Mecânica Quântica - Notas de aula

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARING�A
DEPARTAMENTO DE F�ISICA
Meca^nica Qua^ntica
Notas de Aula
Prof. Luis Carlos Malacarne
Maring�a, 2014
Pref�acio
Estas notas n~ao s~ao de forma alguma uma tentativa de um texto in�edito, mas sim,
apenas uma forma de juntar informa�c~oes obtidas de textos publicados por v�arios autores.
De uma variedade grande de textos, nos concentramos principalmentes nas tre^s refere^ncias
abaixo:
J. J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics, Addison Wesley Publishing Company,
New York, 1994.
R. L. Libo�, Introductory Quantum Mechanics, 2nd edition, Addison Wesley Publish-
ing Company, New York, 1993.
D. J. Gri�ths, Introduction to Quantum Mechanics, Prentice Hall, New Jersey, 1994.
A meca^nica qua^ntica se diferencia da meca^nica cl�assica em v�arios aspectos. Primeira-
mente do ponto de vista conceitual, o qual introduz novos conceitos de como interpretrar
a natureza. O segundo aspecto est�a relacionado com o formalismo matem�atico usado,
especialmente na nota�c~ao de Dirac. Seria importante no decorrer do curso que o aluno
�zesse um esfor�co para separar os dois aspectos. Antes de qualquer coisa tentar entender
onde se quer chegar, quais os resultados obtidos em cada etapa da teoria e diferen�cas
da teoria cl�assica. Em adi�c~ao, procurar conectar os conceitos novos com os problemas e
tecnologias atuais. Essa postura cr��tica e o esp��rito de curiosidade podem fazer o curso se
tornar mais atraente.
2
Conte�udo
1 Revis~ao de Meca^nica Cl�assica e Probabilidade 8
1.1 Formalismo Lagrangeano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.1 Coordenadas generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.2 O princ��pio da m��nima a�c~ao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.3 Sistemas de refere^ncia e relatividade galileana. . . . . . . . . . . . . 11
1.1.4 Fun�c~ao de Lagrange para um sistema de pontos materiais. . . . . . 12
1.1.5 Regras de simetria e leis de conserva�c~ao. . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2 Formalismo Hamiltoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.1 As equa�c~oes de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.2 Colchetes de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.3 Transforma�c~oes cano^nicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.4 A equa�c~ao de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3 Probabilidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.4 Exerc��cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2 Revis~ao hist�orica 27
2.1 Experimentos n~ao descritos pela f��sica cl�assica . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.1 Radia�c~ao de Corpo Negro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1.2 Efeito Foto El�etrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1.3 Efeito Compton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2 Contribui�c~oes signi�cativas na formula�c~ao
da Meca^nica Qua^ntica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.1 Conceito de �Atomo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.2 Teoria qua^ntica para os estados ato^micos . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.3 Hip�otese de De Broglie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.4 Difra�c~ao de El�etrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2.5 Princ��pio da Incerteza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2.6 Fun�c~ao de Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3 Operador momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.4 Exerc��cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3
3 Aplica�c~oes da Equa�c~ao de Shrodinger 42
3.1 Equa�c~ao de Schrodinger na Representa�c~ao das Coordenadas . . . . . . . . 42
3.2 Solu�c~oes da Equa�c~ao de Schrodinger Unidimensional . . . . . . . . . . . . 44
3.3 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4 Exerc��cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4 Estados Qua^nticos 48
4.1 Um exemplo de caracteriza�c~ao do estado qua^ntico. Princ��pio de sobreposi�c~ao
de estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.1.1 Revis~ao de espa�cos vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.1.2 Depende^ncia Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.1.3 Produto escalar, bras e Kets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.2 Operadores, Observ�aveis, Auto-Estados e Autovalores . . . . . . . . . . . 51
4.2.1 Medida e prepara�c~ao de sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.2.2 Operadores lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.2.3 Operadores adjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2.4 Auto-estados de um operador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.2.5 Auto-estados como Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.2.6 Representa�c~ao matricial de um operador . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.2.7 Mudan�ca de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.2.8 Diagonaliza�c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.2.9 Observ�aveis e completeza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.3 Exerc��cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5 Operadores de Posi�c~ao e Momento 71
5.1 Espectro Cont��nuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.2 Auto-estado e Medidas de Posi�c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.2.1 Operador Posi�c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.2.2 Transla�c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.2.3 Auto-fun�c~oes no espa�co das posi�c~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.2.4 Operador Momento no Espa�co das Coordenadas . . . . . . . . . . . 75
5.3 Auto-fun�c~ao no Espa�co dos Momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.4 Exerc��cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6 Dina^mica Qua^ntica 81
6.1 Operador Evolu�c~ao Temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.2 Auto-estados de Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.3 Depende^ncia Temporal dos Valores M�edios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.4 Representa�c~ao de Schrodinger e de Heisemberg . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.5 Oscilador Harmo^nico Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.6 Equa�c~ao de Schrodinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4
6.7 Exerc��cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
7 Teoria do Momento Angular 95
7.1 Rota�c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
7.2 Rota�c~ao em Meca^nica Qua^ntica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
7.3 Auto-valores e Auto-vetores do Momento Angular . . . . . . . . . . . . . . 100
7.4 Elementos de Matriz do Operador Momento Angular . . . . . . . . . . . . 102
7.5 Momento Angular Orbital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.6 Harmo^nicos Esf�ericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
7.7 Teoria Formal de Adi�c~ao de Momento Angular . . . . . . . . . . . . . . . . 108
7.8 Adi�c~ao de Momento-Angular - Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
7.9 Exerc��cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
8 Potencial Central 124
8.1 Solu�c~ao da Parte Radial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
8.1.1 Part��cula Livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 127
8.1.2 �Atomo de hidroge^nio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
8.2 Exerc��cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
9 M�etodos de Aproxima�c~ao 137
9.1 M�etodo WKB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
9.1.1 Potencial Con�nante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
9.1.2 Barreira de Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
9.2 Teoria da Perturba�c~ao Independente do Tempo . . . . . . . . . . . . . . . 147
9.2.1 Caso n~ao Degenerado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
9.2.2 Caso Degenerado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
9.3 Teoria de Perturba�c~ao Dependente do Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . 164
9.3.1 Perturba�c~ao Harmo^nica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
9.3.2 Radia�c~ao de Corpo Negro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
9.4 Aproxima�c~ao Adiab�atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
9.5 M�etodo Variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
9.6 M�etodo de Hartree-Fock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
9.7 Exerc��cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
10 Teoria de Espalhamento 186
10.1 Se�c~ao de Choque - Espalhamento El�astico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
10.2 Equa�c~ao de Lippmann-Schwinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
10.3 Aproxima�c~ao de Born . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
10.4 Aproxima�c~ao de Born de alta ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
10.5 M�etodo de ondas parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
10.6 Part��culas Ide^nticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
10.7 Espalhamento Inel�astico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
5
10.8 Exerc��cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
11 Part��culas ide^nticas 205
11.1 Sistema de duas part��culas ide^nticas n~ao interagentes . . . . . . . . . . . . 206
11.1.1 For�cas de Troca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
11.1.2 Sistema de duas part��culas e tre^s n��veis . . . . . . . . . . . . . . . . 211
11.2 Sistema de N part��culas n~ao interagentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
11.3 G�as ideal qua^ntico no ensemble microcano^nico . . . . . . . . . . . . . . . . 215
11.4 A conex~ao com a termodina^mica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
11.4.1 Limite Cl�assico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
11.5 Operador Densidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
11.5.1 Evolu�c~ao Temporal do Operador Densidade . . . . . . . . . . . . . 224
11.5.2 Generaliza�c~ao para o Cont��nuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
11.5.3 Meca^nica Estat��stica Qua^ntica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
11.6 Exerc��cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
12 Meca^nica qua^ntica relativ��stica 229
12.1 Quadrivetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
12.2 Transforma�c~ao de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
12.3 Dilata�c~ao do tempo e contra�c~ao do espa�co . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
12.4 Equa�c~ao de Klein-Gordon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
12.5 Part��cula em um campo eletromagn�etico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
12.6 Equa�c~ao de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
12.7 Solu�c~ao da equa�c~ao de Dirac livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
12.8 Intera�c~ao com o campo eletromagn�etico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
12.9 Descri�c~ao Covariante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
12.10Exerc��cios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
13 Introdu�c~ao a Segunda Quantiza�c~ao 263
13.1 Osciladores Harmo^nicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
13.2 Quantiza�c~ao do campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
13.2.1 Cadeia ato^mica linear: caso cl�assico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
13.2.2 Cadeia ato^mica linear: Tratamento qua^ntico . . . . . . . . . . . . . 268
13.2.3 Transi�c~ao para o cont��nuo: Caso cl�assico . . . . . . . . . . . . . . . 271
13.2.4 Transi�c~ao para o cont��nuo: Caso qua^ntico . . . . . . . . . . . . . . 275
13.3 Segunda quantiza�c~ao do campo de Schrodinger: Caso Boso^nico . . . . . . . 277
13.3.1 Campo de Onda cl�assico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
13.3.2 Quantiza�c~ao do campo de Schrodinger livre . . . . . . . . . . . . . 279
13.3.3 Quantiza�c~ao do campo de Schrodinger com V (x) . . . . . . . . . . 286
13.4 Segunda quantiza�c~ao do campo de Schrodinger : Caso fermio^nico . . . . . 287
13.4.1 Segunda quantiza�c~ao do campo de Schrodinger livre : Caso fermio^nico288
6
13.4.2 Segunda quantiza�c~ao do campo de Schrodinger com V (x): Caso
fermio^nico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
13.5 Quantiza�c~ao do sistema el�etron-corda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
13.5.1 Equa�c~oes de Movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
13.5.2 Lagrangeana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
13.5.3 Hamiltoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
13.5.4 Quantiza�c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
13.5.5 Expans~ao com respeito as autofun�c~oes . . . . . . . . . . . . . . . . 298
13.6 Part��culas Relativ��sticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
13.7 Exerc��cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
7
Cap��tulo 1
Revis~ao de Meca^nica Cl�assica e
Probabilidade
1.1 Formalismo Lagrangeano
1.1.1 Coordenadas generalizadas
Ao nos depararmos com um problema em Meca^nica, o primeiro passo a ser dado
�e de�nir as equa�c~oes do movimento e selecionar um sistema de coordenadas que seja
conveniente para a resolu�c~ao do problema. No entanto, �e necess�ario ter em mente que
as equa�c~oes do movimento devem assumir a mesma forma independentemente do sistema
de coordenadas adotado. Ent~ao, por quest~ao de simplicidade, ao inv�es de de�nirmos um
grupo de equa�c~oes para cada sistema de coordenadas, sejam elas cartesianas, polares,
cil��ndricas ou esf�ericas, de�niremos apenas um grupo de equa�c~oes do movimento usando
as chamadas coordenadas generalizadas. Por coordenadas generalizadas entende-se que
sejam grandezas quaisquer q1, q2, q3,..., qs, que caracterizam completamente a posi�c~ao de
um sistema com s graus de liberdade .
