RELATÓRIO - Fis.Exp.1 - Determinação da gravidade por Pendulo Simples

Prévia do material em texto

Instituto de Física – UERJ
Laboratório de Física teórica e Experimental 1
Faculdade de Engenharia
Experimento 01
Pêndulo Simples
 
Alunos: Bruno Martins Viveiros e Matheus Machado Gonzales
Turma: 03
Mesa: 26
Período: 2014.2
Objetivo do Experimento
Com este experimento iremos, valendo-nos de um pêndulo simples e das medidas obtidas com o estudo deste movimento, determinar o valor aproximado da gravidade local.
Introdução teórica
Nesse capítulo explicaremos a teoria que suporta a prática, descrevendo: o que é o pêndulo simples, como determinar o valor da gravidade e dedução das formulas pertinentes
O que é o Pêndulo Simples?
O pêndulo simples é construído a partir de uma estrutura retangular feita a partir de três hastes longas de metal e uma base lisa, onde duas dessas hastes são aparafusadas e a terceira, juntamente com parafusos de pressão, é utilizada para constituir a aresta superior do retângulo.[1: Todos os materiais utilizados na construção do pêndulo vieram do kit experimental 1;]
Montada a estrutura, valemo-nos de dois parafusos extensores e uma haste curta para alongar nossa aresta superior, um dos parafusos liga a haste curta à haste longa e no segundo, também aparafusado à haste curta, amarramos um fio leve e inextensível de comprimento L e massa desprezível, tendo na extremidade inferior, um corpo de massa m.
Com o fio e o peso prontos o pêndulo pode oscilar livremente e com qualquer ângulo θ de liberação entre sua linha imaginária normal e o fio, porém, para os fins deste experimento consideraremos apenas ângulos pequenos, inferiores a 10º (θ ≤ 10º), pois assim o pêndulo realizará um Movimento Harmônico Simples.
Teoria do Experimento
Para concluirmos o valor da gravidade local iremos, por tanto, medir o período T do pêndulo de fio com comprimentos L variáveis e um corpo de massa m constante na ponta, assim, teremos “constantes” que poderemos substituir na formula do período do movimento harmônico circular, citada a seguir, e descobrir assim a gravidade local.
 (Equação 2.3.1)
Dedução das formulas físicas
O movimento harmônico simples é definido como: “o movimento executado por uma partícula sujeita a uma força restauradora que é proporcional ao deslocamento da partícula, mas com o sinal oposto”. Este será o tipo de movimento considerado neste experimento.
O pêndulo simples executa oscilações harmônicas quando é movido por pequenos deslocamentos, ângulos inferiores à 10° em relação a sua reta normal. O elemento de inércia neste pêndulo é a massa do corpo e a força restauradora é devida à gravidade, a qual força o corpo a retornar para o ponto mais baixo.
Período do pêndulo
 A equação de movimento para o pêndulo simples (ver Fig. 1) é dada por
 (Equação 2.3.1.1)
onde L é o comprimento da corda do pêndulo e é ângulo θ da corda com a vertical. Quando o ângulo é pequeno , o movimento do pêndulo simples é descrito pela equação do oscilador harmônico.
 (Equação 2.3.1.2)
 O movimento que obedece a esta equação é chamado de movimento harmônico simples. A solução da equação do oscilador harmônico é uma função periódica do tipo:
(Figura 1: Diagrama de forças no pêndulo simples.)
 (Equação 2.3.1.3)
Onde A é a amplitude do movimento e φ é chamado ângulo de fase e t é a frequência. Como o período é:
 (Equação 2.3.1.4)
Substituindo a equação 2.3.1.3 na equação 2.3.1.4 resultamos na equação geral do período do pêndulo simples, ou seja, concluímos a equação 2.3.1
 (Equação 2.3.1)
Método dos mínimos quadrados (M.M.Q)
O Método dos Quadrados Mínimos é uma técnica de otimização matemática que procura encontrar o melhor ajuste para um conjunto de dados tentando minimizar a soma dos quadrados das diferenças entre o valor estimado e os dados observados. 
É a forma de estimação mais amplamente utilizada na econometria. Consiste em um estimador que minimiza a soma dos quadrados dos resíduos da regressão, de forma a maximizar o grau de ajuste do modelo aos dados observados.
 (Equação 2.3.2.1)		 (Equação 2.3.2.2)
Sendo a o coeficiente angular e b o coeficiente linear da reta de formato y=ax+b
Descrição do material
Lista de material
Base retangular
Hastes grandes
Parafusos intermediários
Haste pequena
Transferidor
Uma linha de comprimento L
Um corpo de dimensões e peso a conveniência do aluno
Pegadores 
Parafusos
Fita métrica
Cronômetro
Esquema experimental:
(Figura 2: Esquema do pêndulo simples.)
Descrição experimental
Etapa 1: Montagem o material:
Colocar duas hastes cilíndricas curtas e prendê-las no suporte com dois parafusos;
Prender uma haste cilíndrica longa com dois parafusos nos extremos livres das hastes cilíndricas curtas com outros dois parafusos; 
Amarrar o objeto de massa conhecida e razoável, a um fio de massa desprezível;
Medir com a fita métrica o comprimento do fio a partir do centro de massa do objeto até o extremo da haste cilíndrica longa;
Amarrar o fio na haste cilíndrica;
Colocar o transferidor na haste longa de forma que o ângulo entre o fio e o transferidor seja zero grau;
Etapa 2: Realização do Experimento:
Medir um comprimento L do fio (utilizamos primeiramente 1000 mm);
Usando o transferidor medir um ângulo de ( sendo menor ou igual a 10º) num plano de forma que durante todo o experimento o objeto esteja neste plano;
Enquanto solta o objeto, marcar com o cronômetro o período de dez oscilações;
Anotar o período;
Refazer mais duas vezes com o comprimento do fio igual a 1000 mm;
Anotar esses dois períodos dos experimentos e fazer a média aritmética para que caso haja um erro de medição ele venha a ser minimizado;
Diminuir o comprimento do fio para L=900 mm;
Refazer o experimento com esse novo comprimento;
Anotar os três períodos e fazer a media;
Refazer para L=800 mm,700mm, 600mm,500mm, 400mm, 300mm, 200mm e 100mm;
O procedimento de marcar dez oscilações tem o propósito de diminuir o erro do experimento, pois a marcação de tempos em um cronômetro depende da ação humana, ou seja traz alta possibilidade de erro, erro esse, amplificado no caso de tentar marcar o tempo de apenas um período, sendo assim marcamos o tempo de 10 oscilações e tiramos a média aritmética e atingimos um resultado mais preciso.
Com o mesmo objetivo de minimizar os erros, tiramos as medias dos períodos três vezes e calculamos a média desses três resultados e essa nova media será a utilizada nos cálculos e montagem dos gráficos pertinentes ao trabalho.
Etapa 3: Resultados
Com todas as medições feitas, construímos um gráfico (Anexo 1) TxL que apresentou um comportamento curvilíneo. Isso se deve ao fato de, na formula para o cálculo do período (Equação 2.3.1), existir uma raiz quadrada. O que dificultaria o cálculo preciso da gravidade.
Segue abaixo a primeira tabela com as primeiras medições, e o gráfico feito com esses valores
	L(mm)(X)
	10 T.1
	10 T.2
	10 T.3
	<10T>
	T(Y)
	100
	6,59
	6,41
	6,62
	6,5400
	0,6540
	200
	8,94
	9
	9,06
	9,0000
	0,9000
	300
	11,15
	10,75
	11,12
	11,0067
	1,1007
	400
	12,94
	13
	12,87
	12,9367
	1,2937
	500
	14,38
	14,25
	14,47
	14,3667
	1,4367
	600
	15,44
	15,6
	15,66
	15,5667
	1,5567
	700
	16,75
	16,75
	16,75
	16,7500
	1,6750
	800
	18,03
	18,15
	17,94
	18,0400
	1,8040
	900
	19,31
	19,17
	19,25
	19,2433
	1,9243
	1000
	20,41
	20,44
	20,28
	20,3767
	2,0377
(Tabela1: Medições primárias)
(Gráfico 1: TxL)
Para solucionar esse problema, montamos um gráfico T²xL, linearizando-o e possibilitando que percebamos que a gravidade faz parte dos componentes do coeficiente angular dessa nova reta. Para isso vamos usar a Equação 2.3.2.1 e a partir do resultado calcularemos o valor da gravidade local.
Segue a baixo a tabela com os valore necessários para montar o gráfico T²xL e calcular este coeficiente e o próprio gráfico T²xL
	
