Resolução lista 9 IPE

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BC0406: Intr. à Prob. e à Estatística UFABC Resolução da Lista 09 v1 
 
 
Fernando Freitas Alves fernando.freitas@aluno.ufabc.edu.br 31/03/13 – pág. 1/7 
1. 
𝑃𝑒𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑀𝑎𝑟𝑘𝑜𝑣: 
𝑃(𝑋 ≥ 𝑎) ≤
𝐸[𝑋]
𝑎
 
𝑆𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑎 = 20𝑐𝑚 𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑜 𝑎𝑡𝑖𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑒𝑟𝑟𝑒, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 
𝑃(𝑋 ≥ 20) ≤
5
20
 
⇒ 𝑃(𝑋 ≥ 20) ≤
1
4
 
 
2. 
𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑎 𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝜇 = 20, 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 < 𝑋 < 40, 𝑏𝑢𝑠𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑐𝑖𝑑𝑎 𝑐𝑜𝑚 
𝑎 𝑑𝑒 𝐶ℎ𝑒𝑏𝑦𝑠ℎ𝑒𝑣, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 
0 < 𝑋 < 40 
⇒ 0 − 𝜇 < 𝑋 − 𝜇 < 40 − 𝜇 
⇒ 0 − 20 < 𝑋 − 20 < 40 − 20 
⇒ −20 < 𝑋 − 20 < 20 
⇒ |𝑋 − 20| < 20 
𝑂𝑢 𝑠𝑒𝑗𝑎, 𝑝𝑟𝑜𝑐𝑢𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒: 
𝑃(0 < 𝑋 < 40) = 𝑃(|𝑋 − 20| < 20) 
⇒ 𝑃(0 < 𝑋 < 40) = 1 − 𝑃(|𝑋 − 20| ≥ 20) 
𝑃𝑒𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝐶ℎ𝑒𝑏𝑦𝑠ℎ𝑒𝑣: 
𝑃(|𝑋 − 𝜇| ≥ 𝑘) ≤
𝜎2
𝑘2
 , 
⇒ −𝑃(|𝑋 − 𝜇| ≥ 𝑘) ≥ −
𝜎2
𝑘2
 
𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝜎2 é 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 à 𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝜇 = 20, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 
𝑃(0 < 𝑋 < 40) ≥ 1 −
20
202
 
⇒ 𝑃(0 < 𝑋 < 40) ≥ 1 −
1
20
 
⇒ 𝑃(0 < 𝑋 < 40) ≥
19
20
 
 
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3. 
a) 𝑃𝑒𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑀𝑎𝑟𝑘𝑜𝑣: 
𝑃(𝑋 ≥ 85) ≤
75
85
=
15
17
 
 
b) 𝑆𝑒𝑔𝑢𝑖𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐶ℎ𝑒𝑏𝑦𝑠ℎ𝑒𝑣: 
65 < 𝑋 < 85 
⇒ 65 − 𝜇 < 𝑋 − 𝜇 < 85 − 𝜇 
⇒ 65 − 75 < 𝑋 − 75 < 85 − 75 
⇒ −10 < 𝑋 − 75 < 10 
⇒ |𝑋 − 75| < 10 
 
𝑃𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑙𝑢𝑖𝑟 𝑞𝑢𝑒: 
𝑃(65 < 𝑋 < 85) = 𝑃(|𝑋 − 75| < 10) 
⇒ 𝑃(65 < 𝑋 < 85) = 1 − 𝑃(|𝑋 − 75| ≥ 10) 
⇒ 𝑃(65 < 𝑋 < 85) ≥ 1 −
𝜎2
102
 