Apenas conhecer as coordenadas generalizadas de um sistema meca^nico cl�assico, num
dado instante de tempo, n~ao �e su�ciente para determinar a posi�c~ao do sistema num in-
stante seguinte. Contudo, se for conhecidas as coordenadas e velocidades generalizadas,
sim. Consequentemente, poderemos predizer o seu movimento posterior. Usando a lin-
guagem matem�atica, dizemos que, a especi�ca�c~ao das coordenadas e velocidades gener-
alizadas num dado instante de tempo de�ne de modo un��voco o valor das acelera�c~oes
generalizadas para aquele instante de tempo.
As rela�c~oes que conectam as coordenadas, velocidades e acelera�c~oes generalizadas s~ao
chamadas equa�c~oes do movimento, e s~ao equa�c~oes diferenciais do segundo grau, cuja inte-
8
gra�c~ao a priori permite determinar essas fun�c~oes q(t), ou seja, as trajet�orias do movimento
do sistema meca^nico.
1.1.2 O princ��pio da m��nima a�c~ao.
O princ��piode m��nima a�c~ao, tamb�em conhecido como princ��pio de Hamilton, sendo
expresso como segue: De todas as trajet�orias poss��veis pelas quais um sistema pode
mover-se de um ponto para outro, dentro de um epec���co intervalo de tempo, a trajet�oria
observada �e aquela que minimiza a a�c~ao do sistema considerado, uma grandeza f��sica com
dimens~ao equivalente de energia multiplicada pela de tempo (Joule-segundo no S.I.). O
m�etodo pelo qual obtem-se este m��nimo �e exposto como segue.
Seja um sistema conservativo no qual uma determinada part��cula ocupa a posi�c~ao P1,
num instante de tempo t1, e, que esta posi�c~ao �e o v�ertice de um quadrado. Transcorrido um
certo intervalo de tempo a part��cula ocupar�a a posi�c~ao P2, que �e o v�ertice diametralmente
oposto a P1. Matematicamente h�a m�ultiplas trajet�orias poss��veis entre as posi�c~oes P1 e
P2.
Primeiramente de�ne-se a fun�c~ao de Lagrange que caracteriza um sistema meca^nico
qualquer por
L( _q1; _q2; :::; _qs; q1; q2; :::; qs; t); (1.1)
onde qs indica as coordenadas generalizadas e, _qs as velocidades generalizadas. Ent~ao,
escrevemos a integral a�c~ao como
I =
Z t2
t1
L( _q1; _q2; :::; _qs; q1; q2; :::; qs; t)dt: (1.2)
O problema consiste em encontrar as equa�c~oes diferenciais que adequem-se a condi�c~ao de
ser um m��nimo para esta integral. Para tornar a tarefa mais simples impomos apenas um
grau de liberdade ao sistema, dessa forma o mesmo ser�a de�nido por apenas uma fun�c~ao
q(t). E ent~ao usando o c�alculo variacional podemos encontrar uma fun�c~ao q=q(t) para a
qual a equa�c~ao (1:2) apresenta um m��nimo, e que ela adeque-se a seguinte condi�c~ao
q(t1) = P1; (1.3)
e
q(t2) = P2: (1.4)
Adicionando em q(t) um pequeno m�ultiplo de uma outra fun�c~ao �q(t), temos
q(t) + �q(t): (1.5)
9
Uma vez que a fun�c~ao (1:5) continue a passar pelos mesmos pontos P1 e P2, aceitamos
que �q(t) �e nula nestas posi�c~oes, assim
�q(t1) = �q(t2) = 0: (1.6)
Com esta adi�c~ao os novos valores para q(t) e _q(t) ser~ao
q(t) + �q(t) (1.7)
e
_q(t) + � _q(t): (1.8)
De modo que o novo valor da equa�c~ao (1:1) ser�a
L( _q + � _q; q + �q; t) �= L( _q; q; t) + @L
@ _q
� _q +
@L
@q
�q: (1.9)
O segundo membro da equa�c~ao (1:9) �e obtido por meio de uma expans~ao em s�erie. Feita
esta considera�c~ao a integral a�c~ao ser�a dada por
�I =
Z t2
t1
L( _q + � _q; q + �q; t)dt �
Z t2
t1
L( _q; q; t)dt �=
Z t2
t1
�
@L
@ _q
� _q +
@L
@q
�q
�
dt: (1.10)
Usando que
@L
@ _q
� _q =
d
dt
�
@L
@ _q
�q
�
�
�
d
dt
�
@L
@ _q
��
�q ; (1.11)
ou seja Z t2
t1
(
@L
@ _q
� _q)dt =
@L
@ _q
�q
∣∣∣∣t2
t1
�
Z t2
t1
�
d
dt
�
@L
@ _q
��
�qdt: (1.12)
Levando em conta (1:6) o primeiro termo do lado direito da equa�c~ao (1.11) �e anulado,
consequentemente a equa�c~ao (1:10) ser�a o mesmo que
�I �=
Z t2
t1
�
@L
@q
� d
dt
@L
@ _q
�
�qdt (1.13)
Sabendo que as equa�c~oes diferenciais desejadas devem ser um valor m��nimo assumido para
a integral a�c~ao, impomos ent~ao que a equa�c~ao anterior seja igual a zero, que �e a condi�c~ao
necess�aria para um m��nimo. LogoZ t2
t1
�
@L
@q
� d
dt
@L
@ _q
�
�qdt = 0: (1.14)
Para que a integral seja nula �e su�ciente que o integrando seja nulo
10
@L
@q
� d
dt
@L
@ _q
= 0: (1.15)
Caso o sistema meca^nico apresente s graus de liberdade as s fun�c~oes qi(t) devem variar
independentemente. Feita esta considera�c~ao
d
dt
@L
@ _qi
� @L
@qi
= 0; i = 1; 2; :::; s: (1.16)
Estas s~ao as equa�c~oes diferenciais procuradas, e constituem as equa�c~oes de movimento
do sistema, denominadas em Meca^nica como equa�c~oes de Euler-Lagrange. Dessa forma,
ao estabelecermos a fun�c~ao de Lagrange de um sistema meca^nico obtemos as rela�c~oes
entre as coordenadas, as velocidades e as acelera�c~oes do sistema dadas pelas equa�c~oes de
Euler-Lagrange (1.16).
1.1.3 Sistemas de refere^ncia e relatividade galileana.
No estudo de feno^menos meca^nicos deve ser escolhido um sistema de refere^ncia para
o qual as equa�c~oes do movimento assumam uma forma matem�atica simples e, se poss��vel,
concisa. O sistema de refere^ncia desejado, �e satisfeito pelo sistema galileico. Nele assume-
se que o espa�co �e homoge^neo e isotr�opico e o tempo uniforme. Dizer que o espa�co �e
homoge^neo e isotr�opico signi�ca comunicar que as partes do mesmo s~ao iguais e apresen-
tam as mesmas propriedades, ou seja, n~ao h�a dire�c~ao preferencial. Por tempo uniforme
entende-se que seus diversos instantes s~ao equivalentes.
Usando a fun�c~ao de Lagrange para um ponto material livre que se movimente em um
sistema galileico podemos chegar a algumas conclus~oes: Da homogeneidade do espa�co
o termo da fun�c~ao de Lagrange que cont�em explicitamente q pode ser desprezado. A
respeito da isotropia do espa�co a fun�c~ao de Lagrange n~ao depender�a da velocidade _q.
Assim, ela �e apenas fun�c~ao do m�odulo de _q. Ent~ao
@L
@ _q
= 0: (1.17)
Mas como a fun�c~ao de Lagrange s�o �e fun�c~ao da velocidade segue que
_q = constante: (1.18)
Da equa�c~ao (1.18), qualquer movimento livre num sistema de refere^ncia galileano �e real-
izado com velocidade constante em m�odulo e dire�c~ao, que �e a conhecida primeira lei de
Newton.
Caso houver outro sistema de refere^ncia provido de um movimento retil��neo uniforme
nas proximidades do sistema galileico, ser�a observada uma velocidade constante para uma
part��cula livre que se mova naquele sistema. Para tais sistemas as leis do movimento s~ao
11
equivalentes, implicando que as propriedades do espa�co e do tempo s~ao as mesmas e
tamb�em as leis da Meca^nica. Isto de�ne o princ��pio da relatividade galileana. Por meio
dela, somos levados a acreditar que o tempo transcorre da mesma forma em ambos os
sistemas de refere^ncia. Disto, obt�em-se a hip�otese do tempo absoluto.
H�a duas equa�c~oes que s~ao denominadas por transforma�c~oes galileanas e, podem ser
obtidas mediante o seguinte racioc��nio: Seja um ponto material livre, e fa�camos ~r e ~r0, suas
coordenadas para dois sistemas de refere^ncia distintos S e S 0, onde o sistema S 0 desloca-
se em rela�c~ao a S com uma velocidade V . Ent~ao as coordenadas est~ao relacionadas pela
rela�c~ao
~r = ~r0 + V t: (1.19)
Disto conclue-se que
t0 = t: (1.20)
Do exposto acima decorre que o princ��pio de relatividade galileana pode ser consider-
ado como algo necess�ario �a invaria^ncia das equa�c~oes do movimento em rela�c~ao as trans-
forma�c~oes galileanas.
1.1.4 Fun�c~ao de Lagrange para um sistema de pontos materiais.
A fun�c~ao de Lagrange para um sistema de pontos materiais que interagem entre si, �e
dada por um acr�escimo de uma fun�c~ao das coordenadas �a equa�c~ao de Lagrange de um
sistema de part��culas livres, ou seja
L =
X
i
mi _q
2
i
2
� U(qi); (1.21)
onde o somat�orio �e um termo de energia cin�etica, e a fun�c~ao U �e a energia potencial do
sistema de part��culas.
Das equa�c~oes de Lagrange temos:
d
dt
@L
@ _qi
=
@L
@qi
: (1.22)
Aplicando L da equa�c~ao (1.21) em (1.22) temos
m
d
dt
_qi = �@U
@qi
: (1.23)
Percebemos que o primeiro membro da equa�c~ao (1.23) equivale �a for�ca, ent~ao
12
Fi = �@U
@qi
: (1.24)
Logo, obtemos as equa�c~oes de Newton. Ent~ao, �ca claro que a for�ca apenas depende das
coordenadas de cada uma das part��culas. Como a for�ca pode ser relacionada ao produto
da massa pela acelera�c~ao, o vetor acelera�c~ao �ca de�nido do mesmo modo.
1.1.5 Regras de simetria e leis de conserva�c~ao.
H�a uma corresponde^ncia direta entre regras de simetria e certas grandezas que s~ao
conservadas. A simetria �e de�nida como a propriedade de um sistema n~ao se modi�car
quando o mesmo �e submetido a alguma transforma�c~ao.
Enunciamos aqui tre^s regrasde simetria: a uniformidade do tempo, a homogeneidade
e isotropia do espa�co. Da uniformidade do tempo chegamos a conclus~ao de que a energia
�e uma grandeza conservada. Isto �e obtido com os seguintes argumentos. A fun�c~ao de
Lagrange para um sistema fechado independe explicitamente do tempo. Sua derivada
total �e escrita como
dL
dt
=
X
i
@L
@qi
_qi +
X
i
@L
@ _qi
qi: (1.25)
Da equa�c~ao (1.16) temos que a equa�c~ao (1.25) �ca:
dL
dt
=
X
i
d
dt
�
@L
@ _qi
_qi
�
; (1.26)
ou
d
dt
 X
i
@L
@ _qi
_qi � L
!
