REFORÇO DE CÁLCULO NUMÉRICO - Respostas nos PDFs das aulas

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REFORÇO CÁLCULO NUMÉRICO 
AULA 1 
APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 1 
(PETROBRÁS - engenheiro) Sejam os vetores u = (1,2), v = (-2,5) e w = (x,y) do R2. Para 
que w = 3u – v, devemos ter x + y igual a: 
(PETROBRÁS - Engenheiro) 
Sejam os vetores u = (1,2), v = (-2,5) e w = (x,y) do R2. Para 
que w = 3u – v, devemos ter x + y igual a? 
 
 
 
 
 
 
 
APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 2 
Considere as seguintes matrizes: 
M = (mij)2x3, N = (nij)axb, P = (pij)cx4, Q = (qij)dxe. 
Para que seja possível determinar M+N, NxP e P-Q, quaisos valores de a, b, c, d, e ? 
 
APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 3 
Seja a função polinomial f(x) = 2x3 - 12x2 -3x + 8. Mostre que existe ao menos uma raiz 
real no intervalo (0, 1) da equação f(x) = 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
COMPLETE O QUE FALTA: 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 2 - ESTRUTURAS BÁSICAS 
SEQUENCIAL – nesta estrutura, cada ação segue a outra ação, sequencialmente. A 
saída de uma ação é a entrada de outra. 
Exemplo: Dois números naturais devem ser somados e depois subtraídos. Após isto, os 
resultados devem ser divididos: 
TAREFAS PSEUDOCÓDIGO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SELETIVA - nesta estrutura avalia-se a condição (SE) e, a partir desta saída, executa-se 
a TAREFA 1 (SIM) ou a TAREFA 2 (NÃO). 
TAREFAS PSEUDOCÓDIGO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REPETITIVA - nesta estrutura há uma sequência de instruções (iterações) que se 
repetem um determinado número de vezes ou até que uma condição seja satisfeita. 
Exemplo: Seja o número natural A >1. Extrair a raiz quadrada de A até que seja menor 
que 1,02. 
PSEUDOCÓDIGO 
 
 
 
 
 
 
 
 
Erro absoluto = |x exato – x aproximado| 
Erro relativo = Erro absoluto /|x exato| 
 
 
 
 
 
 
Aula 3 – Solução de equações transcendentes e polinomiais 
 
 
 
APLICANDO CONHECIMENTO – EX. 1 
Seja a função f(x) = x2 – 3. Determinar a raiz positiva com tolerância de 0,1. 
 
 
 
APLICANDO CONHECIMENTO – EX. 2 
Determine a raiz da função f(x) = ex – 3x localizada no intervalo [0; 1], com erro de 0,01 
MÉTODO DA FALSA POSIÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
APLICANDO O CONHECIMENTO – EX. 3 
Seja a função f(x) = x2 – 3. Determinar a raiz positiva com tolerância de 0,1. 
 
Aula 4 – Solução de equações transcendentes e polinomiais (continuação) 
MÉTODO DO PONTO FIXO OU MÉTODO ITERATIVO LINEAR 
• Deseja-se resolver a equação f(x) = 0 que apresenta dificuldades para a procura das 
raízes; 
• Reescrevemos a função f(x) como sendo x = F(x); 
• Se garantirmos que a solução da equação x = F (x) também é solução de f(x) = 0, 
podemos resolver esta em lugar da primeira; 
• O valor x é chamado um ponto fixo da segunda equação. 
 
 
 
 
 
DETERMINAÇÃO DA FUNÇÃO F (x) 
Exemplo 1 - Seja a função f(x) = x2 + x - 6. Determinar possíveis funções para F (x). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2 - Seja a função f(x) = x3 - x - 1. Determinar possíveis funções para F (x). 
 
APLICANDO O CONHECIMENTO – EX.1 
Determine uma raiz real da equação x3 - x – 1 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MÉTODO DE NEWTON RAPHSON (DAS TANGENTES) 
• A estimativa do zero da função y=f(x) é feita a partir da reta tangente à função; 
• A partir de uma valor inicial estimado de “x”, determina-se a equação da reta 
tangente neste ponto; 
• Determina-se o “x” correspondente da interseção desta reta tangente com o eixo das 
abscissas; 
• Este novo valor de “x” é utilizado para repetir o processo iterativo. 
 
 
 
 
APLICANDO O CONHECIMENTO – EX. 2 
Seja a função f(x) = ex – 3x. Determinar a raiz positiva com tolerância de 0,01. 
 
Aula 5 – Sistema de Equações lineares 
MÉTODO DE GAUSS - JORDAN 
• Um dos métodos utilizados na resolução de sistemas lineares é o de Gauss-Jordan; 
• Consiste em gerar uma matriz diagonal (elementos que não pertencem à diagonal 
principal, iguais a zero); 
• Operações elementares serão efetuadas com as linhas / colunas; 
• Não é iterativo e sim um método direto pois conduz à solução exata a menos de 
erros de arredondamento, introduzidos pela máquina, após um número finito de 
passos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SISTEMA COM AS MODIFICAÇÕES: 
 
Com operações semelhantes eliminamos "y" e "z" da primeira linha, "z" da segunda 
linha e "y" da terceira linha. 
 
Resposta: x=1; y=2; z=4. 
 
 
MÉTODO DE GAUSS - JACOBI 
• Considere um sistema linear com “n” equações e “n” 
incógnitas; 
• Método iterativo que consiste em uma solução inicial (x(0), 
y(0), z(0)...) que será substituída na expressão de recorrência 
e testada segundo um critério de parada; 
• Fórmula de recorrência: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
APLICANDO O CONHECIMENTO – EX.1 
• Avalie a convergência do método de Gauss-Jacobi para o sistema linear abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
APLICANDO O CONHECIMENTO – EX.2 
• Resolva o sistema linear pelo método de Gauss-Jacobi com precisão de 0,01.