de 5%. 
b) O p-valor da estatística de decisão observada na amostra é 
 
p=
   2199P Q 157,21 P χ 157,21  
 
Empregando a aproximação de Fischer, tem-se: 
       P Z<z P Z< 2. 157,21 2. 199 1 P Z< 314,21 397 P Z<17,7260-19,9249      
 
     P Z<17,7260-19,9249 P Z < 17,73 - 19,92 P Z < -2,19   
 
 
 P Z 2,19 0,5 H(2,19) 0,5000 0,4857 0,0143      
. 
 Ou seja, 
1,43%p=
. 
 
Exemplo 3. O teor de nicotina dos cigarros de certa marca possui distribuição normal de 
variância desconhecida. Observando-se uma amostra aleatória de 8 cigarros daquela 
marca, verificou-se que a variância de seu teor de nicotina é igual a 5,76 mg2. 
a) Ao nível de significância de 5%, testar a hipótese de que a variância do teor de 
nicotina dos cigarros daquela marca é igual a 2,3 mg
2
. 
b) Determinar o P-Valor da variância do teor de nicotina dos cigarros observados na 
amostra. 
 
Dados: n = 8 
2s 5,76
 
α 5%
 
a) 
Especificação do teste: 2
0
2
1
H : σ 2,3
H : σ 2,3
 


 
Estatística de decisão:   2
2
0
n -1 S
Q
σ

 
Valor observado da estatística 
Q
: 2
*
2
0
(n -1)s (8 1).5,76
Q 17,5304 17,53
σ 2,3

   
 
5 
 
Regra de decisão:  
 
*
1 2 0
*
1 2 0
se Q C ,C aceita-se H
se Q C ,C rejeita-seH
 


 
Sendo os valores críticos do teste 
1 2C e C
, para os quais tem-se: 
 
   2 2ν 1 ν 2
α α
P χ C e P χ C , com ν n 1
2 2
     
 
ou seja 
   2 2ν 1 ν 2
α α
P χ C 1 e P χ C , com ν n 1
2 2
      
 
Então, no caso, para 
ν n 1 8 1 7    
 , tem-se as seguintes condições para os valores 
críticos: 
 
   2 27 1 7 2
α 0,05 α 0,05
P χ C 1 1 0,975 e P χ C 0,025
2 2 2 2
         
 
Portanto os valores críticos do teste são: 
2 2
1 7;0,975 2 7;0,025C χ 1,69 e C χ 16,01   
. 
Sendo 
*Q 17,53
 e 
   1 2C ,C 1,69 ; 16,01
 verifica-se que 
 * 1 2Q C ,C
 e, assim, 
deve-se rejeitar 
0H
 , com 
α 5%
. 
Conclusão: Há evidência de que a variância do teor de nicotina dos cigarros daquela 
marca é diferente de 2,3 mg
2
 , pois a variância observada na amostra selecionada é 
significantemente diferente desse valor, ao nível de significância de 5%. 
b) 
O p-valor da estatística de decisão observada na amostraé 
p-valor: 
p=
   272P Q 17,53 2P χ 17,53  
 
Efetuando interpolação linear com os valores da distribuição de qui-quadrado, tem-se: 
   2 27 7P χ 16,01 0,025 e P χ 18,48 0,010   
 
Logo, efetuando uma interpolação linear desses valores segue 
valores áreas 
16,01 0,025 
17,53 A 
18,48 0,010 
 
 
A 0,025 17,53 16,01 1,52
0,6154
0,010 0,025 18,48 16,01 2,47
 
  
 
 donde 
6 
 
 
A 0,025 0,6154 . 0,015 0,025 0,0092 0,0158    
 
Assim, 
p=    272P Q 17,53 2P χ 17,53 2A 2.0,0158 0,0316 3,16%      