pot03_Estruturas_Algebricas

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Universidade Aberta do Brasil 
Universidade Federal do Ceará 
Instituto UFC Virtual 
 
 
Atividade de Portfólio 03 
Aula 03: Grupos 
Portfólio da Aula 3, a solução dos exercitando 1, 2, 3 e 4 do Tópico 2, no Texto, e dos 
exercícios 1, 3, 5, 6, 8 e 10 da lista de exercícios da Aula 3. 
 
Tópico 02 
Exercitando 1 
Mostre que todo subgrupo de (Z,+) é da forma nZ para algum n ∈ Z. 
Se n Z o conjunto {nz, z ∈ Z} é subgrupo de (Z,+), o qual denotaremos por nZ. 
Devemos mostrar para as três propriedades de grupo: 
Associativa: Dados z1, z2, z3 temos: 
n[(z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3)] n(z1 + z2) + nz3 = nz1 + n(z2 + z3) 
nz1 + nz2 + nz3 = nz1 + nz2 + nz3 
Elemento neutro: {e = 0 = (Z,+)}, logo n, e n + 0 = n 
Elemento inverso: Dados z1 Z, tal que 
 
 
 
, implica que z1 = 1 
Pois se z1 1 ou -1 não pertencerá Z. 
 
 
Exercitando 2 
Mostre que se um elemento a tem ordem finita então sua ordem é igual ao menor 
inteiro positivo n tal que a
n 
=e. Daí conclua que se não existir um inteiro positivo n tal 
que a
n 
=e então a tem ordem infinita. 
Vamos usar a notação multiplicativa. Se além de a ∈ G, b ∈ G, então: 
(ab)
n
 = a
n
b
n
 Para n 1 a¹b¹ = ab ∈ G 
Se a, b e (e) ∈ G, então: 
a.a = a.e Pela lei do cancelamento temos: 
a = e an = e, logo n = 1, pois a¹ = e 
Como na notação multiplicativa o elemento neutro é o 1, logo e = 1 a = 1, com isso, 
|G| = 1, menor inteiro positivo. 
Supondo que n seja 0, portanto pelo elemento inverso temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercitando 3 
Se H é um subgrupo de (G,*) e a ∈ G mostre que |a*H|=|H*a|=|H| 
O fato de a classe de equivalência de qualquer elemento a , tanto relativamente a “~1” 
como a “~2” ter |H| elementos implica |G|=|H|. |G/~1|=|H|. |G/~2| e assim os 
conjuntos quocientes G/~1 e G/~2 têm a mesma ordem a qual será denotada por [G:H] 
e chamada de índice de H em G. 
Se H é subgrupo de (G,*): 
(e H) = (e G) com e ∈ H e G. 
Portanto se |a * H| = |H * a| = |H| 
Então a = e, assim: 
|e * H| = |H * e| = |H| 
 
Exercitando 4 
Mostre que (Zn,+) é um grupo cíclico gerado pelos tais que m é relativamente primo 
com n e, portanto (Zn,+) possui (n) geradores. 
(Zn,+) não possui divisores de zero, pois para isso, n = , ou seja, deve ter mais 
de 3 divisões exatas, como é constante e primo entre si como n, n é primo, assim n = 
 . 
 
 
Lista de exercício 
1 - Se G é um grupo finito mostre que, dado x ∈ G, existe um inteiro n 1 tal que an=e. 
|G| finito, isso implica que: 
|<x>| finito 
Digamos que |<x>| = r elementos 
<x> = {e, x, x², ... , x
r-1
} Provar que x
r
 = e 
Suponha que x
r
 e xr = xi com 0 < i < r 
Adicionamos x - i nos dois lados da igualdade com a operação produto temos: 
x
r
.x
-i
 = x
i
.x
-i
 xr-t = e como 0 < r - i < r 
Assim temos uma contraposição, pois teríamos: 
|<x>| = r - 1 elementos (absurdo) 
logo x
r
 = e 
 
2 - Considere os seguintes subconjuntos numéricos: Conjunto dos números naturais; 
Conjunto dos números inteiros pares; Conjunto dos números inteiros ímpares; 
Conjunto { -1, 1}. Verifique se cada um destes conjuntos é um subgrupo de ( , +) 
i) não é subgrupo de ( , +), pois dado a , seu inverso a-1 = 
 
 
 . 
ii) Mesma situação do primeiro item. 
iii) Não é subgrupo de ( , +), pois o Cz = 0 e 0 {-1, 1} 
 
 
3 - Verifique se , {-1, 1}, {x ∈ ; x > 0} e - {0} são subgrupos de ( -{0}). 
 
Para ser subgrupo de ( -{0}) o conjunto dado deve ter a seguinte característica. 
Sendo esse G um grupo a e b e G, e um subgrupo H de G tal que a operado com b-1 
ainda seja elemento pertencente a G. Usaremos a operação aditiva para comprovar: 
a) N não é um subgrupo de ( -{0}), pois dado N = { 1, 2, 3, 4, 5,...} e H subgrupo de 
N, sendo a = 4 e b= 6, exemplo: 
H = 
 
 
 deve ∈ 
 
 
 
 
 
 não pertence aos . 
b) Z não é subgrupo de ( -{0}), pois dado o conjunto Z = { ..., -2, -1, 0, 1, 2,...} e H 
subgrupo de Z, sendo a = -1 e b = 2, exemplo: 
H = 
 
 
 deve ∈ 
 
 
 
 
 
 não pertence a . 
c) {-1, 1} não é subgrupo de ( -{0}), pois dado o conjunto G = {-1, 1} e H subconjunto 
de G, sendo a = -1 e b = 1, exemplo: 
H = 
 
 
 deve ∈ 
 
 
 não pertence a G. 
d) ∈ é subgrupo de ( -{0}), pois dado 
 
 
 
 
 
 e H subgrupo 
de , sendo a = 
 
 
 e b = 2, exemplo: 
H = 
 
 
 deve ∈ 
 
 
 
 
 
 pertence a . 
e) ( -{0}) não é subgrupo de ( -{0}), pois dado o conjunto 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 e H subgrupo de , sendo a = -1 e b = 1, exemplo: 
H = 
 
 
 deve ∈ 
 
 
 não pertence a . 
 
 
6. Mostre que o conjunto das raízes n-ésimas da unidade, com a operação produto é um 
grupo. 
Seja raízes n-ésimas da unidades, então: 
 = 1 e = 1, assim temos que: 
 e o conjunto das raízes n-ésimas da unidade: 
Pelas raízes n-ésimas no complexos temos: 
 
 
 
 
 
 
 
Notemos que: 
t = 
 
 
 
 
 
 gera as raízes, assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 , logo: 
O conjunto possui elemento neutro 1 e elemento invertível (Z
n
), obtendo: 
{1,Z, Z
2
, ..., Z
n
} gerando Z. 
 
8 - Verifique dos seguintes grupos são cíclicos e, em caso afirmativo, encontre um 
gerador: 
a) SA onde A = {a, b, c} 
SA não é grupo cíclico, pois não é comutativo. 
b) é grupo cíclico e seu grupo quociente é 
 
 
 
c) Grupo das raízes quartas da unidade 
 ∈ 
 , não é grupo cíclico, pois pode u = 0. 
 
10 - Encontre o inverso de cada uma das seguintes permutações do grupo SA onde A = 
{1, 2, 3, 4} 
Para encontrarmos devemos ligar a imagem de 1 (obtido por ) 
ao denominador de , a imagem do 2 ao denominador de 
 , a imagem o 3 ao 3 do denominador de e finalmente a 
imagem do 4 ao 4 do denominador de . 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c)