Exercícios de Cálculo I

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA
INSTITUTO DE CIEˆNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
CA´LCULO I
Prof.: Rodrigo L. de Araujo
1a Lista de Exerc´ıcios
Questa˜o 1) Sejam a e b nu´meros reais positivos tais que a < b. Considere as seguintes afirmac¸o˜es:
I) 4− a < 4− b
II) −3b < −3a
III) a4 <
b
4
IV) 1b <
1
a
Podemos afirmar que:
a) Todas as afirmac¸o˜es sa˜o verdadeiras.
b) Todas as afirmac¸o˜es sa˜o falsas.
c) As afirmac¸o˜es II, III e IV sa˜o verdadeiras e a afirmac¸a˜o I e´ falsa.
d) A afirmac¸a˜o II e´ verdadeira e as afirmac¸o˜es I, II e IV sa˜o falsas.
e) Apenas a afirmac¸a˜o IV e´ verdadeira.
Questa˜o 2) Classifique como Verdadeiro(V) ou Falso(F) cada uma das seguintes afirmac¸o˜es:
a) ( ) Se a e b sa˜o nu´meros inteiros positivos, enta˜o ab e´ um nu´mero racional.
b) ( ) Se a e b sa˜o nu´meros inteiros, enta˜o ab e´ um nu´mero racional.
c) ( ) Se a e b sa˜o nu´meros inteiros e (a− b) 6= 0, enta˜o a+ba−b e´ um nu´mero racional.
d) ( ) Se a e b sa˜o nu´meros inteiros, enta˜o a+b1+a2 e´ um nu´mero racional.
e) ( ) Se a e b sa˜o nu´meros racionais, enta˜o o produto ab e´ um nu´mero racional.
f) ( ) Se a e b sa˜o nu´meros racionais, enta˜o ab e´ um nu´mero racional.
Questa˜o 3) Se p e q sa˜o nu´mero inteiros quaisquer, com q 6= 0, enta˜o:
a) ( ) pq e´ um nu´mero inteiro.
b) ( ) pp+q e´ um nu´mero inteiro.
c) ( ) p+qq e´ um nu´mero inteiro.
d) ( ) pq e´ um nu´mero inteiro se, e somente se, existir um inteiro k tal que p = kq.
e) ( ) Sendo pq , tem-se tambe´m que
q
p e´ um inteiro.
Questa˜o 4) Sejam a e b nu´meros irracionais quaisquer. Das afirmac¸o˜es:
I) ab e´ um nu´mero irracional;
II) a + b e´ um nu´mero irracional;
III) a− b pode ser um nu´mero racional.
Pode-se concluir que:
a) ( ) as treˆs sa˜o falsas.
b) ( ) as treˆs sa˜o verdadeiras.
c) ( ) somente (I) e (III) sa˜o verdadeiras.
1
d) ( ) somente (I) e´ verdadeira.
e) ( ) somente (I) e (II) sa˜o falsas.
Questa˜o 5) Marque a alternativa CORRETA:
a) ( ) Se x e´ um nu´mero real e x < 1 enta˜o x2 < 1.
b) ( ) Se x e´ um nu´mero real tal que |x| > 1 enta˜o x > 1.
c) ( ) Se x e y sa˜o nu´meros reais tais que x < y enta˜o x2 > y2.
d) ( ) Se x e´ um nu´mero real enta˜o
√
(−x)2 = −x.
e) ( ) Se x e´ um nu´mero real tal que |x| < 1 enta˜o x < 1 e x > −1
Questa˜o 6) Resolva, em R, a equac¸a˜o |x|.|x− 5| = 6.
Questa˜o 7) Calcule a soma e o produto das ra´ızes da equac¸a˜o x2 − 2|x| − 8 = 0.
Questa˜o 8) Resolva, em R, as seguintes equac¸o˜es:
a) |5x + 8| = |4x + 10|
b) |x2 − 3x| = |x|
c) |x− 2| = |x + 3|
d) |2x2 − 3x| = |x− 2|
Questa˜o 9) Resolva, em R, as seguintes inequac¸o˜es:
a) |x2 − 3| ≥ 1
b) |3x + 5| ≤ 11
c) | 3x2 − 1| < x + 1
d) |2− 3x| > 2x− 12
e) |5x− 10|+ |2− x| ≤ 6x
Questa˜o 10) Dada a func¸a˜o f : R→ R definida por:
f(x) =
{
2x− 7, se x < 2
3, se x ≥ 2
Determinar: f(0), f(−4), f(2) e f(10).
Questa˜o 11) Obtenha a equac¸a˜o da reta que passa pelo ponto (−4, 5) e tem coeficiente angular igual a −2.
Questa˜o 12) Construa o gra´fico de cada uma das seguintes func¸o˜es:
a) y = x
b) y = 2x + 2
c) y = −2x
Questa˜o 13) Se uma func¸a˜o do primeiro grau e´ da forma f(x) = ax+b tal que b = −11 e f(3) = 7, obtenha
o valor da constante a.
Questa˜o 14) Qual o domı´nio das seguintes func¸o˜es:
a) f(x) =
√
x+1
1−2x
b) f(x) = 10x√
2x−3
Questa˜o 15) Determine m a fim de que a func¸a˜o definida por f(x) = (2m − 3)x2 + 5x + 15, seja do 2o
Grau.
Questa˜o 16) Determine t para que a para´bola representativa da func¸a˜o f(x) = (4 + 2t)x2 + 5x + 4:
a) Tenha concavidade voltada para cima;
2
b) Tenha uma raiz dupla;
c) Tenha duas ra´ızes reais e distintas.
Questa˜o 17) Determine o valor de m na func¸a˜o f(x) = mx2 + (m − 1)x + (m + 2) para que o ma´ximo
assumido por f(x) seja 2.
Questa˜o 18) Dentre todos os nu´meros reais x e y tais que x + y = 10, determine aqueles cujo produto e´
ma´ximo.
Questa˜o 19) Construa o gra´fico cartesiano de cada uma das func¸o˜es definidas nos reais e fornec¸a tambe´m
o conjunto imagem:
a) f(x) = 2x2 − 5x + 2
b) f(x) = −x2 − x− 3
c) f(x) = x2 − 2x + 1
d) f(x) = x2 − 2x− 3
e) f(x) = x2
f) f(x) = −x2
Questa˜o 20) Qual o domı´nio da func¸a˜o real definida por f(x) =
√
3x2 − 8x− 3
Questa˜o 21) Determinar o domı´nio das seguintes func¸o˜es:
a) f(x) = x2
b) f(x) = 1x−4
c) f(x) =
√
x2 − 4x + 3
d) f(x) = 3
√
x + 7− 5√x + 8
e) f(x) = |x + 2|+ 4, −5 ≤ x ≤ 2
f) f(x) = x− 1x
g) f(x) = x+ax−a
h) f(x) =
√
x
x+1
i) f(x) = 1
1+
√
x
j) f(x) = x|x−5|+3
Questa˜o 22) Sendo f(x) = ax + b, para quais valores de a e b tem-se (f ◦ f)(x) = 4x− 9
3