ENG A49 ÔÇô 8. Esfor+ºos solicitantes

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ENG A49 – Isostática 
7. Esforços solicitantes 
Até agora, na análise de estruturas, consideramos forças 
externas e internas em função do elemento ou conjunto 
de elementos estudado. 
 
Mas, em cada elemento sob ação de forças também 
ocorrem esforços entre as múltiplas partículas que os 
compõem. 
 
Esses são chamados esforços solicitantes. Podem ser: 
tração/compressão, corte, flexão, torção 
Esforços internos em membros de estruturas 
A barra AB está em equilíbrio sob 
ação de F e – F. 
Se seccionamos a barra em um ponto 
qualquer C, cada uma das partes está 
em equilíbrio com os diagramas 
mostrados ao lado. 
As forças no ponto C são as que 
mantinham unidas as partes AC e CB. 
Essas forças são os esforços 
solicitantes na seção C. 
Todas as seções da barra AB estão 
submetidas a uma tração F. 
B 
C 
- F 
A 
F 
C 
A 
F 
- F 
C 
F 
- F B 
O elemento estrutural abaixo está submetido a apenas duas forças 
mas, não sendo uma barra reta, as forças que o mantêm em 
equilíbrio (P e –P) provocam momentos em relação às seções do 
mesmo, com exceção de A e C. 
Se o seccionarmos em D, precisaremos dos sistemas forças binários 
mostrados para equilibrar cada uma das duas partes. 
F é um esforço normal à seção, no caso, uma tração. A força V tende 
a cortar a barra ABC em D e é chamada força cortante. O momento 
do binário, M, tende a fletir a barra e é chamado momento fletor. 
Na estrutura abaixo, já analisada, tanto a estrutura toda como cada 
uma das barras que a compõem estão em equilíbrio sob ação das 
forças representadas. 
J 
Seccionando-se o elemento ABCD em J, 
precisamos dos sistemas força-binário 
representados na seção para que cada uma 
das partes esteja em equilíbrio. Aqui 
temos, também, um esforço normal (F), uma 
força cortante (V) e um momento fletor (M). 
Determine as forças 
internas 
(a) no membro ACF 
no ponto J e 
(b) no membro BCD 
em K. 
SOLUÇÃO: 
• Determine as reações e forças nas conexões de 
cada membro. 
:0 EM
     0m8.4m6.3N2400  FN1800F
Considere toda a estrutura como um corpo livre: 
7- 7 
Considere o membro BCD como corpo-livre: 
:0 BM
     0m4.2m6.3N2400  yCN3600yC
:0 CM
     0m4.2m2.1N2400  yBN1200yB
:0 xF 0 xx CB
Considere o membro ABE como corpo-livre: 
:0 AM   0m4.2 xB 0xB
  :0xF 0 xx AB 0xA
  :0yF 0N600  yy BA N1800yA
Do membro BCD: 
:0 xF 0 xx CB 0xC
• Corte o membro ACF em J. As 
forças internas em J são 
representadas por um sistema 
força-binário equivalente. 
Considere o corpo-livre AJ: 
:0 JM
   0m2.1N1800  MmN2160 M
• Corte o membro BCD em K. 
Determine o sistema força-binário 
equivalente às forças internas em 
K. 
Considere o corpo-livre BK: 
:0 KM
   0m5.1N1200  M
mN1800 M
:0 xF 0F
:0 yF
0N1200  V N1200V
Vigas 
Vigas são elementos estruturais projetados para suportarem 
cargas transversais a seus eixos ao longo de sua extensão. Em 
geral, são barras prismáticas longas e retas, freqüentemente, 
com seção transversal constante. 
As cargas podem ser concentradas, distribuídas ou associações 
dessas. 
Na maior parte das vezes as cargas são perpendiculares ao eixo 
da viga, provocando esforços internos de cisalhamento (corte) e 
flexão. 
Se as cargas forem inclinadas em relação ao eixo da viga 
provocarão também esforços normais. 
Tipos de carregamento 
P2 P1 
Cargas concentradas 
q 
Carga distribuída 
P2 
P1 
q 
Associação das duas 
P2 
P1 
q 
Nas três primeiras vigas os esforços internos são de cisalhamento e 
flexão. Na quarta, também há esforço de compressão entre a força 
inclinada e o apoio à esquerda. 
Classificação de vigas quanto ao sistema de apoio 
• As vigas são estaticamente determinadas se as reações de apoio 
envolverem somente três incógnitas. Caso contrário, as reações são 
estaticamente indeterminadas. 
Força cortante e momento fletor em uma viga 
• Deseja-se determinar o momento 
fletor e a força cortante no ponto 
C da viga. 
• Determine as reações de apoio. 
• Corte a viga em C e desenhe o 
diagrama de corpo livre para AC 
e CB. Convenciona-se que o 
sentido positivo para o sistema 
força-binário interno é como 
mostrado. 
• A partir das condições de 
equilíbrio, determine M e V ou 
M’ e V’. 
Obs. O livro passa a usar V’ e M’ ao invés de –V e – M para evitar confusão 
com a convenção estabelecida para os sentidos positivo e negativo dos 
esforços internos. Observe que, apesar dos sentidos opostos em AC e BC 
ambos são considerados positivos. 
Equações de equilíbrio 
∑ Fy = RA - P1 - w1.L1 - V = 0 V = RA - P1 - w1.L1 
L1 L2 
Considerando o trecho AC 
∑ MC = - MC + MC + MC + M = 0 M = MC - MC - MC 
w1.L1 P1 RA RA P1 w1.L1 
Considerando o trecho CB 
∑ Fy = V’ - P2 - P3 - w2.L2 + RB = 0 V’ = P2 + P3 + w2.L2 - RB 
∑ MC = -M’ - MC - MC - MC + MC = 0 
 
