Teorema de Bayes na Estatística

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Curso: Engenharia Civil 
Disciplina: Estatística (ESTE2) 
Prof. Rodrigo Cleber da Silva 
Aula 11 
11 – Probabilidade 
11.5 Teorema de Bayes 
Uma das relações mais importantes envolvendo probabilidades 
condicionais é dada pelo teorema de Bayes, que expressa uma 
probabilidade condicional em termos de outras probabilidades 
condicionais e marginais. Vamos introduzi-lo através de um exemplo. 
 
Exemplo: Temos 5 urnas exatamente iguais, cada uma com 6 bolas. 
Duas dessas urnas (tipo C1) têm 3 bolas brancas, duas outras (tipo 
C2) têm 2 bolas brancas, e a última urna (tipo C3) tem 6 bolas 
brancas. Escolhemos uma urna ao acaso e dela retiramos uma bola. 
Qual a probabilidade da urna escolhida ser do tipo C3, sabendo-se que 
a bola sorteada é branca? 
11 – Probabilidade 
11.5 Teorema de Bayes 
Na figura abaixo estão esquematizados o espaço amostral e os eventos 
de interesse. 
11 – Probabilidade 
11.5 Teorema de Bayes 
Queremos encontrar P(C3|B), sabendo que 
 
 
 
 
 
 
 
Da definição de probabilidade condicional, temos: 
11 – Probabilidade 
11.5 Teorema de Bayes 
Precisamos agora encontrar o valor de P(B), já que o numerador é 
conhecido. Como C1, C2 e C3 são eventos mutuamente exclusivos, e 
reunidos formam o espaço amostral completo, podemos decompor o 
evento B, na união de três outros, mutuamente exclusivos, ou seja: 
 
 
e então 
11 – Probabilidade 
11.5 Teorema de Bayes 
Substituindo este resultado na equação de P(C3|B), obtemos: 
 
 
 
 
Podemos agora generalizar os resultados acima do seguinte modo: 
seja {C1, C2, ..., Cn} uma partição do espaço amostral S, isto é, 
 
 
 
E consideremos A um evento qualquer. Também são conhecidos P(Ci) 
e P(A|Ci) para i = 1, 2,...., n. Então, temos o seguinte resultado, 
ilustrado pela figura a seguir. 
11 – Probabilidade 
11.5 Teorema de Bayes 
Teorema de Bayes – A probabilidade de ocorrência de um dos eventos 
Ci, dado que ocorreu o evento A, é dado por: 
 
 
 
 
onde , i = 1, 2, ..., n. 
11 – Probabilidade 
11.5 Teorema de Bayes 
Exemplo: Para selecionar seus funcionários, uma empresa oferece aos 
candidatos um curso de treinamento durante uma semana. Ao final, 
eles são submetidos a uma prova e 25% são classificados como bons 
(B), 50% como médios (M) e os restantes 25% como fracos (F). 
Como medida de economia, o departamento de seleção pretende 
substituir o treinamento por um teste contendo perguntas envolvendo 
conhecimentos gerais e específicos. Mas, para isso, gostaria de 
conhecer qual a probabilidade de que um indivíduo aprovado no teste 
fosse considerado fraco, caso fizesse o curso. Assim, nesse ano antes 
do início do curso, os candidatos foram submetidos ao teste e, de 
acordo com os resultados, receberam o conceito aprovado (A) ou 
reprovado (R). Ao final do curso, obtiveram as seguintes 
probabilidades condicionais: 
11 – Probabilidade 
11.5 Teorema de Bayes 
Exemplo: 
 
 
Queremos encontrar P(F|A), e pelo teorema de Bayes esta é dada por 
 
 
 
 
 
Então, apenas 10% dos aprovados é que seriam classificados como 
fracos durante o curso. De modo análogo, podemos encontrar: 
 
 
que seriam subsídios valiosos para ajudar a decisão de substituir o 
treinamento pelo teste. 
11 – Probabilidade 
11.7 Abordagem tabular do Teorema de Bayes 
O cálculo de uma probabilidade condicional pelo Teorema de Bayes, 
muitas vezes é facilitado utilizando-se uma abordagem tabular. Nessa 
abordagem uma tabela com cinco colunas será montada. Os passos 
para a sua montagem são os seguintes: 
 
