Livros Cálculo Fracionário Atratores para Equação da Reação Difusão Henriquerev

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Atratores para equações de reação-difusão em 
domínios arbitrários 
 
 
Henrique Barbosa da Costa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Atratores para equações de reação-difusão em domínios 
arbitrários 
 
 
Henrique Barbosa da Costa 
 
 
 
Orientadora: Profa. Dra. Maria do Carmo Carbinatto 
 
 
 
 
 
Dissertação apresentada ao Instituto de Ciências 
Matemáticas e de Computação - ICMC-USP, como parte 
dos requisitos para obtenção do título de Mestre em 
Ciências - Matemática . VERSÃO REVISADA 
 
 
 
 
 
 
USP – São Carlos 
Junho de 2012 
 
SERVIÇO DE PÓS-GRADUAÇÃO DO ICMC-USP 
 
Data de Depósito: 18/06/2012 
 
Assinatura:________________________
______ 
Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Prof. Achille Bassi 
e Seção Técnica de Informática, ICMC/USP, 
com os dados fornecidos pelo(a) autor(a)
C837a
Costa, Henrique Barbosa da
 Atratores para equações de reação-difusão em
domínios arbitrários / Henrique Barbosa da Costa;
orientadora Maria do Carmo Carbinatto. -- São
Carlos, 2012.
 86 p.
 Dissertação (Mestrado - Programa de Pós-Graduação em
Matemática) -- Instituto de Ciências Matemáticas e
de Computação, Universidade de São Paulo, 2012.
 1. Atratores globais. 2. Equações parabólicas. 3.
Equações de reação-difusão. 4. Estimativas de
truncamento. I. Carbinatto, Maria do Carmo, orient.
II. Título.
“E aqueles que foram vistos danc¸ando
foram julgados insanos por aqueles que na˜o
podiam escutar a mu´sica”.
Friedrich Nietzsche
Agradecimentos
Agradec¸o a minha famı´lia pelas horas passadas em casa, que sempre foram confortantes,
independente do momento. Em especial a` minha ma˜e, que sempre me guiou e aconselhou nas
encruzilhadas que passamos. Fico feliz em dizer que ela cumpriu bem o seu papel, que segundo
ela mesma e´ “criar asas”para que possa ficar ta˜o longe da famı´lia e na˜o me sentir triste e “manter
raı´zes”para que sempre saiba onde procurar conselhos e se sentir em casa. E agradec¸o ao meu
pai pelos genes, afinal, a culpa por seguir esta profissa˜o tem que ser de algue´m.
Agradec¸o aos meus irma˜os. A quem eu deveria servir de exemplo, por ser o primogeˆnito,
mas que, a`s vezes, sinto que sa˜o mais exemplos para mim do que sou a eles.
Agradec¸o a minha namorada, que sempre fez ta˜o bem pra mim, apesar da distaˆncia. Por me
apoiar, sustentar e me amar apesar de todos pesares. Eu sei que e´ difı´cil, mas se fosse fa´cil, que
grac¸a teria?
Agradec¸o aos meus amigos. Os amigos de Sete Lagoas por serem meu escape. Como dizem,
os amigos sa˜o a famı´lia que nos deixam escolher, e creio que escolhi meus irma˜os muito bem.
E os amigos de Sa˜o Carlos que tornaram minha moradia aqui quase nada complicada, fazendo
estudar matema´tica parecer fa´cil e divertido (talvez tenha exagerado um pouco aqui).
Agradec¸o a` minha orientadora, Maria do Carmo Carbinatto, pela pacieˆncia, devoc¸a˜o e cui-
dado. Por toda a orientac¸a˜o, que na˜o teria como ser melhor. Pelo fim dessa jornada me sinto
orgulhoso em poder chama-la de amiga.
Agradec¸o, por fim, a` FAPESP pela confianc¸a e apoio financeiro.
Resumo
Neste trabalho estudamos a dinaˆmica assinto´tica de uma classe de equac¸o˜es diferenciais
de reac¸a˜o-difusa˜o definidas em abertos de R3 arbitra´rios, limitados ou na˜o, com condic¸o˜es de
fronteira de Dirichlet. Utilizando a te´cnica de estimativas de truncamento, como nos artigos de
Prizzi e Rybakowski, mostramos a existeˆncia de atratores globais.
Palavras-chave: Atratores globais, equac¸o˜es parabo´licas, equac¸o˜es de reac¸a˜o-difusa˜o, estima-
tivas de truncamento.
Abstract
In this work we study the asymptotic behavior of a class of semilinear reaction-diffusion
equations defined on an arbitrary open set of R3, bounded or not, with Dirichlet boundary
conditions. Using the tail-estimates technic based on papers of Prizzi and Rybakowski, we
prove existence of global attractors.
Key words: Global attractors, parabolic equations, reaction-diffusion equations, tail-estimates.
Suma´rio
Introduc¸a˜o 1
1 Preliminares 3
1.1 Medidas espectrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Operadores de Nemytskiıˇ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Medida de na˜o-compacidade de Kuratowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Operadores m-dissipativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 Operadores setoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6 Semifluxos e atratores globais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.7 Equac¸o˜es diferenciais parabo´licas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2 O problema linear 31
2.1 Um resultado de ana´lise funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2 Resultados auxiliares sobre espac¸os de poteˆncias fraciona´rias . . . . . . . . . . 34
2.3 O problema linear abstrato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3 O problema na˜o-linear 57
3.1 Estimativas na˜o-lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
i
3.2 A equac¸a˜o de evoluc¸a˜o abstrata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4 Dinaˆmica assinto´tica 69
4.1 Equac¸o˜es parabo´licas semilineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.2 Construc¸a˜o da func¸a˜o de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.3 Estimativas de truncamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.4 Compacidade assinto´tica e existeˆncia de atrator . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5 Considerac¸o˜es finais 83
Refereˆncias bibliogra´ficas 85
ii
Introduc¸a˜o
A teoria de sistemas dinaˆmicos descreve fenoˆmenos que evoluem com o tempo. Dessa
forma, sistemas dinaˆmicos servem de modelo para va´rias a´reas das cieˆncias aplicadas. Uma
questa˜o que podemos colocar e´ entender o compartamento assinto´tico de um determinado sis-
tema dinaˆmico. Neste contexto, podemos investigar a existeˆncia de conjuntos invariantes com
determinadas propriedades ou, em particular, a existeˆncia de atratores globais. O papel dos
atratores globais esta´ diretamente relacionado com o estudo da dinaˆmica assinto´tica dos siste-
mas dinaˆmicos. A existeˆncia de um atrator global nos fornece a garantia de que o fenoˆmeno se
aproxima de um padra˜o no futuro.
Neste trabalho, estudamos uma classe de equac¸o˜es diferenciais parciais parabo´licas e apre-
sentamos condic¸o˜es para existeˆncia de um atrator global. Mais especificamente, consideramos
a seguinte equac¸a˜o de reac¸a˜o-difusa˜o semilinear
ut +β (x)u−∑i, j ∂i(ai j(x)∂ ju) = f (x,u), t ≥ 0, x ∈Ω,
u(x, t) = 0, t ≥ 0, x ∈ ∂Ω,
(ERD)
ondeΩ e´ um aberto arbitra´rio emRN (limitado ou na˜o), β : Ω→R e f : Ω×R→R sa˜o func¸o˜es
dadas e Lu :=∑i, j ∂i(ai j(x)∂ ju) e´ o operador diferencial de segunda ordem na forma divergente.
Existe uma vasta literatura tratando da existeˆncia de atratores para equac¸o˜es de reac¸a˜o-
difusa˜o em domı´nios limitados (ver, por exemplo, os livros [14], [2], [7], [17] e [23]). Neste
caso, a compacidade assinto´tica das soluc¸o˜es e´ obtida da compacidade da inclusa˜o de Sobolev
H1(Ω)⊂ L2(Ω).
