Aula 05 - Capacitância

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Capacitância
Prof. Fernando G. Pilotto
UERGS
Capacitores 
O capacitor é um dispositivo prático 
para o armazenamento de energia 
elétrica.
Os flashs de máquinas fotográficas e os desfibriladores médicos usam 
capacitores para primeiramente armazenar energia vinda da bateria 
(carregamento lento) e depois liberar essa energia (descarregamento rápido) 
numa corrente elétrica intensa.
Capacitores de 
placas paralelas
Capacitores 
cilíndricos
Capacitância 
Capacitância é a capacidade que um capacitor tem de armazenar cargas 
elétricas.
Quanto maior for a capacitância, maior será a carga armazenada por unidade 
de voltagem aplicada.
V
qC =
+q
-q
V
Unidade: Farad
1 F = 1 C/V
Capacitores são 
normalmente 
vendidos em µF, 
nF e pF.
A capacitância é uma propriedade do 
capacitor (depende de sua geometria).
Num condutor qualquer, a carga acumulada é 
proporcional ao potencial ao qual ele está submetido.
Isso acontece porque as cargas se distribuem sempre 
da mesma maneira num condutor. Se mais carga for 
colocada no condutor, cada parte receberá sua carga 
de maneira proporcional e o potencial aumentará 
também proporcionalmente.
Carregando um capacitor
Inicialmente as placas estão descarregadas.
A bateria fornece uma diferença de potencial 
(voltagem) V constante.
Quando a chave S é ligada, a placa h terá 
uma voltagem positiva e a placa l uma 
voltagem negativa.
Isso é feito por uma corrente de elétrons que vai da placa h (de onde os 
elétrons saem) para a placa l (onde os elétrons chegam).
Quando a diferença de potencial entre as placas é a mesma da bateria, a 
corrente cessa e as placas ficam carregadas.
Veremos isso em mais detalhes na aula 7.
Capacitor de placas paralelas
Efeito de borda
Capacitor de 
placas paralelas 
idealizado
O campo é 
perpendicular 
à placa:env0
qAdE =⋅∫ε qEA =0ε
área da placa
carga na placa
Aplicando a lei de Gauss na placa positiva, 
podemos relacionar o campo elétrico no capacitor 
com a carga acumulada nele:
1
2
∫ ⋅−=−
f
i
if sdEVV
EddsEEdsV ==−−= ∫∫
+
−
+
−
Cálculo da diferença de potencial entre as placas.
O campo elétrico e o elemento infinitesimal de caminho têm sentidos opostos.
Resumo:
1) relacionamos a carga com o campo 
através da lei de Gauss
2) relacionamos o potencial com o 
campo
3) determinamos a capacitância
3
A capacitância depende 
só da geometria
Cálculo da capacitância.
d
A
Ed
EA
V
qC 00 εε ===
d
AC 0ε=
Capacitor cilíndrico
1
Desta vez o campo depende de r:
env0 qAdE =⋅∫ε
Aplicação da lei de Gauss na placa positiva:
qEA =0ε qrLE =piε 20
Lr
qE
02piε
=
2
∫ ⋅−=−
f
i
if sdEVV
( )ba
L
qdr
Lr
qEdsV
a
b
lnln
2
)(
2 00
−−=−=−−= ∫∫
+
−
piεpiε
Cálculo da diferença de potencial 
entre as placas.
O campo elétrico e o elemento infinitesimal de caminho têm sentidos opostos.
Os elementos infinitesimais ds e dr
têm sentidos opostos.





=
a
b
L
qV ln
2 0piε
3






=
a
b
L
qV ln
2 0piε
Vimos que o potencial é dado por:
A capacitância então é: 
)/ln(
2 0
ab
L
V
qC piε==
Ligação em série e em paralelo
Dispositivos bipolares, ou seja, que têm dois polos e são conectados ao circuito por 
dois fios condutores, podem ser ligados em série ou em paralelo.
