Aula 2 Medidas de Distâncias Diretas

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Aula 2 - MEDIDAS
 DE DISTÂNCIAS DIRETAS
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Aula 4 – Medidas de Distâncias Diretas
GRAMOMETRIA
É a parte da Topografia que estuda os processos e instrumentos empregados na medição dos alinhamentos entre pontos topográficos que pretende-se representar no desenho.
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Existem 05 tipos de distâncias a serem consideradas 
para a representação dos elementos geográficos do 
terreno em uma planta topográfica:
GRAMOMETRIA
 Distância inclinada;
 Distância horizontal;
 Distância vertical.
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GRAMOMETRIA
 Distância Esférica ou Elipsoidal:
É a distância projetada sobre a superfície elipsoidal, a qual será projetada sobre o plano de projeção cartográfica.
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GRAMOMETRIA
 Distância Plana:
É a distância elipsoidal projetada sobre um plano 
de projeção cartográfica
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GRAMOMETRIA
 Distâncias inclinada, horizontal e vertical:
Distância horizontal
Distância Inclinada
A relação entre as distâncias inclinada e horizontal é válida somente para pontos próximos, que se possa desconsiderar a curvatura da terra
Distância vertical
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Na mensuração, o comprimento de um
alinhamento pode ser obtido por:
1. Medições diretas
2. Medições indiretas
3. Medições eletrônicas
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GRAMOMETRIA
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Medições de Distâncias Diretas
Uma medição é considerada ‘direta’ se o instrumento usado na medição apoiar-se no terreno ao longo do alinhamento, ou seja, se for aplicado no terreno.
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 As primeiras medições eram feitas em termos de dimensões de partes do corpo humano, tais como:
 cúbito = distância da ponta do dedo médio da mão de um homem até o seu cotovelo (≊ 0,45 m) (construção da arca de Noé).
 braça = distância entre as pontas dos dedos médios das mãos de um homem com seus braços abertos (≊ 1,83 m).
 pé = distância da ponta do dedão do pé de um homem até a parte de trás do seu calcanhar.
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 O sistema métrico foi desenvolvido na França (1790) e todos os países do mundo o
utilizam, exceto Myanmar, Libéria, e USA.
 Metro = 1/10.000.000m (distância entre o equador ao polo norte)
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SISTEMA MÉTRICO
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 Em 1866, o Congresso dos USA legalizou o uso 
do sistema métrico, definindo um metro como
sendo 3,280833 pés, com base no 
comprimento a 0°C do Metro Protótipo
Internacional, mantida na França.
 Em 1959, o metro foi redefinido com igual a 
1.650.763,73 comprimento de onda do gás 
laranja-avermenhado do criptônio, igual a 3,280840 pés.
 Em 1983, a definição do metro mudou novamente para a distância percorrida pela 
luz em 1/229.792.458 segundo.
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Unidade de medida linear:
 - Sistema Métrico Decimal:
 
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	Múltiplos e submúltiplos do “METRO”
No Brasil, somente a partir de 1874 foi criado por lei o SISTEMA MÉTRICO DECIMAL.
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	Outras unidades:
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Medições a passos: a medição de distâncias a passos é útil para quase todo mundo.
O topógrafo pode usar as medidas a passos para fazer medições rápidas, ou checar medições.
Uma pessoa pode determinar o valor de seu passo médio contando o 
número de passos necessários 
para andar uma distância 
previamente definida:
 
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Medições a passos: 
Os passos tendem a ser mais curtos na subida de inclinações, e maiores nas descidas.
Assim, o topógrafo deve fazer a aferição dos seus passos em terrenos planos e inclinados.
Precisão das medidas a passos: 1/200 (planos), e 1/50 (inclinados).
Distância longa usa-se um contador mecânico, ou um podômetro.
 
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Hodômetro e Rodas de medição
Hodômetro: dispositivo 
acoplado em uma roda que faz 
a contagem e converte o número 
de resoluções para uma distância,
usando a circunferência da roda. 
É geralmente usado para 
levantamentos preliminares, e em linhas curvas.
Rodas de medição: roda montada em uma haste, onde o usuário empurrar a roda ao longo do comprimento a ser medido.
 
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3) Medições a Trena: 
Trenas de aço: começaram a ser 
usadas no início do século XX. Para as condições normais, as precisões obtidas são de 1/1000 a 1/5000.
Trenas de Fibra de Vidro: são mais duráveis, fortes e flexíveis, e não alteram o comprimento com as mudanças na temperatura e umidade. 
Quando são aplicadas forças de 
tração até 2,25 kg, as correções 
 são desprezíveis.
 
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3) Acessórios para as medições a trena: 
Balizas: usadas para marcar pontos no terreno e para alinhar a medição à terna. Possui comprimento de 2 e 3m, e são pintadas com faixas alternadas de vermelho e branco para torná-las mais visíveis.
 
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Nível de Bolha
3) Acessórios para as medições a trena: 
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3) Acessórios para as medições a trena: 
Fichas: são hastes de ferro usadas para marcar os fins das medições ao longo das trenadas, ou pontos intermediários de uma medição.
Prumos: é um peso suspenso por um fio ou arame, usado para estabelecer a linha vertical.
Nivéis de mão: é um dispositivo que ajuda o topógrafo a manter a trena horizontal enquanto realiza as medições.
 
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Piquete
3) Acessórios para as medições a trena: 
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A unidade adotada é o metro quadrado (ou centiare) porém, quando se trata de medidas de terra, denominada de medida agrária, a unidade de superfície adotada é o are (a) e corresponde ao quadrado de 10m de lados, ou seja, 100m²
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Unidade de superficie:
 - Sistema Métrico Decimal
 - Sistema Antigo Brasileiro
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Unidades de Superfície:
 	Qualquer unidade 
 linear elevada ao quadrado, pode virar unidade de área. 
	
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Aula 2 – Introdução às Medições
Medições
A topografia trabalha com medições de quantidades, 
cujo valor exato, ou verdadeiro, não pode ser, 
tais como:
 distâncias,
 alturas,
 volumes,
 direções, e
 pesos.
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Aula 2 – Introdução às Medições
Medições
 Quanto melhor for o equipamento, mais próximo do 
valor exato uma pessoa pode estimar um resultado, 
mas nunca será capaz de determinar esse valor 
absolutamente.
Um princípio fundamental em 
Topografia é que nenhuma 
medida é exata, e que o valor
verdadeiro da quantidade
nunca é conhecido.
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Aula 2 – Introdução às Medições
Exatidão x Precisão
Exatidão
 Refere-se ao grau de perfeição obtida nas
medições. 
Denota o quanto uma dada medida 
está próxima do valor verdadeiro da 
dimensão medida.
Precisão (ou acurácia aparente): é o grau de refinamento com que dada dimensão é medida.
Ex: Várias medidas de um objeto com valores 
próximos, a precisão é considerada alta.
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Exatidão x Precisão
Exemplo: 
 Considere três medições de uma distância
com uma trena de aço de 30m, obtendo-se os valores,
100,15m; 100,14m, e 100,16m.
 Depois foi descoberto que a trena tinha 30,02m de
comprimento.
 Assim, os valores medidos não são exatos, apesar de serem precisos.
Precisão: é o grau de 
refinamento com que dada 
dimensão é medida.
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Exatidão x Precisão
 Estas medidas podem ser exatas,fazendo uma 
correção numérica de 0,02m por comprimento de trena.
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Exatidão x Precisão
 Exemplo: Tiro ao alvo
 Preciso: quando os furos de bala ficarem muito 
próximos;
 Exato: quando os furos ficarem posicionados 
relativamente próximos ao centro do alvo.
O objetivo da topografia é fazer medições que sejam precisas e exatas.
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Aula 2 – Introdução às Medições
Na medição de distâncias, a precisão é
definida como a razão entre o erro da
medição e a própria distância medida, 
sendo reduzida para que o numerador seja a unidade.
Exemplo:
Se uma distância mede 1200m, e o erro estimado foi 
de 0,2m, a precisão da medição será:
0,2/1200 = 1/6000
Conclusão: a cada 6000m medidos, o erro 
deve ser de 1m.
Exatidão x Precisão
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- manutenção do alinhamento a medir;
- horizontalidade da trena;
- tensão uniforme nas extremidades.
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Erros nas Medições
 Não existe alguém cuja percepção seja perfeita o
suficiente para medir qualquer quantidade exatamente, e não existe instrumento perfeito que faça tal medição.
	