Para caso de domı´nios na˜o limitados, esta inclusa˜o na˜o e´ compacta e necessitamos de ou-
tras ferramentas para obter a propriedade da compacidade assinto´tica das soluc¸o˜es. Nos traba-
lhos [3], [1], [21], [24] os autores mostram a existeˆncia de atrator global para uma equac¸a˜o de
1
2
reac¸a˜o-difusa˜o definida em um domı´nio na˜o limitado. O objetivo deste trabalho e´apresentar o
trabalho desenvolvido em [21].
Em [21], os autores mostram a existeˆncia de atrator global para a equac¸a˜o parabo´lica (ERD)
definida em um domı´nio Ω na˜o limitado de R3 (isto e´, N = 3) sem supor qualquer condic¸a˜o de
regularidade na fronteira ∂Ω de Ω ou nas func¸o˜es ai j(·). No trabalho, os autores exploram da
te´cnica de estimativas de truncamento desenvolvida por Wang em [24] e o fato de que a equac¸a˜o
do calor admite um funcional de Lyapunov.
Observamos que sem hipo´teses de regularidade sobre ∂Ω e em ai j(·) na˜o e´ possı´vel estudar
(ERD) em Lq(Ω) com q 6= 2. Isso se da´ porque na˜o podemos usar a teoria de regularidade das
equac¸o˜es elı´pticas para caracterizar os espac¸os de poteˆncias fraciona´rias gerados pelo operador
−L+β (x)I. Contudo, de modo a trabalhar em L2(Ω), devemos impor condic¸o˜es de crescimento
em f . No caso particular em que N = 3 o expoente crı´tico e´ ρ = 5.
Para descrever o trabalho [21] organizamos a apresentac¸a˜o como segue. No Capı´tulo 1
enumeramos alguns conhecimentos preliminares importantes que foram estudados para o de-
senvolvimento do trabalho.
No Capı´tulo 2 apresentamos as Hipo´teses (HL1), (HL2) e (HL3). Com estas hipo´teses
o operador u 7→ −Lu+ β (x)u define um operador positivo auto-adjunto A : D(A) ⊂ X → X ,
onde X = L2(Ω). Apresentamos as propriedades importantes do operador A e construı´mos uma
famı´lia de operadores auto-adjuntos A(α), α ∈ R tal que A(α) : Xα → Xα−1.
No Capı´tulo 3 apresentamos a Hipo´tese (HNL) e determinamos um α ∈ [0,1) tal que a partir
uma func¸a˜o f satisfazendo Hipo´tese (HNL) obtemos um operador de Nemytskiıˇf : H10 (Ω)→
X−α . Munido dos resultados sobre equac¸o˜es parabo´licas apresentados no Capı´tulo 1 obtemos
que (ERD) gera um semifluxo global pi em H10 (Ω).
Finalmente, no Capı´tulo 4, demonstramos o principal resultado deste trabalho que diz que
assumindo as Hipo´teses (HL1), (HL2), (HL3) e (HNL), o semifluxo pi possui um atrator global
(ver Teorema 4.4.2).
Capı´tulo
1
Preliminares
Neste capı´tulo apresentamos os diversos conceitos e resultados ba´sicos estudados.
1.1 Medidas espectrais
As refereˆncias [10] e [16] foram consultadas para esta sec¸a˜o.
A teoria espectral para operadores fechados tem como objetivo representar operadores li-
neares fechados de um modo mais simples. Se X e´ um espac¸o de Banach e A : D(A)⊂ X → X
e´ um operador linear fechado, o elemento principal dessa teoria e´ o espectro do operador A,
σ(A).
Outra consequeˆncia importante da teoria espectral, ale´m de escrever o operador de forma
mais simples, e´ o ca´lculo operacional. Com o ca´lculo operacional podemos “aplicar” func¸o˜es a
operadores lineares. Isso e´, se A e´ um operador linear fechado e f : R→ R tem certas proprie-
dades, poderemos definir f (A) que sera´ um operador linear limitado emL (X) = {B : X → X |
B e´ linear e limitado}.
As medidas espectrais ou famı´lias espectrais se encontram nesse contexto. Quando X e´ um
espac¸o de Hilbert e A e´ um operador auto-adjunto podemos definir uma famı´lia de subespac¸os de
X que se relaciona de modo biunı´voco com o operador A. E´ possı´vel tambe´m aplicar o ca´lculo
operacional para estas famı´lias e realizar o ca´lculo de func¸o˜es de operadores. No caso particular
estudado aqui, o ca´lculo operacional sera´ importante na gerac¸a˜o das famı´lias de espac¸os de
3
4 1. Preliminares
poteˆncias fraciona´rias de X .
Dessa forma, no que segue X denota um espac¸o de Hilbert com produto interno 〈·, ·〉X .
Vamos enta˜o, definir de uma forma mais abstrata, o conceito de famı´lia espectral.
Seja {Eλ}λ∈R uma famı´lia de projec¸o˜es ortogonais em X . Dado x ∈ X definimos
E−∞x = lim
λ→−∞
Eλ x,
E+∞x = lim
λ→∞
Eλ x e
Eλ+0x = lim
ε→0+
Eλ+εx.
Definic¸a˜o 1.1.1. Uma famı´lia {Eλ}λ∈R de projec¸o˜es ortogonais em X e´ chamada uma famı´lia
espectral ou resoluc¸a˜o da identidade se satisfaz as condic¸o˜es:
(i) Eλ ◦Eµ = Emin{λ ,µ}, para todo λ , µ ∈ R.
(ii) E−∞ = 0 e E+∞ = I.
(iii) Eλ+0 = Eλ para todo λ ∈ R.
Observamos que os limites acima sa˜o tomados na norma de X .
Proposic¸a˜o 1.1.2. Seja {Eλ}λ∈R uma famı´lia espectral em X. Enta˜o para todo u, v ∈ X a
func¸a˜o
λ ∈ R 7→ 〈Eλu,v〉X ∈ R (1.1.1)
e´ uma func¸a˜o de variac¸a˜o limitada em todo intervalo limitado da reta. Ale´m disso, sua variac¸a˜o
total V (λ ;u,v) satisfaz
V (λ ;u,v)≤ |u||v|, para todo u, v ∈ X e λ ∈ R.
Sejam [α,β ] ⊂ R um intervalo fechado de R, f : R→ C uma func¸a˜o e u ∈ X . Considere
uma partic¸a˜o pi = {α = λ1,λ2, . . . ,λn = β} do intervalo [α,β ]. Defina a norma de pi por
‖pi‖= max
j∈{1,...,n}
|λ j+1−λ j|.
1. Preliminares 5
Para cada j ∈ {1, . . . ,n} seja λ ′j ∈ (λ j,λ j+1]. A soma
n
∑
j=1
f (λ ′j)(Eλ j+1−Eλ j)u
e´ chamada a soma de Riemann da func¸a˜o f com relac¸a˜o a` partic¸a˜o pi .
Proposic¸a˜o 1.1.3. Com a notac¸a˜o introduzida acima, suponha que f : R→C seja uma func¸a˜o
contı´nua. O limite forte em X
lim
pi→0
n
∑
j=1
f (λ ′j)(Eλ j+1−Eλ j)u (1.1.2)
existe, para qualquer que seja a escolha de λ ′j no intervalo (λ j,λ j+1], j ∈ {1, . . . ,n}.
Denotamos o limite (1.1.2) por ∫ β
α
f (λ )dEλu.
Se u ∈ X e f : R→ C e´ uma func¸a˜o contı´nua tal que os limites (forte em X)
lim
α→−∞
∫ β
α
f (λ )dEλu e lim
β→∞
∫ β
α
f (λ )dEλu
existem, dizemos que a integral
∫ +∞
−∞
f (λ )dEλu existe.