 M’ = MC - MC - MC -MC 
w2.L2 P2 P3 RB 
RB P2 P3 w2.L2 
Cálculo direto 
 
Observe que a força cortante em uma seção é igual à resultante das 
forças de cada lado da seção: 
 V = RA - P1 - w1.L1 ou V’ = P2 + P3 + w2.L2 - RB 
 
Da mesma forma, o momento fletor em uma seção é o momento 
resultante à esquerda ou à direita desta: 
 
M = MC - MC - MC ou M’ = MC - MC - MC -MC 
RB P2 P3 w2.L2 RA P1 w1.L1 
Para atender à convenção de sinais: 
Se o momento resultante na seção, das forças aplicadas à esquerda 
desta, for no sentido horário, o momento fletor é positivo. Se for no 
sentido anti horário, o momento fletor é negativo. 
Analisando-se pelo lado direito da seção vale a situação inversa. O 
momento fletor é positivo se o momento resultante à direita for no 
sentido anti horário. É negativo se o momento resultante à direita for 
no sentido horário. 
 
A força cortante também é positiva se o momento resultante à direita 
da seção for no sentido horário (para que isso ocorra, a resultante 
das forças à esquerda precisa ser orientada para cima). O cortante é 
negativo, no caso contrário. 
Vale a mesma regra para o lado direito da seção. Nesse caso, para 
que o momento resultante das forças à direita da seção seja no sentido 
horário, a resultante das forças à direita precisa ser orientada para 
baixo. 
Um modo prático de determinar os sinais dos esforços é 
relacionando-os à deformação associada da viga 
Para o momento fletor 
O momento fletor é positivo quando 
provoca tração na face inferior da viga 
e compressão na face superior. É o 
caso das vigas simplesmente apoiadas 
como a representada ao lado. 
q 
A viga se deforma como representado. 
(Evidentemente, a deformação está 
exagerada para que fique visível o que 
se quer mostrar.) 
Há um esforço de tração na face 
inferior e de compressão na face 
superior. 
O momento fletor é negativo 
quando provoca tração na face 
superior e compressão na face 
inferior da viga, como na viga em 
balanço. 
q 
A deformação exagerada ao lado 
destaca as forças de tração e 
compressão nas faces superior e 
inferior da viga, respectivamente. 
S1 
Para a força cortante 
Cortante positivo 
Efeito das forças externas na seção 
C 
C 
Cortante negativo 
Efeito das forças externas na seção 
Convenção dos sinais dos esforços nas seções 
Negativo Positivo 
Esforço normal ( N ) 
Força cortante ( V ) 
Momento Fletor ( M ) 
Exemplo: Determinar o momentofletor e a força cortante 
nos pontos C e D da viga 
P1= 60 kN 
q = 4kN/m 
P2= 40 kN 
A 
C D 
1,0 1,0 3,0 2,0 (m) 
1,5 0,5 3,5 (m) 
B 
Ex. 7.5; 7.15; 7.21 
Diagramas de momento fletor e força cortante 
Os esforços internos podem ser expresso por equações. As 
representações gráficas das funções obtidas são os diagramas dos 
esforços. 
 
As forças cortantes positivas são representadas acima do eixo e as 
negativas, abaixo. 
 
Nos Estados Unidos os diagramas de momento fletor são traçados 
da mesma forma: momentos positivos representados acima do eixo 
e negativos abaixo. O livro traça diagramas assim. 
No Brasil, a tradição é representar os momentos fletores associados 
às faces tracionadas das vigas. Assim, como de acordo com a 
convenção estabelecida, os momentos fletores positivos provocam 
tração na face inferior da viga, são representados abaixo do eixo. 
Os negativos provocam tração na parte superior da viga e são 
representados acima do eixo. 
As funções são melhor compreendidas através de exemplos. O 
primeiro é o de uma viga bi apoiada com uma carga concentrada 
no meio do vão. 
P 
A 
L 
L/2 L/2 
B 
As reações de apoio são RA = RB = P/2 
Calculando-se a partir da esquerda da seção C, a força cortante 
na mesma é: VC = RA = P/2. A força cortante é constante entre 
as cargas concentradas. De acordo com a convenção de sinais, 
é positiva nesse trecho 
 
O momento fletor em C é: MC = RA . x = P. x/2. O momento 
fletor varia linearmente entre as cargas concentradas. 
P 
A 
C 
L 
L/2 L/2 
B 
RA 
RB 
x 
D E 
As equações se mantêm até o ponto de aplicação da carga. Nesse 
ponto há descontinuidade das funções. Se tomarmos uma seção E, 
imediatamente à direita do ponto de aplicação da carga: 
 
VE = RA – P = P/2 – P = - P/2 
No ponto de aplicação da carga o cortante tem uma variação brusca 
igual ao valor da mesma. De acordo com a convenção de sinais, 
passa a ser negativa. Esse valor se mantém até o apoio B. 
 
