Aula 1 e 2 - Métodos numéricos - Euler-RK-AB

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO OESTE DO PARANÁ
CURSO DE ENGENHARIA QUÍMICA
ANÁLISE E SIMULAÇÃO DE PROCESSOS
Professor: Carlos Eduardo Borba
TOLEDO – PR
2014
SOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Os modelos matemáticos que representam os processos da engenharia química, em geral, são formados por equações diferenciais, as quais podem ser ordinárias ou parciais. Na maioria das situações, o modelo matemático composto por este tipo de equações não possui solução analítica. Desta forma, pode-se proceder de duas formas: simplificar o modelo matemático de modo que seja possível a solução analítica ou então utilizar um método numérico para resolvê-lo.
1. Problemas de Valor Inicial
A solução de um problema de valor inicial consiste em resolver uma equação (ou sistemas de equações) que satisfaça uma condição inicial (ou conjunto de condições iniciais).
De uma forma geral, a solução de uma equação ordinária de 1a ordem (y’ = f(x,y); y (x0) = y0) será obtida da seguinte forma:
(i) divisão do intervalo no qual se deseja obter a solução em subintervalos [xi, xi+1,..., xn] igualmente espaçados, isto é: xi+1 = xi + h.
(ii) cálculo das aproximações de y (xi) nos pontos x1, x2, ..., xn.
Se no cálculo de y (xi) utilizamos apenas o valor de y (xi-1) temos os métodos de passo simples, porém se utilizarmos mais valores temos os métodos de passos múltiplos.
1.1. Métodos de Passo Simples
1.1.1. Métodos da Série de Taylor
Considerando que y (x) tem derivadas até a ordem n na variável x, y pode ser aproximada pela seguinte equação:
	
	(1)
Exemplo 1: Calcular a solução aproximada, pelo método da série de Taylor de 2a ordem, da seguinte EDO:
	
	
Considerando h = 0,1, qual o valor de y (0,5)?
Observação: A ordem máxima da série de Taylor que poderia ser utilizada para resolver esta equação diferencial ordinária é n = 3.
A série de Taylor de segunda ordem é dada por:
	
Onde:
	
	
	
Logo:
	
O domínio do problema (malha que estabelece os pontos em que devemos calcular os valores de y) é a seguinte:
Para x = x1 = 0,1, temos:
	
	
	
Seguindo esta metodologia temos a seguinte tabela de resultados:
	Variável independente (x)
	Variável dependente (y)
	0,0
	2,000
	0,1
	1,911
	0,2
	1,848
	0,3
	1,817
	0,4
	1,824
	0,5
	1,875
1.1.2. Métodos deEuler
Este método utiliza a série de Taylor truncada no segundo termo, ou seja, utiliza uma aproximação linear para a função y (x).
	
	(2)
Geometricamente, pode-se ver que a aproximação obtida para 
 é obtida a partir da tangente a curva f(x) no ponto (xi, yi).
Exemplo 2: Calcular a solução aproximada, pelo método de Euler, da seguinte EDO:
	
	
Considerando h = 0,1, aproximar a solução no intervalo [0, 0,5].
O domínio do problema (malha que estabelece os pontos em que devemos calcular os valores de y) é a seguinte:
Para x = x1 = 0,1, temos:
	
	
	
Seguindo esta metodologia temos a seguinte tabela de resultados:
	i
	xi
	yi
	yi' = - xi yi
	0
	0
	1
	0
	1
	0,1
	1
	-0,1
	2
	0,2
	0,99
	-0,198
	3
	0,3
	0,9702
	-0,2911
	4
	0,4
	0,9411
	-0,3764
	5
	0,5
	0,9035
	-0,4517
1.1.3. Métodos de Runge-Kutta
Os métodos de Runge-Kutta caracterizam-se pelas seguintes propriedades: (i) são de passo simples; (ii) não requerem o cálculo da derivada de f(x,y), entretanto, é necessário que sejam calculados os valores de f(x,y) em pontos intermediários.
O método de Runge-Kutta de 2a ordem é dado pela seguinte equação:
	
	(3)
Onde:
	
	(4)
	
	(5)
Exemplo 3: Calcular a solução aproximada no intervalo [0; 0,5] com h = 0,1, pelo método de RK-2, da seguinte equação diferencial:
	