Teorema 1.1.4. Sejam u ∈ X e f : R→ C uma func¸a˜o contı´nua. As seguintes afirmativas sa˜o
equivalentes:
(i)
∫ +∞
−∞
f (λ )dEλu existe.
(ii)
∫ +∞
−∞
| f (λ )|2d|Eλu|2 < ∞.
(iii) A aplicac¸a˜o v 7→ F(v) :=
∫ +∞
−∞
f (λ )d〈Eλ v,u〉X e´ um funcional linear contı´nuo.
Teorema 1.1.5. Seja f : R→ R uma func¸a˜o contı´nua. Defina o seguinte subconjunto de X:
D =
{
u ∈ X |
∫ +∞
−∞
| f (λ )|2d|Eλu|2 < ∞
}
.
6 1. Preliminares
Enta˜o D e´ denso em X. Definimos operador por
〈Tu,v〉X =
∫ +∞
−∞
f (λ )d〈Eλu,v〉X , u ∈ D e v ∈ X. (1.1.3)
Enta˜o T e´ um operador auto-adjunto em X com domı´nio D(T ) = D.
Com a notac¸a˜o do Teorema 1.1.5, para o caso particular em que f (λ ) = λ , λ ∈R, definimos
〈Au,v〉X =
∫ +∞
−∞
λd〈Eλu,v〉X , para u ∈ D(A)⊂ X e v ∈ X ,
onde
D(A) =
{
u ∈ X |
∫ +∞
−∞
λ 2d|Eλ x|2 < ∞
}
.
No que segue o operador A sera´ denotado, simbolicamente, por
A =
∫ +∞
−∞
λdEλ (1.1.4)
e chamamos (1.1.4) a representac¸a˜o espectral do operador auto-adjunto A no espac¸o de Hilbert
X.
Reciprocamente, se A : D(A)⊂ X → X e´ um operador linear auto-adjunto, podemos definir
uma famı´lia espectral {Eλ}λ∈R correspondente ao operador A. Descrevemos esta conexa˜o no
Teorema Espectral a seguir.
Teorema 1.1.6 (Teorema Espectral). Sejam X um espac¸o de Hilbert complexo e A : D(A)⊂X→
X um operador auto-adjunto. Enta˜o existe uma u´nica famı´lia espectral {Eλ}λ∈R associada ao
operador A. Ale´m disso para cada λ ∈ R e ξ ∈ C/R temos
〈(ξ −A)−1u,v〉X =
∫ +∞
−∞
1
ξ −λ d〈Eλu,v〉X , para todo u, v ∈ X .
Finalmente obtemos
Corola´rio 1.1.7. Sejam X um espac¸o de Hilbert e A um operador auto-adjunto em X. Existe
1. Preliminares 7
uma u´nica famı´lia espectral {Eλ}λ∈R tal que
〈Au,v〉X =
∫
R
λd〈Eλu,v〉X ,
Au =
∫
R
λdEλu.
Concluı´mos observando que existe uma correspondeˆncia entre operadores auto-adjuntos no
espac¸o de Hilbert X e famı´lias espectrais. Dessa maneira, analogamente ao Teorema 1.1.4,
podemos definir os operadores f (A). Se f for uma func¸a˜o em R a valores complexos limitada
em σ(A), o espectro de A, enta˜o f (A) e´ um operador linear limitado em X e, ainda,
‖ f (A)‖ ≤ sup
λ∈σ(A)
| f (λ )|.
Escrevemos, anolagamente a` equac¸a˜o (1.1.4) e ao Corola´rio 1.1.7,
f (A) =
∫ +∞
−∞
f (λ )dEλ . (1.1.5)
f (A)u =
∫ +∞
−∞
f (λ )dEλu, para todo u ∈ X . (1.1.6)
1.2 Operadores de Nemytskiıˇ
Para os conceitos apresentadose demonstrac¸o˜es dos resultados enunciados, sugerimos [12].
Sejam N ≥ 1 um nu´mero natural e Ω ⊂ RN um subconjunto aberto de RN . Dizemos que
f : Ω×R→ R e´ uma func¸a˜o de Carathe´odory se
1) para cada s ∈ R, a func¸a˜o Ω 3 x 7→ f (x,s) e´ (Lebesgue) mensura´vel e
2) para q.t.p. x ∈Ω, a func¸a˜o R 3 s 7→ f (x,s) e´ contı´nua em R.
Denotemos porM o conjunto das func¸o˜es mensura´veis de Ω em R.
Teorema 1.2.1. Se f : Ω×R→ R e´ uma func¸a˜o de Carathe´odory, enta˜o a func¸a˜o Ω 3 x 7→
f
(
x,u(x)
)
e´ mensura´vel para todo u ∈M .
8 1. Preliminares
Portanto, uma func¸a˜o de Carathe´odory f define uma aplicac¸a˜o f̂ : M →M , chamada
aplicac¸a˜o de Nemytskiıˇ.
Muitos resultados importantes requerem que o subconjunto Ω de RN seja limitado e como
na˜o estamos nos restringindo a apenas este caso enumeramos apenas alguns resultados que na˜o
necessitem desta restric¸a˜o em Ω.
Teorema 1.2.2. Seja Ω um subconjunto aberto de RN e seja f : Ω×R→ R uma func¸a˜o de
Carathe´odory. Suponhamos que existam c > 0, b ∈ Lq(Ω), 1≤ q≤ ∞, e r > 0 tais que
| f (x,s)| ≤ c|s|r +b(x), para todo x ∈Ω e s ∈ R.
Enta˜o f̂ : Lqr(Ω)→ Lq(Ω) e´ uma func¸a˜o contı´nua. Ale´m disso a imagem de subconjuntos
limitados e´ um conjunto limitado.
E´ impressionante saber que a condic¸a˜o suficiente do Teorema 1.2.2 e´ tambe´m necessa´ria
para um func¸a˜o de Carathe´odory definir uma aplicac¸a˜o de Nemytskiıˇ. Mais precisamente temos:
Teorema 1.2.3. Seja Ω um subconjunto aberto de RN e seja f : Ω×R→ R uma func¸a˜o de
Carathe´odory. Suponhamos que existam p, q ∈ [1,∞) tais que f̂ : Lp(Ω)→ Lq(Ω). Enta˜o
existem c > 0 e b ∈ Lq(Ω) tais que
| f (x,s)| ≤ c|s|p/q+b(x), para todo x ∈Ω e s ∈ R.
Para nossos objetivos precisamos, ainda, de condic¸o˜es que garantam a diferenciabilidade da
aplicac¸a˜o de Nemytskiıˇ. Para isso enunciamos o seguinte resultado sobre diferenciac¸a˜o.
Teorema 1.2.4. Seja Ω um subconjunto aberto de RN e seja f : Ω×R→ R uma func¸a˜o de
Carathe´odory. Suponhamos que existam c > 0, b ∈ Ln(Ω), 1≤ n≤ ∞ e m > 0 tais que∣∣∣∣∂ f∂ s (x,s)
∣∣∣∣≤ c|s|m+b(x), para todo x ∈Ω e s ∈ R.
Enta˜o as aplicac¸o˜es de Nemytskiıˇ
f̂ : Lp(Ω)→ Lq(Ω) e f̂ ′ : Lp(Ω)→ Ln(Ω),
onde f ′ =
∂ f
∂ s
, p=mn, q=
mn
m+1
, esta˜o bem definidas. Mais ainda f̂ e´ continuamente Fre´chet
1. Preliminares 9
diferencia´vel com D f̂ : Lp(Ω)→L (Lp(Ω),Lq(Ω)) definida por
D f̂ (u)[v] = f̂ ′(u)v = f ′(·,u(·))v(·)), para todo u,v ∈ Lp(Ω).
