Método de Newton para Sistemas Não Lineares

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MAT 012 1o¯ Sem. 2014 Prof. Rodrigo
Lista 3: Me´todo de Newton para Sistemas de Equac¸o˜es Na˜o Lineares
1. Determine a matriz jacobiana associada a cada sistema na˜o linear abaixo:
a)
{
x31 − 3x1x22 + 1 = 0
3x21x2 − x32 = 0
b)
{
10(x2 − x21) = 0
1− x1 = 0
c)

−2x21 + 3x1 − 2x2 + 1 = 0
−2x2i + 3xi − xi−1 − 2xi+1 + 1 = 0, 2 ≤ i ≤ (n− 1)
−2x2n + 3xn − xn−1 = 0
2. De maneira ana´loga ao caso de uma equac¸a˜o na˜o linear, podemos elaborar uma versa˜o
modificada do me´todo de Newton para sistemas de equac¸o˜es na˜o lineares. A modi-
ficac¸a˜o consiste em se tomar a cada iterac¸a˜o k a matriz JF (x
(0)), em vez de JF (x
(k)).
Elabore um algoritmo para o me´todo de Newton incluindo esta modificac¸a˜o. Qual e´ a
vantagem deste novo me´todo com relac¸a˜o ao me´todo cla´ssico?
3. O me´todo de Newton pode ser aplicado para se resolver um sistema linear Ax = b,
onde A e´ uma matriz quadrada e invert´ıvel. Mostre que para qualquer aproximac¸a˜o
inicial x(0), o me´todo encontrara´ a resposta em apenas uma iterac¸a˜o.
4. Para cada sistema na˜o linear abaixo, aplique duas iterac¸o˜es do me´todo de Newton e
verifique se pelo menos um dos crite´rios de parada e´ satisfeito para � = 10−2:
a)
{
x21 + x
2
2 − 2 = 0
ex1−1 + x32 − 2 = 0, com x(0) = (1.5, 2.0)T
b)

4x1 − x31 + x2 = 0
−x
2
1
9
+
4x2 − x22
4
+ 1 = 0, com x(0) = (−1,−2)T
5. Localize graficamente as raizes do sistema na˜o linear:
{
x2 + y2 = 1
x− y2 = 0