exercicio_resolvido_aula_05

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS
FACULDADE DE MATEMÁTICA
TUTORIA À DISTÂNCIA
Tutora: Liliane Silva Nascimento.
Disciplina: Álgebra I.
Exercício Resolvido - Aula 05 - Divisibilidade nos inteiros: O Máximo Divisor Comum
Questão 1: Determine, usando o algoritmo de Euclides os seguintes MDC's:
(i) MDC{24, 138}
Solução:
Pelo algoritmo de Euclides, temos que:
138 = 5× 24 + 18
24 = 1× 18 + 6
18 = 3× 6
Assim, mdc(24, 138) = mdc (24, 18) = mdc (18, 6) = 3.
(ii) MDC{143, 227}
Solução:
Pelo algoritmo de Euclides, temos que:
227 = 1× 143 + 84
143 = 1× 84 + 59
84 = 1× 59 + 25
59 = 2× 25 + 9
25 = 2× 9 + 7
9 = 1× 7 + 2
7 = 3× 2 + 1
2 = 1× 2
Assim, mdc(143, 227) = mdc (143, 84) = mdc (84, 59) = mdc (59, 25) = mdc (25, 9) = mdc (9, 7) =
mdc (7, 2) = mdc (2, 1) = 1.
1
Questão 4: Seja a um inteiro ímpar. Mostre que a2 − 1 é sempre divisível por 8.
Solução:
Seja a = 2k + 1, k ∈ Z, vamos mostrar que 8 | a2 − 1,∀ a ∈ Z. E, como 8 | a2 − 1 ⇒ a2 − 1 =
(2k + 1)2 − 1 = 4k2 + 4k.
Vamos mostrar ór indução sobre k:
• Se k = 1, então: 4 · (1)2 + 4 · (1) = 8.
Logo, vale para k = 1.
• Suponha que a afirmação seja válida para A(k). Vamos mostrar que a afirmação vale para
A(k + 1):
a = 2 · (k + 1) + 1 = 2k + 3
a2 = (2k + 3)2 = 4k2 + 12k + 9
a2 − 1 = 4k2 + 12k + 8
= 4k2 + 4k + 8k + 8
= (4k2 + 4k) + 8(k + 1).
Daí, temos que, por hipótese, 4k2 + 4k é divisível por 8 e, 8 · (k + 1) é divisível por 8.
Assim, 8 | a2 − 1.
2