1.3 Medida de na˜o-compacidade de Kuratowski
Nosso objetivo nesta sec¸a˜o e´ definir uma medida que nos mostre, dado um subconjunto
limitado de um espac¸o de dimensa˜o infinita, o qua˜o “na˜o-compacto” e´ este conjunto. Uma
refereˆncia para o to´pico e´ [11]. Seja X um espac¸o de Banach e denote por B o conjunto dos
subconjuntos limitados em X .
No que segue dado um subconjunto A de X , diam(A) denota o diaˆmetro do conjunto A. A
bola aberta de centro em a ∈ X e raio r > 0 e´ denotada por B(a,r).
Dado A ∈B definimos
βK(A) = inf
{
d > 0 | A⊂
n⋃
j=1
K j com diam(K j)≤ d, j ∈ {1, . . . ,n}
}
.
A aplicac¸a˜o βK : B → [0,∞) e´ chamada a medida de na˜o-compacidade de Kuratowski.
Dado A ∈B podemos tambe´m definir
βB(A) = inf
{
r > 0 | existem a j ∈ X , j ∈ {1, . . . ,n}, tais que A⊂
n⋃
j=1
B(a j,r)
}
.
A aplicac¸a˜o βB : B→ [0,∞) e´ chamada a medida de na˜o-compacidade por bolas.
Com estas medidas definidas seguem os resultados que sera˜o importantes no decorrer do
trabalho.
Proposic¸a˜o 1.3.1. Suponha que X seja um espac¸o de Banach de dimensa˜o infinita e seja B a
famı´lia de limitados de X e β : B→ [0,∞) a medida de na˜o-compacidade de Kuratowski ou a
medida de na˜o-compacidade por bolas. Enta˜o
(i) β (A) = 0 se, e somente se, A e´ compacto.
(ii) β e´ uma seminorma.
10 1. Preliminares
(iii) Sejam A1, A2 ∈ B tais que A1 ⊆ A2. Enta˜o β (A1) ≤ β (A2) e β (A1 ∪ A2) =
max{β (A1),β (A2)}.
(iv) β (convA) = β (A), para todo A ∈B. Aqui convA denota a envolto´ria convexa de A.
(v) β e´ contı´nua com respeito a distaˆncia de Hausdorff dH dada por
dH(A1,A2) = max
{
sup
x∈A1
inf
y∈A2
|x− y|, sup
x∈A2
inf
y∈A1
|x− y|
}
, A1, A2 ∈B.
Em particular, β (A) = β (A).
1.4 Operadores m-dissipativos
Nesta sec¸a˜o definiremos os chamados operadores dissipativos e m-dissipativos. Tais ope-
radores sa˜o usualmente encontrados em exemplos e possuem boas propriedades para nossos
objetivos. As demonstrac¸o˜es dos resultados apresentados podem ser encontradas em [6]. No
que segue considere X um espac¸o de Banach.
Definic¸a˜o 1.4.1. Um operador A : D(A)⊂ X → X em X e´ dito dissipativo se
|u−λAu| ≥ |u|, para todo u ∈ D(A) e todo λ > 0.
Definic¸a˜o 1.4.2. Um operador A : D(A) ⊂ X → X em X e´ dito m-dissipativo se as seguintes
condic¸o˜es esta˜o satisfeitas:
(i) A e´ dissipativo;
(ii) para todo λ > 0 e para todo v ∈ X, existe u ∈ D(A) tal que u−λAu = v.
A proposic¸a˜o a seguir oferece uma condic¸a˜o necessa´ria e suficiente para que um operador
dissipativo seja tambe´m m-dissipativo.
Proposic¸a˜o 1.4.3. Seja A : D(A)⊂ X → X um operador dissipativo em X. As seguintes propri-
edades sa˜o equivalentes:
(i) A e´ m-dissipativo em X.
1. Preliminares 11
(ii) Existe um λ0 > 0 tal que para todo v ∈ X, a equac¸a˜o u−λ0Au = v possui uma soluc¸a˜o
u ∈ D(A).
Agora, vamos restringir ao caso em que X e´ um espac¸o de Hilbert e analisar o conceito de
dissipatividade e m-dissipatividade. Seja X um espac¸o de Hilbert. O produto interno definido
em X sera´ denotado por 〈·, ·〉. No que segue dado A : D(A) ⊂ X → X um operador linear
densamente definido, o seu operador adjunto sera´ denotado por A∗.
Apresentamos um crite´rio de dissipatividade para operadores definidos em espac¸os de Hil-
bert:
Proposic¸a˜o 1.4.4. Um operador A : D(A) ⊂ X → X e´ dissipativo em X se, e somente se,
〈Au,u〉 ≤ 0, para todo u ∈ D(A).
Uma consequeˆncia importante e´ o seguinte
Corola´rio 1.4.5. Seja A : D(A)⊂X→ X um operador m-dissipativo em X. Enta˜o D(A) e´ denso
em X.
Os resultados a seguir relacionam operadores dissipativos e m-dissipativos com o operador
adjunto e operadores auto-adjuntos.
Teorema 1.4.6. Seja A : D(A)⊂ X → X um operador linear densamente definido e dissipativo
em X. Enta˜o A e´ m-dissipativo se, e somente se, A e´ um operador fechado e A∗ e´ um operador
dissipativo.
Corola´rio 1.4.7. Seja A : D(A)⊂ X → X um operador auto-adjunto em X tal que 〈Au,u〉 ≤ 0,
para todo u ∈ D(A). Enta˜o A e´ m-dissipativo.
Proposic¸a˜o 1.4.8. Seja A : D(A) ⊂ X → X um operador sime´trico e densamente definido tal
que 〈Au,u〉 ≤ 0 para todo u ∈ D(A) em X. Enta˜o A e´ m-dissipativo se, e somente se, A e´
auto-adjunto.
1.5 Operadores setoriais
Operadores setoriais teˆm uma relevaˆncia muito grande no estudo dos semigrupos linea-
res, pois estes sa˜o geradores dos conhecidos semigrupos analı´ticos que possuem inu´meras
aplicac¸o˜es no estudo das equac¸o˜es diferenciais parciais parabo´licas.
12 1. Preliminares
Nesta sec¸a˜o faremos uma breve exposic¸a˜o dos operadores setorias e apresentamos as
notac¸o˜es e resultados que sera˜o utilizados no texto. Em [7], [8] e [15] encontramos mais deta-
lhes sobre o assunto.
Iniciamos recordando algumas definic¸o˜es e resultados da teoria geral de semigrupos.
Nesta sec¸a˜o X denota um espac¸o de Banach e denotamos por L (X) o conjunto dos opera-
dores lineares limitados de X em X .
Definic¸a˜o 1.5.1. Um semigrupo de operadores linerares ou um C0-semigrupo e´ uma famı´lia de
operadores lineares {T (t) | t ≥ 0} emL (X) que satisfaz as seguintes propriedades:
(i) T (0)x = x, para todo x ∈ X.
(ii) T (t+ s)x = T (t)T (s)x, para todo s, t ≥ 0 e x ∈ X.
(iii) T (t)x→ x, quando t→ 0+, para todo x ∈ X.
Definic¸a˜o 1.5.2. Um semigrupo uniformemente contı´nuo de operadores e´ uma famı´lia de ope-
radores lineares {T (t)| t ≥ 0} emL (X) que satisfaz as seguintes propriedades:
(i) T (0)x = x, para todo x ∈ X.
(ii) T (t+ s)x = T (t)T (s)x, para todo s, t ≥ 0 e x ∈ X.
(iii) ‖T (t)− I‖→ 0, quando t→ 0+, para todo x ∈ X.
E´ claro que todo semigrupo uniformemente contı´nuo de operadores e´ um C0-semigrupo.
Teorema 1.5.3. Seja {T (t) | t ≥ 0} um C0-semigrupo em X. Enta˜o existem constantes ω ≥ 0 e
M ≥ 1 tais que
‖T (t)‖ ≤Meωt , para todo t ∈ [0,∞).