= 0: (1.27)
A derivada sendo nula implica que a grandeza derivada �e uma constante, assim X
i
@L
@ _qi
_qi � L
!
= constante (1.28)
Os sistemas que satisfa�cam esta equa�c~ao s~ao ditos conservativos. Onde esta constante
representa a energia dos mesmos.
Fazendo L = T � U , onde T �e a energia cin�etica e U a energia potencial, usando o
teorema de Euler para fun�c~oes homoge^neas obtemosX
i
@L
@ _qi
_qi =
X
i
@T
@ _qi
_qi = 2T: (1.29)
13
Das equa�c~oes (1.28) e (1.29) temos
T (qi; _qi) + U(qi) = Energia: (1.30)
Considerando a homogeneidade do espa�co a fun�c~ao de Lagrange de um sistema fechado
permane�ce inalterada por uma transla�c~ao espacial. Realizamos ent~ao uma transala�c~ao
in�nitesimal dos raios vetores ~rc ! ~rc + �~r. Para a varia�c~ao das coordenadas cartesianas
fazemos os ~_rc constantes, de modo que a varia�c~ao da fun�c~ao de Lagrange venha a ser dada
por
�L =
X
c
@L
@~rc
�~rc +
X
c
@L
@~_rc
�~_rc = 0: (1.31)
Considerando que a velocidade n~ao seja vari�avel
�~_rc = �
d~rc
dt
=
d�~rc
dt
= 0; (1.32)
ent~ao das equa�c~oes (1.31) e (1.32) temos
�L =
X
c
@L
@~rc
�~rc = 0: (1.33)
Como cada �~rc �e um deslocamento independente, �L = 0 equivale a termosX
c
@L
@~rc
= 0: (1.34)
Lembrando da equa�c~ao (1.16) e considerando _qi como ~_rc e qi como ~rc, ent~aoX
c
d
dt
@L
@~_rc
=
d
dt
X
c
@L
@~_rc
= 0 : (1.35)
Consequentemente,
~P =
X
c
@L
@~_rc
= constante; (1.36)
onde a constante ~P representa o momento linear, uma grandeza vetorial que permanece
inalterada durante o movimento. No caso em que a energia potencial n~ao depende das
velocidades e a energia cin�etica �e T =
P
i
1
2
m _ri
2, temos
~P =
X
c
mc~vc: (1.37)
O signi�cado f��sico da equa�c~ao (1.34) �e
14
Figura 1.1:
X
c
@L
@~rc
=
X
c
�@U
@~rc
=
X
c
~Fc = 0; (1.38)
o som�atorio das for�cas que agem num sistema fechado �e nulo. Em coordenadas general-
izadas qi teremos os momentos lineares generalizados
pi =
@L
@ _qi
: (1.39)
E a derivada parcial em rela�c~ao as coordenadas generalizadas s~ao as for�cas generalizadas.
Disto as equa�c~oes de Lagrange ser~ao expressas na forma
_pi = Fi: (1.40)
Para um sistema de refere^ncia inercial o espa�co �e isotr�opico. Consequentemente as
propriedades meca^nicas de um sistema fechado permanecem inalteradas qualquer que
seja a orienta�c~ao do mesmo. Levamos em conta uma rota�c~ao in�nitesimal de modo que
ela seja representada por um vetor e impomos a condi�c~ao de que a equa�c~ao de Lagrange
permane�ca inalterada. O que �e justi�cado, pois desejamos encontrar uma outra grandeza
que �e conservada. Como indica a �gura 1 o raio ~r representa uma rota�c~ao de um a^ngulo
in�nitesimal �'. Adicionando um �~r ao raio vetor ~r teremos ~r+ �~r.Onde a magnitude do
acr�escimo �e representada por:
j�~rj = rsen� � �': (1.41)
Como da �gura anterior a dire�c~ao do vetor �e perpendicular ao plano de�nido por �' e ~r,
disto escrevemos a equa�c~ao (1.48) como:
�~r = �~'� ~r: (1.42)
Dessa rota�c~ao existe uma varia�c~ao da velocidade que �e dada por
15
� _~r = � _~'� _~r: (1.43)
Com esta rota�c~ao in�nitesimal a equa�c~ao de Lagrange em coordenadas cartesianas �ca:
�L =
X
c
�
@L
@~rc
�~rc +
@L
@ _~rc
� _~rc
�
= 0: (1.44)
De (1.39) e usando a equa�c~ao de Euler-Lagrange temos
_pi =
@L
@qi
: (1.45)
Ent~ao a equa�c~ao (1.44) ser�a escrita comoX
c
_~pc � �~rc +
X
c
~pc � � _~rc = 0: (1.46)
Fazendo uso das equa�c~oes (1.42) e (1.43) a equa�c~ao (1.46) ser�a o mesmo queX
c
[ _~pc � (�~'� ~rc) + ~pc � (�~'� _~rc)] = 0 (1.47)
Realizando uma permuta�c~ao c��clica no triplo produto escalar de (1.47) e levando em conta
que nenhum dos termos venha a ser negativoX
c
[�~' � (~rc � _~pc) + �~' � ( _~rc � ~pc)] = 0: (1.48)
Pondo �~' em evide^ncia e usando a regra da derivada do produto vetorial
�~'
X
c
d
dt
(~r � ~p) = 0: (1.49)
De posse das informa�c~oes que �~' �e arbitr�ario e a derivada (1.49) �e nula, �ca claro que
(~r � ~p) = constante (1.50)
~M =
X
i
(~ri � ~pi) (1.51)
Tal constante �e o momento angular ~M . Signi�cando que, as propriedades de um sistema
meca^nico fechado permanecem inalteradas quando o mesmo se encontra inserido num
dado referencial inercial.
16
1.2 Formalismo Hamiltoniano
1.2.1 As equa�c~oes de Hamilton
A formula�c~ao Lagrangeana permite descrever o estado meca^nico de um sistema fazendo
uso das suas coordenadas e velocidades generalizadas, onde o tempo desempenha o papel
de para^metro. No entanto, h�a um outro m�etodo de realizar a mesma tarefa mas com
algumas vantagens. Nesse m�etodo descrevemos o estado de movimento de um sistema
com ajuda de suas coordenadas e momentos generalizados, de�nidos como
pi =
@L
@ _qi
: (1.52)
O problema consiste em mudar a base do sistema (qi; _qi; t) para (qi; pi; t). Como
L = L(qi; _qi), ent~ao a diferencial de L �e
dL =
X
i
@L
@qi
dqi +
X
i
@L
@ _qi
d _qi +
@L
@t
dt: (1.53)
Usando a de�ni�c~ao de momento e a equa�c~ao de Euler-Lagrange, a equa�c~ao acima se
reduz a
dL =
X
i
_pidqi +
X
i
pid _qi +
@L
@t
dt:: (1.54)
Escrevendo o segundo termo da equa�c~ao acima como d(
P
i pi _qi)�
P
i _qidpi, teremos
d(L�
X
i
pi _qi) =
X
i
_pidq �
X
i
_qidpi +
@L
@t
dt: (1.55)
De�nindo o hamiltoniano como H =
P
pi _qi � L teremos
dH =
X
i
_qidpi �
X
i
_pidqi � @L
@t
dt; (1.56)
ou seja H = H(qi; pi; t), de modo que a diferencial de H seja
dH =
X
i
@H
@qi
dqi +
X
i
@H
@pi
dpi +
@H
@t
dt: (1.57)
Comparando as equa�c~oes (1.56) e (1.57), chegamos ao seguinte resultado
_qi =
@H
@pi
; (1.58)
e
17
_pi = �@H
@qi
: (1.59)
As equa�c~oes (1.58) e (1.59) s~ao as equa�c~oes de Hamilton. Devido a simetria de sua forma
tais equa�c~oes s~ao denominadas cano^nicas.
Tomando a derivada total temporal da fun�c~ao de Hamilton temos
dH
dt
=
X
i
@H
@qi
_qi +
X
i
@H
@pi
_pi +
@H
@t
: (1.60)
Das equa�c~oes (1.58) e (1.59) a equa�c~ao (1.60) �ca
dH
dt
=
@H
@t
: (1.61)
Quando a fun�c~ao de Hamilton n~ao depende explicitamente do tempo, dH
dt
= 0, temos mais
uma vez a lei de conserva�c~ao da energia.
1.2.2 Colchetes de Poisson
Seja f = f(q; p; t), ent~ao sua derivada total temporal ser�a
df
dt
=
@f
@t
+
X
k
�
@f
@qk
_qk +
@f
@pk
_pk
�
: (1.62)
Substituindo _q� e _p� pelos resultados obtidos nas equa�c~oes cano^nicas teremos
df
dt
=
@f
@t
+ ff;Hg; (1.63)
onde
ff;Hg =
X
k
�
@f
@qk
@H
@pk
� @f
@pi
@H
@qi
�
: (1.64)
A express~ao acima �e conhecida como colchetes de Poisson para f e H. Note que no caso
que f = qi ou f = pi, os colchetes de Poisson nos levam as equa�c~oes de Hamilton-Jacobi.
Seguem algumas propriedades do colchetes de Poisson, que s~ao facilmente deduzidas da
sua de�ni�c~ao.
� Primeira propriedade:
ff; gg = �fg; fg: (1.65)
18
� Segunda propriedade:
ff; cg = 0; (1.66)
onde c �e uma constante.
� Terceira propriedade:
ff1 + f2; gg = ff1; gg+ ff2; gg: (1.67)
� Quarta propriedade:ff1f2; gg = f1ff2; gg+ f2ff1; gg: (1.68)
Usando que
ff; gg =
X
k
�
@f
@qk
@g
@pk
� @f
@pk
@g
@qk
�
; (1.69)
caso f ou g venha a coincidir com o momento linear ou coordenadas teremos
ff; qig =
X
k
�
@f
@qk
@qi
@pk
� @f
@pk
@qi
@qk
�
: (1.70)
O primeiro termo do lado direito �e nulo, consequentemente,
ff; qig = �
X
k
�
�ki
@f
@pk
�
: (1.71)
O s��mbolo �ki representa o delta de Kronecker, logo
ff; qig = � @f
@pi
: (1.72)
Igualmente
ff; pig =
X
k
�
@f
@qk
@pi
@pk
� @f
@pk
@pi
@qk
�
; (1.73)
ou seja
ff; pig =
X
k
�
�ki
@f
@qk
�
: (1.74)
Consequentemente,
19
ff; pig = @f
@qi
: (1.75)
Usando as equa�c~oes (1.72) e (1.75) prova-se que
fqi; qkg = 0; (1.76)
fpi; pkg = 0; (1.77)
fqi; pkg = �ik: (1.78)
1.2.3 Transforma�c~oes cano^nicas
As equa�c~oes de Euler-Lagrange s~ao invariantes sob uma transforma�c~ao nas coorde-
nadas generalizadas qi em Qi. Onde tais coordenadas Q ser~ao fun�c~oes das coordenadas q
e tamb�em do tempo.