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Erros nas Medições - Fontes de Erros
 Existem três fontes de erros:
 o operador (erros operacionais),
 os instrumentos (erros instrumentais), 
 a natureza (erros naturais).
	Erros operacionais: ocorrem porque nenhum topográfo tem sentido perfeito de visão e tato.
Ex: Ao estimar a parte fracionária de um diastímetro, 
o topógrafo não consegue lê-la perfeitamente.
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Fontes de Erros
	Erros instrumentais: ocorrem porque os instrumentos não podem ser fabricados perfeitamente e as diferentes partes não podem ser ajustadas perfeitamente uma em relação à outra.
Ex: A parte fracionária de um diastímetro, pode ter erro de fabricação.
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Fontes de Erros
	Erros naturais: são causados por temperatura, vento, umidade, variações magnéticas, etc.
Ex: Em dias do verão, uma trena de aço pode aumentar o seu comprimento.
 O topógrafo não pode eliminar a causa desse tipo de erros, mas pode minimizar seus efeitos, fazendo correções matemáticas.
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 Tipos de Erros
	Erro Grosseiro: resultante da diferença para um valor verdadeiro, causado pela desatenção do topógrafo.
Ex 1: leitura de um valor errado do comprimento na trena: valor correto seria 27,5m, mas foi lido 26,5m.
Ex 2: Valor correto foi lido (27,5m), mas foi anotado na caderneta outro valor errado: 26,5m.
Obs.: Estes erros podem ser eliminados por uma 
verificação cuidadosa da medida.
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 Tipos de Erros
	Erro Sistemático ou Cumulativo: é o que, sob condições constantes, permanece o mesmo tanto em sinal, como em magnitude.
Ex: Uma trena de aço foi fabricada com 0,03m mais curta, e cada vez que essa trena for usada, o mesmo erro será cometido na medição.
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Tipos de Erros
Erro Aleatório ou Acidental: é aquele cuja magnitude e direção é desconhecida e fora do controle do topógrafo (resultante do operador e/ou equipamento).
Ex: Ao medir uma distância, o valor lido na trena pode ser maior, e na próxima vez, poderá ler um valor menor.
Obs.: São erros equivalentes 
em módulos, possuem sinais 
contrários, e tendem a 
compensar uns aos outros.
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Valor mais provável de observações (média aritmética
 simples): é a relação entre a soma dos valores das 
observações pelo número de observações efetuadas:
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Erro Aleatório ou Acidental - Definições
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Erro absoluto verdadeiro: é a diferença entre a medição 
de uma grandeza e o seu verdadeiro valor, em valor 
absoluto. 
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Erro absoluto médio (em): é a média aritmética dos 
erros absolutos cometidos em certo número de 
medidas ‘n’:
Erro Aleatório ou Acidental - Definições
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A qualidade de uma medição pode ser expressa pela 
indicação de um erro relativo.
Erro Aleatório ou Acidental - Definições
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Desvio, resíduo ou erro: avalia se a observação tem um 
erro por excesso (caso positivo) ou por falta 
(caso negativo):
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Erro Aleatório ou Acidental - Definições
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 Considerando a
medição de uma 
distância por várias
vezes, em cada 
medida esta poderá ser maior ou menor.
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Exemplos de Resíduo ou Desvios
Erro Aleatório ou Acidental - Definições
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 Os erros das medições não são conhecidos porque o valor verdadeiro da medição não é conhecido.
 Considera-se então, o valor verdadeiro da medição à média aritmética dos valores medidos.
No exemplo anterior, o valor mais provável será:
Xm = 96,94 m
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Erro Aleatório ou Acidental - Definições
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Erro provável pode ser para mais ou para menos, entre
os limites dentro do qual o erro provavelmente está.
 Se dissermos que dada medida é de 92,73 m e que há um
erro de 90% de ± 0,03m, isto significa dizer que, há 90% de
chance do erro seja ± 0,03m ou menos, e de 10% do erro seja maior.
 Se estas percentagens forem de 95%, ou 99,7%, as chances serão maiores para o erro ser menor ou igual a 0,03m.
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Erro Aleatório ou Acidental - Definições
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Discrepância e amplitude: quando se comparam as 
extremidades (valor máximo menos valor mínimo) de um 
conjunto de observações.
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Erro Aleatório ou Acidental - Definições
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Desvio-padrão (σ ou DM) ou Erro médio quadrático: é a 
média aritmética dos valores absolutos dos desvios das 
em relação a média,
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Erro Aleatório ou Acidental - Definições
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Desvio-padrão (σ) ou Erro médio quadrático: é a raiz 
quadrada do somatório dos quadrados dos resíduos, 
dividida pelos ‘n-1’ termos da amostra:
onde,
ν = resíduo
n = nº de observações da amostra
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Erro Aleatório ou Acidental - Definições
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Erro médio quadrático da média ou desvio 
padrão da média (m):
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Erro Aleatório ou Acidental - Definições
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Definições e conceitos importantes:
Erro tolerável (e t ): em algumas práticas topográficas, 
considera-se, normalmente o erro tolerável como o 
triplo do erro médio quadrático (ou desvio padrão):
et = 3 . σ
Obs: Existem várias formas para definição da 
tolerância dos trabalhos executados.
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Curva de Probabilidade
 Quase todas as medições em Topografia se adaptam a curva de probabilidade.
 Mostra a relação entre o tamanho do erro e a probabilidade de sua ocorrência.
 A curva de probabilidade fornece o método mais adequado
para se estudar a precisão de levantamentos, e também é um meio para estimar a precisão de futuros levantamentos.
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 Esta curva pode ser usada 
para estimar o comportamento 
mais provável dos erros aleatórios.
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Curva de Probabilidade
 A área azul escuro mostra que há uma chance de 50% do
erro de uma medição, cair nessa região, e uma chance de 50% cair fora (azul claro)
 O valor xp é denominado de erro provável (erro de 50%)
 Há diversos modos pelos quais os erros podem ser 
indicados, mas o mais comum deles é referir os erros ao desvio-padrão (σ)
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Curva de Probabilidade
 O desvio-padrão (σ) indica a confiabilidade de um conjunto de medições repetidas.
 Existe ponto de inflexão em cada lado da curva, a área
sob a curva, entre esses pontos, é igual a 68,3% da área total
 Os resíduos nos pontos de inflexão são chamados de
desvios-padrão ou erros-padrão
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Intervalos de confiança:
 