Ligação em série: os dispositivos são ligados em sequência, conectando-se um polo 
de um deles a um polo do outro. A corrente elétrica que passa por eles é a mesma.
Ligação em paralelo: os dispositivos são conectados pelos dois polos. A diferença de 
potencial nos dispositivos é a mesma.
Capacitores em série
11VCq =
esta parte do circuito está isolada do resto
se numa placa a carga é +q, na outra será –q
então, a carga nos 2 capacitores é a mesma
Ceq
O conjunto de 2 capacitores em série pode ser entendido 
como um capacitor com capacitância Ceq.
22VCq =
queda total de potencial: V
queda no capacitor 1: V1
queda no capacitor 2: V2
21 VVVeq +=
Ceq
O capacitor equivalente tem carga q e a voltagem 
entre as placas é V.
eqeqeq VCq =
21 VVVeq +=
21 C
q
C
q
C
q
eq
eq +=
21
111
CCCeq
+=
Fórmula para a capacitância 
equivalente de 2 capacitores em 
série.
21 qqqeq ==
21 VVVeq +=
Capacitores em paralelo
As placas positivas estão à mesma voltagem.
As placas negativas estão à mesma voltagem.
Os capacitores têm a mesma diferença de potencial.
VCq 11 = VCq 22 =
O conjunto de 2 capacitores em paralelo pode ser 
entendido como um capacitor com capacitância Ceq.
carga total acumulada: q
carga acumulada no capacitor 1: q1
carga acumulada no capacitor 2: q2
21 qqqeq +=
Ceq
Ceq O capacitor equivalente tem carga q e a voltagem 
entre as placas é V.
eqeqeq VCq =
21 qqqeq +=
VCVCVCeq 21 +=
21 CCCeq +=
Fórmula para a capacitância 
equivalente de 2 capacitores em 
paralelo.
21 qqqeq +=
21 VVVeq ==
Energia potencial de um sistema 
de cargas
A energia potencial de um sistema de cargas é igual a energia necessária 
para colocar as cargas juntas, trazendo-as do infinito.
Mantendo a carga q1 fixa e trazendo q2 do infinito, teremos de aplicar uma 
força contra o campo gerado por q1.
Podemos pensar em 
manter q2 fixa e trazer q1
do infinito. O resultado é 
o mesmo.
Repeteco!!!
Num sistema com 3 cargas, devemos 
proceder do seguinte modo:
1) mantemos a carga 1 fixa e trazemos a 
carga 2 do infinito
2) mantemos as cargas 1 e 2 fixas e 
trazemos a carga 3 do infinito
Passo 1:
Passo 2:
Repeteco!!!
Num determinado instante, se a voltagem entre as placas for V, a energia 
acumulada quando trazemos a carga dq é:
Mas a voltagem entre as placas se deve à carga que já foi acumulada:
Energia armazenada no capacitor
VdqdU =
Quando a chave S é fechada, as cargas 
começam a se acumular no capacitor e a 
voltagem entre as placas começa a aumentar.
C
qV = dq
C
qdU =
A energia total acumulada no capacitor é:
Isso também pode ser escrito como:
C
qqd
C
qdUU
q
2
2
0
=′
′
== ∫∫
2
2
1CVU =
Densidade de energia elétrica
Antes de o capacitor ser carregado, não havia campo 
elétrico entre as placas.
A energia potencial acumulada no capacitor é a 
energia necessária para criar o campo elétrico entre 
as placas.
No capacitor de placas paralelas, o campo está relacionado com a carga e a 
área das placas:
O campo elétrico está distribuído por todo o volume do capacitor.
A densidade de energia é:
Ad
U
u ==
volume
energia
( ) 2
0
0
2
0
2
2
1
/2
11
2
1 E
dA
EA
AdC
q
AdAd
U
u ε
ε
ε
====
2
02
1 Eu ε= densidade de energia acumulada no campo elétrico
Obs.: Aos poucos, o tratamento da eletricidade vai ficando cada vez mais 
sofisticado. Iniciamos com forças entre cargas (Lei de Coulomb) e depois 
passamos para a idéia de campo elétrico (F = Eq). Em relação à energia, vimos 
na última aula a energia acumulada quando trazemos várias cargas para um 
mesmo lugar, agora entendemos essa energia como sendo do campo elétrico.
