Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 1/80 26/3/2011 Hb=0 (1) Va + Vb =3P (2) 3Vb = 33P/4 (3) [coef] x [reações] = [carregamento] ∑Fh ] Ha + Hb –4P = 0 Ha + Hb = 4P (1) ∑Fv ] Va + Vb – 2P – (3P/a)x2a = 0 Va + Vb = 8P ∑Ma ] Ma + 2aVb – a2P – (3P/a . 2a).a = 0 (2) Ma + 2aVb – 2aP – 6aP = 0 Ma + 2aVb = 8aP (3) Número de linhas menor que o de colunas Reações > equações de equilíbrio 1 0 0 0 1 1 0 0 3 x Hb Há Vb 0 3P 33P/4 = 2P 3P/a 4P B A MA Va Ha Vb Hb + 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 2a 1 4P 8P 8aP Ha Hb VB MA = x a a TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 2/80 26/3/2011 SISTEMA HIPERESTÁTICO = nº linhas < nº colunas ∑Fh ) HA - Psenα = 0 HA = Psenα (1) ∑Fv ) VA + VB – P.L - Pcosα = 0 VA + VB = P.(L+cosα) (2) ∑MA) -MA –P.L(L/2) - Pcosα . 7L/6 + Psenα .L/2 + VB.4L/3 = 0 - MA – PL2/2 - Pcosα7L/6 + PsenαL/2 + 4L/3.VB - MA + 4L/3VB = PL2/2 + Pcosα7L/6 - PsenαL/2 (3) HIPERSTÁTICO GRAU = 1 L L/3 P B A α L MA Va Ha Vb Psenα Pcosα P . L L/2 L/6 L/2 L/6 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 4L/3 -1 HA HB VB MA Psenα P(L + cosα) PL2/2 + Pcosα(7L/6) - PLsenα/2 = x TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 3/80 26/3/2011 ∑FH) Ha + Hb = P (1) ∑FV) Va + Vb = P (2) ∑Ma ) Vb.L – P.L/2 – P.L/2 = 0 Vb.L = P.L Vb = P (3) ∑MC) P.L/2 – Ha.L = 0 P.L/2 = Ha.L Ha = -P/2 ISOSTÁTICO Nº LINHAS = Nº COLUNAS (HIPOSTÁTICO) = RUÍNA + L P B A L P C Va Ha Vb P L/2 L/2 P Hb Va Ha C P + 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 HA HB VA VB P P P P/2 = x L P B A P TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 4/80 26/3/2011 ∑FH = 0 ∑FV ) Va + Vb = 180kN ∑Ma) -20.1 - 100.2 - 60.3 + 4Vb = 0 Vb = 400/4 Vb = 100kN Va = 180 – 100 Va = 80kN V(x) = 80 – 10x x ∈ [0,2[ 2m 10kN/m B A 30kN/m 2m 100kN 100kN 20kN 60kN Va Vb + ( + ) ( - ) 100kN 80kN 60kN 40kN Q x 10kN/m 80kN TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 5/80 26/3/2011 V(x) = 80 – 20 – 100 – 30x V(x) = -40 + 30x x ∈ ]2,4] M(x) = ∫v(x)dx = 80x – 10x2 /2 +K M(x) = 80x – 5x2 + K [0,2] M(0) = 0 K = 0 M(2) = 80.2 –5.22 + K ⇒ K = 160 – 20 ⇒ K= 140kN.m M(x) = ∫v(x)dx = 40x – 30x2 /2 +K M(x) = 40x – 15x2 + K M(0) = 0 K = 0 M(4) = 40.4 – 15.42 + K ⇒ K = 240 – 160 ⇒ K = 80kN.m M(x) = 40x – 15x2 + 80 [2,4] TENSÕES NORMAIS σσσσ(z) e DEFORMAÇÕES εεεε(z) NA FLEXÃO PURA Tgα = σ/ε 2 10kN/m 80kN x 30kN/m σ ε α Viga retangular M M dx TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 6/80 26/3/2011 Parte de baixo – tração ∆s = AB = ρdθ ∆s’ = A’B’ = (ρ+h2)dθ Pela teoria da elasticidade ε2 = lim (∆s’ - ∆s)/∆s = lim((ρ + h2).dθ - ρdθ)/ρdθ = ε2 = h2/ρ (2) (1) ⇒ (2) ε(z) = h2/ρ . 1.z/h2 = ε(z) = z/ρ (3) compressão encurtamento tração alongamento h1 h2 A B θ dθ Linha neutra, onde as tensões são neutras ρ ρ = raio de curvatura ε2 z h2 ε(z) Teorema de Tales ε2/h2 = ε(z)/z ε(z) = ε2.z/h2 (1) ∆s ⇒0 σ1 Iz σ2 M z h2 σ(z) σ2 TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 7/80 26/3/2011 σ(z) = σ2.z/h2 (4) M = ∫ zσ(z)dA (5) M = ∫ z.σ(2).z/h2dA M = σ2/h2 ∫ z2dA I = Momento de inércia (4) ⇒ (6) = 2 2 h I z hM zσ ( ) I z zM σ= ⇒ ( ) I zM z . −=σ (7) Exercício: Para uma seção retangular de dimensões b = 15cm e h = 60cm, sujeito a um momento fletor de 50KN.m (traçãoinferior) Pede-se: a) Distribuição σ(z) b) Resultante de tração e compressão c) Restituição do momento fletor Fórmula ( ) I Mz z −=σ M = 50KN.m = 5000KN.cm 4 33 000.270 12 60.15 12 . cm hbI === ( ) zzz .0185,0. 270000 5000 ==σ A A A dA z Inércia ∫ z2dA A 60 15 M Y Z LN TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 8/80 26/3/2011 a) σ(0) = 0 σ(30) = 0,0185 . 30 = 0,555KN/cm2 = 5,55MPa b) 44 844 76 zárea RC σ 15. 2 30.555,0 −= (largura da viga) RC = -125KN = RT c) MR = RC.(20) + RT.(20) MR = 125.(40) MR = 5000KN.cm = 50KN.m 0,555 z 0,555 0,555 RC 0,555 M RT (2/3)30 (2/3)30 TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 9/80 26/3/2011 Exercício: Para a viga”T” abaixo sujeita a um momento M = 80kN.m calcule: a) σ(z) b) Rc e Rt c) MR M = 80kN.m = 8.000kN.cm 30000 12 30.1030000 12 10.30)10.(300 12 .)10.(300 12 . 33 2 3 2 3 +++=+++= hbhbI 4850005250032500 cmI =+= z z z 0941,0 85000 8000 ==σ 10 10 10 30 10 15 35 5 15 15 z = 0 y TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 10/80 26/3/2011 cm A M zcg 25600 )15.(300)35.(300* = + = ∑ ∑ = a) σ(0) = 0 σ(15) = -0,0941 . –15 = -1,41 kN/cm2 = - 14,1MPa σ(-25) = -0,0941 . –25 = 2,35 kN/cm2 = 23,5MPa b) σ(5) = -0,0941 x 5 = -0,45kN/cm2 25 15 15 ycg -1,41 z 15 25 2,35 26,67 2,35 10 15 25 2,35 16,67 TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 11/80 26/3/2011 ( ) kNRc 0,28230*10* 2 47,041,1 2 −= + −= kNRc 76,1110* 2 5*47,0 1 −= − = Rc2 + Rc1 = -293,76kN kNRt 75,29310*2 25*35,2 = = c) ( )*.)