O resultado acima nos mostra que um C0-semigrupo e´ uniformemente limitado em interva-
los limitados da reta.
Corola´rio 1.5.4. Se {T (t) | t ≥ 0} e´ um C0-semigrupo em X, enta˜o [0,∞)×X 3 (t,x) 7→ T (t)x∈
X e´ uma aplicac¸a˜o contı´nua.
1. Preliminares 13
Seja {T (t) | t ≥ 0} um C0-semigrupo em X e considere o conjunto
D =
{
x ∈ X | lim
t→0+
T (t)x− x
t
existe
}
.
Definimos o operador linear A : D(A)⊂ X → X , onde D(A) = D e
Ax = lim
t→0+
T (t)x− x
t
, para x ∈ D(A).
O operador A definido acima e´ chamado gerador infinitesimal do semigrupo {T (t)) | t ≥ 0} em
X .
Teorema 1.5.5. Sejam {T (t) | t ≥ 0} um C0-semigrupo em X e A : D(A)⊂ X → X seu gerador
infinitesimal. As seguintes propriedades sa˜o satisfeitas:
1. lim
h→0+
1
h
∫ t+h
t
T (τ)dτ = T (t)x, para todo x ∈ X, t ∈ [0,∞).
2.
∫ t
0
T (τ)xdτ ∈ D(A) e A(∫ t
0
T (τ)xdτ
)
= T (t)x− x, para todo x ∈ X, t ∈ [0,∞).
3. T (t)x ∈D(A), se x ∈D(A) e t ∈ [0,∞). Ale´m disso, para x ∈D(A), a func¸a˜o [0,∞) 3 t 7→
T (t)x ∈ X e´ diferencia´vel e
d
dt
T (t)x = AT (t)x = T (t)Ax.
4. T (t)x−T (s)x =
∫ t
s
T (τ)Axdτ =
∫ t
s
AT (τ)xdτ , para x ∈ D(A) e t, s ∈ [0,∞), com s≤ t .
Corola´rio 1.5.6. Se A : D(A) ⊂ X → X denota o gerador infinitesimal de um C0-semigrupo
{T (t) | t ≥ 0}, enta˜o A e´ um operador linear fechado e D(A) = X.
Passamos a` definic¸a˜o de operadores setorias e listaremos alguns resultados importantes.
Dados α ∈ R e φ ∈ (0,pi/2), definimos o setor Sα,φ do plano complexo por
Sα,φ := {λ ∈ C | φ ≤ |arg(λ −α)| ≤ pi,λ 6= α}.
Um operador linear fechado A : D(A) ⊂ X → X densamente definido em X e´ dito um ope-
rador setorial em X se existirem constantes α ∈ R, φ ∈ (0,pi/2) e M > 0 tais que
14 1. Preliminares
(i) ρ(A) conte´m o setor Sα,φ ,
(ii) para cada λ ∈ Sα,φ vale a estimativa
‖(λ −A)−1‖ ≤ M|λ −α| .
Proposic¸a˜o 1.5.7. Seja A : D(A)⊂ X → X um operador linear fechado e densamente definido
em X. As seguintes afirmativas sa˜o equivalentes:
(a) A+ωI e´ um operador setorial em X para algum ω ∈ R.
(b) A+ωI e´ um operador setorial em X para todo ω ∈ R.
(c) Existem constantes k, ω ∈ R tais que o conjunto ρ(Aω) conte´m o semiplano {λ ∈ C |
reλ ≤ k} e
‖λ (λ I−Aω)−1‖ ≤M, para todo reλ ≤ k.
Aqui, Aω := A+ωI.
Suponhamos que {T (t) | t ≥ 0} seja um C0-semigrupo de operadores lineares em X e que
existem um setor do plano complexo
∆φ = {z ∈ C | |argz|< φ}, com 0 < φ ≤ pi/2,
e uma famı´lia {T (z) | z∈∆φ} de operadores emL (X) que coincide com T (t) para z= t ∈ [0,∞)
e tal que
(i) a aplicac¸a˜o z 7→ T (z) e´ analı´tica em ∆φ\{0},
(ii) T (z1+ z2) = T (z1)T (z2), se z1,z2 ∈ ∆φ ,
(iii) para todo x ∈ X , lim
z→0
z∈∆φ
T (z)x = x.
O C0-semigrupo {T (t) | t ≥ 0} e´ chamado semigrupo analı´tico (fortemente contı´nuo).
Lema 1.5.8. Seja {T (t) | t ≥ 0} um semigrupo analı´tico em ∆φ , com 0 < φ ≤ pi/2. Existem
M ≥ 1 e ω ≥ 0 tais que ‖T (z)‖ ≤Meω rez, z ∈ ∆φ .
1. Preliminares 15
O teorema a seguir caracteriza os geradores de semigrupos analı´ticos e uma prova detalhada
pode ser encontrada em [8].
Teorema 1.5.9. Seja A : D(A)⊂ X→ X um operador linear fechado e densamente definido. As
seguintes afirmativas sa˜o equivalentes:
(i) A e´ o gerador infinitesimal de um semigrupo analı´tico.
(ii) −A e´ um operador setorial em X.
Lema 1.5.10. Seja 0 < φ ≤ pi/2. Seja {T (t) | t ≥ 0} um semigrupo analı´tico no setor ∆φ =
{z ∈ C | |argz|< φ}, tal que para constantes C ≥ 1 e a ∈ R,
‖T (z)‖ ≤Ce−a rez, z ∈ ∆φ
e suponha que A : D(A) ⊂ X → X seja seu gerador infinitesimal. As seguintes propriedades
esta´o satisfeitas:
(1) T (z) =
1
2pii
∫
Γ
eλ z(λ −A)−1dλ , para z ∈ ∆Φ\{0}, onde Γ e´ a curva consistente dos se-
guintes segmentos orientados conforme a parametrizac¸a˜o:
Γ1 = {−a− re−i(pi/2+φ) | −∞< r ≤ 1};
Γ2 = {−a+ eiψ | −pi/2−φ ≤ ψ ≤ pi/2+φ};
Γ3 = {−a+ rei(pi/2+φ) | 1≤ r < ∞}.
(2) Para todo 0 < ε < φ e x ∈ X, temos
T (z)x→ x, se z→ 0 e z ∈ ∆φ−ε .
(3) Se t > 0, enta˜o T (t)x ∈ D(A) para todo x ∈ X e d
dt
T (t)x = AT (t)x, para todo x ∈ X.
Nosso intuito agora e´ definirmos as poteˆncias fraciona´rias que sa˜o elementos importantes
no estudo das equac¸o˜es parabo´licas e suas soluc¸o˜es.
Definic¸a˜o 1.5.11. Um operador A : D(A)⊂ X → X sera´ dito operador positivo se as seguintes
condic¸o˜es forem satisfeitas:
16 1. Preliminares
(i) A e´ um operador fechado e densamente definido,
(ii) (−∞,0]⊂ ρ(A) e
(iii) existe um N ≥ 1 tal que
‖(s−A)−1‖ ≤ N
1+ |s| , para todo s≤ 0.
O operador A da definic¸a˜o acima tambe´m e´ dito operador positivo do tipo N, onde N e´ como
em (iii).
Lema 1.5.12. Suponha que A : D(A) ⊂ X → X seja um operador positivo do tipo N. Enta˜o o
setor
ΣN =
{
λ ∈ C | existe um s≤ 0 tal que |λ − s| ≤ 1+ |s|
2N
}
esta´ contido em ρ(A). Ale´m disso
‖(λ −A)−1‖ ≤ 2N+1
1+ |λ | ,para todo λ ∈ ΣN .
Nas condic¸o˜es do Lema 1.5.12 pode ser mostrado que{
λ ∈ C | |argλ | ≥ pi− arcsen 1
2N
}
∪
{
λ ∈ C | |λ | ≤ 1
2N
}
⊂ ΣN .