(1º) Na 1ª coluna são colocados os eventos mutuamente exclusivos 
para os quais as probabilidades posteriores são desejadas (Ai). 
(2º) Na 2ª coluna são colocadas as probabilidades prévias para esses 
eventos (P(Ai)). 
(3º) Na 3ª coluna são colocadas as probabilidades condicionais da 
nova informação dada para cada evento (P(B|Ai)). 
11 – Probabilidade 
11.7 Abordagem tabular do Teorema de Bayes 
(4º) Na 4ª coluna são calculadas as probabilidades associadas para 
cada um dos eventos e a nova informação B, usando-se a lei da 
multiplicação. Essas probabilidades associadas são encontradas 
multiplicando-se as probabilidades prévias na coluna 2 pelas 
probabilidades condicionais na coluna 3, isto é, 
 
 
(5º) É feita, então, a soma das probabilidades associadas na coluna 4. 
A soma é a probabilidade da nova informação P(B). 
(6º) Na 5ª coluna, calcular as probabilidades posteriores usando a 
relação básica de probabilidade condicional: 
11 – Probabilidade 
11.7 Abordagem tabular do Teorema de Bayes 
No exemplo anterior, aplicando-se essa abordagem, teremos a 
seguinte a tabela: 
11 – Probabilidade 
11.7 Abordagem tabular do Teorema de Bayes 
OBSERVAÇÕES: 
- O teorema de Bayes é usado extensivamente nas análises de 
decisões. As probabilidades prévias são frequentemente estimativas 
subjetivas fornecidas por um tomador de decisão. A informação 
amostral é obtida e as probabilidades posteriores são calculadas para 
uso no desenvolvimento de uma estratégia de decisão. 
- Um evento e seu complemento são mutuamente exclusivos e suas 
uniões formam uma partição. Assim, o teorema de Bayes é sempre 
aplicável para o cálculo das probabilidades posteriores de um evento e 
seu complemento. 
11 – Probabilidade 
11.7 Abordagem tabular do Teorema de Bayes 
Exercícios: 
1 - A probabilidade do time de futebol São Paulo ganhar uma partida 
quando chove é de 0,7 e quando não chove é de 0,8. No mês de 
setembro passado, a probabilidade de chuva foi de 0,6. Sabendo-se 
que o São Paulo jogou uma partida em setembro e ganhou, qual a 
probabilidade de ter chovido no dia desse jogo? 
11 – Probabilidade 
11.7 Abordagem tabular do Teorema de Bayes 
Exercícios: 
2 - M. D. Computing (maio de 1991) descreve o uso do teorema de 
Bayes e o uso da probabilidade condicional no diagnóstico médico. As 
probabilidades prévias de doenças são baseadas na avaliação dos 
médicos de variáveis tais como localização geográfica, influência 
sazonal, ocorrência de epidemias e assim por diante. Suponha que se 
acredite que um paciente tenha uma de duas doenças, denotadas como 
D1 e D2 com P(D1) = 0,60 e P(D2) = 0,40 , e que a pesquisa médica 
tenha determinado a probabilidade associada com cada sintoma que 
pode acompanhar as doenças. Suponha que, dadas as doenças D1 e 
D2, as probabilidades de que o paciente terá os sintomas S1, S2 ou S3 
são como segue: 
11 – Probabilidade 
11.7 Abordagem tabular do Teorema de Bayes 
Exercícios: 
 
 
 
 
Depois que constatar que um certo sintoma esteja presente, o 
diagnóstico médico pode ser auxiliado encontrando-se as 
probabilidades revisadas de cada doença em particular. Calcule as 
probabilidades posteriores de cada doença dadas as seguintes 
constatações médicas: 
a) O paciente tem o sintoma S1. 
b) O paciente tem o sintoma S2. 
c) O paciente tem o sintoma S3. 
11 – Probabilidade 
11.7 Abordagem tabular do Teorema de Bayes 
Exercícios: 
3 - Uma companhia produz circuitos integrados em três fábricas, I, II 
e III. A fábrica I produz 40% dos circuitos, enquanto a II e a III 
produzem 30% cada uma. As probabilidades de que um circuito 
integrado produzido por estas fábricas não funcione são 0,01, 0,04 e 
0,03, respectivamente. Escolhido um circuito da produção conjunta 
das três fábricas, qual a probabilidade do mesmo não funcionar?