( )( 0 0 ∫ ∫ = h h trapézioáreadxxf dxxfx x ⇒+= +=+=+∫ ∫ 2323 )( 23 0 0 23 0 2 bhahhxaxbxdxaxdxbaxx h h h h = 10 b = 0,47 094,0 10 47,041,1 = − =a ⇒ = 54,83 4,910* 2 41,147,0 = + =∆t cmx 8,5 4,9 83,54 == MR = (293,75)*(16,6) + (11,75)*(3,3) + (282)*(10,8) MR = 7960kN.cm = 80kN.m 2/3*5=3,33 10 25 2/3*25 = 16,67 5+5,8 = 10,8 5,8 0,47 1,41 10 x x y TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 12/80 26/3/2011 VIGAS COMPOSTAS DE DOIS MATERIAIS MATERIAL 1: E1, ε1 MATERIAL 1: E2, ε2 HIPÓTESE: Os materiais trabalham de forma solidária, sem escorregamento entre si. σ = E*σ 2 2 1 1 EE σσ = 2 2 1 1 *σσ E E = Idéia: transformar a viga de 2 materiais em um material único. Desenvolver as tensões σ(z) e restituí-las em 2 grupos pelo fator η 2I M z −=σ 12 * * 3 21 hbI I Mz I Mz == −=− η 1 2 ε1 + ε2 200GPa 10GPa η h1 h2 h b2 b1 2 B2 B1=B2*(E1/E2) TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 13/80 26/3/2011 Exemplo 1) Para uma viga composta de 2 materiais, sendo madeira (10GPa) e aço (200Gpa) pede-se: a) Distribuição de tensão b) Resultado de tração e compressão c) Restituição do momento M = 120 kN.m b/10 = 10/200 b = 10*10/200 = 0,5cm 2 12 .1 12 . 33 AhbAhbI +++= 48cm Y 10cm 2cm 10 48 2 10 48 2 0,5 Linha de referência 26 1 TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 14/80 26/3/2011 ( ) ( ) ( ) cm A M zG 64,1444 644 2420 62420 )5,0*48()2*10( )26(*5,0*481*2*10 = + + = + + == ∑ ∑ 2 2 2 3 )26*64,14(*)5,0*48( 12 )48(*5,0)164,14(*)2(*10 12 2*10 ++−+=I Fig 1 fig2 I = 11.433cm4 ⇒ Teorema dos eixos paralelos (Papis) zz I M z z 05,1433.11 000.12 2 =−=−=σ σ(0) = 0 σ(35,4) = 37,1kN/cm2 σ(-14,6) = 15,4 kN/cm2 Aço Compressão 37,1 Madeira 12,6 35,4 14,6 Tração 15,4 Aço 2 50 Linha neutra σm = N*σσσσa σm(35,4) = 0,05*(37,1) σm(2) = 0,5*pis*(-12,6) (Na linha neutra) N=E1/E2 Linha neutra 15,4 37,1 35,4 14,6 15,4 1,86kN/cm2 13,27 0,66 σm = 1,86 (compressão) σm(2) = 0,05*(+13,27)= 0,66 tração σz = -1,05z σ(12,6) = -1,05*12,6 = +13,27 TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 15/80 26/3/2011 kNRt vigadaural aço 286*2*2 4,1527,13( 10 ..arg ≅ + = Rc = Rt ⇒ 329 = 42 + 286 ⇒ 329 = ~ 328 c) Área trapézio = uralhbb menormaior arg** 2 + 1,86kN/cm2 12,6 0,66 35,4 kNRc vigadaural madeira 329*2 4,35*86,1 10 ..arg ≅ = kNRt vigadaural madeira 42*2 6,12*66,0 10 ..arg ≅ = 2/3(35,4) 2/3(12,6) Rcm Rtm Rtaço Distâncias muito pequenas adotar metade de L (até 10% do L total) MR = 329*(2/3)*35,4 + 42*(2/3)*12,6 + 286*13,6 MR = 12.006kN.cm (OK) TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 16/80 26/3/2011 Exercício: Viga de concreto armado sobre o ponto de vista RESMAT HIPÓTESES: a) Materiais trabalham de forma solitária. b) Concreto não resiste à tração b = largura da viga h = altura da forma d = altura útil σc = tensão admissível concreto σs = tensão admissível aço As = Área do aço Ac = Área do concreto ∑f = 0 ∑M = 0 Rc = Rs (Resultante) Assbxc ** 2 * σ σ = (1) M h d b LN x d Rc d-x 2/3 *x Rs TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 17/80 26/3/2011 M = Rc*(2x/3) + RS*(d-x) M = Rc (2x/3 + d – x) ⇒ resultante do concreto igual a resultante do aço ⇒ M = Rc*(d – x/3) (2) M = (σc*x/2)* b * ((d-x)/3) = ((σc* b * d)/2)* x – ((σc* b)/6)* x2 ((σc * b)/6)* x2 - ((σc* b * d)/2) * x + M = 0 (3) x s bcAs * *2 * = σ σ (4) Exemplo 01 Calcular para a viga de concreto armado abaixo, a posição da linha neutra e a área de aço necessária para suportar um momento de 120kN.m σc = 20MPa /10 = 2kN/m2 σs = 500MPa /10 = 50kN/m2 M = 120kN.m ⇒ obs: um tijolo baiano resiste a 18MPa 000.12* 2 54*12*2 * 6 12*20 2 + − = xx = 4x2 – 648x + 12.000 = 0 (se x > que a viga, desprezar o negativo também) 120kN.m d = 0,9h = 54cm 60 12 TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 18/80 26/3/2011 a cab *2 **4648 2 −±− 4*2 12000*4*4648648 2 −±− 8 3,477)648( 8 904.227648 ±−−=±− x = 140,62 (não) e x = 21,33 x = 21,33 212,533,21* 50*2 12*2 cmAs = = Para uma viga retangular de largura 12cm e altura útil de 41cm, calcular o valor de M sabendo que a LN está a 0,5 de “d” x = 0,5d = 0,5* 41 ⇒ x = 20,5cm (4) 292,45,20* 50*2 12*2 cmAs = = cmkNM .405.85,20* 2 41*12*2)5,20(* 6 12*2 2 ≅ + −= 20,5 41cm 20,5 12 TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 19/80 26/3/2011 CARREGAMENTOS ASSIMÉTRICOS xM y 80240 −= [0,3] Y X Z 50kN 80kN Z B A D Y C 20 50 X Y 80kN 3m + 240 kN*m 50kN 150kN*m + 150kN*m TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 20/80 26/3/2011 Momento engaste My = 240kN*m = 24.000kN.cm My = 150kN*m = 15.000kN.cm 4 3 333.208 12 )50(*20 cmIy == 4 3 333,33 12 )20(*50 cmIz == +−= y Iz Mz z Iy My zy **),(σ +−= yzzy *333.33 000.15 * 333.208 000.24 ),(σ σ(y,z) = -(0,115z +0,450y) σ(y,z) = -( 0,115z + 0,450y) Ponto y z σ(y,z) A 10 25 -7,375 B 10 -25 -1,625 C -10 -25 7,375 D -10 25 1,625 Onde passa a linha neutra ⇒ σ(y,z) = 0 -(0,115z +0,450y) z = - 3,9y y = 10 ⇒ z = -39 y = -10 ⇒ z = 39 Z -1,6 -7,4 1,6 Y 7,4 TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 21/80 26/3/2011Para x = 1,2 metros My (x) = 240 – 80*1,20 = 144kN*m = 14.400kN.cm My (x) = 150 – 50*1,20 = 90kN*m = 9.000kN.cm 4 3 333.208 12 )50(*20 cmIy == -1,6 -7,4 7,4 1,6 LN y z Z -1,6 -7,4 1,6 Y 7,4 (-10,39) (10,-39) LN - + TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 22/80 26/3/2011 4 3 333,33 12 )20(*50 cmIz == +−= y Iz Mz z Iy My zy **),(σ +−= yzzy *333.33 000.9 * 333.208 400.14 ),(σ σ(y,z) = -(0,07z +0,27y) Ponto y z σ(y,z) A 10 25 -4,45 B 10 -25 -0,95 C -10 -25 4,45 D -10 25 0,95 Onde passa a linha neutra ⇒ σ(y,z) = 0 -(0,07z +0,27y) z = - 3,86y y = 10 ⇒ z = -38,6 y = -10 ⇒ z = 38,6 -0,95 -4,45 4,45 0,95 LN y z Y Z -0,95 -4,45 0,95 4,45 (-10,38,6) (10,-38,6) LN - + TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 23/80 26/3/2011 Para a viga abaixo, calcular a distribuição σ para a seção C. VA = 900kN My = -900 + 300*x - [(50*x)*x/2] ⇒ My = -900 + 300x -25x2 [0,6] Mz = 1800 – 300*x ⇒ Mz = 1800 – 300x [0,6] My(3) = -225kN*m = -22.500kN.cm Mz(3) = -900kN*m = -90.000kN.cm 4 3 500.22 12 )30(*10 cmIy == 4 3 500.2 12 )10(*30 cmIz == +−−= yzzy *500.2 000.90 * 500.22 500.22 ),(σ σ(y,z) = -(- 1z +36y) σ(y,z) = 1z -36y Ponto y z σ(y,z) A 5 15 -165 B 5 -15 -195 C -5 -15 165 D -5 15 195 300kN 3m 3m 50kN/m Z B A D Y C 10 30 300kN x/2 50kN/m 300kN x/2 900kN.cm y x z TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 24/80 26/3/2011 Onde passa a linha neutra ⇒ σ(y,z) = 0 0 = z – 36y z = 36y y = 1 ⇒ z = 36 y = -1 ⇒ z = -36 195 -195 -165 165 LN y z (-10,38,6) Z -195 -165 195 165 LN - + TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 25/80 26/3/2011 TRABALHO TSE: PROF: FERRÃO Calcular σ(y,z) em C Y) RzA + RzB = 200 ∑MyA = 0 -200*1 + RyB*6 = 0 RzB = 33,33kN RzA = 166,67kN Z) -RyA –RyB = 100 ∑MzA = 0 100*4 - RzB*6 = 0 RyB = 66,67kN RyA = 33,33kN B 100kN/m A 1m 100kN 1m 1m 1m 1m 1m RzA RzB 200kN RyA RyB 100kN Y Z Z B A D Y C 10 20 166,67kN B 1m Vz 1m 1m 1m 1m 1m - + 33,33 kN Vy 33,33kN 66,67kN TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 26/80 26/3/2011 ∑My(C) = -166,67*x + 200*(x-1) ⇒ ∑My(C) = 33,33x - 200 ∑Mz(C) = 33,33*x - 100*(x-1) ⇒ ∑My(C) = - 66,67x + 400 My ⇒ Diagrama de cortante no carregamento V(x) = 166,67 – 100x Qdo V = 0 ⇒ Momento é máximo 166,67 – 100x = 0 ⇒ x = 1,67m Mmaximo = 33,33*1,67 -200 Mmaximo = 144,34kN*m Mz 200kN A 166,67kN X X - 1 33,33 100kN My(C) Mz(C) A X X - 4 1,67 144,34kN.m + + 2m + + TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 27/80 26/3/2011 ∑My(c) = 33,33*5 – 200 ∑My(c) = -33,35kN.m = -3.335kN.cm ∑Mz(c) = -66,67*5 + 400 ∑Mz(c) = 66,66N.m = 6.667kN.cm 4 3 667.6 12 )20(*10 cmIy == 4 3 667.1 12 )10(*20 cmIz == + − −−= yzzy *667.1 667.6 * 667.6 335.3 ),(σ σ(y,z) = -(- 0,5z +4y) σ(y,z) = 0,5z -4y Ponto y z σ(y,z) A 5 10 -15 B 5 -10 -25 C -5 -10 15 D -5 10 25 Onde passa a linha neutra ⇒ σ(y,z) = 0 0 = 0,5z – 4y z = 8y y = 5 ⇒ z = 40 y = -5 ⇒ z = -40 133,32kN.m (5,40) Z -25 -15 25 15 LN - + (-5,-40) -25 -15 15 LN y z 25 TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 28/80 26/3/2011 N(x) = -100kN [0,3] My(x) = -300 + 100*x [0,3] Mz(x) = 600 – 200*x [0,3] 4 3 667.106 12 )40(*20 cmIy == 4 3 667.26 12 )20(*40 cmIz == σ(y,z) = σN + σM −−+−= y Iz Mz z Iy My A N zy **),(σ Espressão Geral Momento no engaste − − −+−= yzzy *667.26 60000 * 667.106 30000 40*20 100 ),(σ yzzy 25,2*28,013,0),( −+−=σ Onde passa a linha neutra ⇒ σ(y,z) = 0 0 = -0,13 + 0,28z – 2,25y z = 0,44 + 8,04y Equação da linha neutra 100kN 200kN 100kN 3m Z B A D Y C 20 40 (cm) z y x Norma l Momentos Norma l Momentos TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 29/80 26/3/2011 y z 10 80,84 -10 -79,96 Ponto y z σ(y,z) A 10 20 -17,03 B 10 -20 -28,23 C -10 -20 16,77 D -10 20 27,97 -25 -15 15 LN y z 25 (10, 80,84) Z -28,23 -17,03 27,97 16,77 LN _ + (-10, -79,96) y TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 30/80 26/3/2011 Na situação de momento máximo, qual o valor de P para que a σ de tração não exceda 0,30kN/cm2 . cmkNmkNlpM .000.2.20 8 4*10 8 * 22 max ==== 4 3 467.104 12 )50(*10 cmIy == z A P z A P zy 01914,0467.104 2000 ),( −−=−−=σ z = + 25 σmax = + 0,4786kN/cm 2 0,30 = -P/500 + 0,4789 ⇒ P = 89,31~=100kN σ(z) = -0,2 = 0,02z = 0 z = -10 10kN/m P 4m P Z B A D Y C 10 50 (cm) -P/A = -0,2 25 25 -P/A = -0,2 -0,4786 0,4786 -0,7 0,3 TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 31/80 26/3/2011 N = -400kN Vz = 600kN Vy = -600kN ΣMy = -750 + 300*x/3 + 300*x/2 ⇒ ΣΣΣΣMy = -750 + 250x em x = 1,5 = -355kN ΣΣΣΣMz = 1800 – 600*x em x = 1,5 = 900kN 4 3 667.106 12 )40(*20 cmIy == 4 3 667.26 12 )20(*40 cmIz == − − −+−= yzzy *667.26 000.90 * 667.106 500.35 40*20 400 ),(σ ⇒ σσσσ(y,z) = - 0,5 + 0,3328z – 3,374y Linha Neutra ⇒ σ(y,z) = 0 0 = - 0,5 + 0,33z – 3,4y ⇒ z =1,52 + 10,30y y z 10 104,52 -10 -101,48 100kN 600kN 400kN 3m 300kN 1,5m 1,5m Z B A D Y C 20 40 (cm) x/3 x/6 X/2 300kN 300kN z y x TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 32/80 26/3/2011 Ponto y z σ(y,z) A 10 20 -96,844 B 10 -20 -110,156 C -10 -20 95,844 D -10 20 109,156 -110,2 -96,84 95,84 LN y z 109,2 (10; 104,52) Z -110,2 -96,84 109,2 95,84 LN _ + (-10; -101,48) y TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 33/80 26/3/2011 TENSÕES DE CISALHAMENTO ( τ ) ∫= A dbdx στ zdA I xMdbdx A ∫= )( τ zdA I xMdbdx A ∫= )( τ ∫= A zda Ibdx xdM * 1 * )( τ d It QxV ou Ib MxV * *)( * *)( =τ τ(x) dx z y x dx M M + dM τ σ σ + dσ dx b _ + Derivação da força cortante V(x) M TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 34/80 26/3/2011 TENSÃO DE CISALHAMENTO ( τ ) PARA VIGAS RETANGULARES Ib zMxV z * )(*)()( & =τ )(* * )()( zM Ib xV z & =τ DISTÂNCIAÁREA z h zz hb Ib xV z −+ − = 22 1 * 2 ** * )()(τ − = 2 2 2 * 2 * * )()( zhb Ib xV zτ 0) 2 ( =hτ − = 2 2 2 * *2 )()( zh I xV zτ 0) 2 ( =− hτ 4 * *2 )()0( 2h I xV Máx == ττ A V hb V hb