Lema 1.5.13. Seja A : D(A)⊂ X→ X um operador positivo do tipo N. Para cada z ∈C tal que
rez≤ 0, definimos
B(z) =
−1
2pii
∫
Γ
λ z(λ −A)−1dλ , (1.5.1)
onde Γ e´ a curva em ΣN\(−∞,0] que consiste dos treˆs segmentos
Γ1 =
{
−se−iθ | s ∈ (−∞,−1/(4N))
}
,
Γ2 =
{
(1/(4N))eiψ | |ψ| ≤ θ} ,
Γ3 =
{
seiθ | s ∈ [1/(4N),∞)
}
,
onde θ ∈ [pi − arcsen(1/(2N)),pi), orientada pela parametrizac¸a˜o. Enta˜o para z fixado B(z)
esta´ bem definida, isto e´, na˜o depende da escolha de θ . Ale´m disso, B(z) ∈L (X) para todo
z ∈ C com rez < 0 e tambe´m, a aplicac¸a˜o z 7→ B(z) e´ analı´tica em {z ∈ C | rez < 0}.
1. Preliminares 17
Note que, o Teorema de Cauchy implica que podemos modificar o comportamento de Γ
em torno do 0 ∈ C. E, com o Lema 1.5.13, podemos definir as poteˆncias fraciona´rias de um
operador positivo, se rez < 0.
Definic¸a˜o 1.5.14. Seja A : D(A)⊂ X → X um operador positivo do tipo N. Para z ∈Π0 = {z ∈
C | rez < 0}, definimos
Az :=
−1
2pii
∫
Γ
λ z(λ −A)−1dλ ∈L (X), (1.5.2)
onde Γ e´ dada como no Lema 1.5.13 com θ ∈ [pi− arcsen(1/(2N)),pi).
No que segue utilizaremos a notac¸a˜o A0 = I, onde I denota a a aplicac¸a˜o identidade em X .
Proposic¸a˜o 1.5.15. Seja A : D(A)⊂ X → X um operador positivo. Enta˜o
(i) Az1+z2 = Az1 ◦Az2 , para quaisquer z1,z2 ∈Π0∪{0}.
(ii) Para n ∈ N, temos A−n = (A−1)n, onde A−1 denota a inversa de A.
(iii) Az e´ injetor, para cada z ∈ C com rez < 0.
Segue da Proposic¸a˜o 1.5.15 que podemos definir as poteˆncias fraciona´rias de um operador
positivo quando rez > 0.
Definic¸a˜o 1.5.16. Seja A : D(A)⊂ X → X um operador positivo. Definimos
Az = (A−z)−1 : R(A−z)⊂ X → X ,
para z ∈ C com rez > 0.
Podemos tambe´m definir a poteˆncia fraciona´ria de um operador positivo quando rez = 0,
pore´m este caso na˜o sera´ importante nos nossos estudos e portanto na˜o sera´ retratado nesta
sec¸a˜o. Abaixo, enumeramos fatos importantes sobre as poteˆncias fraciona´rias de um operador
positivo.
Teorema 1.5.17. Seja A : D(A)⊂ X → X um operador positivo. As seguintes propriedades sa˜o
satisfeitas:
18 1. Preliminares
(1) Az e´ um operador fechado em X, para todo z ∈ C, com rez > 0,
(2) se z1,z2 ∈ C, com rez1 > rez2 > 0, enta˜o D(Az1)⊂ D(Az2)⊂ X,
(3) para cada z ∈ C, com rez > 0, temos D(Az) = X.
Dizemos que um operador A : D(A)⊂ X→ X e´ um operador setorial positivo se A e´ setorialem X e reσ(A)> 0.
Lema 1.5.18. Suponha que −A : D(A)⊂ X → X seja o gerador infinitesimal de um semigrupo
{T (t) | t ≥ 0} e que a > 0 e M ≥ 1 sejam constantes positivas tais que
‖T (t)‖ ≤Me−at , para todo t ≥ 0.
Enta˜o A e´ um operador positivo.
Observamos que em particular, segue do Lema 1.5.18 que se A e´ um operador setorial
positivo, enta˜o A e´ um operador positivo.
Teorema 1.5.19. Seja −A : D(A) ⊂ X → X o gerador infinitesimal de um semigrupo {T (t) |
t ≥ 0} e suponha que existam constantes a > 0 e M ≥ 1 tais que
‖T (t)‖ ≤Me−at , para todo t ≥ 0.
Enta˜o, se z ∈ C com rez > 0, temos
A−zx =
1
Γ(z)
∫ ∞
0
tz−1T (t)xdt, x ∈ X . (1.5.3)
Vamos agora restringir o estudo a`s poteˆncias fraciona´rias reais de operadores positivos. Seja
A : D(A)⊂ X → X um operador positivo. Dado α ≥ 0, Xα denota o espac¸o D(Aα) = R(A−α).
Em Xα consideraremos a com a norma
|u|Xα = |Aαu|, u ∈ D(Aα).
A famı´lia {Xα}α≥0 e´ uma famı´lia de espac¸os de Banach.
1. Preliminares 19
Lema 1.5.20. Seja 0≤ α ≤ β , enta˜o Xβ e´ um subespac¸o denso de Xα e a inclusa˜o Xβ → Xα
e´ contı´nua, mais precisamente, existe uma constante C ≥ 0 tal que
|u|Xα ≤C|u|Xβ , para todo u ∈ Xβ .
Teorema 1.5.21. Seja A : D(A) ⊂ X → X um operador positivo. Se 0 ≤ α < 1, enta˜o existe
uma constante c > 0 tal que para todo x ∈ X1, temos
|x|Xα ≤ c|x|1−αX |x|α1 .
Teorema 1.5.22. Sejam A um operador setorial positivo e {T (t) | t ≥ 0} o semigrupo analı´tico
gerado por −A. As seguintes propriedades sa˜o satisfeitas:
(i) T (t) : X → D(Aα), para todo α ≥ 0 e t > 0.
(ii) T (t)Aαu = AαT (t)u, para todo α ≥ 0, u ∈ D(Aα) e t ≥ 0.
(iii) AαT (t) ∈L (X). Ale´m disso existe um a > 0 e para cada α ≥ 0 existe uma constante
positiva Cα tal que
‖AαT (t)‖ ≤Cαt−αe−at , para todo t > 0.
(iv) Se 0 < α ≤ 1, enta˜o
‖(T (t)− I)u‖ ≤ 1
α
C1−αtα |Aαu|, para todo u ∈ D(Aα) e t > 0,
onde C1−α e´ a constante positiva de (iii).
Proposic¸a˜o 1.5.23. Sejam α,γ ≥ 0 e θ ∈ [0,1] . Escreva β = (1− θ)α + θγ . Enta˜o existe
constante C ≥ 0 tal que:
|Aβu| ≤C|Aαu|1−θ |Aγu|θ , para cada u ∈ X . (1.5.4)
O seguinte resultado e´ encontrado em [13] e [15].
Lema 1.5.24. Sejam X, Y espac¸os de Banach, A : D(A) ⊂ X → X um operador setorial com
reσ(A) > 0 e B : D(B) ⊂ X → Y uma transformac¸a˜o linear. Suponhamos que D(B) ⊃ D(A) e
20 1. Preliminares
que existam α ∈ [0,1) e c≥ 0 tais que
|Bx|Y ≤ c|Ax|α |x|1−α , para todo x ∈ D(A).
Enta˜o para todo β ∈ (α,1], B possui uma u´nica extenso a um transformac¸a˜o linear contı´nua
de Xβ em Y , isto e´, BA−β e´ transformac¸a˜o linear contı´nua.
Finalizamos esta sec¸a˜o enunciando alguns resultados sobre operadores setoriais para o caso
em que X for um espac¸o de Hilbert. A seguir apresentamos uma condic¸a˜o suficiente para que
um operador seja setorial para espac¸os de Hilbert.