	L(mm)(X)
	T(Y)
	Y²
	X.Y
	X²
	
	100
	0,6540
	0,4277
	65,4000
	10000
	
	200
	0,9000
	0,8100
	180,0000
	40000
	
	3001,1007
	1,2115
	330,2000
	90000
	
	400
	1,2937
	1,6736
	517,4667
	160000
	
	500
	1,4367
	2,0640
	718,3333
	250000
	
	600
	1,5567
	2,4232
	934,0000
	360000
	
	700
	1,6750
	2,8056
	1172,5000
	490000
	
	800
	1,8040
	3,2544
	1443,2000
	640000
	
	900
	1,9243
	3,7031
	1731,9000
	810000
	
	1000
	2,0377
	4,1521
	2037,6667
	1000000
	Somatório:
	5500
	14,3827
	22,5252
	9130,6667
	3850000
(Tabela 2: Tabela de medições e valores obtidos a partir das mesmas)
(Gráfico 2: T²xL)
Após o cálculo do coeficiente angular resultar em obtemos o valor da gravidade igual a 9,2 m/s².
Anexos
Figuras
Figura 1: https://www.google.com.br/search?q=diagrama+de+for%C3%A7as+do+pendulo+simples&espv=2&biw=1366&bih=667&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ei=Us93VPKkG8mbgwT93oHwBA&ved=0CAYQ_AUoAQ#facrc=_&imgdii=_&imgrc=1cOQ4saVI5yhKM%253A%3BfPh7FeZU0R4xpM%3Bhttp%253A%252F%252Fs3.amazonaws.com%252Fmagoo%252FABAAAfgU8AK-1.jpg%3Bhttp%253A%252F%252Fwww.ebah.com.br%252Fcontent%252FABAAAfgU8AK%252Frelatorio-experimental-3-experiencia-pendulo-simples-1%3B174%3B186
Figura 2: figura feita por aluno da turma
Gráficos 
Tabelas
Tabela 1: Tabela feita a partir das medições de laboratório
Tabela 2: Tabela apenas com valores relevantes obtido no laboratório e concluídas a partir destas
Conclusão e observações
 Foi verificado que para ângulos pequenos a relação linear entre o comprimento e o quadrado do período foi verificada. 
 Os valores de gravidade obtidos diferenciam-se do valor teórico em virtude da resistência do ar e de falhas ao medir os comprimentos do fio e marcar os períodos.
 Sendo assim, os resultados encontrados satisfizeram a teoria. 
Bibliografia
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Física, Vol. 2, Editora LTC, Rio de Janeiro (1983). 
http://www.sofisica.com.br/conteudos/Ondulatoria/MHS/pendulo.php
http://www.cdcc.usp.br/exper/medio/fisica/kit1_mecanicaI/mecanicaI_sam/exp6_sam.pdf
http://www.fisicaevestibular.com.br/mhs4.htm