Qi = Qi(qi; t): (1.79)
Essas transforma�c~oes tamb�em s~ao conhecidas como transforma�c~oes de ponto. Elas
podem ser aplicadas �as equa�c~oes de Hamilton. Isto permite um maior volume de trans-
forma�c~oes, o que �e uma conseque^ncia natural, pois na formula�c~ao Hamiltoniana os momen-
tos lineares s~ao vari�aveis independentes. Realizaremos uma transforma�c~ao de 2s vari�aveis
independentes, p e q, em P e Q obedecendo as seguintes express~oes
Qi = Qi(pi; qi; t); Pi = Pi(pi; qi; t): (1.80)
As condi�c~oes que uma transforma�c~ao dever�a obedecer para que ela seja dita cano^nica
s~ao:
_Qi =
@Ho
@Pi
; _Pi = �@Ho
@Qi
; (1.81)
onde Ho = Ho(P;Q) �e a nova fun�c~ao de Hamilton.
As equa�c~oes de Hamilton podem ser obtidas do princ��pio da a�c~ao m��nima
�
Z
Ldt = 0; (1.82)
usando L =
P
i pi _qi �H, temos
�
Z
(
X
i
pidqi �Hdt) = 0: (1.83)
20
Para que P e Q satisfa�cam as equa�c~oes de Hamilton, devem igualmente satisfazer o
princ��pio da m��nima a�c~ao, logo
�
Z
(
X
i
PidQi �Hodt) = 0: (1.84)
Os integrandos das equa�c~oes (1.92) e (1.93) ir~ao diferir por uma constanteX
i
(pidqi)�Hdt =
X
i
(PidQi)�Hodt+ dF; (1.85)
ou
dF =
X
i
pidqi �
X
i
PidQi + (Ho �H)dt: (1.86)
Implicando que Fi = Fi(qi; Qi; t). Sua diferencial ser�a
dF =
X
i
�
@F
@qi
dqi
�
+
X
i
�
@F
@Qi
dQi
�
+
@F
@t
dt: (1.87)
Comparando (1.86) e (1.87) temos que
pi =
@F
@qi
; (1.88)
Pi = � @F
@Qi
; (1.89)
Ho �H = @F
@t
: (1.90)
Essa transforma�c~ao cano^nica, como qualquer outra desse tipo, �e caracterizada pela fun�c~ao
F , que �e a fun�c~ao geratriz da transforma�c~ao.
Caso desejarmos escrever a fun�c~ao geratriz F em fun�c~ao de q e P ao inv�es de q e Q
deveremos realizar uma transforma�c~ao de Legendre com rela�c~ao a equa�c~ao (1.86). Que �e
escrita como
d(F +
X
i
PiQi) =
X
i
(pidqi) +
X
i
(QidPi) + (Ho �H)dt: (1.91)
Aqui o primeiro membro �e equivalente a diferencial de Fo = F +
P
i PiQi, logo
dFo =
X
i
(
@Fo
@qi
dqi) +
X
i
(
@Fo
@Pi
dPi) +
@Fo
@t
dt: (1.92)
Por meio de uma compara�c~ao entre (1.91) e (1.92) obtemos
21
pi =
@Fo
@qi
; Qi =
@Fo
@Pi
; (Ho �H) = @Fo
@t
: (1.93)
1.2.4 A equa�c~ao de Hamilton-Jacobi
Do princ��pio da m��nima a�c~ao
S =
Z t2
t1
Ldt; (1.94)
a varia�c~ao da a�c~ao quando passada de uma trajet�oria a outra �e dada (para um grau de
liberdade) por
�S =
@L
@ _q
�q
∣∣∣∣t2
t1
+
Z t2
t1
�
@L
@q
� d
dt
@L
@ _q
�
�q dt: (1.95)
Como as trajet�orias de um movimento real satisfazem a equa�c~ao de Lagrange ent~ao,
a integral acima �e nula. Se no primeiro termo �q(t1) = 0, �q(t2) = �q e
@L
@ _q
= p, teremos
�S = pi�qi. Para um n�umero qualquer de graus de liberdade
�S =
X
i
pi�qi: (1.96)
Disto segue que as derivadas parciais em rela�c~ao �as coordenadas s~ao iguais aos impulsos
correspondentes
@S
@qi
= pi: (1.97)
Para considerar a integral a�c~ao como fun�c~ao expl��cita do tempo utilizamos a equa�c~ao
acima operando de modo que a derivada total temporal da integral a�c~ao ao longo da
trajet�oria seja
dS
dt
= L: (1.98)
Se S �e fun�c~ao das coordenadas e do tempo utilizando a equa�c~ao (1.97), teremos
dS
dt
=
@S
@t
+
X
i
@S
@qi
_qi =
@S
@t
+
X
i
pi _qi: (1.99)
Comparando as duas �ultimas equa�c~oes obtemos
@S
@t
= L�
X
i
pi _qi: (1.100)
22
De H =
P
i pi _qi � L temos
@S
@t
= �H: (1.101)
Consequentemente da equa�c~oes (1.97) e (1.101), obtemos
dS =
X
i
pidqi �Hdt; (1.102)
e
S =
Z
(
X
i
pidqi �Hdt) : (1.103)
Sabemos que a rela�c~ao existente entre a derivada parcial temporal da fun�c~ao S(q; t) e
a fun�c~ao de Hamilton �e dada pela equa�c~ao (1.101) que combinada com (1.97) resulta na
seguinte equa�c~ao:
@S
@t
+H(qi;
@S
@qi
; t) = 0 : (1.104)
Tal equa�c~ao ser�a satisfeita pela fun�c~ao S(q; t). Esta �e uma equa�c~ao de derivadas parciais
de primeira ordem conhecida por equa�c~ao de Hamilton-Jacobi.
1.3 Probabilidades
Vamos fazer uma breve discuss~ao sobre alguns conceitos b�asicos da teoria de proba-
bilidade. Considere uma sala contendo N pessoas, sendo N(j) o n�umero de pessoas com
idade j. O n�umero total de pessoas na sala �e
N =
1X
j=0
N(j) : (1.105)
Considere o caso da distribui�c~ao mostrada na �gura 1.2, o n�umero total de pessoas na
sala �e
N =
1X
j=0
N(j) = 1 + 1 + 3 + 2 + 2 + 2 + 5 : (1.106)
a) Se escolhermos uma pessoa aleat�oriamente, qual a probabilidade desta pessoa ter
15 anos? A probabilidade P (j) de um elemento assumir o valor j �e dado
P (j) =
N(j)
N
P (15) =
1
14
: (1.107)
23
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
0
1
2
3
4
5
N
o
 
d
e
 
P
e
s
s
o
a
s
Idade
Figura 1.2: Distribui�c~ao das idades.
Uma propriedade particular �e que a soma
de todas as probabilidades �e igual 1,
1X
j=1
P (j) = 1 : (1.108)
b) Qual �e a idade mais prov�avel? O valor
mais prov�avel de j �e aquele no qual P (j) as-
sume valor m�aximo, neste caso P (25) = 5=14
�e o valor m�aximo ou seja jP = 25.
c) Qual a idade m�edia das pessoas? O
valor m�edio hji �e dado por
hji =
P
jN(j)
N
=
1X
j=1
jP (j) = 21 (1.109)
d) Qual o valor mediano? O mediano �e o valor de j que divide a �area da curva em
partes iguais, jm = 23, visto que 7 pessoas s~ao mais jovens que 23 e 7 pessoas s~ao mais
velhas que 23.
e) Qual a m�edia do quadrado das idades. A m�edia de qualquer fun�c~ao de j �e dada por
hf(j)i =
1X
j=1
f(j)P (j) ; (1.110)
ou seja
hj2i =
1X
j=1
j2P (j) ; (1.111)
1 2 3 4 5 6 7 8 9
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
P
(
x
)
x
Figura 1.3: Distribui�c~ao de Probabilidade.
Observe que podemos ter duas dis-
tribui�c~oes de probabilidade com mesmo me-
diano, valor m�edio e valor mais prov�avel e
mesmo n�umero de elementos, por�em comple-
tamente diferentes. Por exemplo considere
duas distribui�c~oes dadas nas �guras (1.3) e
(1.4).
A diferen�ca b�asica entre as duas �e que a
segunda �e mais espalhada que a primeira. A
maneira de determinar num�ericamente o qu~ao
espalhada �e uma distribui�c~ao �e calcular a sua
dispers~ao
h(�j)2i =
X
j
(j � hji)2P (j) ; (1.112)
24
que nos d�a uma medida de como cada elemento se desvia do valor m�edio.
h(�j)2i =
X
j
(j2 � 2jhji+ hji2)P (j) ; (1.113)
ou seja
h(�j)2i = hj2i � hji2 : (1.114)
Observe que hj2i � hji2, ou seja a dispers~ao �e positiva de�nida.
O desvio padrao ou varian�ca � �e dado por
� =
p
h(�j)2i =
p
hj2i � hji2 : (1.115)
1 2 3 4 5 6 7 8 9
0
12
3
4
5
P
(
x
)
x
Figura 1.4: Distribui�c~ao de Probabilidade.
No caso de vari�avel cont��nua, vamos as-
sumir que x possa ter qualquer valor no inter-
valo �1 e +1. Ent~ao a forma diferencial
�(x)dx (1.116)
nos d�a a probabilidade de x ser encontrada
entre x e x + dx. �(x) �e uma densidade de
probabilidade. Na forma cont��nua a general-
iza�c~ao da normaliza�c~ao,Z +1
�1
�(x)dx = 1 (1.117)
e valor m�edio
hf(x)i =
Z +1
�1
f(x)�(x)dx : (1.118)
A probabilidade de x ser encontrado num intervalo �nito entre a e b �e
Pab =
Z b
a
�(x)dx : (1.119)
1.4 Exerc��cios
1) Veri�que que se o espa�co for homoge^neo, qi ! qi + �, a condi�c~ao �L = 0 nos leva a
conserva�c~ao do momento.
2) Mostre que com a a�c~ao I =
R
(
P
i pidqi � Hdt) podemos obter as equa�c~oes de
Hamilton a partir do princ��pio da m��nima a�c~ao.
3) Obtenha a equa�c~ao diferencial para o Oscilador Harmo^nico usando as equa�c~oes de
Euler-Lagrange e Hamilton-Jacobi.
25
4) Considere os 25 primeiros d��gitos na expans~ao decimal de � (3,1,3,1,5,9,...). Se
voce selecionar um n�umero aleat�oriamente, qual a probabilidade de encontrar cada um
deles? Qual o d��gito mais prov�avel? Qual o mediano? Qual o valor m�edio? Qual o desvio
padr~ao?
5) Considere a distribui�c~ao Gaussiana �(x) = Ae��(x�a)
2
, onde A, a e � s~ao constantes.
Determine A usando a condi�c~ao de normaliza�c~ao. Ache hxi, hx2i e �. Fa�ca um gr�a�co de
�(x).
