Estatística - Resumo teórico 11

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Unidade II – Inferência Estatística – Cap. 11 – Estimação da 
Variância e do Desvio Padrão 
 
1 
 
ECO 1721 – Introdução à Estatística Econômica 
UNIDADE II – Inferência Estatística 
 
11. Estimação da Variância e do Desvio Padrão de um Universo 
Referências: Resumo Teórico 11, Rice – Cap. Montgomery e Runger – Cap. 8, Larson – 
Cap. 7 e Meyer – Cap. 14) 
 
11.1 Estimação por Intervalo de Confiança da Variância 
Exemplo 1. Uma amostra de onze unidades selecionadas da linha de fabricação de certo 
produto de uma indústria alimentícia apresentou uma variância igual a 7,08 g
2
 para os 
pesos brutos daquelas unidades. Admitindo-se que o peso bruto desse produto possui 
distribuição normal, estimar, ao nível de confiança de 90%, a variância do peso bruto 
daquele produto. 
 
Estimação da variância por intervalo de confiança. 
Dados: n = 11 
2s 7,08
 
1 α 90% α 0,10   
 
 Graus de liberdade: 
ν n 1 11 1 10    
 
 Na Tabela III: sendo Q ~ 
2
10χ
 e denotando por 
1 2κ e κ
os valores da distribuição 
 de qui-quadrado com 10 graus de liberdade, 
2
10χ
, necessários à construção do 
intervalo de confiança, tem-se: 
 
 210 1 1
0,10
P χ κ 1 0,95 κ 3,94
2
     
 
 
 210 2 2
0,10
P χ κ 0,05 κ 18,31
2
    
 
 Então os limites do intervalo de confiança para a variância são: 
 
il 
2
2
(n 1)s 10.7,08
3,8667 3,87
κ 18,31

  
 
 
sl 
 2
1
(n 1)s 10.7,08
17,9695 17,97
κ 3,94

  
 
 Logo, a estimativa por intervalo é: 
2σ
I  (3,87 ; 17,97)
 em g
2 
Juliana
Realce
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Variância e do Desvio Padrão 
 
2 
 
11.2 Estimação por Intervalo de Confiança do Desvio Padrão 
Exemplo 2. Em uma indústria de detergente é empregada certa máquina para encher 
automaticamente as garrafas plásticas com detergente líquido. A experiência passada 
permite afirmar que o volume de detergente que é despejado nas garrafas tem 
distribuição muito aproximadamente normal. Em certo dia, uma amostra de 21 garrafas 
foi selecionada ao acaso da produção para inspeção de qualidade, tendo-se apurado que 
a variância dos volumes dessas unidades foi igual a 16,74 ml
2
. Construa um intervalo de 
confiança para a estimativa do desvio padrão do volume de detergente despejado nas 
garrafas pela máquina, ao nível de significância de 5%. 
Dados: n = 21 
2s 16,74
 
α 0,05
 
 Graus de liberdade: 
ν n 1 21 1 20    
 graus de liberdade 
 Na Tabela III: sendo Q ~ 
2
20χ
 e denotando por 
1 2κ e κ
os valores da distribuição 
 de qui-quadrado com 20 graus de liberdade requeridos para a construção do 
intervalo de confiança, tem-se: 
 
 220 1 1
0,05
P χ κ 1 0,975 κ 9,59
2
     
 
 
 220 2 2
0,05
P χ κ 0,025 κ 34,17
2
    
 
 Limites do intervalo de confiança para a variância: 
 
il 
2
2
(n 1)s 20.16,74 334,80
9,7981 9,80
κ 34,17 34,17

   
 
 
sl 
2
1
(n 1)s 20.16,74 334,80
34,9114 34,91
κ 9,59 9,59

   
 
 Estimativa por intervalo da variância: 
2σ
I  (9,80 ; 34,91)
 em ml
 
 e 
 Limites do intervalo de confiança para o desvio padrão: 
 
il
 
 2
2
(n 1)s
9,7981 3,1302 3,13
κ

  
 
 
sl
 
 2
1
(n 1)s
34,9114 5,9086 5,91
κ

  
 
 Estimativa por intervalo do desvio padrão: 
σI  (3,13 ; 5,91)
 em ml
 
 
Juliana
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3 
 
Exemplos Adicionais 
 
Exemplo 3. Em certa indústria é utilizada uma máquina na fabricação de determinado 
tipo de peça cilíndrica. Sabe-se que o diâmetro desse tipo de peça produzido pela 
máquina tem distribuição normal. A máquina foi regulada para a produção de um 
grande lote de peças desse tipo encomendado por um cliente. Antes de iniciar a 
produção em escala, foi produzida uma série experimental de 10 unidades, cujos 
diâmetros foram medidos. Os valores obtidos, em centímetros, são mostrados a seguir: 
 25,1 25,4 25,9 25,2 25,6 25,3 25,0 25,8 25,5 25,4 
Estimar, ao nível de significância de 5%, a variância e o desvio padrão do diâmetro das 
peças produzidas pela máquina. 
 