Se efetuássemos infinitas medições de uma certa grandeza, não obteríamoso mesmo resultado em todas elas. 
 Existe sempre uma dispersão dos valores que ocorre devido a erros aleatórios, e que, portanto, foge ao nosso controle. 
 Nesse caso, sendo ‘y’ o valor médio encontrado, constata-se, que aproximadamente 68,27% dos resultados encontrados estaria no intervalo (y ± σ). 
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Intervalos de confiança:
 
 Desse modo, se multiplicamos o desvio padrão experimental por um certo valor k, o intervalo (Y ± Kσ), contem uma certa porcentagem dos resultados obtidos. 
 Essa porcentagem é chamada de nível de confiança, 
enquanto que o intervalo a ela associado é denominado 
intervalo de confiança. 
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Exemplo 1 : Considere uma medição para materializar uma 
base topográfica, em que se tenha medido 06 vezes um 
alinhamento. Os valores foram obtidos com um aparelho
eletrônico com alcance de 1,5 km (em condições normais) e 
precisão nominal de 3mm + 3ppm.
Pede-se:
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a) A maior discrepância entre duas medidas:
A maior medida foi 128,44 m e a menor medida foi 128,40 m. 
Disc = (128,44 – 128,40) = 0,04 m = 4 cm
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b) O valor mais provável desta medida (média 
aritmética simples):
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c) O erro absoluto médio:
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 d) O desvio padrão das observações:
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 e) O desvio padrão da média:
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 f) O erro de tolerância:
 g) O erro relativo médio: é a relação entre o erro absoluto
Médio e o valor médio das observações:
Ou seja, a precisão foi aproximadamente de 1 m em 11.000 km
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 h) Se a precisão absoluto considerada foi de ±0,01%, isto
significa que a tolerância de erro, em qualquer medida, para um equipamento com alcance máximo de 1.500m, é igual a:
 i) Se a tolerância para uma precisão relativa foi de ±0,01%, a
tolerância para a medida da média das observações é:
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 j) A tolerância, considerando a precisão nominal do equipamento
de 10 mm ± 3 ppm, será de:
Obs: ppm = parte por milhão, ou seja, pode-se errar 3 mm em 
1.000.000 mm, ou, 3mm em 1 km
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 k) Precisão da amostra:
Todos os desvios (σi ) calculados, ficaram menores do que o erro tolerável (±0,018m), exceto o da medida 128,40m, assim esta medida deve ser eliminada. Faz-se novamente o tratamento estatístico com os novos dados, para verificar se levantamento ficou preciso (todos resíduos devem ficar abaixo da tolerância).
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