26
Cap��tulo 2
Revis~ao hist�orica
A necessidade da Meca^nica Qua^ntica surgiu devido a fatos f��sicos inexplic�aveis a luz
da meca^nica e ao eletromagnetismo cl�assico, dentre os quais podemos citar:
� composi�c~ao espectral da radia�c~ao do corpo negro, (1901 - Planck)
� efeito fotoel�etrico (1905 - Einstein),
� efeito Compton no espalhamento de raios X por el�etrons (1922 - Compton),
� estabilidade e espectro de emiss~ao dos �atomos e mol�eculas,
� difra�c~ao de el�etrons e ne^utrons por cristais met�alicos como se essas part��culas fossem
ondas de luz (1927 - Davisson and Germer),
� todas as propriedades magn�eticas da mat�eria,
� o calor espec���co dos s�olidos a baixa temperatura e a contribui�c~ao dos \el�etrons de
condu�c~ao"para o calor espec���co dos metais, a temperatura ambiente.
2.1 Experimentos n~ao descritos pela f��sica cl�assica
Vamos agora descrever alguns dos experimentos nos quais os conceitos cl�assicos n~ao
eram capazes de explicar os resultados e que foram os impulsos iniciais para o desenvolvi-
mento da meca^nica qua^ntica.
27
2.1.1 Radia�c~ao de Corpo Negro
A energia total de radia�c~ao por unidade de volume de uma cavidade em equilibrio a
uma temperatura T �e
U =
Z 1
0
u(�)d� ; (2.1)
sendo u(�) a energia por unidade de volume de freque^ncia �, conhecida como radia�c~ao de
corpo negro, visto a cavidade toda est�a num processo de equilibrio entre luz absorvida e
luz emitida. O resultado cl�assico somente consegue descrever os resultados experimentais
na regi~ao de baixas freque^ncias,
uRJ(�) =
8��2
c3
kBT ; (2.2)
sendo kB = 1:38110
�16erg=k a constante de Boltzmann e c a velocidade da luz.
x200
x12
T=300 K
T=800 K
T=2000 K
1´1014 2´1014 3´1014 Ν
1.´10-17
2.´10-17
3.´10-17
4.´10-17
5.´10-17
6.´10-17
uHΝL
Figura 2.1: Radia�c~ao de corpo negro
Em 1901, Planck assumiu a hip�otese de
que distribui�c~ao espectral de energia de ra-
dia�c~ao deve assumir valores discretos multip-
los de h�, sendo h uma constante da natureza
(constante de Planck h = 6:62610�27erg:s).
O quantum de energia h� �e chamado de f�oton,
E = h�. Usando o argumento de espectro de
energia discreto, resulta numa densidade de
energia
u(�) =
8�h�3
c3
1
eh�=kBT � 1 ; (2.3)
a qual consegue descrever os resultados exper-
imentais para todo o range de freque^ncias, conforme ilustrado na Fig. [?].
2.1.2 Efeito Foto El�etrico
Quando uma placa de metal �e irradiado por um luz a uma dada freque^ncia, el�etrons ab-
sorvem a energia do feixe incidente e s~ao arrancados do material. Observa-se que a energia
cin�etida dos el�etrons ejetados �e independente da intensidade da luz incidente e dependente
da freque^ncia desta, e que existe um freque^ncia m��nima para o efeito fotel�etrico.
No entanto, segundo a teoria ondulat�oria, quando a intensidade de luz aumenta, a
for�ca que o feixe incidente exerce sobre os el�etrons tamb�em aumenta, o que n~ao est�a de
acordo com os resultados experimentais. Veri�ca-se que quando aumenta a intensidade
aumenta-se o n�umero de el�etrons ejetados mas n~ao a energia de cada el�etron individual.
28
Tamb�em segundo a teoria ondulat�oria o efeito fotel�etrico devia acontecer para qualquer
freque^ncia.
Os resultados experimentais s~ao completamente entendidos se consideramos os f�otons
como part��culas com energia h�. No processo de choque entre um f�oton e um el�etron,
se a energia transferida pelo f�otons for su�ciente para este ser arrancado o el�etron ser�a
ejetado, o que explica o corte para freque^ncias baixas. Igualmente com o aumento da
intensidade do feixe, teremos um aumento do n�umero de f�otons, por�em a quantidade de
energia que cada f�oton pode transferir para o el�etron permanece �xa, E = h�, o que
explica o aumento do n�umero de el�ectrons ejetados com a intensidade do feixe mas n~ao o
aumento da energia de cada el�ecton individual.
2.1.3 Efeito Compton
O efeito Compton consiste no espalhamento de luz por el�etrons, com altera�c~ao tanto na
freque^ncia como na dire�c~ao de propaga�c~ao da luz. O feno^meno �e compreensivel de maneira
simples, se admitirmos que o feixe da luz �e constitu��do por \fot�ons", part��culas carregando
energia E = h� e momento linear p = (h�
c
)k^, onde h �e uma constante universal, � a
freque^ncia, c a velocidade da luz e k^ sua dire�c~ao de propaga�c~ao. A�� tudo se passa como se
tiv�essemos colis~oes el�astica entre os f�otons e os el�etrons. A di�culdade dessa interpreta�c~ao
reside, naturalmente em conhecermos outros feno^menos (difra�c~ao,interfe^rencia) que s�o
podem ser compreendidos imaginando a luz como a propaga�c~ao de uma "propriedade"
distribu��da em uma regi~ao do espa�co, isto �e, de um campo eletromagn�etico.
2.2 Contribui�c~oes signi�cativas na formula�c~ao
da Meca^nica Qua^ntica
A meca^nica qua^ntica nasceu da necessidade de explicar resultados experimentais que
de alguma maneira contradizia com o conhecimento cl�assico. Desta forma, a partir da
hip�otese de Planck, seguido da teoria do efeito fotel�etrico proposto por Einstein, come�cou-
se a introduzir conceitos diferenciados como a dualidade part��cula-onda e um novo conceito
de estado de um sistema. Em 1911 Rutherford estabeleceu que o �atomo era composto por
um n�ucleo positivo e el�etrons sat�elites. Mas esse conceito tamb�em era contradit�orio com
o eletromagnetismo, visto que el�etrons circulando deveria iradiar e assim perder energia e
colapsar no n�ucleo. Todas estas quest~oes foram aos poucos entendidas e explicada ao longo
do desenvolvimento da meca^nica qua^ntica. Al�em das contribui�c~oes de Planck, Einstein,
Compton e Davisson e Germer, explicitas na se�c~ao anterior, vamos abaixo descrever mais
algumas contribui�c~oes signi�cativas na formula�c~ao da meca^ncia qua^ntica.
29
2.2.1 Conceito de �Atomo
At�e o s�eculo XIX a f��sica era baseada nos conceitos da meca^nica cl�assica Newtoniana
e nos conceitos da eletrodina^mica. No entanto, no in��cio do s�eculo XX, o acesso experi-
mental a n��vel ato^mico demostrou que a meca^nica cl�assica n~ao era capaz explicar v�arios
feno^menos. O tamanho dos �atomos �e somente 10�10 metros, de forma que precisamos
cerca de 250 milh~oes alinhados para obtermos uma polegada.
Em 1911, Rutherford demonstrou que �atomo �e composto de um n�ucleo de volume
extremamente pequeno carregado positivamente, e que concentra quase toda a massado
�atomo. Ao redor do n�ucleo temos os el�etrons, com carga negativa, e que orbitam a uma
dista^ncia t��pica em torno de 100 mil vezes maiores que o tamanho do n�ucleo. Em 1932
Chadwick discobriu que o n�ucleo era composto por pr�otons e neutrons.
Se imaginarmos a sala de aula como sendo um �atomo, como o tamanho de um �atomo
�e de�nida pelas �orbitas dos el�etrons exteriores, e nessa propor�c~ao de 100.000 para 1, ent~ao
o tamanho do n�ucleo seria ainda menor que um gr~ao de areia. Os el�etrons estaria em
algum lugar pr�oximo das paredes da sala, andando em �orbitas. Desta forma um �atomo �e
basicamente v�acuo, ou seja, n�os somos basicamente v�acuo. Isso �e uma demonstra�c~ao de
que somos basicamente nada.
O conceito the Rutherford de que o �atomo �e composto por um n�ucleo positivo e
el�etrons sat�elites �e contradit�orio com o eletromagnetismo, visto que el�etrons circulando
deveria iradiar e assim perder energia e colapsar no n�ucleo em fra�c~ao de segundos, de
forma que os �atomos n~ao poderia existir.
Esse problema foi contornado quando Niels Bohr em 1913 postulou que o movimento de
el�etrons ao redor do n�ucleo ocorre em �orbitas bem de�nidas, que s~ao claramente separadas
umas das outras, e que os el�etrons n~ao colapsam no n�ucleo visto que os el�etrons n~ao podem
existir em �orbitas n~ao permitidas. No entanto eles podem pular de uma �orbita para outra.
� Os estados de energia dos �atomos s~ao discretos. Estes estados s~ao caracterizados
por valores discretos do momento angular dados pela rela�c~aoI
p�d� = nh or L =
nh
2�
= n~ (2.4)
com n inteiro maior que zero. Nestes estados os �atomos n~ao irradiam.
� Quando um �atomo muda sua energia de En para Em, ele emite um f�oton (radia�c~ao
eletromagn�etica) com uma freque^ncia
h� = En � Em ; (2.5)
sendo h a constante de Planck.
30
Por exemplo, quando aquecemos uma substa^ncia, os el�etrons dos �atomos pulam para
�orbitas superiores deixando buracos nas �orbitas de menores energia. Quando eles decaim
para essas �orbitas de menor energia, eles emitem radia�c~ao eletromagn�etica com energia
igual a diferen�ca de energia das �orbtidas correspondentes.
Figura 2.2: Diagrama do n��veis de energia do
�atomo de H
Se aplicarmos isso ao mundo macrosc�opico
signi�caria, por exemplo, que os plan-
etas poderiam orbitar ao redor do sol
somente em �orbitas discretas a um
certa dista^ncia. Igualmente, signi�caria
tamb�em que se voce^ tivesse uma bola
de te^nis e voce^ quicar a bola de te^nis
para cima e para baixo, a bola n~ao
pode alcan�car qualquer n��vel acima do
ch~ao, mas apenas n��veis discretos. Isto
�e muito contra nossa intui�c~ao, visto que
veri�camos que uma bola de te^nis pode
quicar a qualquer altura que desejarmos,
pela simples adi�c~ao de pequenas quanti-
dades de energia.
De acordo com a meca^ncia qua^ntica
isso �e imposs��vel, o que parece es-
tranho, visto que vai contra as nossas
experie^ncias di�arias. No entanto antes
de descartar a id�eia de quantiza�c~ao, de-
vemos observar que a diferen�ca de altura
permitida para a bola ou as �orbitas dos
planetas �e in�nitamente pequena tal que
n�os nunca seremos capazes de medir. Ou seja, a meca^ncia qua^ntica n~ao afeta nosso mundo
macrosc�opico. No entanto, para �atomos os efeitos de quantiza�c~ao s~ao muito maiores visto
que eles s~ao muito pequenos comparados com bolas, planetas e outros objetos do mundo
macrosc�opicos.
