pot01_Estruturas_Algebricas

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Universidade Aberta do Brasil 
Universidade Federal do Ceará 
Instituto UFC Virtual 
 
 
 
Atividade de Portfólio 01 
Aula 01: Relação de Equivalência e Operação Binária 
A solução do exercitando do Tópico 1, no Texto, e dos exercícios 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9 e 10 
da lista de exercícios da aula 1 que se encontra no material de apoio. 
 
Tópico 01 
Exercitando 
Mostre que toda partição de um conjunto não vazio A determina uma relação de 
equivalência em A e conclua que podemos identificar as relações de equivalência em A 
com as partições de A. 
Qualquer relação do tipo : x - y = k.m, em que k, m é uma relação de equivalência 
em . Estabeleceremos que as classes de equivalência (a barra) dessa relção são do 
tipo: 
 
E o conjunto de todas as classes de equivalência que também é chamado de conjunto 
quociente será: 
Z/m = 
 
 
Lista de Exercícios 
2 - Encontre os conjuntos quocientes das relações de equivalência do exercício 1 da 
lista. 
No exercício 1, apenas o item a apresenta relação de equivalência pois: 
a) 
É reflexiva: 
É simétrica: 
É transitiva: 
 
Assim, para encontrar o conjunto quociente temos: 
n/U = , onde U é a relação de equivalência em N por: 
 por cada x N, assim: 
 
 
Tendo que , logo analogamente C1 = N 
Logo o conjunto quociente será: 
n/U = {C1, C2, C3,...CN} com Cx = N, pois 
 
3 - Verifique quais das seguintes relações, no conjunto dos números inteiros, são 
relações de equivalência. 
a) 
 
 
Logo não é relação de equivalência. 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Somando as duas relações temos: 
 
Como 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pela soma das relações: 
(x + y) + (y + z) = 3k1 + 3k2 x + 2y + z = 3(k1 + k2) 
x + 2y + z x + z 
Logo não é relação de equivalência. 
 
d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Não é uma relação de equivalência. 
 
e) X 
É reflexiva: 
É simétrica: 
É transitiva: 
 
é uma relação de equivalência. 
 
4 - Encontre os conjuntos quocientes das relações de equivalência do exercício 
anterior. 
b) Z/U = { } 
e) Z/X = { {2, 4, 6, 8},{3, 5, 7}} ou Z/X = { } 
 
5 - Verifique quais das seguintes relações, no conjunto R dos números reais, são 
relações de equivalência. 
a) 
Não é relação, pois 
 
b) 
Não é relação, pois 
 
c) 
É reflexiva: 
É simétrica: 
É transitiva: 
 
É um relação de equivalência 
 
d) 
Não é uma relação, pois 
 
Tese que yXx 
 
 
 
 
 
 
 
assim temos: |-x| = |-y| 
 
e) 
Não é relação, pois: 
 
 
7 - Mostre que a igualdade 
 
 
 é uma operação no conjunto 
dos inteiros Z, que não é comutativa mas é associativa. 
Se uma operação no conjunto dos inteiros, logo: 
 
 
 
 
 
Logo, é comutativa. 
 
 
 
 
 
Logo, não vale a associativa. 
8 - Verifique quais das igualdades definem operações nos conjuntos indicados: 
Somente o item a e b definem operações do conjunto: 
a) 
d) 
 
9- Das igualdades da questão anterior que são operadores nos respectivos conjuntos, 
verifique quais delas são: 
a) Associativas. 
b) Comutativas. 
c)Possui elemento neutro. 
d) Possui elemento inverso. 
item a 
A = {-2,-1, 0, 1, 2} sendo que a b = |b| 
 
 
 
 
 
 
 
 
|b| = |a|, a e b teriam que ser iguais ou inversos, mas o símbolo de indica que vale para 
todo a e b. 
 
III) Suponha que 
 
Se tem elemento neutro, logo: 
 
|j| = |a| = a(absurdo) 
Logo não possui elemento neutro. 
 
IV) Se não possui elemento neutro, logo não possui inverso. 
 
item d 
B = {1, 2, 3, 4, 5} sendo que a b = MDC{a,b} 
I) a, b e c B 
 
 
logo, vale a associativa. 
 
II) 
MDC{a, b} = MDC{b, a} (v). Logo vale a comutativa. 
 
III) Suponha que 
 
 
Logo não possui elemento neutro. 
 
IV) Se não possui elemento neutro, logo não possui inverso. 
 
10 - Mostre que o número de operações em um conjunto finito com n elementos é 
exatamente n
(n²)
. 
Por definição uma operação é uma função, logo: 
 
A = {1, 2, 3,...,n} 
Temos que: Card(AxA) = n², pois: 
(a, b) {1, 2, 3,...,n} x {1, 2, 3,...,n} 
n n 
Fazendo a relação por conjunto temos: ( 
 
 )