⇒ 𝑃(65 < 𝑋 < 85) ≥ 1 −
25
(2 · 5)2
 
⇒ 𝑃(65 < 𝑋 < 85) ≥ 1 −
1
22
 
⇒ 𝑃(65 < 𝑋 < 85) ≥
3
4
 
 
c) 𝐷𝑒 𝑎𝑐𝑜𝑟𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑚 𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝐶ℎ𝑒𝑏𝑦𝑠ℎ𝑒𝑣: 
𝑃 {|
𝑋1 + 𝑋2 + ⋯ + 𝑋𝑛
𝑛
− 𝜇| ≥ 𝜀} ≤
1
𝑛
·
𝜎2
𝜀2
, 
𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 𝑠ã𝑜 𝑎𝑠 𝑛𝑜𝑡𝑎𝑠 𝑑𝑜𝑠 𝑛 𝑎𝑙𝑢𝑛𝑜𝑠 𝑒 𝜀 é 𝑜 𝑘 𝑑𝑒 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 (5, 𝑛𝑒𝑠𝑡𝑒 
𝑐𝑎𝑠𝑜). 𝑃 𝑎𝑞𝑢𝑖 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠𝑎 𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑎𝑠 𝑛𝑜𝑡𝑎𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑟𝑒𝑚 𝑓𝑜𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝜇 ± 𝜀. 
𝑇𝑜𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 ℙ 𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑎𝑠 𝑛𝑜𝑡𝑎𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑟𝑒𝑚 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝜇 ± 𝜀: 
ℙ = 𝑃 {|
𝑋1 + 𝑋2 + ⋯ + 𝑋𝑛
𝑛
− 𝜇| < 𝜀} 
ℙ = 1 − 𝑃 {|
𝑋1 + 𝑋2 + ⋯ + 𝑋𝑛
𝑛
− 𝜇| ≥ 𝜀} 
𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑠𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑛 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜: 
ℙ ≥ 0,9 
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⇒ 1 − 𝑃 {|
𝑋1 + 𝑋2 + ⋯ + 𝑋𝑛
𝑛
− 𝜇| ≥ 𝜀} ≥ 0,9 
⇒ 1 −
𝜎2
𝑛𝜀2
≥ 0,9 
⇒ 𝑛 =
𝜀2
0,1𝜎2
 
⇒ 𝑛 =
52
0,1 · 25
 
⇒ 𝑛 =
1
0,1
 
⇒ 𝑛 = 10 
 
4. 
𝐷𝑒 𝑎𝑐𝑜𝑟𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑚 𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝐶ℎ𝑒𝑏𝑦𝑠ℎ𝑒𝑣: 
𝑃 {|
𝑋1 + 𝑋2 + ⋯ + 𝑋𝑛
𝑛
− 𝜇| ≥ 𝜀} ≤
𝜎2
𝑛𝜀2
 
𝑇𝑜𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑙 𝑋 = {
1 , 𝑠𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑎 
0 , 𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑜𝑎
 , 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 
𝑋1 + 𝑋2 + ⋯ + 𝑋𝑛 = 𝑆𝑛 
𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑃(𝑋) =
1
2
 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑜𝑎, 𝑠𝑎𝑏𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒: 
𝜎2 = 𝑉𝐴𝑅[𝑋] = 𝐸[𝑋2] − (𝐸[𝑋])2 
⇒ 𝜎2 = (12 ·
1
2
+ 02 ·
1
2
) − (1 ·
1
2
+ 0 ·
1
2
)
2
 
⇒ 𝜎2 =
1
2
−
1
4
 
⇒ 𝜎2 =
1
4
 
𝑆𝑎𝑏𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝜇 =
1
2
 𝑒 𝜀 = 0,1, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 ℙ 𝑑𝑜 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 é: 
ℙ = 1 − 𝑃 {|
𝑆𝑛
𝑛
−
1
2
| ≥ 0,1} ≥ 1 −
1
4(0,1)2𝑛
 
𝐴𝑠𝑠𝑖𝑚, 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑚: 
1. 𝑛 = 100 ⇒ ℙ ≥ 1 − 1/4 = 3/4 
2. 𝑛 = 10000 ⇒ ℙ ≥ 1 − 1/400 = 399/400 
3. 𝑛 = 100000 ⇒ ℙ ≥ 1 − 1/4000 = 3999/4000 
 
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5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
𝐷𝑒𝑣𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑢𝑚𝑎 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎çã𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑃(𝑋 > 525). 
𝐷𝑒 𝑎𝑐𝑜𝑟𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑚 𝑜 𝑡𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑜 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒, 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑧𝑒𝑟 𝑎 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎çã𝑜: 
𝑃 {
∑ 𝑋𝑖
𝑛
𝑖=1 − 𝑛𝜇
𝜎√𝑛
≤ 𝑎} → Φ(𝑎) 
⇒ 𝑃 {∑ 𝑋𝑖
100
𝑖=1
> 525} = 𝑃 {
∑ 𝑋𝑖
100
𝑖=1 − 𝑛𝜇
𝜎√𝑛
>
525 − 𝑛𝜇
𝜎√𝑛
} 
⇒ 𝑃 {∑ 𝑋𝑖
100
𝑖=1
> 525} = 𝑃 {𝑍 >
525 − 𝑛𝜇
𝜎√𝑛
} 
⇒ 𝑃 {∑ 𝑋𝑖
100
𝑖=1
> 525} = 1 − 𝑃 {𝑍 ≤
525 − 𝑛𝜇
𝜎√𝑛
} 
⇒ 𝑃 {∑ 𝑋𝑖
100
𝑖=1
> 525} ≈ 1 − Φ (
525 − 𝑛𝜇
𝜎√𝑛
) 
𝑃𝑒𝑙𝑜 𝑓𝑎𝑡𝑜 𝑑𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑙 𝑎𝑙𝑒𝑎𝑡ó𝑟𝑖𝑎 𝑠𝑒𝑟 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎𝑙𝑔𝑢𝑚 𝜆 > 0, 𝑠𝑢𝑎 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 
𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 é 𝑑𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟: 
𝑓(𝑥) = { 𝜆𝑒
−𝜆
0 
 
𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0
𝑠𝑒 𝑥 < 0
, 
𝑐𝑜𝑚 𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝜇 =
1
𝜆
 𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝜎2 =
1
𝜆2
. 
𝑇𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑞𝑢𝑒: 
𝜎 = 𝜇 = 5 
𝑃𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜, 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑟 𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑛 = 100 𝑝𝑜𝑟: 
𝑃 {∑ 𝑋𝑖
100
𝑖=1
> 525} ≈ 1 − Φ (
525 − 100 · 5
5√100
) 
⇒ 𝑃 {∑ 𝑋𝑖
100
𝑖=1
> 525} ≈ 1 − Φ(0,5) = 0,3085 
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12. 
⊢∶ lim
𝑛→∞
𝑒−𝑛 ∑
𝑛𝑘
𝑘!
𝑛
𝑘=0
=
1
2
 
𝑈𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑠𝑢𝑔𝑒𝑠𝑡ã𝑜, 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑒 𝑎 𝑠𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑖𝑠 𝑎𝑙𝑒𝑎𝑡ó𝑟𝑖𝑎𝑠 
𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑒 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢í𝑑𝑎𝑠 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 𝑐𝑜𝑚 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖çã𝑜 𝑑𝑒 
𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛, 𝑜𝑢 𝑠𝑒𝑗𝑎, 𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝜇 = 𝜎2 = 𝜆 = 1. 
𝑇𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑞𝑢𝑒: 
𝑃(𝑋 = 𝑖) = 𝑒−𝜆
𝜆𝑖
𝑖!
 ; 𝑖 ≥ 0 
⇒ 𝑃 {∑ 𝑋𝑖
𝑛
𝑖=0
≤ 𝑛} = ∑ 𝑃(𝑋 = 𝑘)
𝑛
𝑘=0
 
⇒ 𝑃 {∑ 𝑋𝑖
𝑛
𝑖=0
≤ 𝑛} = ∑ 𝑒−𝜆
𝜆𝑘
𝑘!
𝑛
𝑘=0
 
⇒ 𝑃 {∑ 𝑋𝑖
𝑛
𝑖=0
≤ 𝑛} = 𝑒−𝜆 ∑
𝜆𝑘
𝑘!
𝑛
𝑘=0
 
𝐿𝑜𝑔𝑜, 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑛 → ∞: 
lim
𝑛→∞
𝑃 {∑ 𝑋𝑖
𝑛
𝑖=0
≤ 𝑛} = lim
𝑥→∞
𝑒−𝜆 ∑
𝜆𝑘
𝑘!
𝑛
𝑘=0
 
𝑃𝑒𝑙𝑜 𝑡𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑜 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒, 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑖𝑧𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒: 
lim
𝑛→∞
𝑃 {∑ 𝑋𝑖
𝑛
𝑖=0
≤ 𝑛} = lim
𝑛→∞
𝑃 (
𝑋 − 𝑛𝜇
𝜎√𝑛
≤
𝑛 − 𝑛𝜇
𝜎√𝑛
) 
⇒ lim
𝑥→∞
𝑒−𝜆 ∑
𝜆𝑘
𝑘!
𝑛
𝑘=0
= lim
𝑛→∞
Φ (
𝑛 − 𝑛𝜇
𝜎√𝑛
) 
𝑇𝑜𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 𝜆 = 𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 𝑠𝑜𝑚𝑎 𝑒 𝑠𝑎𝑏𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝜇 = 𝜎2 = 1, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 
lim
𝑥→∞
𝑒−𝑛 ∑
𝑛𝑘
𝑘!
𝑛
𝑘=0
= lim
𝑛→∞
Φ (
𝑛 − 𝑛
√𝑛
) 
⇒ lim
𝑥→∞
𝑒−𝑛 ∑
𝑛𝑘
𝑘!
𝑛
𝑘=0
= Φ(0) 
⇒ lim
𝑥→∞
𝑒−𝑛 ∑
𝑛𝑘
𝑘!
𝑛
𝑘=0
=
1
2
 ∎ 
 