Note que a constante de Planck h � 6:610�34J=s. Considerando que o comprimento
de onda da luz, � �e igual velocidade da luz dividido pela freque^ncia,
� =
c
�
;
de forma que a energia da luz pode ser escrita como
E =
hc
�
:
Ou seja, quanto menor o comprimento de onda maior a energia. Podemos determinar
os n��veis de energia permitido colocando um conjunto de �atomos nos estados excitados
31
e medido o comprimento de onda irradiado. Isso nos permite contruir o diagrama de
energia dos �atomos e com isso determinar as distancia das �orbitas permitidas (veja na
�gura o diagrama dos n��veis de energia do �atomo de Hidroge^nio).
Figura 2.3: Linhas espectrais mais intensas do He
Se usarmos um grade de difra�c~ao
podemos observar facilmente os n��veis
de energia de uma la^mpada de neon ou
h�elio.
2.2.2 Teoria qua^ntica para
os estados ato^micos
Bohr propo^s o modelo ato^mico para
explicar o espectro discreto do conjunto de freque^ncia emitidas por um tubo de g�as de
hidroge^nio sujeito a uma determinada voltagem. O modelo de Bohr �e baseado em dois
postulados:
a) Os estados de energia do hidroge^nio s~ao discretos. Estes estados s~ao caracterizados
por valores discretos do momento angular dados pela rela�c~aoI
p�d� = nh or L =
nh
2�
= n~ (2.6)
com n inteiro maior que zero. Nestes estados os �atomos n~ao irradiam.
b) Quando um �atomo muda sua energia de En para Em, de menor energia, ele emite um
f�oton (radia�c~ao eletromagn�etica) com uma freque^ncia
h� = En � Em : (2.7)
A energia de um �atomo de hidroge^nio cujo el�etron movimentando em �orbitas circulares
�e
E =
1
2
mv2 � e
2
r
=
p2�
2mr2
� e
2
r
: (2.8)
A partir do eletromagnetismo cl�assico, temos que a for�ca sobre um el�etron na �orbita
circular de raio r �e dada por
e2
r2
=
mv2
r
=
p2�
mr3
: (2.9)
Desta forma, usando o postulado de discretiza�c~ao do momento angular
e2
r2
=
(n~)2
mr3
; (2.10)
o que leva a raio da �orbita dado por
rn =
n2~2
me2
: (2.11)
32
Para estes valores quantizados de r o el�etron persiste sem irradiar. O valor da energia
destas �orbitas estacion�arias �e
En = �me
4
2~2
1
n2
: (2.12)
O valor negativo da energia se refere ao fato de ser um estado ligado. O estado
fundamental do �atomo de hidroge^nio, n = 1, cujo raio da �orbita �conhecido como raio de
Bohr,
r1 � a0 = ~
2
me2
= 5:2910�9cm : (2.13)
2.2.3 Hip�otese de De Broglie
Nas se�c~oes anteriores vimos que a energia de um f�oton de freque^ncia � �e E = h�. O
momento deste f�oton �ca
p =
E
c
=
h�
c
: (2.14)
Usando a rela�c~ao entre comprimento de onda e freque^ncia,
�� = c (2.15)
e introduzindo o n�umero de onda k e freque^ncia angular !,
k =
2�
�
! = 2�� ; (2.16)
obtemos as rela�c~oes
E = ~!; p = ~k; ! = ck
�
~ =
h
2�
�
: (2.17)
A �ultima equa�c~ao �e chamada de rela�c~ao de dispers~ao, dando uma depende^ncia linear
entre ! e k. Isto signi�ca que a velocidade de fase (!=k) de uma onda monocrom�atica
de freque^ncia ! �e igual a c e independe de ! e k. De forma que um pacote de onda com
diferentes comprimentos de onda se propagam sem distor�c~ao em com mesma velocidade
c.
As duas express~oes relacionadas ao comportamento de part��cula (E e p) est~ao identi-
�cados por para^metros de onda ! e k. Desta forma o f�oton �e uma part��cula de massa de
repouso igual a zero e que viaja com a velocidade c.
Este aspecto interessante, sobre o conceito de onda ou de part��cula para luz, levou
a discuss~ao por muito tempo. Newton acreditava que a luz era part��cula e Huygens
acreditava que a luz era onda. Em 1801 um experimento conclusivo foi feito por Young,
que demonstrou inequivocamente que a luz era onda; Huygens estava certo.
33
Mas com o passar do tempo, outros experimentos mostravam de maneira conclusiva
que a luz era realmente part��cula. O grande trunfo da meca^nica qua^ntica foi mostrar que
a luz era ambas as coisas. Algumas vezes se comporta como onda outras como part��cula;
depende de como se faz o experimento.
Figura 2.4: Interfere^ncia de ondas na �agua.
Em 1923, Louis de Broglie fez a sug-
est~ao que part��culas podem se compor-
tar como onda. Ele introudiu o conceito
conhecido como comprimento de onda
de deBroglie
� =
h
p
;
onde p = mv �e o momento da part��cula.
Quanto maior o momento, menor �e o
seu comprimento de onda. Uma bola
de basquete, que pesa em tornode meio
kilograma, a uma velocidade de 160km=h, tem um comprimento de onda muito pequeno,
que �e da ordem de 20 vezes menor que o raio de um el�etron, ou seja completamente
sem sentido. Isto mostra que meca^nica qua^ntica n~ao afeta o nosso mundo macrosc�opico.
No entanto, uma conseque^ncia maior ocorre se consideramos pr�otons e el�etrons. Se con-
sideramos o el�etron, como massa 10�30kg, a uma velocidade de 1000m=s, obtemos um
comprimento de onda compar�avel a luz vis��vel (luz vermelha), a qual pode facilmente
se detectada. Em 1926, Schrodinger introduziu a famosa equa�c~ao de Schrodinger, a qual
tornou-se um pilar da meca^nica qua^ntica, e uni�cou o comportamento de onda e part��cula
para a mat�eria.
Uma das conseque^ncias imediatas de considerar o comportamento ondulat�orio �e o
processo de interfere^ncia. Ondas podem interferir de forma construtiva ou destrutiva.
Veja as �guras (2.4) e (2.5).
Figura 2.5: Interfere^ncia da Luz
Desta forma, se part���culas se com-
portam como ondas, uma part��cula pode
interferir com outra de maneira destru-
tiva e se aniquilar? Ou seja, podemos
demonstrar fazendo um experimento de
interfere^ncia e veri�car que em certas
posi�c~oes do espa�co as part��culas desa-
parecem, apesar da id�eia n~ao ser muito
intuitiva. Do ponto de vista cl�assico,
duas part��culas n~ao podem desapare-
cer, no entanto, em meca^nica qua^ntica,
n~ao temos problemas na interpreta�c~ao
da �gura de interfere^ncia de part��culas, visto que temos a interpreta�c~ao probabilistica da
34
fun�c~ao de onda.
2.2.4 Difra�c~ao de El�etrons
Considerando a hip�otese de De Broglie, se el�etrons propagam como onda, eles devem
exibir interfere^ncia. Este car�ater ondulat�orio foi veri�cado experimentalmente por C.
Davisson e L.H. Germer (1927) no experimento de difra�c~ao de el�etrons, �gura (2.6).
Out[17]=
Figura 2.6: Interfere^ncia de El�etrons.
O feno^meno de difra�c~ao de el�etrons
deixa a mente cl�assica igualmente per-
plexa. A experie^ncia de C. Davisson e
L.H. Germer (1927) mostra que um feixe
de el�etrons �e espalhado por um cristal
de n��quel da mesma forma que um feixe
de raios X, desde que o momento p dos
el�etrons seja escolhido igual a uma con-
stante universal h dividida pelo comprimento de onda de raios X
p =
h
�
(2.18)
Portanto, difra�c~ao �e um feno^meno associado a movimentos coletivos das part��culas
de um meio ou a varia�c~ao \coerente"no valor de alguma \propriedade"de�nida em to-
dos os pontos de uma regi~ao do espa�co. Entretanto o efeito observado por Davisson e
Germer se manifesta mesmo para feixes incidentes t~ao fracos, que temos essencialmente
um el�etron interagindo com o cristal de n��quel de cada vez. �E como se um feno^meno
\coletivo"estivesse sendo produzido por uma �unica part��cula puntiforme, e essa part��cula
puntiforme estivesse ocupando simultaneamente m�ultiplas posi�c~oes no espa�co, para in-
terferir construtivamente ou destrutivamente consigo mesma, dependendo do a^ngulo de
incide^ncia no cristal de n��quel.
2.2.5 Princ��pio da Incerteza
Vamos agora discutir outro aspectro interessante da meca^nica qua^ntica. Do ponto
de vista cl�assico somos capazes de determinar a posi�c~ao de uma part��cula com qualquer
precis~ao que desejarmos, e algumas vezes determinar tamb�em o seu momento com a mesma
precis~ao requerida. Isso depende somente do m�etodo usado para isto. Simultaneamente
podemos determinar a posi�c~ao, a massa e a velocidade de um dado objeto.
Contudo, o f��sico alem~ao Heisenberg em 1927 percebeu que uma das conseque^ncias
da meca^nica qua^ntica �e que isso �e imposs��vel. Heisenberg postulou que a posi�c~ao e o
momento de um objeto n~ao pode ser medido com precis~ao desejada ao mesmo tempo.
35
Heisenberg introduzio o princ��pio da incerteza da seguinte forma: Se o momento de uma
part��cula �e conhecido precisamente, segue a a posi�c~ao da mesma part��cula �e completamente
desconhecida. Por exemplo, se repetirmos um experimento ide^ntico (mesmo momento
para o el�etron) para determinar a posi�c~ao de um el�etron, cada medida da posi�c~ao n~ao d�a
o mesmo resultado. Na m�edia obtemos hxi. O desvio quadr�atico
�x = �x =
p
h(x� hxi)2i : (2.19)
Heisenberg propo^s que a incerteza na medida de �x e �p �e dado por
�x�p � h
4�
=
~
2
� 10�34J=s ;
que diz que o conceito de posi�c~ao e momento exato de um objeto simultaneamente n~ao tem
sentido na natureza. Este conceito �e um conceito sem sentido do ponto de vista cl�assico, e
que �e dif��cil de compreender. No entanto ele �e consistente com todos os experimentos que
podemos fazer. O mesmo princ��pio da incerteza introduzido para o momento e posi�c~ao �e
v�alido para qualquer conjunto de vari�aveis complementares como por exemplo, energia e
tempo, componentes do momento angular.
Quando um el�etron (ou f�oton) possui uma posi�c~ao bem localizada no espa�co o seu
momento n~ao �e de�nido e ele atua como uma part��cula. Quando o el�etron n~ao tem
um posi�c~ao bem de�nida, seu momento pode ser de�nido precisamente. Sobre estas
circunsta^ncias o car�ater ondulat�orio �e manifestado
Vamos ver o que isso signi�ca, com alguns exemplos. Vamos come�car pelo exemplo
dado no livro de George Gamow, chamado Mr. Tompkins in Wonderland. O livro �e
sobre um sonho. Mr. Tompkins queria entender o mundo qua^ntico e h�a um professor que
o leva, em seus sonhos, ao longo dos v�arios not�aveis efeitos n~ao intuitivos da meca^nica
qua^ntica. E em um desses sonhos, o professor sugere que fa�camos ~ = 1. O professor
pega um tria^ngulo de mesa de sinuca e coloca dentro dele um bola de sinuca. A bola
�e con�nada de forma que sua posi�c~ao �e cerca de 0:3m. Isto signi�ca que o momento �e
indeterminado por aproximadamente 3kg m=s. Se considerarmos a bola de bilhar com
a massa de 1kg, a velocidade da bola seria indeterminda, de acordo com o princ��cio de
Heisemberg para ~ = 1, por aproximadamente 3m=s. Isso signi�ca que a bola estaria
com trajet�orias aleat�orias dentro do tria^ngulo. Mr. Tompkins pergunta: Podemos par�a-
la. N~ao, �e �sicamente imposs��vel, qualquer corpo em um espa�co fechado possui certa
quantidade de movimento.