hxV Máx *2 3 * * 2 3 12 * *8 *)( 3 2 == =τ Provar que a τ(z) é geradora da cortante ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ − − − −− − = − ===== A s h h b b h h h h h h dzzh I xVbdzzh I xVbdzzbdydzzdydzzdazV 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2*2 )(* 2*2 )()()()()( ττττ ( ) − = −= −− −−= − = 12 13* * *2 )(* 124 * *2 )(* 248248 * *2 )(* 32*2 )(* 333333332 h I xVbhh I xVbhhhh I xVbz z h I xVb )( 12 * 1 12 * *)( 12 2 *2 )(* 3 33 xV hb hb xVh I xVb =−= − V = V(x) ⇒ OK Z B A D Y C b h h/2 z τ(z) 3/2 *V/A Ribler capítulo 7 TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 35/80 26/3/2011 Exercício: Calcular τ(z) para a seção C V(x) = 20 – 10x V(1) = 10kN 4 33 106667 12 40*20 12 * cm hbI === ( )2220* 106667*2 10)( zz −=τ τ(20) = τ(-20) = 0 2 max /01875,040*20 10 * 2 3)0( cmkNima ==τ Z B A D Y C 20 40 (cm) 10kN/m C 3m (m) 1m 20kN 20kN x 10 20 20 – 10x _ + ( + ) ( - ) 0,019kN/cm2 TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 36/80 26/3/2011 V = 100kN I = 85.000cm4 ( ) ( ) −+− zzz 15* 2 1 *15 Zcg = 25cm ( ) −+− 22 15 *15 zzz τ(z) = 25cm ( ) +− 2 15 2 *15 zz ( ) ( )zz +− 15*15* 2 1 a) τ(z) mesa ( ) ( ) −+−= zzzz 15*2 1 *15*30* 000.85*30 100 τ ( )215* 2 1 * 000.85 100 zz −=τ ( ) ( )2222 15* 700.1 115* 8500 5 zzz −=−=τ τ(5) = 0,12kN/m2 τ(0) = 0 10 10 10 30 10 Alma superior Alma inferior Mesa 25 0,12kN/cm2 z = 5 z = 15 Alma superior z 10 TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 37/80 26/3/2011 b) Alma inferior ( )225* 2 10 * 000.85 100 zz −=τ ( )2225* 700.1 1 zz −=τ τ(25) = 0 τ(0) = 0,37 kN/cm2 C) Alma Superior ( ) −+= 25* 2 30)10(*10*30* 000.85 100 zzτ ( )[ ]225*153000* 000.85 1 zz −+=τ 2 5 /35,0000.85 3000 cmkN==τ 2 0 /37,0000.85 3753000 cmkN=+=τ dzzVmesa ∫ −= 15 5 2215 1700 30 ∫ 15 5 )( dzzb τ 3 225 12 225)15( 315 5 12 22 zz z zdzz −= + −⇒−∫ + −= 3 225* 1700 30 315 5 z zVmesa 25 z 0,37 kN/cm2 5 z Alma superior Área da mesa, fixa 0,12kN/cm2 0,37 kN/cm2 0,35 kN/cm2 0,37 kN/cm2 0,35 kN/cm2 TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 38/80 26/3/2011 PERFIL DELGADO ( I ) 16/03 ( ) τ la dx g(x) e2 z e1 ∆z M σ + dσ M + dm σ TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 39/80 26/3/2011 − + + == ∗ 44 844 76 44 344 21 44 344 21 44 844 76 iável almaaba fixa z heeh ela Ie V zM Ie V z var 2 2 21 1 22 2 * 22 *** * )(* * )(τ + −== ∗ 2 ** 2 * * )(* * 12 1 11 ),( eh eyla Ie V zM Ie V yxτ Item 7.5 τ dσ alma TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 40/80 26/3/2011 R = 50kN V(x) = ? M = -125kN*m M(x) = -125 + 50*x M V(x) = 50 – 10*x [0,5] ( ) ( ) 432 3 101993 12 )50(*226*2*30 12 2*30 *2 cmI =+ += Calcular τ nas abas e na alma para o engaste. X = 0 V(0) = 50 M(0) = -125 a) Alma [ ] )]25(1560[10*5,2425* 2 226*2*30* 10*102*2 50)(* * )( 225225 zzzMIb V z aba fixaalma −+= −+== − ∗ 48476 43421 τ τ(0) = 0,54kN/cm2 τ(25) = 0,38kN/cm2 10kN/m 5m 2 30 2 2 50 125kN.m z 0,54 0,38 TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS41/80 26/3/2011 b) Aba )]26*2*)15[(10*5,24)(* * )( 5 yzM Ib Vy aba −== − ∗ τ τ(y) = 24,5*10-5 * (15 –y ) * 52 τ(15) = 0 τ(0) = 0,20kN/cm2 Exercício a) σ(z) e τ(z) para a seção C; b) Para um ponto situado 10cm abaixo da linha neutra calcular σ e τ. Va + Vb = 40 ∑MA = 0 -40*1 + Vb*4 = 0 Vb = 10kN Va = 30kN 2 y 15 + _ 0,20 0,20 20 20 10 10 40 z y (cm) 2m 20kN/m B A C 2m 1m (m) Va Vb 40 TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 42/80 26/3/2011 ∑M(C) = -30*x + 40*(x -1)*1/2 ∑M(C) = 10x – 40 V(x) = 30 – 20x [0,2[ 30 – 20x = 0 x = 1,5 ⇒ V(cortante) = 0 e M (momento) = máximo V(x) = 10 ]2,4] em C, V = -10kN M(x) = 30x – 10x2 [0,2[ M(0) = 0 ; M(2) = 20kN M(x) = -10x + k M(4) = -40 + k = 0 k + 40 M(y) = -10x + 40 [2,4] M(3) = -30 +40 = 10kN*m cmcgz 9,33 900 )20(*40045*)500()( =+= 42 3 2 3 196000)2034(*400 12 )40(*10)3445(*500 12 10*50 cmI =−++−+= zz EI Mz z 005,0* 3196 1000)( −=−=−=σ σ(16) = -0,08kN/cm2 Compressão σ(-34) = 0,17kN/cm2 Tração -30x + 20x2 - 20 Integrar para conseguir o diagrama de momento 20kN 0,17 -0,08 16 34 TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 43/80 26/3/2011 Calcular a resultante de tração e compressão e restituir o momento fletor Mesa: )(* * )( zM Ib V z ∗ =τ ( ) − − = 2216* 2 50 * 3196*50 10)( z E zτ ( )2216*3025,0)( zEz −−−=τ τ(16) = 0 τ(6) = -5,5*10-3 kN*cm2 Alma Inferior: ( ) − − = 2234* 2 10 * 3196*50 10)( z E zτ ( )[ ]2234*5*3005,0)( zEz −−−=τ τ(34) = 0 τ(0) = -0,029 kN*cm2 Alma Superior: ( ) ( ) ( ) − − = 226* 2 10 *1*11*500* 3196*50 10)( z E z mesa 43421 τ ( )[ ]236*5500.5*3005,0)( zEz −+−−=τ τ(0) = -29E-3kN/cm2 τ(0) = -0,028 kN*cm2 Para casa, calcular a cortante absorvida na mesa e na alma. b) Repetir o exercício em uma viga 10x40 ∫ ∫ − − − 16 34 5 5 )005,0( zdydzz exercício. z 5,5E-3kN/cm2 29E-3 kN/cm2 28E-3 kN/cm2 TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 44/80 26/3/2011 CIRCULO DE MOHR Equilíbrio da cunha de tensões: ‘ θθ θθθ θθθ θθθθ θθθ 2 22 2 22 cos 2 1)2cos( coscos1)2cos( cos)2()2cos( cos)cos( cos2)2( = + =−+ =+ −=+ = sen sen sensen )(**)cos(**)(**)cos(*** θτθτθσθσσ senbxzdzBxzdxsenbzdxbxdzbds +++= θτθτθσθσσ sen ds dz xz ds dx xzsen ds dx z ds dz x *cos**cos* +++= σ = σx cos2θ + σz sen2θ + τxz sen θ cos θ + τxz cos θ sen θ σ = σx cos2θ + σz (1 – cos2θ) + 2τxz senθ cosθ σ = (σx - σz)cos2θ + σz + τxz sen θ σ = (σx - σz) * ((cos(2θ) + 1)/2) + σz + τxz sen (2θ) dz dx b P P σx σx σz σz τxz σx σz σ τxz dx dz τ θ θ θ ds TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 45/80 26/3/2011 )2(*)2cos(* 22 θτθσσσσσ senxzzxzx + − + + = σ = σ(θ) (I) ( ) ( ) 0)2cos(2*)2(2* 2 =+− − = θτθσσ θ σ xzsen zx d d )2cos(*)2(* 2 θτθσσ xzsenzx = − − == 2 )2()2cos( )2( zx xz tgsen σσ τθ θ θ (II) a = τxz sem(2θ) = a / c − = 2 zxb σσ cós(2θ) = b / c 2 2 2 − += zx xzc σς τ tan(2θ) = a / b 2 2 2 2 max 2 )(* * 2 2 * 2 2 − + − + − − + + = zx xz xzxz zx xz zxzx zx imo σσ τ ττ σσ τ σσσσ σσ σ A) 2 2 2 2 22 2 2 * 2 * 2 − + − + − ⇒ − zx xz zx xz zxzx σσ τ σσ τ σσσσ 2 2 2 22 2 2 2 * − + − ++ ⇒ zx xz zx xzxz xz σσ τ σσ ττ τ 2 2 min max 22 * 444 3444 2143421 masimoRaiocentro zx xz zx τ σσ τ σσ σ − +± + TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 46/80 26/3/2011 Exercício: Mc = ? Vc = ? I = ? RV = 100kN M = 1000 kN.m ∑Mc = -1000 + 100*x ∑Mc = 500kN*m = 50.000kN*m Vc = 100kN [0,10] 4 33 64000 12 40*12 12 * cm hbI === Tensão = σp*τxz*p σmax p e ângulo θ σp = 0 (L.N.) } ( ) 2/31,0 12*40 100 * 2 3 * 2 3 cmkN A Vp seção da máximo tocisalhamen xz ===τ zz I Mz z 78,0 000.64 )000.50( = − −=−=σ ( )2220 2 12 * 000.64*12 100)(* * )( zzM Ib V z −== ∗ τ ( )222000078,0)( zz −=τ ( ) 2/31,040000078,0)0( cmkN==τ ∞= − = 2 )2(tan max zx xz σσ τθ 2θ = 90º ⇒ + s = infinito em 90º θ = 45º 100kN 5m 5m C x 100kN 1000 Z B A D Y C 12 40 (cm) 15,6kN/cm2 -15,6kN/cm2 P σx = σz = 0 τxz 0 TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 47/80 26/3/2011 44 344 21 max)( 2 max 22 τ σσ τ σσ σ raio zx xz zx − ++ − = xzτσ =max {{ )31,0;0( τσ =PV {{ )31,0;0( τσ =PH PV ∩ PH = Polo )2(*)2cos(* 22 θτθσσσσσ θ senxz zxzx + − + + = σ(45º) = τxz P σmax σmin σmax σmin 0,31 τ PV PH polo -0,31 0,31 R = 0,31 45º 45º σ P 0,31 0,3 1 PV TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 48/80 26/3/2011 Exercício: Mc = ? Vc = ? I = ? RV = 100kN M = 1000 kN.m ∑Mc = -1000 + 100*x ∑Mc = -500kN*m = -50.000kN*m Vc = 100kN [0,10] 4 33 64000 12 40*12 12 * cm hbI === P ⇒ σp´ = ? τxz*p´ = ? σmaxP´ ; θmax } analítico/ círculo de Mohr 2/8,710* 000.64 )000.50()10( cmkN I Mz −=− − −=−=−σ ( ) 222 /23,01020 2 12 * 000.64*12 100)(* * )10( cmkNzM Ib V =−==− ∗ τ σx = -7,8 σz = 0 06,0 2 8,7 23,0)2tan( max = − =θ 2θmax~= -40 θmax ~= -2º 9,39,3 2 8,7)23,0( 2 8,7 22 min max ±−= − +± − =σ σmax = 0 σmin = - 7,8 PV (-7,8 ; 0,23 ) PH ( 0 ; 0,23 ) PV ∩ PH = Polo 100kN 5m 5m C x 100kN 1000 Z B A D Y C 1240 (cm) 10 P 92º τ PV PH polo -7,8 2º σ 3,8 τmax P 0,23 0,23 7,8 7,8 TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 49/80 26/3/2011 LINHA ELÁSTICA w (x) = Deslocamento w´(x) = Rotação Hipótese da barra Euler-Bernoulli a) Pequenas deformações e pequenos deslocamentos b) Seção constante ao longo d trecho; ( I = constante ) c) Propriedades mecânicas constantes; ( I = constante ) d) Seções permanecem planas antes e após deformação (não há empenamento) – hipótese de Navier e) Carregamento no plano da seção transversal M(x) = P*(x-l) [0,l] )(* ** )(*)´´( * )()´´( xl IE P IE xlP xw IE xM xw −= − = −= ROTAÇÃOKxlx IE P xw ⇒+−= )1 2 (* * )´( 2 TODESLOCAMENKxKxlx IE P xw ⇒++−= )21 62 (* * )( 32 CÁLCULO DE K1 e K2 Condição de contorno (C.C.) w (0) = 0 02)21 6 0 2 0(* * )0( 32 =⇒++−= KKxKl IE P w w´(0) = 0 01)1 2 00(* * )´( 2 ==⇒+−= KKl IE P xw x P w(x) 2α = w´(x) w´´(x) = -M(x)/E*I l 0 TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 50/80 26/3/2011 ) 62 (* * )( 32 xlx IE P xw −= ) 2 (* * )´( 2 xlx IE P xw −= IE lPlll IE Plw * *) 62 *(* * )( 332 =−= IE lPlll IE Plw **2 *) 2 *(* * )´( 22 =−= E*I = Constante w(l/2) 2 * **)( 2xq xlqxM −= )* 2 (* * )´´( 2 xlx IE q xw −= )1 2 * 6 (* * )´( 23 Kxlx IE q xw +−= )21 6 * 24 (* * )( 34 KxKxlx IE q xw ++−= Condição de contorno w(0) = 0 ⇒ K2 = 0 w(l) = 0 w´(l/2) = 0 48 51 48 1 8 1 *1 01 848 * * ) 2 ´( 3 3 33 lKlK Kll IE ql w =⇒ −= = +−= +−= 48 *5 6 * 24* )( 334 xlxlx IE q xw ⇒ +−= 2*48 *5 2*6 * 2*24* ) 2 ( 3 3 3 4 4 lllll IE ql w IE lql w **384 **13) 2 ( 4 = q l Flecha máxima TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 51/80 26/3/2011 M1(x) = P*(x-a) [0,a] M2(x) = 0 [a,2a] )(* ** )(1)(''1 xa IE P IE xM xw −== )1 2 (* * )('1 2 Kxax IE P xw +−= )2*1 62 (* * )(1 32 KxKxax IE P xw ++−= Condição de Contorno w1(0) = 0; w’(0) = 0 w(0) ⇒ K2 = 0 w’(0) ⇒ K1 = 0 −= 62 * * * )(1 32 xxa IE P xw [0,a] 0 * )(2)(''2 =−= IE xM xw 3)('2 Kxw = 43)(2 KxKxw += P w(x) a a _ P*a TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 52/80 26/3/2011 Condição de contorno w1(a) = w2(a) (I) w’1(a) = w’2(a) (II) (I) 4*3 62 * * 33 KaKaa IE P += − 4*3 **3 * 3 KaK IE aP += (II) 3 2 * * 2 2 Kaa IE P = − 3 **2 * 2 K IE aP = 3 **3 *4 3 K IE aPK −= IE aP IE aP IE aaP IE aPK **6 * **6 )32(* **2 ** **3 *4 3323 −= − =−= TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 53/80 26/3/2011 M1(x) = q*a*x [0,a] 2 )( **)(2 2axqxaxM −−= )2(* 2 **)(2 22 aaxxqxaqxM +−−= 2 * ** 2 * **)(2 22 aq xaqxqxaqxM −+−= 2 * ***2 2 *)(2 22 aq xaqxqxM −+−= [a,2ª] w1(x) w2(x) IE xaq xw * **)(''1 −= 1 **2 **)('1 2 K IE