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13. 
𝐷𝑒 𝑎𝑐𝑜𝑟𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑚 𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝐶ℎ𝑒𝑏𝑦𝑠ℎ𝑒𝑣: 
𝑃(|𝑋𝑛 − 𝜇| ≥ 𝜀) ≤
𝜎2
𝜀2
 
⇒ lim
𝑛→∞
𝑃(|𝑋𝑛 − 𝜇| ≥ 𝜀) = lim
𝑛→∞
𝑃(|𝑋𝑛 − 𝛼| ≥ 𝜀) = lim
𝑛→∞
𝜎2
𝜀2
 
⇒ lim
𝑛→∞
𝑃(|𝑋𝑛 − 𝛼| ≥ 𝜀) = 0 ∎ 
 
14. 
𝐷𝑒 𝑎𝑐𝑜𝑟𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑚 𝑜 𝑡𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑜 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒:𝑃 (
∑ 𝑋𝑖
𝑛
𝑖=1 − 𝑛𝜇
𝜎√𝑛
≤ 𝑎) = 𝑃 (
𝑋 − 𝜇
𝜎/√𝑛
≤ 𝑎) → Φ(𝑎) 
⇒ 𝑃 (−𝑎 ≤
𝑋 − 𝜇
𝜎/√𝑛
≤ 𝑎) = Φ(𝑎) − (1 − Φ(𝑎)) 
⇒ 𝑃 (𝑋 − 𝑎
𝜎
√𝑛
≤ 𝜇 ≤ 𝑋 + 𝑎
𝜎
√𝑛
) = 2Φ(𝑎) − 1 = 𝑝 
𝑂𝑛𝑑𝑒 
𝜎
√𝑛
= 𝜎𝑋 é 𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑣𝑖𝑜 𝑝𝑎𝑑𝑟ã𝑜 𝑑𝑎 𝑚é𝑑𝑖𝑎. 𝐿𝑜𝑔𝑜, 𝑎 𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑖𝑟𝑎 𝑒𝑠𝑡á 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 
𝑋 ± 𝑎𝜎𝑋 , 𝑜𝑢 𝑠𝑒𝑗𝑎: 
⇒ 𝑋 − 𝑎𝜎𝑋 ≤ 𝜇 ≤ 𝑋 + 𝑎𝜎𝑋 
∴ 𝐼𝐶(𝜇, 𝑝) = [𝑋 − 𝑎𝜎𝑋; 𝑋 + 𝑎𝜎𝑋] 
𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑛ç𝑎 𝑝 𝑓𝑜𝑖 𝑑𝑎𝑑𝑜: 
2Φ(𝑎) − 1 = 0,96 
⇒ Φ(𝑎) = 0,98 
⇒ 𝑎 ≈ 2,055 
𝑃𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜, 𝑠𝑎𝑏𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑎 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑖𝑟𝑎 𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑒𝑠𝑡á 𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑛ç𝑎 𝑞𝑢𝑒 é 
𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟: 
𝐼𝐶(𝜇, 96%) = [𝑋 − 𝑎
𝜎
√𝑛
; 𝑋 + 𝑎
𝜎
√𝑛
] 
⇒ 𝐼𝐶(𝜇, 96%) ≈ [25 − 2,055√
50
500
; 25 + 2,055√
50
500
] 
⇒ 𝐼𝐶(𝜇, 96%) ≈ [24,35; 25,65] 
 
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15. 
𝑃𝑒𝑙𝑜 𝑒𝑥𝑒𝑟𝑐í𝑐𝑖𝑜 14, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒: 
𝐼𝐶(𝜇, 𝑝) = [𝑋 − 𝑎
𝜎
√𝑛
; 𝑋 + 𝑎
𝜎
√𝑛
] 
⇒ 𝐼𝐶(𝜇, 95%) = [501,2 − 𝑎
4
√100
; 501,2 + 𝑎
4
√100
] 
𝑇𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒, 𝑝𝑒𝑙𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑛ç𝑎 𝑑𝑎𝑑𝑜: 
Φ(𝑎) =
0,95 + 1
2
 
⇒ Φ(𝑎) = 0,975 
⇒ 𝑎 = 1,96 
∴ 𝐼𝐶(𝜇, 95%) = [501,2 − 1,96
4
√100
; 501,2 + 1,96
4
√100
] 
⇒ 𝐼𝐶(𝜇, 95%) = [500,416; 501,984] 
 
16. 
17. 
18.