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Universidade Aberta do Brasil Universidade Federal do Ceará Instituto UFC Virtual Bancos de dados: www.passeidireito.com Atividade de Portfólio 06 Aula 06: Anéis Portfólio da Aula 6, a demonstração dos teoremas 1, 2 e 3 do Tópico 1 , no Texto, e a solução dos exercícios 1, 3, 5, 7, 8 e 9 da lista de exercícios da Aula 6. Tópico 01: Polinômios sobre um anel. Polinômios sobre um corpo. Algoritmo da Divisão. Teorema 1: Com as operações definidas acima R[x] é um anel. Se R é um anel com unidade então R[x] também é um anel com unidade. Se R é um domínio de integridade então R[x] também é um domínio de integridade. Particularmente, se K é um corpo então K[x] é domínio de integridade. Teorema 2: Seja A um anel com unidade. Se f(x),g(x) ∈A[x] , com g(x) mônico, então existem q(x),r(x) ∈A[x] tais que f(x)=q(x)g(x)+r(x) com r(x) = 0 ou gr r < gr g. Teorema 3: (algorítmo da divisão)Seja K é um corpo. Se f(x),g(x) ∈K[x] então existem q(x),r(x) ∈K[x], unicamente determinados, tais que f(x)=q(x)g(x)+r(x) com r(x) = 0 ou gr r < gr g Lista de exercícios 1 - Encontre todos os polinômios irredutíveis de grau 3 sobre . Vamos determinar todos os polinômios irredutíveis de grau 3 em [x]. Estes polinômios são da forma x³ + ax² + bx + x² com a, b, c ∈ . Como só tem dois elementos, podemos escrever todos estes polinômios: x³, x³ + x², x³ + x, x³ + , x³ + x² + x, x³ + x² + , x³ + x + , e x³ + x² + x + . Isto é, existem 8 polinômios de grau 3 em [x]. Destes, os únicos que não possuem raiz em são x³ + x² + e x³ + x + . Assim, x³ + x² + e x³ + x + são os únicos polinômios irredutíveis de grau 3 em [x]. 3 - Verifique se o polinômio f(x) = x 4 + 3x² + 2 é irredutível sobre . Pelo critério de Eisenstein, dado um polinômio: ∈ ∈ Para o polinômio ser irredutível em Q, deve um P(primo) tal que p divide todo coeficiente menos o de e p² não divide . Logo f(x) = x4 + 3x² + 2 é redutível em Q. 5 - Verifique se o Polinômio f(x) = x 4 + 2x² + 2 é irredutível sobre . Sendo a3 = 1, a2 = 2, a1 = 1 e a0 = 2 f(x) = x 4 + 2x³ + x + 2 é redutível, pois pode ser formado de um produto de polinômios de grau 4. Logo reduzimos temos: (x + 2)( x³ +1) x4 + x + 2x³ + 2 = x4 + 2x³ + x + 2 7 - Encontre o MDC entre os polinômios x 4 + x³ + 2x² + 3x + 1 e x 4 + x³ - 2x² - x + 1 e x 4 + x³ - 2x - x + 1 sobre os radicais. mdc [(x 4 + x³ + 2x² + 3x + 1), (x 4 + x³ - 2x² - x + 1)] Notemos que em ambos os polinômios são semelhantes logo: 2x² + 3x + 1 = (x + 2)(2x - 2) + x + 5 -2x² + x + 1 = (2x - 2)(-x) - x + 1 Logo o mdc[(x 4 + x³ + 2x² + 3x + 1), (x 4 + x³ - 2x² - x + 1)] = mdc[(x + 2), (2x - 2)] = mdc[(2x - 2), (1)] = 1 8 - Fatore o polinômio x 4 + 3x³ + 2x + 4 em . p(x) = x4 + 3x³ + 2x + 4 Note que 9 - Verifique se o polinômio x 7 + 5x³ - 15x + 35 é irredutível sobre . Pelo critério de Eisenstein, p = 5 divide até . 5² não divide 35, logo f(x) = x 7 + 5x³ - 15x + 35 é irredutível sobre .
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