Lista 4

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MAT 012 1o¯ Sem. 2015 Prof. Rodrigo
Lista 4: Interpolac¸a˜o Polinomial
1. Seja f(x) =
√
1 + x e considere os pontos x0 = 0, x1 = 0.6 e x2 = 0.9. Construa um
polinoˆmio de grau 2 que interpola estes dados. Usando este polinoˆmio, estime f(0.45)
e determine o erro absoluto cometido.
2. Sejam f(x) =
√
x− x2 e P2(x) o polinoˆmio que interpola f(x) em x0 = 0, x1 = ? e
x2 = 1. Encontre o maior valor de x1 em (0, 1) tal que f(0.5)− P2(0.5) = −0.25.
Dica: usar a forma de Lagrange para construir o polinoˆmio.
3. A tabela de diferenc¸as divididas para uma func¸a˜o f e´ dada por
x0 = 0 f [x0]
f [x0, x1]
x1 = 0.4 f [x1] f [x0, x1, x2] = 50/7
f [x1, x2] = 10
x2 = 0.7 f [x2] = 6
a) Determine os valores desconhecidos da tabela.
b) Encontre o polinoˆmio (na forma de Newton) que interpola f em x0, x1 e x2.
4. Use diferenc¸as divididas para aproximar f(0.3) a partir dos dados:
f(0.0) = 15, f(0.2) = 21, f(0.4) = 30, e f(0.6) = 51.
5. Seja f(x) = (4x− 7)/(x− 2) e x0 = 1.7, x1 = 1.8, x2 = 1.9 e x3 = 2.1.
a) Estime f(1.75) usando um polinoˆmio (na forma de Newton) que interpola f(x)
nos pontos x0, x1 e x2.
b) Sem calcular novamente a tabela de diferenc¸as divididas, determine o polinoˆmio
que interpola x0, x1, x2 e x3 e estime f(1.75) usando este novo polinoˆmio.
c) Calcule os erros absolutos cometidos nos itens a) e b).
6. Considere a tabela
x 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40
f(x) 0.12 0.16 0.19 0.22 0.25 0.27
Usando um polinoˆmio interpolador de grau 2, obtenha o valor de x tal que f(x) = 0.23.
E´ poss´ıvel resolver este problema de duas formas diferentes. Quais?
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7. O polinoˆmio p(x) = 2 − (x + 1) + x(x + 1) − 2x(x + 1)(x − 1) interpola os quatro
primeiros pontos da tabela abaixo:
x -1 0 1 2 3
f(x) 2 1 2 -7 10
Encontre um novo polinoˆmio q(x) que interpola toda a tabela acima adicionando so-
mente um termo ao polinoˆmio p(x). Justifique a construc¸a˜o.
8. Considere o problema de aproximar f(x) = sen(x) por um polinoˆmio de grau 9 que
interpola f(x) em 10 pontos do intervalo [0, 1] (os pontos podem na˜o ser igualmente
espac¸ados). Encontre um limitante superior para o erro |f(x)− p9(x)|.
9. Considere o problema de interpolar a func¸a˜o f(x) = ex−1 com um polinoˆmio de grau 12
usando 13 no´s no intervalo [−1, 1]. Determine um limitante superior para |f(x)−p12(x)|
em [−1, 1].
10. Seja f(x) = x − 9−x. Sabendo que a equac¸a˜o f(x) = 0 tem uma soluc¸a˜o em [0, 1],
encontre o polinoˆmio p(x) que interpola f(x) em x0 = 0, x1 = 0.5, x2 = 1. Resolva a
equac¸a˜o p(x) = 0 para determinar uma aproximac¸a˜o para a raiz de f(x).
11. Seja
pn(x) =
n∑
k=0
Lk(x)f(xk),
o polinoˆmio que interpola f(x) em x0, x1, . . . , xn escrito na forma de Lagrange. Mostre
que
n∑
k=0
Lk(x) = 1 para todo x.
Dica: interpole a func¸a˜o f(x) = 1 e utilize o fato de que se um polinoˆmio de grau n
se anula em n+ 1 pontos distintos, esse polinoˆmio e´ identicamente nulo.
12. Sejam xi = ih e xi+1 = (i + 1)h, onde i e´ inteiro e h > 0 e´ fixo. Considere a func¸a˜o
g(x) = (x− xi)(x− xi+1). Mostre que
max |g(x)| = h2/4, no intervalo [xi, xi+1].
13. Considere o problema de interpolar uma func¸a˜o f(x) linearmente no intervalo [x0, x1].
a) Mostre que a func¸a˜o φ(x) = |(x− x0)(x− x1)| atinge um valor ma´ximo no ponto
me´dio do intervalo [x0, x1] e que este valor ma´ximo e´ dado por (x0 − x1)2/4.
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b) Utilizando o resultado do item a), mostre que o limitante superior para o erro e´
dado por
|f(x)− p1(x)| ≤ M
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(x0 − x1)2, onde |f ′′(x)| ≤M para todo x ∈ [x0, x1].
14. Deseja-se construir uma tabela que contenha valores de f(x) = ex para pontos igual-
mente espac¸ados no intervalo [0, 1]. Qual deve ser o menor nu´mero de pontos desta
tabela para que a interpolac¸a˜o linear de f(x) tenha erro absoluto menor que 10−6
qualquer que seja x ∈ [0, 1]? Dica: analise o que acontece em um intervalo [xi, xi+1],
sabendo que a interpolac¸a˜o e´ linear.
15. Seja pn o polinoˆmio de grau ≤ n tal que pn(xi) = yi para 0 ≤ i ≤ n. Mostre que
pn = pn−1 se, e somente se, pn−1(xi) = yi para 0 ≤ i ≤ n.
16. Considere a func¸a˜o erro definida por
erf(x) =
2√
pi
∫ x
0
e−t
2
dt
Esta integral na˜o pode ser resolvida usando func¸o˜es elementares, sendo portanto ne-
cessa´ria uma te´cnica de aproximac¸a˜o.
a) Utilize a expansa˜o de Taylor de se´tima ordem em torno de x = 0 para construir
uma tabela para erf(x) nos pontos xi = 0.2i com i = 1, 2, . . . , 5.
b) Use interpolac¸a˜o linear e quadra´tica para obter uma aproximac¸a˜o para erf(1/3).
Qual aproximac¸a˜o e´ mais via´vel? Fac¸a gra´ficos para justificar sua ana´lise.
17. Verifique se existem e sa˜o u´nicos os polinoˆmios p(x) de graus 2 e 3 que satisfazem as
seguintes condic¸o˜es: p(0) = 0, p(1) = 1, p′(0.5) = 2. Dica: resolva este exerc´ıcio
usando a te´cnica de obter o polinoˆmio atrave´s da resoluc¸a˜o de um sistema linear.
18. Considere o problema de interpolar a func¸a˜o f(x) =
∫ x
0
e−t
2
dt usando uma tabela de
valores de x tais que 0 ≤ x ≤ 1, com h = 0.01, ou seja, os valores de x sa˜o igualmente
espac¸ados dentro do intervalo [0, 1]. Desejamos utilizar interpolac¸a˜o linear. Fornec¸a
um limitante superior para o erro neste caso.
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