Em f��sica chamamos isto de movimento de ponto zero, como por exemplo, o movimento
de um el�etron dentro de um �atomo. Essa �e uma id�eia extremamente n~ao cl�assica.
Vamos retornar ao mundo real, com ~ � 10�34, e determinar a imprecis~ao do momento
da bola de bilhar dentro do tria^ngulo. A velocidade agora �ca indeterminada por valor
de � 3� 10�34m=s. Se n�os permitissemos que a bola se movesse com esta velocidade, em
100 bilh~oes de anos, ela se movimentaria 0.01 diametros de um el�etron, o que novemente
�e insigni�cante.
36
Pensando no �atomo de hidroge^nio, que tem um dia^metro em torno de 10�10, ou seja
o el�etron est�a con�nado a uma incerteza na posi�c~ao de �x � 10�10, o que signi�ca que
o momento do el�etron �ca indeterminado, de acordo com o princ��pio de Heisenberg, em
�p � ~=�x � 10�24 kg m=s. Considerando a massa do el�etron me � 10�30kg, isso nos
d�a uma indetermina�c~ao na velocidade
�v =
�p
m
� 106 m=s ;
que �e em torno de 1=3 da velocidade da luz. Desta forma o el�etron est�a em movimento
porque est�a con�nado, ou seja, movimento do el�etron �e ditado pela meca^nica qua^ntica.
Outra conseque^ncia do princ��pio da incerteza est�a relacionado com o efeito de con�na-
mento da luz. Considere que um feixe de laser passe por uma fenda �na (considere a fenda
na plano x� y, e o feixe propangando na dire�c~ao z). Se considerarmos o feixe composto
por f�otons, passando individualmente pela fenda de largura de fenda igual �x. Desta
forma, quando menor for a largura da fenda, mais precisa �e a localiza�c~ao do f�oton, o que
pelo princ��pio da incerteza implica num crescimento da incerteza no momento �px, o que
signi�ca que, o feixe n~ao segue uma linha estreita, mas sai com um a^ngulo, justi�cando o
�guravista na experimento de fenda simples.
2.2.6 Fun�c~ao de Onda
Uma maneira encontrada para responder as observa�c~oes experimentais descritas ante-
riormente �e a introdu�c~ao da fun�c~ao de onda (r; t) para de�nir o estado de uma part��cula
na representa�c~ao das coordenadas. Para superar a di�culdade de relacionar o compor-
tamento de part��cula, que por sua natureza �e bem localizada no espa�co, enquanto uma
fun�c~ao de onda �e espalhada no espa�co, Born sugeriu em 1927 que, quando nos referimos a
propaga�c~ao de part��culas, j j2 �e de�nido como uma densidade de probabilidade, tal que
j j2 dxdydz (2.20)
nos d�a a probabilidade de numa medida encontrar a particula no volume dxdydz ao redor
do ponto x; y; z para um dado tempo t..
A dina^mica para a fun�c~ao de onda (r; t) �e dada pela equa�c~ao de Schrodinger (part��culas
n~ao relativ��sticas)
i~
@ (r; t)
@t
= � ~
2
2m
r2 (r; t) + V (r; t) : (2.21)
A equa�c~ao de Schrodinger joga o mesmo papel da segunda lei de Newton, ou seja,
dada a condi�c~ao inicial, a equa�c~ao de Schrodinger determina (r; t) para todos os tempos
futuros.
Atrav�es da equa�c~ao de Schrodinger e a fun�c~ao de onda os resultados medidos s~ao uma
esp�ecie de informa�c~ao estat��stica sobre todos os poss��veis resultados.
37
Suponha que eu me�ca a posi�c~ao de uma part��cula e encontre na posi�c~ao C. Onde
realmente estava a part��cula antes de eu ter feito a medida?
� Posi�c~ao real��stica: A part��cula realmente est�a em C e a indetermina�c~ao re
ete a
nossa ignora^ncia. A posi�c~ao da part��cula nunca esteve indeterminada, mas mera-
mente n~ao era conhecida do experimentador. (Einstein)
� Posi�c~ao ortodoxa: a part��cula n~ao estava em lugar nenhum. O ato de medir for�cou
a part��cula para aquela posi�c~ao. O ato de medir n~ao somente afeta a medida mas
sim produz esta (interpreta�c~ao de Copenhagen).
� Posi�c~ao agn�ostica: N~ao faz sentido fazer a�rma�c~ao sobre o status da part��cula antes
de medir, e a �unica maneira de conhecer onde a part��cula esta �e fazendo a medida.
�E metaf��sica pensar em algo que n~ao pode por sua natureza ser testado. (Pauli)
A partir de 1964, com o trabalho de John Bell demonstrando que faz diferen�ca se a
part��cula tem uma posi�c~ao precisa (embora n~ao conhecida) antes de ser medida, o que
elimina a terceira posi�c~ao e faz como uma quest~ao experimental se 1 ou 2 est~ao corretas.
Experimentos tem demonstrado que a interpreta�c~ao de Copenhagen como sendo a mais
correta, ou seja, a part��cula n~ao tem uma posi�c~ao precisa antes da medida, e o ato de
medir cria um particular resultado, limitado somente por peso estat��stico imposto pela
fun�c~ao de onda.
O que acontece se �zermos uma segunda medida, imediatamente ap�os a primeira? A
medida repetida deve retornar o mesmo resultado, visto que a primeira medida altera
radicalmente a fun�c~ao de onda, de forma que agora ela tem pico em torno de C. A fun�c~ao
de onda colapsa ap�os a medida, mas de acordo com a equa�c~ao de Schrodinger ela espalha
novamente, de forma que a segunda medida deve ser feita rapidamente para obtermos o
mesmo valor. Desta forma, o ato de medida afeta o sistema.
Se j j2 tem um interpreta�c~ao probabilistica, e como a part��cula tem que estar em
algum lugar, Z 1
�1
j (r; t) j2 d3r = 1 ; (2.22)
ou seja, a fun�c~ao de onde deve ser normalizada.
Suponha que a fun�c~ao de onda �e nomalizada para um dado tempo t = 0. Ela per-
mancer�a normalizada para qualquer tempo? Vamos usar a equa�c~ao de Schrodinger (uni-
dimensional por simplicidade) para veri�car isto. Temos que
d
dt
Z 1
�1
j (x; t) j2 dx =
Z 1
�1
@
@t
j (x; t) j2 dx =
Z 1
�1
�
 �
@ 
@t
+
@ �
@t
 
�
dx (2.23)
Usando a equa�c~ao de Schrodinger e sua complexo conjugada
�i~d 
�(r; t)
dt
= � ~
2
2m
r2 �(r; t) + V �(r; t) ; (2.24)
38
obtemos
d
dt
Z 1
�1
j (x; t) j2 dx =
Z 1
�1
@
@x
�
i~
2m
�
 �
@ 
@x
� @ 
�
@x
 
��
dx =
i~
2m
�
 �
@ 
@x
� @ 
�
@x
 
�∣∣∣∣1
�1
(2.25)
Mas como deve ir a zero para x = �1, sen~ao a fun�c~ao n~ao �e normaliz�avel, segue que
d
dt
Z 1
�1
j (x; t) j2 dx = 0 ; (2.26)
ou seja, a integral �e constante (independente do tempo), de forma que se �e normalizada
em t = 0 permanecer�a normalizada para todos os tempos.
2.3 Operador momento
Para uma part��cula num estado , o valor esperado de x �e
hxi =
Z +1
�1
x j (x; t) j2 dx : (2.27)
O resultado assim, n~ao signi�ca que se medirmos a posi�c~ao de uma part��cula v�arias vezes,
vamos obter o valor m�edio acima, visto que a primeira medida modi�ca o estado qua^ntico
da part��cula e a medida seguinte sera afetada. O que temos �e que se medirmos o valor
esperado de um conjunto de part��culas, todas no mesmo estado inicial , ent~ao hxi �e o
valor m�edio obtido como resultado. Ou seja, hxi �e uma m�edia de ensemble e n~ao uma
m�edia de medidas repetidas de um mesmo sistema.
Com o passar do tempo hxi muda visto que depende do tempo. A varia�c~ao de hxi
com o tempo �e dada por
dhxi
dt
=
Z
x
@
@t
j (x; t) j2 dx =
Z
x
�
@ �(x; t)
@t
 (x; t) + �(x; t)
@ (x; t)
@t
�
dx : (2.28)
Usando a equa�c~ao de Schrodinger
dhxi
dt
=
i~
2m
Z
x
@
@x
�
 �(x; t)
@ (x; t)
@x
� @ 
�(x; t)
@x
 (x; t)
�
dx : (2.29)
Fazendo uma integra�c~ao por partes, temos
dhxi
dt
= � i~
2m
Z �
 �(x; t)
@ (x; t)
@x
� @ 
�(x; t)
@x
 (x; t)
�
dx ; (2.30)
39
visto que a fun�c~ao de onda se anula em x = �1. Fazendo mais uma integra�c~ao por
partes no segundo termo obtemos
dhxi
dt
= �i~
m
Z
 �(x; t)
@ (x; t)
@x
dx ; (2.31)
Considerando que o valor esperado da velocidade �e igual a derivada temporal do valor
esperado da posi�c~ao,
hvi = dhxi
dt
(2.32)
e trabalhando com o momento p = mv, temos
hpi = mdhxi
dt
= �i~
Z
 �(x; t)
@ (x; t)
@x
dx : (2.33)
A partir das express~oes de hxi e hpi podemos escrever
hx^i =
Z +1
�1
 �(x; t) x (x; t)dx : (2.34)
hp^i = mdhxi
dt
=
Z
 �(x; t)
�
�i~ @
@x
�
 (x; t)dx ; (2.35)
onde temos introduzido a nota�c~ao x^ e p^ para denotar a grandeza como operador. No caso
da representa�c~ao das coordenadas usada acima, o operador p^, que representa o momento
na meca^nica qua^ntica, �e escrito como p^ = �i~ @
@x
. Mais a frente veremos como representar
operadores de uma maneira geral e como mudar da representa�c~ao das coordenadas para
outras representa�c~oes. Observe que de uma maneira geral podemos de�nir o valor m�edio
de um operador como o sandu��che do operador (na respectiva representa�c~ao) entre � e
 
hA^i =
Z +1
�1
 �(x; t) A^ (x; t)dx : (2.36)
Na representa�c~ao das coordenadas o valor m�edio de qualquer fun�c~ao de x^ e p^ �e dado por
hf(x^; p^)i =
Z
 �(x; t)f
�
x;�i~ @
@x
�
 (x; t)dx : (2.37)
Por exemplo, podemos aplicar a regra acima para operadores tais como energia cin�etica,
momento angular orbital, etc
T^ =
p^2
2m
L^ = r^� p^ : (2.38)
40
2.4 Exerc��cios
1) Considere a fun�c~ao de onda (x; t) = Ae��jxje�i!t, onde A, � e ! s~ao constantes
reais e positivas. Normalize . Determine os valores esperados de x, x2 e o desvio padr~ao
de x. Fa�ca um gr�a�co de j (x; t) j2 em fun�c~ao de x.