Proposic¸a˜o 1.5.25. Suponha que (X ,〈·, ·〉) seja um espac¸o de Hilbert. Seja A : D(A)⊂ X → X
um operador linar auto-adjunto, densamente definido e suponha que exista uma constante a∈R
tal que
〈Ax,x〉 ≥ a〈x,x〉, para todo x ∈ D(A).
Enta˜o A e´ setorial.
Corola´rio 1.5.26. Seja (X ,〈·, ·〉) seja um espac¸o de Hilbert. Se A : D(A) ⊂ X → X e´ auto-
adjunto, densamente definido e reσ(A)> 0, enta˜o A e´ setorial.
No caso particular em que X e´ um espac¸o de Hilbert, se A for auto-adjunto e definido
positivo, enta˜o A sera´ setorial positivo, como enunciado no Corola´rio 1.5.26.
Finalmente, em vista da teoria espectral para operadores auto-adjuntos feita na Sec¸a˜o 1.1 se
A for auto-adjunto, setorial positivo em X espac¸o de Hilbert, podemos escrever:
A−α =
∫
R
λ−αdEλ (1.5.5)
onde {Eλ}λ∈R ⊂L (X) representa a famı´lia espectral gerada pelo operador A em X . Portanto,
a partir de uma aplicac¸a˜o da Desigualdade de Ho¨lder em (1.5.5), obtemos a
Proposic¸a˜o 1.5.27. Sejam α,γ ≤ 0, tais que α ≤ γ , e θ ∈ [0,1] . Escreva β = (1−θ)α+θγ .
Enta˜o:
|Aβu| ≤ |Aαu|1−θ |Aγu|θ , para todo u ∈ X . (1.5.6)
1. Preliminares 21
1.6 Semifluxos e atratores globais
Neste trabalho estamos interessados na existeˆncia de atratores. Os atratores sa˜o importantes
objetos no estudo da dinaˆmica assinto´tica dos sistemas dinaˆmicos. Nesta sec¸a˜o vamos expor
os principais elementos para a definic¸a˜o dos atratores e listar suas propriedades importantes.
Tambe´m apresentaremos condic¸o˜es necessa´rias e suficientes para que um sistema dinaˆmico
possua atrator.
As refereˆncias [5], [7], [14] e [17] apresentam a teoria de atrator global para sistemas
dinaˆmicos na˜o lineares.
Para esta sec¸a˜o, a refereˆncia [7] foi utilizada para o estudo dos atratores e o conceito de
semifluxo local e´ como apresentado em [22].
Sejam X um espac¸o me´trico e D um aberto de [0,∞)×X . Uma aplicac¸a˜o pi : D→ X e´ um
semifluxo local em X se
(a) para cada u ∈ X , existe um ωu = ω(pi,u) ∈ (0,∞] tal que (t,u) ∈ D se, e somente se,
t ∈ [0,ωu);
(b) pi(0,u) = u, para todo u ∈ X ;
(c) sempre que (t,u) ∈ D e (s,upit) ∈ D, temos (t+ s,u) ∈ D e pi(t+ s,u) = pi(s,pi(t,u)).
Escrevemos pi(t,u) = upit, para (t,u) ∈ D.
Se um semifluxo e´ tal que ωu =+∞ para todo u∈ X , enta˜o dizemos que este e´ um semifluxo
global.
Dado um intervalo I ⊂R, uma aplicac¸a˜o σ : I→R e´ chamada uma soluc¸a˜o de pi se sempre
que t ∈ I e s ∈ [0,∞) sa˜o tais que t + s ∈ I, enta˜o σ(t)pis e´ bem definido e σ(t)pis = σ(t + s).
Se I = R enta˜o σ e´ chamada soluc¸a˜o global de pi .
Um subconjunto A de X e´ chamado pi-invariante se para todo u ∈ A existe uma soluc¸a˜o
global σ tal que σ(R)⊂ A e σ(0) = u.
Um ponto u ∈ X e´ chamado equilı´brio (de pi) se upit = u, para todo t ∈ [0,ωu).
22 1. Preliminares
Dados um semifluxo local pi em X e um subconjunto N de X , dizemos que pi na˜o explode
em N se sempre que u ∈ X e upi[0,ωu)⊂ N, implicar ωu =+∞.
No restante desta sec¸a˜o pi denota um semifluxo global definido num espac¸o de Banach X .
A seguinte definic¸a˜o e´ apresentada em [7].
Definic¸a˜o 1.6.1. Dizemos que um subconjunto B ⊂ X e´ (pi-)eventualmente limitado se existe
um tB ∈ [0,∞) tal que o conjunto {upit | u ∈ B, t ∈ [tB,∞)} e´ limitado.
Pode ser encontrado na literatura o conceito de semifluxo (semigrupo) eventualmente limi-
tado. Neste caso, dizemos pi e´ eventualmente limitado se todo limitado de X e´ eventualmente
limitado conforme a Definic¸a˜o 1.6.1
Seja B⊂ X . A o´rbita positiva de B por pi e´ definida como o conjunto
γ+(B) :=
⋃
t∈[0,∞)
Bpit =
⋃
t∈[0,∞)
{upit | u ∈ B}.
O conjunto
γ+t (B) :=
⋃
s∈[0,∞)
Bpi(s+ t) =
⋃
s∈[t,∞)
Bpis
e´ chamadoa o´rbita de Bpit. O conjunto ω-limite de B e´ definido como
ω(B) =
⋂
t∈[0,∞)
γ+t (B).
Proposic¸a˜o 1.6.2. Seja B⊂ X. Enta˜o
(i) ω(B) e´ fechado.
(ii) Seja v ∈ X. Enta˜o v ∈ ω(B) se, e somente se, existem sequeˆncias (tn)n em [0,∞) e (un)n
em B tais que tn→ ∞ e unpitn→ v quando n→ ∞.
Precisamos da noc¸a˜o de atrac¸a˜o sobre o semifluxo pi de modo a definirmos o conceito do
atrator. Mas primeiro vamos definir a semidistaˆncia de Hausdorff entre dois conjuntos. Sejam
A e B subconjuntos de X . Definimos a semidistaˆncia de Hausdorff entre A e B, denotada por
1. Preliminares 23
distH(A,B), por
distH(A,B) = sup
u∈A
inf
v∈B
|u− v|.
Sejam A e B subconjuntos de X . Dizemos que A atrai B pela ac¸a˜o de pi se
lim
t→∞distH(Bpit,A) = 0.
Proposic¸a˜o 1.6.3. Seja pi um semifluxo global em X. Enta˜o A⊂ X e´ pi-invariante se, e somente
se, Apit = A, para todo t ∈ [0,∞).
Um subconjunto A de X e´ um atrator global para pi , se A e´ um conjunto compacto, pi-
invariante e que atrai subconjuntos limitados de X sob a ac¸a˜o de pi .
Definic¸a˜o 1.6.4. O semifluxo global pi e´ chamado assintoticamente suave se para cada subcon-
junto B de X na˜o-vazio, fechado e limitado tal que Bpit ⊆ B para todo t ∈ [0,∞), existir um
conjunto na˜o-vazio e compacto K ⊂ B tal que K atrai B sob ac¸a˜o depi .
Definic¸a˜o 1.6.5. O semifluxo global pi e´ chamado assintoticamente compacto se para cada
subconjunto B de X na˜o-vazio e eventualmente limitado tal que para cada sequeˆncia (tn)n em
[0,∞) e cada sequeˆncia (un)n em B com tn→∞, a sequeˆncia (unpitn)n possui uma subsequeˆncia
convergente.
Os conceitos acima sa˜o equivalentes:
Proposic¸a˜o 1.6.6. Um semifluxo global e´ assintoticamente suave se, e somente se, e´ assintoti-
camente compacto.