xaq xw +−= 2*1 **6 **)('1 3 KxK IE xaq xw ++−= +−= 2 **2 2 * * )(''2 22 a xa x IE q xw ++−= 3 2 * * 6 * * )('2 2 2 3 Kxaxax IE q xw +++−= 4*3 4 * 3 * 24 * * )(2 2234 KxKxaxax IE q xw w1(0) = 0 ⇒ K2 = 0 w1(a) = w2(a) (I) w’1(a) = w’2(a) (II) w’2(2a) = 0 (III) q 2a Flecha máxima a a qa qa qa2 E*I = constante TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 54/80 26/3/2011 +++−=+− 4*3 4 * 3 * 24 * * *1 **6 ** 22343 KaKaaaaa IE q aK IE aaq (I) ++−=+− 3 2 * * 6 * * 1 **2 ** 2 2 32 Kaaaax IE qK IE aaq (II) 03*4 3 *4 * * 33 3 = ++− Kaaa IE q (III) 3 *5 3 *4 *33 33 3 aaaK =−= ++−=+− 3 *5 2 * * 6 * * 1 **2 ** 32 2 32 aaa aa x IE qK IE aaq = ++− =+− 3 4 * * * 6 10361 * * *1 **2 3* 33 IE aq IE aqK IE aq IE aq IE aqaq IE aq IE aqK **6 **11 **6 **3**8 **2 * **3 **41 33333 = + =+= (K1) em (I) +++−=+− 4* 3 *5 4 * 3 * 24 * * * **6 **11 **6 * 3223434 Kaaaaaaa IE q a IE aq IE aq +++−=+− 4 3 *5 4324 * ***6 **11 **6 * 444444 Kaaax IE q IE aq IE aq +++−=+− 4 444 4 3 5 4 1 3 1 24 1 * * * **6 **11 **6 * a K IE aq IE aq IE aq += 4 4 24 39 3 5 a K ⇒ 24 14 4 =a K ⇒ 24 4 4aK = TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 55/80 26/3/2011 +++−= 24 * 3 **5 4 * 3 * 24 * * )(2 432234 a a xaxaxax IE q xw +++−== 24 * 3 *2**5 4 *2* 3 *2* 24 *2 * * )(2 432223344 a a aaaaaaa IE q xwflecha +++−= 24 * 3 *10 4 *4 3 8 24 16 * * )(2 44444 a a aaaa IE q xw +++− = 24 180246416 * * *)(2 4 IE aq xw IE aq xw **8 **19)(2 4 = ⇒ FLECHA 13/04/09 ∑FH = 0 ⇒ HA = 0 ∑FV = 0 VA + VB = q*l (1) ∑MA = 0 ⇒ 2 * *0 2 * * 22 lqlVMlqlVM BB =+⇒=−+ (2) IE xM xw * )()('' −= 2 * *)( 2lq xVMxM A −+−= Equação da linha elástica +−= 2 * ** * 1)('' 2xq xVaM IE xw ++−= 1 6 * 2 * * * 1)(' 32 KxqxVaMx IE xw w’(0) = 0 ⇒ K1 = 0 ++−= 2 24 * 6 * 2 * * 1)( 432 KxqxVaMx IE xw w (0) = 0 ⇒ K2 = 0 W(l) = 0 ⇒ 0 24 * 6 * 2 * * 1 432 = +− lqlVaMl IE (3) q l VB VA HB M l q TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 56/80 26/3/2011 (1) ⇒ VA = q*l - VB (2) ⇒ lMlqlqV l MlqV l Mlq V ABB *2 * * 2 *2 * 2 +−=∴−=⇒ − = l MlqVA += 2 * substituindo em (3) 0 24 * 6* 2 * 2 * 232 =+ +− lql l MlqlM 24 * 3 * 24 * 12 * 6 * 2 * 424422 lqlMlqlqlMlM =⇒+=− 8 * 2lqM = 8 **5 8 * 2 * 2 * lqlqlq l MlqVA =+=+= 8 **3 lqVB = ∑FH = 0 ⇒ HA = 0 ∑FV = 0 VA + VB = (q*l)/2 (1) ∑MA = 0 ⇒ 3 * *0 3 *2 * 2 * * 2lqlVMLlqlVM BB =+⇒=−+ (2) IE xM xw * )()('' −= l xq x l xq Rx l xq xq l q x q *2 * 2 * * *)('' 2 = =⇒=⇒= −+−= 3 *2 * *2 * *)( 2 x l xq xVMxM A l xq xVMxM A *3 * *)( 3 −+−= q l VB VA HB M 2*l/3 q l/3 x q’ TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 57/80 26/3/2011 Equação da linha elástica +−= l xq xVM IE xw A 3 * ** * 1)('' 3 ++−= 1 *12 * 2 * * * 1)(' 42 K l xqxVaMx IE xw w’(0) = 0 ⇒ K1 = 0 ++−= 2 *60 * 6 * 2 * * 1)( 532 K l xqxVaMx IE xw w (0) = 0 ⇒ K2 = 0 W(l) = 0 ⇒ 0 60 * 6 * 2 * * 1 432 = +− lqlVaMl IE (3) (1) ⇒ VA = (q*l)/2 - VB (2) ⇒ l MlqV l Mlq V BB −=⇒ − = 3 *3 * 2 (4) l MlqlqVA +−= 3 * 2 * l MlqVA += 6 * (5) Substituindo em 3 ⇒ 0 60 * 6 * 6 * 2 * 432 =+ +− lql l MlqlM 90 * 3 *0 90 * 36 *2 60 * 6 * 36 * 2 * 42424242 lMlMlMlMlqlMlMlM =⇒=−=+−− 30 * 2lqM = 5 * 30 8*6 30 ***5 *30 * 6 * 6 * 2 lqlqlqlq l lqlq l MlqVA == + =+=+= ( ) 10 **3 30 **9 30 **110 *30 * 3 * 2 lqlqlq l lqlqVB == − =−= TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 58/80 26/3/2011 14/04 13/04/09 ∑FH = 0 ⇒ HA = 0 (1) ∑FV = 0 VA + VB - p = 0 (2) ∑MA = 0 ⇒ lplVMlplVM BBA **2*0*2** =+⇒=−+ (3) M1(x) [0,l] ⇒ M1(x) = -MA + VA*x M2(x) [l,2*l] ⇒ M2(x) = -MA + VA*x + VB * (x – l) = -MA + VA*x + VB*x –VB* l Equação da linha elástica IE xM xw * )()('' −= ( )xVM IE xw AA ** * 1)(''1 −= +−= 1 2 * * * 1)('1 2 KxVxM IE xw AA w1’(0) = 0 ⇒ K1 = 0 +−= 2 6 * 2 * * * 1)( 32 K xVxM IE xw A w1 (0) = 0 ⇒ K2 = 0 W1(l) = 0 ⇒ 0 6 * 2 * * * 1 32 = − lValM IE A ⇒ 3 * lVaM A = (4) substituindo em (3) 0** 3 * =−+ lplVlV BA ⇒ p VV AB *23 +−= substituindo em (2) ppVV AA = +−+ *2 3 ⇒ pp VV AA =+− *23 ⇒ pp VA =+ *2 3 *2 2 *3 pVA −= ppVB *23*2 *3 + − −= ⇒ 2 *5 pVB −= 3 * 2 *3 lpM A −= ⇒ 2 * lpM A −= p l VB VA HB MA l p l l TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 59/80 26/3/2011 14/04/09 Pede-se a) A flexa B) Flecha máxima no vão (δ) ∑FH = 0 ⇒ HC = 0 (1) ∑FV = 0 VA + VB + VC = p/a * 2a = 2*p (2) ∑MA = 0 ⇒ PVVaa a p aVcaV CBB *20**2**2** =+⇒=−+ (3) M(x) ⇒ a xp xVxMxx a p zVxM AA *2 * *)(1 2 ***)( 2 −=⇒−= [0,a] Equação da linha elástica IE xM xw * )()('' −= −= a xp xV IE xw A *2 * ** * 1)(''1 2 +−= 1 *6 * 2 * * * 1)('1 32 K a xpxV IE xw A (deslocamento) ++−= 21 *24 * 6 * * * 1)( 43 KxK a xpxV IE xw A (rotação) C.C. W1(0) ⇒ K2 = 0 W1’ (a/2) = 0 ⇒ 01 8 * 48 * * * 1) 2 ('1 22 = +−= K aVap IE aW A (4) W1(a) = 0 ⇒ 0*1 6 * 24 * * * 1 33 = ++ aKaVap IE A ⇒ (5) 2,3,4,5 (VA, VB, VC, K1) 01 8 * 48 * 22 =+− K aVap A (-a) 01 6 * 24 * 33 =+− K aVap A p/a a a p A B C VB VA p Hc p p l VC TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 60/80 26/3/2011 01 8 * 6 * 48 * 24 * 3333 =++−− K aVaVapap AA 24 * 48 * 24 34 * 33 3 apap aVA −= +− 48 * 24 * 33 apaVA −= − ⇒ VA = p/2 VC = p/2 VB = P 24 * 48 13 ** 48 * 16 * 48 * 8 *1 2 2 2232 ap apapapap aVK A = − =−=−= −−= 48 * 12 * *24 * * * 1)(1 234 apxp a xp IE xW −−= 2 * 24 * 96 * *384 * * * 1) 2 (1 233 aapap a ap IE aW Flecha