	
O domínio do problema é dado por:
Pelo método RK-2, temos:
	
	
	
Estas equações são aplicadas para i = 0, 1, 2, 3 e 4. Assim, temos:
	i
	xi
	yi
	K1
	K2
	0
	0,0
	1
	0
	-0,1
	2
	0,1
	0,9950
	-0,995
	-0,1970
	3
	0,2
	0,9802
	-0,1960
	-0,2882
	4
	0,3
	0,9560
	-0,2868
	-0,3710
	5
	0,4
	0,9231
	-0,3692
	-0,4431
	6
	0,5
	0,8825
	-0,4412
	-0,5030
O método de Runge-Kutta de 4a ordem é dado pela seguinte equação:
	
	(6)
Onde:
	
	(7)
	
	(8)
	
	(9)
	
	(10)
Exemplo 4: Calcular a solução aproximada no intervalo [0; 0,4] com h = 0,1, pelo método de RK-4, da seguinte equação diferencial:
	
	
O domínio do problema é dado por:
Pelo método RK-4, temos:
	
	
	
	
	
Estas equações são aplicadas para i = 0, 1, 2 e 3. Assim, temos:
	i
	xi
	yi
	K1
	K2
	K3
	K4
	0
	0,0
	1
	0
	-0,05
	-0,0498
	-0,0995
	1
	0,1
	0,9950
	-0,0995
	-0,1485
	-0,1481
	-0,1960
	2
	0,2
	0,9802
	-0,1960
	-0,2420
	-0,2420
	-0,2868
	3
	0,3
	0,9560
	-0,2868
	-0,3296
	-0,3288
	-0,3692
	4
	0,4
	0,9231
	
	
	
	
1.2. Métodos de Passos Múltiplos
Os métodos de passos múltiplos caracterizam-se por utilizar aproximações em mais de um ponto para determinar o valor da função no ponto adiante. Estes métodos não são auto-inicializáveis.
1.2.1. Métodos Explícito de Adams-Bashfort
A expressão que representa o método explícito de Adams-Bashfort é dada por:
	
	(11)
Sendo que a solução nos pontos 
 deve ser conhecida.
Exemplo 5: Calcular a solução aproximada da seguinte equação diferencial pelo método de Adams-Bashfort explícito:
	
	
Consideremos o seguinte domínio:
Fazendo i = 3, temos:
	
Onde:
	
 valor a ser calculado;
	
 valor conhecido da função;
	
	
	
	
1.2.2. Métodos Implícito de Adams-Bashfort
Neste caso, a equação utilizada para calcular o valor da função y em um ponto adiante é dada por:
	
	(12)
No cálculo de yi+1 é necessário ter uma estimativa desta variável para efetuar o cálculo de f (xi+1, yi+1). A figura a seguir apresenta o algoritmo para a utilização do método implícito de Adams-Bashfort.
	
Exemplo 6: Calcular a solução aproximada da seguinte equação diferencial pelo método de Adams-Bashfort implícito:
	
	
Informações adicionais:
	i
	xi
	yi
	f (xi, yi)
	0
	0
	0
	1
	1
	0,1
	0,09909
	0,970461
	2
	0,2
	0,192307
	0,887574
	3
	0,3
	0,275228
	0,765930
Passo 1: Calcular os valores da função f (xi, yi)
	
	
	
	
Passo 2: Calcular yi+1 pelo método explícito
	
	
Passo 3: Calcular f (xi+1, yi+1)
	
Passo 4: Calcular yi+1 pelo método implícito
	
	
	
Passo 5: Calcular o erro
	
Passo 6: Decisão (erro < ou > Tolerância)
	
Passo 7: Voltar ao passo 3
	
Passo 8: Repetir passo 4
	
	
	
Passo 9: Calcular o erro
	
Passo 10: Decisão (erro < ou > Tolerância)
	
Logo: 
.
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x1
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xi+1 = xi +1
Calcular
f (xi, yi)
f (xi-1, yi-1)
f (xi-2,yi-2)
f (xi-3, yi-3)
Calcular
� EMBED Equation.3 ���
Calcular o erro
Erro = � EMBED Equation.3 ���
Erro < Tol
NÃO
SIM
Calcular
� EMBED Equation.3 ���
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y
x
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h
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y1E
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Passo simples
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xi-1
xi
xi-2
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Passo múltiplo
xi