definição algebra linear g3

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Produto Interno
Dados V=( v1, ...,vn) e u= (u1,...,um) vetores de Rn definisse o produto interno, o produto escalar de v e u por <v|u>=Ʃ vi.ui
Propriedades
1) simetria <v|w> = <w|v>
2)Linearidade < αu+v|w>= α <u|w> + <v|w> ɏ α ϵ R
3) Positividade <v|v> >0 ɏ v ≠0
4) <v|v> =0 se e só se u =0
Ortogonalidade/ Vetor Ortogonal
O vetor u, v ϵ R n são perpendiculares entre si se e somente se <u|v>=0
Ortonormalidade/ Vetor Ortonormal 
O vetor u, v ϵ R n são ortonormais se são entre si ortogonais <u|v>=0 e ambos são unitários. ||u||=||v||=1
Conjunto Ortogonal/ Base Ortogonal 
Diz se que o conjunto β{v1,v2,...,vp} é ortogonal se os vetores são dois a dois <vi|vj>=0 ɏ i≠j (ortogonais).
Conjunto Ortonornal/ Base Ortonormal 
Diz se que o conjunto {v1,v2,...,vp} é ortonormal, se além de ser ortogonal , todos os seus vetores são unitários. 
<vi|vj>=∂ij , onde ∂ij =0 se i≠j 
 =1 se i=j
Complemento Ortogonal
Seja H um subespaço vetorial. O complemento ortogonal de H c Rn é o conjunto dos vetores ortogonais a todos os vetores de H
H perp ={v ϵ Rn|<v|u>=0 ɏ u ϵ H
Projeção Ortogonal
Seja H c Rn um subespaço vetorial e PH:H +H perp →H dada por
1)PH(v)=v ɏ v ϵ H
2) PH(v)=0 ɏ v ϵ Hperp
Reflexão Ortogonal
Seja H c Rn um subespaço vetorial e RH:H +H perp →H linear dada por
1)RH(v)=v ɏ v ϵ H
2) RH(v)=-v ɏ v ϵ Hperp
Determinante 
Seja Mmxn o conjunto das matrizes quadradas de ordem n, det(A) é uma função que associa a cada matriz desse conjunto um número real, satisfazendo três proposições fundamentais:
1)det(A)=0 → A possui colunas ou linhas LD’s
2)det(I)=1→ matriz identidade
3)det(A) é linear por linha
Autovetores
T:V→V, v ϵ V, não nulo é autovetor associado ao autovalor λ ϵ R, se T(v)= λ v. O conjunto de autovetores é chamado de espectro.
Autoespaços
T: U→U,VcU, subespaço é autoespaço associado ao autovalor λ, se T(v)= λv , ɏ v ϵ V.
Teorema Nuc(T) – λI.
Subespaço Invariante
T: U→U,VcU, T(v) c V. Vé chamado de subespaço invariante de T.
Diagonalização
Té diagonalizável se T possui uma base de autovetores.
Se a soma da dimensão dos autoespaços associados a cada autovalor λ é n.
Se a matriz A de dimensão nxn tem n autovalores distintos
Multiplicidade Algébrica
É o numero de vezes em que λ é raiz do polinômio característico.
Multiplicidade Geométrica
É a dimensão dos autoespaços associados a cada autovalor λ.
Polinomio Característico
T: Rn → Rn, é dito polinômio característico p(λ)= det(T –λI)
Teorema Espectral
Seja Mmxn uma matriz simétrica. Então:
1)A é diagonalizável
2)Existe uma escolha de autovetores que formam uma base ortonormal de Rn
Mínimos Quadrados
Uma quase solução do sistema Ax=b chamada de solução de mínimos quadrados, é um vetor z tal que d(Az,b) ≤ d(Ax,b) para todo x no domínio de A
AT A z= AT b