IE ap ap IE aW ⇒= +− = **384 **5 384 841 *** * 1) 2 (1 3 3 TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 61/80 26/3/2011 27/04 FLAMBAGEM Deformações provocadas por ações de forças axiais. Ex: Ocorrem geralmente em estruturas verticais com pilares. Casos típicos 1) Sistema Apoio-Apoio E*I =Cte 0)(* * )"( * )(*)"( * )()"( )(*)( =+ −= ⇒−= = xw IE P xw IE xwP xw curvatura IE xM xw xwPxM EDO ⇒Equação diferencial Ordinária 0)(*)"( * 0)( * )"( 2 2 =+ = =+ xwxw IE P xw IE P xw β β )*cos()*(*)"( xxsenAxw ββ += A e B constantes )*(**)*cos(**)'( xsenBxBAxw βββ −= )*cos(**)*(**)"( 22 xBxsenAxw ββββ −−= x w(x) h TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 62/80 26/3/2011 ))*cos(*)*(*(*)*cos(**)*(** 222 xBxsenAxBxsenA βββββββ ++−− )*cos(*)*(*)( xBxsenAxw ββ += C.C. 0)*(* 0)( 0 )0cos(*)0(*)0( 0)0( = = = += = hsenA hw B BsenAw w β A = 0 NÃO PODE Então β*h = n * pi (n = 1,2,3............) 2 2 2 2 2 22 2 22 )( **** *** * * * * * h IE h IEP h IEnP h n IE P h n IE P h n crítico pipi pi pi pi piβ == = = = = Comprimento da flambagem TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 63/80 26/3/2011 2) Sistema Engaste-Livre E*I =Cte 0)(* * )"( * )(*)"( * )()"( )(*)( =+ −= ⇒−= = xw IE P xw IE xwP xw curvatura IE xM xw xwPxM )*cos()*(*)( xBxsenAxw ββ += )*cos(**)'( )*cos(**)'( )*(*)( 0)'( 00)0( hAxw xAxw xsenAxw hw Bw ββ ββ β = = = = =⇒= cos(β*h) = 0 Então β*h = (n * pi) (n = 1,3,5,7............) 2 2 2 22 2 22 2 )*2( ** *4 *** 2 * * * 2 * * * h IEP h IEnP nh IE P nh IE P crítico pi pi pi pi = = = = Comprimento da flambagem w(x)TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 64/80 26/3/2011 28/04/09 3) Sistema Engaste-Apoio E*I =Cte ( ) x IE Rv xw IE P xw xRvxwP IE xw curvatura IE xM xw xRvxwPxM * * )(* * )"( *)(* * 1)"( * )()"( *)(*)( −=+ +−= ⇒−= += ⇒ x IE Rv xwxw IE P * * )(*)"( * 22 −=+⇒ = ββ Particular P Homogênea H wwxw +=⇒ )( 0)(" )(' )( )*cos(*)*(*)( = = += += xw Cxw DCxxw xBxsenAxw P P P H ββ ( ) x P Rv xBxsenAxw x P Rv xw P RvC IE PIE RvC IE RvC IE RvC D x IE RvDxC x IE RvDCx P *)*cos(*)*(*)( *)( * ** ** * 0 * * * * * * 2 2 2 2 −+= −= −= −==−= −= = −=+ −=+ ββ β β β β x h w(x) P Rv Rh M TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 65/80 26/3/2011 C.C. 0?* *)*( )*( * )*cos(** )*(* 2 1 )2()*cos(** 0)*cos(**)(' )*cos(**)(' 0)(' )1(*)*(* 0*)*(*)( 0)0( ≠= = = == = =−⇒ −⇒ = = =−⇒ ⇒= h hhtg hhtg P Rv P hRv xA hsenA P RvhA P RvhAhw P Rv xAhw hw P hRvhsenA P hRvhsenAhw Bw β ββ β β ββ β ββ ββ ββ β β β ~= 4,49rad 2 2 2 2 2 2 2 2 )*7,0( ** *49,0 ** ***04,2**16,20 16,20* * 49,4* * h IE h IEP h IE h IEP h IE P h IE P crítico crítico crítico pipi pi == == = = tg(β) β tgβ*h β TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 66/80 26/3/2011 29/04/09 4) Sistema Engaste- Engaste E*I =Cte 2 2 )*5,0( ** h IEPcrítico pi = x h h/2 h/4 h/4 TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 67/80 26/3/2011 EXERCÍCIOS Um pilar possui dimensão 12x40cm, e é aplicado sobre o mesmo uma carga de 3000KN. Sabendo que o E do material vale 30Gpa, calcule o comprimento de flambagem do mesmo sistema (apoio-apoio) 242 23 26 444 3 454 3 *10*92,110*192* *10*73,1* /10*3030 10*4,6000.64 12 40*12 10*76,5760.5 12 12*40 mkNIzE mkNIyE mkNGPaE mcmIz mcmIy == = == === === − − ml ml P IEl l IEP fz fy crítico f f crítico 95,7 10*3 10*92,1 * 39,2 10*3 10*73,1 * * *)( ** 3 4 3 3 2 2 == == =⇒= pi pi pi pi Qual o valor do Pcrítico sabendo que o pilar obrigatoriamente terá 3,5m kN l IEP f crítico 3 2 32 2 2 10*4,183,393.1)5,3( 10*73,1* )( ** ==⇒= pipi Exercício para a prova ⇒ Deduzir a expressão de Pcrítico em um sistema apoio-apoio considerando a carga axial e um momento inicial Ma z 3000kN y h E=30GPa TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 68/80 26/3/2011 0,87kN/cm2 38 22 5,6kN/cm2 24 5,1kN/cm2 0,51kN/cm2 1) Uma viga retangular de madeira (E=20GPa) de 20cm de base e 60cm de altura, está sujeita a um momento de tração na parte inferior de 150kNm. Para reforçar a viga foi colocada uma chapa de aço (E=200GPa) de 2m. Pede-se: a) Novo centro de gravidade: cmb E Ebb Aço madeira madeira uraNoval 2 200 20 *20*** arg ==⇒= Novo CG. cmz z CG figuraMfiguraM CG 243,24 160 880.3 12040 32*2*601*2*20 2211 ≅== + + = −− b) Momento de inércia Iz: 444 02 2 3 01 2 3 10*49,6853.648*120 12 60*223*40 12 2*20 cmcmIzIz FIGURAFIGURA ==⇒+++= c) Distribuição das tensões normais na viga aço+madeira: Tração na parte inferior = 150kN*m = 15.000kN*cm Compressão cm kN Tração cm kN zzz I M z )(7,8)38( )(6,5)24( *23,0* 10*49,6 10*5,1 *)( 2 2 4 4 −⇒−= +⇒=− −=−=−= σ σ σ aço+madeira )(*1,0)( 1,0 200 20 )( )()(*)( 1,5)22( 2 zz n z z nznz cm kN AM A M AM σσ σ σ σσ σ = =⇒==⇒= =− A A EMM M M A A MA AAA σσ σσ ε εσ εσ * * * Ε = Ε = Ε Ε= Ε= Ε= 2 20 60 2 LR Nova posição da L.R. 24 8,7 kN/cm2 24 5,6 kN/cm2 38 TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 69/80 26/3/2011 2º)Para a viga do exercício anterior pede-se: a) A resultante de tração e compressão e sua posição, Rt e Rc kNkN kNRt kNRt kNRc Aço Madeira Madeira 331326 21420*2* 2 1,56,5 11220* 2 22*51,0 33120* 2 87,0*38 ≅= = + = ≅ = ≅ = b) Restituição do momento original, a partir das resultantes, MR = ? MR = (331)*(25,3) + 