Matemática elementar_Exponenciais

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01/12/2014 Matemática elementar/Exponenciais ­ Wikilivros
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Matemática elementar/Exponenciais
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Índice
1 Definição de Potência
2 Operações com Potências
2.1 Multiplicação
2.1.1 Com a mesma base
2.1.2 Com o mesmo expoente
2.1.3 Com a mesma base e o mesmo expoente
2.2 Divisão
2.2.1 Com a mesma base
2.2.2 Com o mesmo expoente
2.2.3 Com a mesma base e o mesmo expoente
3 Equações envolvendo potências
3.1 Equações do tipo af(x) = bg(x)
3.1.1 Exemplo
3.2 Equações do tipo f(ax) = 0
3.2.1 Exemplo
4 Inequações envolvendo potências
5 Gráficos de funções exponenciais
6 Exercícios
7 Ver também
Definição de Potência
Em matemática, potências são valores que representam uma multiplicação sucessiva de um número, ou
seja, representam o mesmo número multiplicado algumas vezes por si mesmo. Uma potência é composta
por um número, chamado base, que é multiplicado sucessivamente por si mesmo; e por um índice,
chamado expoente, que diz o número de vezes que a base é multiplicada por si mesmo. As potências
apresentam­se na forma  , onde n é o expoente e x é a base.
A potência  , por exemplo, indica que a base, o número 4, será multiplicada sucessivamente 3 vezes
por si mesma, ou seja  . Se o expoente é 1, então o resultado tem o valor da base (
), enquanto que com um expoente 0, devido a regras de operações feitas diretamente com
potências, o resultado é sempre igual a 1 (  = 1).
A regra para o expoente zero pode parecer estranha. Mas se não fosse assim, todas as propriedades de
potências ficariam mais complicadas. Além disto, quem olhar um gráfico de uma função exponencial vai
ver que não poderia ser de outra forma. Enfim, tudo induz para que aceitemos esta forma de definir as
potências com expoente 0.
Operações com Potências
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Existem várias regras que visam facilitar a resolução de potências. É possível multiplicar e dividir
qualquer par de potências que possuam a mesma base, o mesmo expoente, ou os dois iguais.
Multiplicação
Com a mesma base
Para multiplicar duas
potências com as bases iguais
e expoentes diferentes,
mantém­se a base e somam­se
os expoentes.
Com o mesmo expoente
Para multiplicar duas
potências com os expoentes
iguais e bases diferentes,
mantém­se o expoente e
multiplicam­se as bases.
Com a mesma base e o mesmo expoente
Para multiplicar duas
potências com os expoentes
iguais e as bases também
iguais, pode­se utilizar
qualquer uma das regras.
Divisão
Com a mesma base
Para dividir duas potências
com as bases iguais e
expoentes diferentes, mantém­
se a base e subtraem­se os
expoentes.
Com o mesmo expoente
Para dividir duas potências
com os expoentes iguais e
bases diferentes, mantém­se o
expoente e dividem­se as
bases.
Com a mesma base e o mesmo expoente
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 (1)
Para dividir duas potências
com os expoentes iguais e as
bases também iguais, pode­se
utilizar qualquer uma das
regras.
(1) ­ Este caso nos dá mais um motivo para tomarmos qualquer potência com expoente 0 como sendo
igual a 1. Como   e   então  .
Observe que isto não é a prova que   pois foi utilizada uma propriedade para subtrair os
expoentes, propriedade esta que, para ser provada, necessita que seja considerado   , logo, não
pode ser provada utilizando a equação acima.
Equações envolvendo potências
Equações do tipo af(x) = bg(x)
Equações do tipo
onde a é uma constante são resolvidas simplesmente igualando­se f(x) a g(x).
No caso mais geral:
é preciso, primeiro, converter uma (ou ambas) bases para que as duas bases fiquem iguais.
Exemplo
Resolva:
O primeiro passo é transformar as bases. No caso, pode­se transformar   ou 
(exercício), mas é bem mais simples transformar   e  :
Aplicando a propriedade  :
Agora temos uma equação da forma  :
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Verificando:
 (ok)
Equações do tipo f(ax) = 0
As equações do tipo
são resolvidas de forma análoga à biquadrada. Lembrando: uma biquadrada   é
resolvida pela substituição  . Resolve­se a equação em y, e, com o(s) valor(es) de y, resolve­se a
equação em x.
Exemplo
Resolva a equação
De novo, como temos bases diferentes, é conveniente reescrever tudo para a mesma base. Como 
, temos:
Usando agora a propriedade  :
Ainda temos um problema! É preciso transformar   em uma expressão onde   esteja isolado.
Para isto, vamos usar a propriedade  :
Então a expressão fica:
Resolvendo:
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
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Ou seja, as duas raízes são:
A primeira solução, y = ­3, gera uma equação sem solução em x, porque   é sempre um valor positivo
e não pode ser igual a ­3.
A segunda solução fornece:
Ou seja:
x = ­1
Verificando, temos que:
 (ok)
Inequações envolvendo potências
Gráficos de funções exponenciais
Exercícios
Ver Exercícios
81²+81²+81²=
Ver também
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