exercicio_resolvido_aula_07

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS
FACULDADE DE MATEMÁTICA
TUTORIA À DISTÂNCIA
Tutora: Liliane Silva Nascimento.
Disciplina: Álgebra I.
Exercício Resolvido - Aula 07 - Ideais Maximais e Números Primos
Questão 4: Sejam a, b, c ∈ Z+ inteiros positivos dados. Mostre que:
a ·mdc(b, c) = mdc(ab, ac).
Solução:
Seja m = mdc(b, c), pelo Teorema 2 da aula 6, Z ·m = Z · b+Z · c, portanto, existem r, s ∈ Z tais que
m = r·b+s·c. Temos que mostrar então que am = mdc(ab, ac), ou seja, que Z·(am) = Z·(ab)+Z·(ac).
Se x ∈ Z · (am) então existe um inteiro p tal que x = am · p ⇒ x = a · (rb + sc) · p ⇒ x =
(rp)ab+ (sp)ac⇒ x ∈ Z(ab) + Z(ac). Temos então Z · (am) ⊂ Z(ab) + Z(ac).
Por outro lado, se x ∈ Z(ab)+Z(ac), existem r′, s′ ∈ Z tais que x = r′ · (ab)+ s′ · (ac) = a · (r′b+ s′c).
E, como r′b + s′c ∈ Z · b + Z · c = Z · m, então existe um inteiro p′ tal que r′b + s′c = mp′. Daí,
x = am ·p′ ⇒ x ∈ Z(am), ou seja, Z · (am) = Z · (ab)+Z · (ac). Portanto, a ·mdc(b, c) = mdc(ab, ac).
Questão 5: Sejam a,m, n ∈ Z+ inteiros positivos dados. Mostre que:
mdc(a,m) = mdc(a, n) = 1⇒ mdc(a,mn) = 1.
Solução:
Para mostrarmos que mdc(a,m) = mdc(a, n) = 1 ⇒ mdc(a,mn) = 1, suponhamos, por absurdo,
que mdc(a,m · n) = b > 1. Daí, temos que b | a e b | m. Logo, se b | a e b | m, temos
que b = mdc(a,m) ou b | mdc(a,m), em ambos os casos temos absurdos, pois por hipótese, o
mdc(a,m) = 1.
Além disso, se b | a e b | n, temos que b = mdc(a, n) ou b | mdc(a, n), o que também é um absurdo.
Portanto, mdc(a,mn) = 1.
Questão 6: Seja I1 ⊂ I2 ⊂ I3 ⊂ ...In ⊂ ... uma cadeia de ideais de Z. Mostre que
I =
∞⋃
i=1
Ij
1
é um ideal de Z.
Solução:
Vamos mostrar, por indução sobre j, que I =
∞⋃
j=1
Ij é um ideal de Z:
• Para j = 2 temos I1 ⊂ I2 logo I1 ∪ I2 = I2, daí, segue que a união é um ideal, pois I2 é um
ideal.
• Para j = k vamos supor a proposição como verdadeira, ou seja, I1 ⊂ I2 ⊂ I3 ⊂ ...Ik logo I1 ∪
I2 ∪ ... ∪ Ik = Ik, que é um ideal de Z.
Agora, vamos mostrar para j = k + 1:
Temos I1 = Z·a ⊂ I2 = Z·b ⊂ ... ⊂ Ik = Z·m ⊂ Ik+1 = Z·n. Daí, temos que Z·m = Ik =
k⋃
j=1
Ij.
E, como Z · n é um ideal, vemos que:
1. 0 ∈ Z ·m ∪ Z · n, pois 0 ∈ Z ·m e 0 ∈ Z · n;
2. Agora, se x, y ∈ Z ·m ∪ Z · n tais que x = a · n ∈ Z · n e y = b ·m ∈ Z ·m então:
x− y = an− bm ∈ Z ·m ∪ Z · n, pois x− y ∈ Z · n já que Z ·m ⊂ Z · n;
3. Para todo q ∈ Z e x = a · n ∈ Z · n temos que q · a · n ∈ Z · n, logo Z · Z · n ⊆ Z · n. Daí,
segue que I =
∞⋃
j=1
Ij é um ideal de Z,∀ n ∈ N.
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