112 * (14,7) + 214 * (23) MR = 8.374 + 1.646 + 4.922 MR = 14.843 ≅ 15.000 kN*cm OK 3º) Para uma viga retangular 25x50cm, submetida a uma cortante de 200kN pede-se: a) Distribuição de tensões de cisalhamento na seção. b) Valor da tensão de cisalhamento em um ponto situado a 15cm acima da linha neutra (elaborar o circulo de Mohr deste ponto). V = 200kN a)τ(z) b)τ(15) com circulo de Mohr Iy = b*h3 /12 = 25*503 /12 = 2,6E5cm4 )(* * )( * tan zM Ib V z teCons =τ M(z) = A * d’ = [(h/2 – z)*b] * [z + ½ *(h/2 * z)] M(z) = b/2 * [(h/2)2 – z2 ] − =⇒ − = 2 2 2 2 2 * *2 )( 2 * 2 * * )( zh I V zz hb Ib V z ττ ( ) 2max224 /24,000)25(0)25()25(*10*85,3)( cmkNzz imo ===−=⇒−= − τττττ 25,3cm 14,7cm 23cm 2/3 2/3 112kN 214kN 331kN Z Y 25 50 (cm) M(z) LN d' h/2 b * τmáximo z h/2 h/2 τmáximo = (3*V) / (2*A) z Seção retangular TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 70/80 26/3/2011 τ(z) = a*z2 + b*z + c (equação da parábola) τ(h/2) = 0 τ(-h/2) = 0 τ(0) = τmáximo τ(0) = a*(0)2 + b*(0) + C = τmáx ⇒ τmáx = C τ(h/2) = a*(h/2)2 + b*(h/2) + τmáx = 0 τ(-h/2) = a*(h/2)2 - b*(h/2) + τmáx = 0 2*a*(h/2)2 = -2*τmáx a = -τmáx /(h/2)2 b = 0 τ(z) = [ -τmáx /(h/2)2 ]*z2 + τmáx -(0,24/(25)2 = 3,85E4 zdeestáticomomentozM =)( * )25(*10*85,3)( 224 zz −= −τ τ(15) = 0,15kN/cm2 + = 2 xzC σσ R = τmáx + = ±= + +± + = 2 )2( 22 min max 2 2 min max zx xz tg xz zxzx σσ τθ τσ τ σσσσ σ tg(2θ) = 0 2θ = 90 θ = 45º ∫ ∫ − − −−= = 25 25 22 2/ 2/ )25(485,325 )( dzzEV dzzbV h h τ V = 200,2kN (OK) + τ PV PH polo σ 0 TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 71/80 26/3/20115º) Uma viga retangular de concreto armado de 22cm de base e 55cm de altura, está sujeita a um momento de tração na parte inferior de 150kN*m. Dados: tensão admissível do aço 50kN/cm2; Tensão admissível do concreto 2,5kN/cm2; altura útil d=50cm. Pede-se: Posição da linha neutra (x) Resultante de tração e compressão: Área do aço. σA = 50kN/cm2 σC = 2,5kN/cm2 ( ) )1.......(* 2 * * 2 * * 0 x b s cAs bxcAss RcRt F = = = =∑ σ σ σ σ ( ) )2(0* 2 ** * 6 * * 6 * * 2 ** 3 * 2 6* * 3 2 ** 2 * ..'* 0 2 2 ⇒=+ − − = − = −+ = = =∑ Mxdbcxbc x bc x dbcM xdcM xdxbxcM bináriododistânciadRcM M σσ σσ σ σ σc = 2,5kN/m2 b = 22cm d = 50cm M = 15.000kN*cm Hipóteses de trabalho a) Aço e concreto solidários, não há escorregamento. b) Concreto não resiste à tração 55cm 50cm 22cm 150kN*m 2*x/3 x M d*x Rc Rt As d (σs*As) s = steel TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 72/80 26/3/2011 9,17*x2 - 1.375*x + 15.000 ( ) cm8,11 34,18 144.1375.1 17,9*2 000.15*17,9*4375.11375 2 = ±− = −±− 6º) Para a viga do exercício 5 pede-se: Caso queira aumentar a largura da viga para 30cm, mantendo-se a área de aço, qual o valor do momento para que a linha neutra fique na posição 20 cm (x = 20cm)? Quais os novos valores das resultantes de tração e compressão? As = 6,49cm2 b = 30 cm x = 20 cm Rt, Rc, Mmax Rc = Rt M = Rc * d’ kNRc 750)30(* 2 )20(*25 == Rt = Rc As * σs = 750 As = 750/50 = 15cm2 Obs: Não é possível manter a mesma As, pois os parâmetros fixados não o permitem ( Rt = Rc ) Rc = Rt = 750kN M = Rc * d’ M = 750 * (50 – 20/3) = 32.500kN*cm = 32,5kN*m 11/05/09 9º) Para a estrutura abaixo, pede-se: a) A equação da lina neutra; b) Distribuição das tensões normais obs: fazer para o ponto de engaste; My(x) = -1000 + 200*x – 10*x2 [0,10] Mz(x) = 500 – 100*x [0,5] Rc = (σc*x*b)/2 x d' = (d – x/3) d Rt = (σs*As) s = steel Z D B A Y C 20 60 (cm) 20kN/m 100kN 3m 300kN 5m 5m TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 73/80 26/3/2011 Mz(x) = 0 [5,10] No engaste: My = - 1000kN*m Mz = 500kN*m Iy = 20*(60)3 /12 = 360.000cm4 = 3,6E5cm4 Iz = 60*(20)3 /12 = 40.000cm4 = 4E10cm4 + −= y Iz Mz z Iy My zy **),(σ − − −−= y E E z E E zy *44 45 * 56,3 510 ),(σ ⇒ σσσσ(y,z) = + 0,28z – 1,25y a) Equação da Linha Neutra ⇒ σ(y,z) = 0 0 = + 0,28z – 1,25y ⇒ z = 4,5y Ponto y z σ(y,z) A 30 -10 21 B 30 10 -4 C -30 -10 4 D -30 10 -21 9º-b) Para a estrutura abaixo, pede-se: a) A equação da lina neutra; b) Distribuição das tensões normais obs: fazer para o ponto de engaste; My(x) = -1000 + 200*x – 10*x2 [0,10] Mz(x) = 500 – 100*x [0,5] Mz(x) = 0 [5,10] -21 -4 4 LN y z 21 Z -21 -4 21 4 LN _ + y Z D B A Y C 20 60 (cm) 20kN/m 100kN 3m 300kN 5m 5m 1000kN TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 74/80 26/3/2011 No engaste: My = - 1000kN*m Mz = 500kN*m Iy = 20*(60)3 /12 = 360.000cm4 = 3,6E5cm4 Iz = 60*(20)3 /12 = 40.000cm4 = 4E10cm4 + −= y Iz Mz z Iy My zy **),(σ − − −−= y E E z E E zy *44 45 * 56,3 510 ),(σ ⇒ σσσσ(y,z) = + 0,28z – 1,25y a) Equação da Linha Neutra ⇒ σ(y,z) = 0 0 = + 0,28z – 1,25y ⇒ z = 4,5y Ponto y z σ(y,z) A 30 -10 21 B 30 10 -4 C -30 -10 4 D -30 10 -21 -21 -4 4 LN y z 21 Z -21 -4 21 4 LN _ + y TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 75/80 26/3/2011 TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 76/80 26/3/2011 TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 77/80 26/3/2011 TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 78/80 26/3/2011 TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 79/80 26/3/2011 TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 80/80 26/3/2011
Compartilhar