Dielétricos
dielétrico = material isolante colocado entre 
as placas de um capacitor
Se o material for condutor, o capacitor 
entrará em curto-circuito...
O efeito de dielétricos nos capacitores foi investigado por Michael Faraday 
em 1837.
Ele descobriu que a capacitância aumenta por um fator, que ele chamou de 
constante dielétrica do material, κ (kappa). 
vácuoCC κ=
κ
vácuo: κ = 1
vácuoCC κ= V
qC =
Se a capacitância aumenta, para a mesma voltagem o capacitor acumula 
mais carga; ou, se a carga se mantiver inalterada, a voltagem entre as 
placasdiminuirá.
capacitor de placas paralelas:
d
A
d
AC εεκ == 0
com dielétrico
ε0 = permissividade do vácuo
ε = permissividade do meio com dielétrico
Em se tratando de meio 
dielétrico, podemos 
substituir ε0 por ε em 
todas as fórmulas.
permissivo
[Do lat. permissus, part. pass. de permittere (v. permitir) + -ivo.] 
Adjetivo. 
1.Que dá permissão; tolerante, indulgente: 
pais permissivos. 
2.Que envolve permissão: 
a atitude permissiva desta época.
permissividade
[De permissivo + -(i)dade.] 
Substantivo feminino. 
1.Qualidade de permissivo. 
2.Eletr. Produto da constante dielétrica de um material pela permissividade... 
Permissividade do vácuo. 1. Eletr. Fator numérico que aparece na expressão 
analítica da lei de Coulomb.
Permissividade dos costumes. 1. Ét. Num dado período, o afrouxamento das 
restrições das normas prescritivas de comportamentos sociais. 
Comparação entre capacitores com e sem dielétrico, ambos ligados a 
baterias com a mesma diferença de potencial
Como a voltagem nos capacitores é a mesma e q = CV, temos
A carga no capacitor com dielétrico é então
O campo elétrico tem o mesmo valor nos dois capacitores, já que a voltagem 
aplicada é a mesma.
No capacitor sem dielétrico, a carga acumulada é qvácuo, e no capacitor com 
dielétrico a carga é maior, qdiel = κqvácuo.
O meio com dielétrico é, portanto, mais tolerante aos efeitos do campo elétrico, 
ou seja, a sua permissividade é maior:
vácuodiel CC κ=
vácuovácuodieldiel qVCVCq κκ ===
EAEAqq vácuodiel εκεκ === 0
0κεε =
Por que a capacitância aumenta?
Sem dielétrico:
Carga = Q
Voltagem = V = E·d
Campo elétrico = E
Com dielétrico:
As moléculas do dielétrico ficam polarizadas e se alinham com o campo elétrico 
externo (dipolo elétrico induzido).
O campo elétrico gerado pelas moléculas, Ediel, é oposto ao campo externo.
A bateria tem de manter a voltagem constante em V, então ela supre as placas do 
capacitor com mais cargas elétricas.
A carga a mais é igual à carga acumulada na superfície do dielétrico, Qdiel.
Com dielétrico:
Carga nas placas = Q + Qdiel
Voltagem = V = E·d
Campo elétrico = E = Eplaca - Ediel
Ruptura dielétrica
Quando o campo elétrico aplicado é muito 
intenso, as moléculas do dielétrico são 
ionizadas.
Haverá uma corrente elétrica entre as placas.
Isto é chamado de ruptura dielétrica.
Faíscas e relâmpagos são exemplos de ruptura 
dielétrica.
Rigidez dielétrica = valor máximo do campo elétrico que não causa ruptura 
dielétrica no material
Potencial de ruptura = valor máximo da voltagem que não causa ruptura dielétrica 
no material