No meio da viga: MD = RA . x = (P/2). (L/2) = P.L/4 
Na seção E: ME = RA . x - P . (x – L/2) = (P/2). x – P. x + P.L/2 
ME = (P/2). (L – x) – continua variando linearmente mas muda a 
inclinação da reta. 
 
Imediatamente à esquerda do apoio B: 
O valor de V não se altera: VC = RA – P = P/2 – P = - P/2 
 
M = RA .L – P. (L/2) = (P/2).L – P.(L/2) = 0 
Diagramas dos esforços 
P/2 
P/2 (+) 
(-) 
Força cortante 
Momento fletor 
P.L/4 Brasil 
 Livro - EEUU 
P 
A 
C 
L 
L/2 L/2 
B 
RA 
RB 
x 
P.L/4 
Viga bi apoiada com carga distribuída uniforme 
q 
A B 
L 
Reações de apoio: RA = RB = (q.L)/2 
q 
A B 
L 
RB RA 
C x 
A força cortante em uma seção qualquer C é: 
VC = RA – q. x = (q.L)/2 - q. x = q. (L/2 – x) A força cortante varia 
linearmente no trecho de carga distribuída uniforme. É positiva 
enquanto x ˂ L/2, igual a zero quando x = L/2 e negativa quando x > L/2. 
O momento fletor em C é: 
MC = RA. x – (q. x).(x/2) = (q.L/2). x – (q. x).(x/2) 
MC = (q/2) . (L.x – x 2) O momento fletor varia segundo uma 
 parábola de segundo grau 
Diagrama de força cortante 
V = RA – q. x = q. (L/2 – x) 
 
Em A: x = 0 VA = RA = (q.L)/2 
 
No meio do vão: x = L/2 
V = q. (L/2 - L/2) = 0 
 
Em B: x = L 
VB = q. (L/2 – L) = - (q.L)/2 
VB = -RB 
L/2 L/2 
q.L/2 (+) 
(-) q.L/2 
q 
A B 
L 
RB RA 
C x 
 Diagrama de momento fletor 
M = (q/2) . (L.x – x 2) 
Em A: x = 0 MA = 0 
 
No meio do vão: x = L/2 
M = (q/2) . [L.L/2 – (L/2) 2] 
M = (q. L 2)/8 
 
Em B: x = L 
MB = (q/2) . (L.L – L
2) 
MB = 0 
 
 Livro - EEUU 
Brasil 
q 
A B 
L 
RB RA 
C x 
q. L 2/8 
q. L 2/8 
Viga em balanço com carga concentrada 
Reações de apoio 
RA = P 
MA = P.d 
 
Força cortante em uma seção C 
Até P: V = RA= P 
Adiante de P: V = RA- P = 0 
 
Momento fletor em C 
Até P: M = - MA + P. x 
Para x = 0 M = - MA 
Para x = d M = 0 
Para x > d M = -MA+P.d = 0 
d 
P 
A 
d 
P 
A 
RA 
MA 
x 
C 
(+) P 
P.d 
P.d 
F. Cortante 
M. Fletor Brasil 
EEUU 
Viga em balanço com carga distribuída q 
A C 
l 
x 
RA 
q 
A C 
l 
x 
MA 
Reações de apoio 
RA = q.l 
MA = q.l.(l/2) = (q. l
2)/2 
 
Força cortante em uma seção C 
Até B: V = RA- q. x 
Para x = 0 V = RA 
Para x ≥ l V = RA- q.l = 0 
 
Momento fletor em C 
Até B: M = -MA+(q. x).x/2 = -MA+(q. x2)/2 
Para x = 0 M = - MA 
Para x ≥ l M = 0 
B 
(+) q.l 
As funções sofrem descontinuidade nas seções onde atuam forças 
ou binários. Portanto devem ser definidas para os intervalos entre 
esses. 
Exemplos: Trace os diagramas de força cortante e momento fletor 
para as duas vigas abaixo. 
0,30m 
0,80m 
0,25m 
0,10m 0,15m 
2,00 kN 
8,00 kN/m 
Relação entre carga, força cortante e momento fletor 
 
xwV
xwVVVFy

 0:0


D
C
x
x
CD dxwVV
w
dx
dV
• Relação entre carga e cortante: 
 
 2
2
1
0
2
:0
xwxVM
x
xwxVMMMMC



 
• Relação entre cortante e momento fletor: 


D
C
x
x
CD dxVMM
V
dx
dM
Exemplos: 7.29 a 7.32; 7.34; 7.37; 7.41; 7.50; 7.64; 7.71; 
7.81; 7.83