Estimação da variância e do desvio padrão por pontos e por intervalo de confiança. 
Dados: n = 10 
α 0,05
 e a amostra observada 
 1 2 3 10x , x , x ,..., x
 = 
 (25,1 ; 25,4 ; 25,9 ; 25,2 ; 25,6 ; 25,3 ; 25,0 ; 25,8 ; 25,5 ; 25,4 ) 
Graus de liberdade: 
ν n 1 10 1 9    
 
Sendo nesse caso a estatística Q ~ 
2
9χ
 e denotando por 
1 2κ e κ
os valores dessa 
distribuição necessários para a construção do intervalo , tem-se: 
 
 29 1 1
0,05
P χ κ 1 0,975 κ 2,70
2
     
 
 
 29 2 2
0,05
P χ κ 0,025 κ 19,02
2
    
 
Então os limites do intervalo de confiança para a variância são os seguintes: 
 
il 
2
2
(n 1)s 9.0,0840
0,0397 0,04
κ 19,02

  
 
 
sl 
2
1
(n 1)s 9.0,0840
0,28 0,28
κ 2,70

  
 
Portanto a estimativa por intervalo da variância é: 
2σ
I  (0,04 ; 0,28)
 em cm
2 
e 
os limites do intervalo de confiança para o desvio padrão são: 
Juliana
Realce
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Variância e do Desvio Padrão 
 
4 
 
 
il
 
 2
2
(n 1)s
0,0397 0,1992 0,20
κ

  
 
 
sl
 
 2
1
(n 1)s
0,2800 0,5292 0,53
κ

  
 
 Logo a estimativa por intervalo do desvio padrão é: 
σI  (0,20 ; 0,53)
 em cm
 
 
 
Exemplo 4. Em uma indústria química pretende-se empregar um novo método para 
produção de certo composto cuja aceitação pelo mercado vem registrando elevado 
crescimento ultimamente. Para garantir a qualidade do produto, é necessário que as 
unidades produzidas apresentem grande homogeneidade, em particular no que diz 
respeito ao teor de álcool do composto. Na fase experimental de produção com o novo 
método, foi selecionada uma amostra de 36 unidades, as quais foram submetidas a 
análises em laboratório, para exame do teor de álcool, tendo-se verificado que a média 
foi igual a 10,38 % e o desvio padrão foi igual a 0,75 %. Admitindo-se que o teor de 
álcool no composto pode ser considerado uma variável aleatória que tem distribuição 
normal, estimar, ao nível de significância de 5%, o teor médio e o desvio padrão do teor 
de álcool do composto quando o novo método de fabricação é utilizado. 
 
Estimação por intervalo de confiança da média, com a variância do universo 
desconhecida, e do desvio padrão. 
Dados: n = 36 
x 10,38%
 
s 0,75%
 
α 5% 0,05 
 
Graus de liberdade: 
ν n 1 36 1 35    
 
Então segue: 
a) estimação da média com a variância do universo desconhecida 
 
 35
0,05
P T t 1 0,975
2
   
 
 Consultando a tabela da distribuição T de Student (Tabela II), por interpolação 
linear de valores resulta 
2,02 2,04
t 2,03
2

 
 
 Logoo erro de amostragem é: 
ε
=
2,03.0,75 1,5225
0,2538
636
 
= 0,25 
 Portanto a estimativa intervalar da média é: 
μI 
(10,13% ; 10,63%)
 
 
 
Juliana
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b) estimação da variância do universo: 
 Sendo nesse caso Q ~ 
2
35χ
 e denotando por 
1 2κ e κ
os valores da distribuição de 
qui-quadrado com 35 graus de liberdade, 
2
35χ
, requeridos para a construção do 
intervalo de confiança pretendido, tem-se: 
 
   2 235 1 35 2 2
0,05 0,05
P χ κ 1 0,975 e P χ κ 0,025 κ 18,31
2 2
        
 
 Consultando a tabela da distribuição de qui-quadrado (Tabela III) e fazendo 
interpolação linear de valores, tem-se: 
 
1 2
16,79 24,43 46,98 59,34
κ 20,61 e κ 53,16
2 2
 
   
 
 
 Sendo a estimativa pontual da variância 
2 2s 0,75 0,5625 
então os limites do 
intervalo de confiança são: 
 
il 
 2
2
(n 1)s 35.0,5625 19,6875
0,3703 0,37
κ 53,16 53,16

   
 
 
sl 
 2
1
(n 1)s 35.0,5625 19,6875
0,9552 0,96
κ 20,61 20,61

   
 
 e assim os limites do intervalo de confiança para o desvio padrão são: 
 
i 0,3703 0,6086 0,61l
   
 e 
s 0,9552 0,9773 0,98l
   
 
 Portanto a estimativa por intervalo de confiança para o desvio padrão é: 
 
σI  (0,61% ; 0,98%)