2) Considere a probabilidade de achar uma part��cula no range a < x < b, para um
tempo t dada por Pab. Mostre que
dPab
dt
= J(a; t)� J(b; t)
onde J(x; t) = i~
2m
�
 @ 
�
@x
� � @ 
@x
�
. Qual a unidade de J?
3) Considere que voce^ adiciona uma constante V0 na energia potencial. Mostre que a
solu�c~ao da equa�c~ao de onda muda por um fator de fase ! e�iV0t=~. Qual o efeito disto
sobre os valores m�edios?
41
Cap��tulo 3
Aplica�c~oes da Equa�c~ao de
Shrodinger3.1 Equa�c~ao de Schrodinger na Representa�c~ao das
Coordenadas
Na representa�c~ao das coordenadas temos o operador Hamiltoniano gen�erico de um
sistema onde o potencial s�o depende de r^ �e
H^ =
p^2
2m
+ V (r^): (3.1)
Visto que V = V (r^) e lembrando da representa�c~ao do operador p^,
V (r^)	u(r; t) = V (r)	u(r; t)
p^2	u(r; t) = �~2~r2	u(r; t); (3.2)
a equa�c~ao de Schrodinger na representa�c~ao das coordenadas �ca
i~
@
@t
	u(r; t) = H^	u(r; t): (3.3)
ou seja
i~
@
@t
	u(r; t) = � ~
2
2m
~r2	u(r; t) + V (r)	u(r; t): (3.4)
Vamos consider o caso em que 	(r; t) pode ser escrita como o produto
	u(r; t) = u(r)f(t); (3.5)
42
substituindo na equa�c~ao de Schrodinger
i~ u(r)
@f(t)
@t
=
�
� ~
2
2m
~r2 u(r) + V (r) u(r)
�
f(t): (3.6)
Dividindo por u(r)f(t),
i~
1
f(t)
@f(t)
@t
=
1
 u(r)
�
� ~
2
2m
~r2 u(r) + V (r) u(x)
�
: (3.7)
Como o lado esquerdo s�o depende de t e o lado direito s�o depende de r, isto s�o �e poss��vel
se ambos os lados forem igual a uma constante. Desta forma obtemos
i~
@f(t)
@t
= Euf(t) (3.8)
e
� ~
2
2m
~r2 u(r) + V (r) u(r) = Eu u(r): (3.9)
A equa�c~ao acima �e conhecida como equa�c~ao de Schrodinger estacion�aria, e que formal-
mente pode ser escrita como
H^ u(r) = Eu u(r) : (3.10)
A solu�c~ao da equa�c~ao 3.8 �e dada por
f(t) = exp
��iEut
~
�
; (3.11)
De forma que, no caso de um estado estacion�ario, temos,
	u(r; t) = u(r) exp
��iEut
~
�
: (3.12)
A solu�c~ao geral para a equa�c~ao de Schrodinger �e uma combina�c~ao linear das solu�c~oes
separ�aveis para cada particular Eu,
	(r; t) =
X
u
cu u(r) exp
��iEut
~
�
: (3.13)
As constante cu s~ao de�nidas pela condi�c~ao inicial para o problema em quest~ao. Observe
que no caso estacion�rio, a densidade de probabilidade
j 	u(r; t) j2= �u(r) exp
iEut
~ u(r) exp
� iEut~ =j u(r) j2 ; (3.14)
n~ao depende do tempo.
O mesmo acontece para os valores m�edios
hf(r^; p^) =
Z
 �u(r)f(r;�i~r) u(r)d3r : (3.15)
43
3.2 Solu�c~oes da Equa�c~ao de Schrodinger Unidimen-
sional
A equa�c~ao de Schrodinger unidimensional independente do tempo, para uma part��cula
de massa m e movendo-se sob um potencial V (x), �e dada por�
� ~
2
2m
@2
@x2
+ V (x)
�
 (x) = E (x); (3.16)
que pode ser escrita como
 
00
(x) = �2m
~2
�
E � V (x)
�
 (x) (3.17)
No geral temos tre^s possibilidades1: E > V ; E = V e E < V .
� Regi~ao I: E > V , neste caso T �e positivo, ou seja movimento cl�assico �e permitido.
A equa�c~ao de Schrodinger �ca:
 
00
(x) = �K21(x) (x) =) K21 =
2m
~2
�
E � V (x)
�
� Regi~ao II: E < V , neste caso T �e negativo, ou seja movimento cl�assico �e proibido.
A equa�c~ao de Schrodinger �ca:
 
00
(x) = K22(x) (x) =) K22 =
2m
~2
�
V (x)� E
�
� Regi~ao III: E = V , os pontos de retorno cl�assicos.
As solu�c~oes gerais para as regi~oes I e II para o caso do potencial constante s~ao da forma
 I(x) = Ae
�iK1x +BeiK1x
 II(x) = Ce
�K2x +DeK2x (3.18)
com as constantes A, B, C e D obtidas a partir das condi�c~oes de contorno:
� Continuidade da fun�c~ao de onda nos pontos de retorno
 I(x0) = II(x0)
1Observe que se E = T + V com T sendo a energia cin�etica, o fato de E < V , signi�ca que a energia
cin�etica T �e negativa, ou seja, regi~ao classicamente proibida
44
� Continuidade das primeiras derivadas da fun�c~ao de onda nos pontos de retorno (para
o caso de pontencial n~ao singular)
d
dx
 I(x)
∣∣∣∣
x=x0
=
d
dx
 II(x)
∣∣∣∣
x=x0
� As solu�c~oes devem ser �nitas para x = �1, ou seja (x! �1) = 0.
� A normaliza�c~ao da fun�c~ao de onda.
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Exerc��cio : Mostre a partir da equa�c~ao de Schrodinger a equa�c~ao de continuidade da
derivada da fun�c~ao de onda.
|||||||||||||||||||||||||||||||||
3.3 Exemplos
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Exemplo 1: Po�co Quadrado
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Exemplo 2: Barreira de Potencial
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Exemplo 3: Potencial Delta
|||||||||||||||||||||||||||||||||
3.4 Exerc��cios
1) Calcule os coe�cientes de re
ex~ao e transmiss~ao no caso do potencial da forma
V (x) =
8<:
0 x < �a
V0 � a < x < a
0 x > a
(3.19)
supondo a part��cula incidente vindo de x = �1, nos seguintes casos:
a) E > V
45
b) E < V
2) Obtenha as equa�c~oes de T e R usando a equa�c~ao de 
uxo
j =
~
2mi
�
	�
d	
dx
� d	
�
dx
	
�
(3.20)
e a continuidade do 
uxo nas regi~oes
	I = Ae
ik1x +Be�ik1x 	II = Ce�ik2x: (3.21)
Obs: Nas duas regi~oes temos E > V .
3) Uma part��cula de massa m est�a con�nada entre duas paredes planas paralelas e
in�nitas, separadas por uma dista^ncia D. Qual a energia m��nima da part��cula?
4) Suponha a part��cual do exerc��cio 3 de energia m��nima. Ent~ao uma das paredes
desloca-se bruscamente de uma dista^ncia D em rela�c~ao �a posi�c~ao original, sem que a
fun�c~ao de onda altere-se durante o deslocamento. Qual a probabilidade da energia da
part��cula, ap�os o deslocamento, ser igual �a energia antes do deslocamento?
5) Ache o n��vel de energia do estado ligado de uma part��cula de massa m, movendo-se
em uma dimens~ao, sujeita ao potencial
V (x) = �c�(x) c > 0: (3.22)
Considere agora a mesma part��cula no po�co de potencial
V (x) =
�
0 jxj > b=2
�U jxj < b=2 (3.23)
Veri�que que o resultado anterior, concorda com a energia do estado fundamental ligado
no po�co acima, quando U !1 e b! 0, mantendo U:b = c.
6) Estude o problema do Oscilador Hamo^nico simples atrav�es do m�etodo dos oper-
adores e resolvendo a equa�c~ao de Schrodinger do modo normal.
7) Encontre os coe�cientes de transmiss~ao e re
ex~ao para o potencial V (x) = �q�(x),
no caso de um feixe incidindo da esquerda (x = �1) com E > 0.
46
8) Suponha um sistema f��sico descrito pelo estado
	(x; t) =
1p
2
[	0(x; t) + 	1(x; t)] ; (3.24)
onde 	0(x; t) e 	1(x; t) s~ao auto-estados do Oscilador Harmo^nico. Calcule hx^i e hp^i.
Obs: 	n(x; t) = 	n(x)
�iEnt=~
9) Suponha uma part��cula sujeita a um potencial
V (x) =
1
2
kx2 + �0x: (3.25)
Calcule os auto-estados de H^.
Obs: Use a solu�c~ao do Oscilador Harmo^nico.
10) Encontre os auto-valores e auto-estados de uma part��cula sujeita a um potencial
bo-dimensional
V (x) =
� jV0j; V0 !1 para jxj > a e jyj > b
0; para jxj < a e jyj < b (3.26)
Em que situa�c~oes haver�a degeneresce^ncia?
11) Usando a equa�c~ao de Schrodinger estacion�aria encontre a condi�c~ao de continuidade
da derivada de 	(x), isto �e,
d
dx
	I(x)
∣∣∣∣
x=x0
=
d
dx
	II(x)
∣∣∣∣
x=x0
: (3.27)
47
Cap��tulo 4
Estados Qua^nticos
Nos cap��tulos anteriores vimos que nem a id�eia cl�assica de \part��cula puntiforme",
nem de \campo"parecem adequadas para a descri�c~ao da natureza. Assim sendo a no�c~ao
de \estado"de um sistema, caracterizado pelas posi�c~oes e velocidades generalizadas das
part��culas do sistema, precise de revis~ao. Devemos esperar tamb�em que o signi�cado de
um \estado qua^ntico"seja muito diferente daquele dos estados cl�assicos. No cap��tulo an-
terior, vimos como trabalhar com o estado qua^ntico na representa�c~ao das coordenadas e
resolvemos alguns problemas atrav�es da aplica�c~ao da equa�c~ao de Schrodinger estacion�aria.
Neste cap��tulo vamos de�nir o estado qua^ntico independente da representa�c~ao e mostrar
como formalmente podemos trabalhar com a meca^nica qua^ntica atrav�es de uma nova for-
mula�c~ao em termos de brakets introduzido por Dirac. Nesta formula�c~ao vamos introduzir
uma nota�c~ao nova para o estado qua^ntico de um sistema - usaremos o s��mbolo j ui, onde
u �e um ��ndice ou r�otulo distinguindo os v�arios estados poss��veis