Teorema 1.6.7. Seja pi um semifluxo global definido num espac¸o de Banach X. As seguintes
afirmativas sa˜o equivalentes:
(i) pi e´ assintoticamente compacto, existe um subconjunto limitado B de X tal que para cada
u ∈ X existe um tu ≥ 0 com upitu ∈ B e todo conjunto limitado em X e´ pi-eventualmente
limitado.
(ii) pi possui um atrator global A .
24 1. Preliminares
A seguir definiremos o que e´ conhecido por funcional de Lyapunov. Semifluxos que pos-
suem um funcional de Lyapunov sa˜o chamados de semifluxos gradiente e possuem boas pro-
priedades que nos levam a um teorema de existeˆncia de atrator global mais direto do que o
Teorema 1.6.7.
Um funcionalL : X → R contı´nuo em X e limitado inferiormente e´ chamado funcional de
Lyapunov para pi se
1. para cada u ∈ X a aplicac¸a˜o (0,∞) 3 t 7→L (upit) ∈ R e´ na˜o-crescente,
2. se u ∈ X e´ tal que existe um ku ∈ R com
L (upit) = ku, para todo t ≥ 0,
enta˜o u e´ um ponto de equilı´brio de pi .
Podemos agora, apresentar o teorema que sera´ utilizado para demonstrar a existeˆncia de
atrator global no nosso trabalho.
Teorema 1.6.8. Seja pi um semifluxo global definido num espac¸o de Banach X. Suponha que:
(a) pi e´ assintoticamente compacto,
(b) todo subconjunto limitado em X e´ eventualmente limitado,
(c) o conjunto dos pontos de equilı´brio de pi e´ limitado e
(d) existe um funcional de Lyapunov para o semifluxo pi .
Enta˜o existe um atrator global para pi .
1.7 Equac¸o˜es diferenciais parabo´licas
Nesta u´ltima sec¸a˜o apresentamos resultados utilizados sobre as equac¸o˜es diferenciais pa-
rabo´licas. Seguimos a notac¸a˜o e resultados apresentados em [15] e [18].
1. Preliminares 25
Suponha 0 ≤ α < 1 e seja U um conjunto aberto em Xα . Seja g : U → X uma func¸a˜o
localmente Lipschitziana. Considere a equac¸a˜o:
du
dt
+Au = g(u). (1.7.1)
Seja u0 ∈U e t0 ≥ 0. Uma soluc¸a˜o de (1.7.1) em (t0, t1) tal que em t0 vale u0 e´ uma func¸a˜o
contı´nua u : [t0, t1)→ X tal que
1. u(t0) = u0;
2. u(t) ∈U para t ∈ (t0, t1);
3. u e´ diferencia´vel em (t0, t1);
4. u(t) ∈ D(A) para t ∈ (t0, t1);
5. [t0, t1) 3 t 7→ g(u(t)) ∈ X e´ contı´nua;
6. a equac¸a˜o (1.7.1) esta´ satisfeita para todo t ∈ (t0, t1).
A definic¸a˜o de soluc¸a˜o e´ como em [18].
A seguir apresentamos um teorema de existeˆncia e unicidade de soluc¸o˜es maximais para
a equac¸a˜o (1.7.1) com condic¸a˜o inicial u(t0) = u0 ∈ U cuja demonstrac¸a˜o e´ adaptada das
demonstrac¸o˜es de [15].
Teorema 1.7.1. Seja A um operador setorial em X e seja g : U → X uma func¸a˜o localmente
Lipschitziana, onde U e´ um conjunto aberto em Xα , para algum 0 ≤ α < 1. Enta˜o para todo
t0≥ 0 e para todo u0 ∈U, existe um intervaldo maximal [t0,ωu0), onde ωu0 ∈ (0,∞] e uma u´nica
soluc¸a˜o t 7→ u(t,u0) de
du
dt
+Au = g(u)
tal que u(t0) = u0 definida em [t0,ωu0).
No restante do texto se A : D(A) ⊂ X → X e´ um operador setorial em X , o semigrupo
analı´tico gerado por −A sera´ denotado por {e−At | t ≥ 0}.
Para demonstrar a existeˆncia de soluc¸a˜o no Teorema 1.7.1 utilizamos o seguinte lema:
26 1. Preliminares
Lema 1.7.2. Seja u uma soluc¸a˜o do problema (1.7.1) em (t0, t1) com valor inicial u(t0) = u0.
Enta˜o
u(t) = e−A(t−t0)u0+
∫ t
t0
e−A(t−s)g
(
u(s)
)
ds, para t ∈ [t0, t1). (1.7.2)
Reciprocamente, se u : [t0, t1)→ Xα e [t0, t1) 3 t 7→ g(u(t)) ∈ X sa˜o func¸o˜es contı´nuas, e a
equac¸a˜o integral (1.7.2) e´ satisfeita para t ∈ (t0, t1), enta˜o u e´ uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferen-
cial (1.7.1).
Para a demonstrac¸a˜o do Lema 1.7.2, ver [15] e [18].
A fo´rmula (1.7.2) e´ conhecida como a Fo´rmula da Variac¸a˜o das Constantes.
No que segue vamos supor que A e´ um operador setorial positivo, isto e´, A e´ setorial e
reσ(A) > 0, g : Xα → X uma func¸a˜o Lipschitziana em limitados de Xα , com 0 ≤ α < 1 e,
tambe´m, que t0 = 0. Para cada u0 ∈U e t ∈ [0,ωu0), defina u0pit := u(t,u0). Dessa forma pi e´
um semifluxo local em U .
Vamos assumir tambe´m que g : U → X seja uma func¸a˜o Lipschitziana em limitados, isto e´,
dado B⊂U limitado existe uma constante LB ≥ 0 tal que
|g(u)−g(v)|X ≤ LB|u− v|, para todo u, v ∈ B.
A seguir enunciamos e demonstramos resultados gerais que sera˜o utilizado nos pro´ximos
capı´tulos.
Proposic¸a˜o 1.7.3. Seja B⊂U um subconjunto limitado tal que para cada u ∈ B, upit ∈ B, para
todo t ∈ [0,ωu). Enta˜o ωu =+∞.
Demonstrac¸a˜o. Seja u ∈ B. Logo, upit ∈ B, para todo t ∈ [0,ωu). Suponhamos por absurdo que
ωu < ∞. Sejam 0 < α < β < 1 e s ∈ (0,ωu).
Afirmamos que o conjunto {|upit|Xβ | t ∈ [s,ωu)} e´ limitado. De fato, seja t ∈ [s,ωu). Utili-
1. Preliminares 27
zando a Fo´rmula da Variac¸a˜o das Constantes temos
|upit|Xβ ≤ |e−Atu|Xβ +
∫ t
0
|e−A(t−s)g(upis)|Xβ ds
≤ |Aβ−αe−At ||Aαu|+
∫ t
0
|Aβ e−A(t−s)g(upis)|X ds
≤max{Cβ−α ,CβLB}(tβ−α |u|Xα +
∫ t
0
(t− s)−βds)
≤max{Cβ−α ,CβLB,1}(tβ−α |u|Xα + t1−β ).
Como [s,ωu) 3 t 7→ tβ−α |u|Xα + t1−β e´ limitada, a afirmativa esta´ demonstrada.
Sejam s≤ τ < t < ωu. A Fo´rmula da Variac¸a˜o das Constantes implica que
upit−upiτ =
(
e−A(t−τ)− I
)
upiτ+
∫ t
τ
e−A(t−s)g(upis)ds.
Portanto,
|upit−upiτ|Xα ≤ 1β −αC1−β+α‖A
−α‖(t− τ)β−α |u0piτ|Xβ +CαLB
∫ t
τ
(t− s)−αds
≤ 1
β −αC1−β+α‖A
−α‖(t− τ)β−α +CαLB(t− τ)1−α
≤ C˜(t− τ)β−α ,
onde C˜ = max{ 1
β −αC1−β+α‖A
−α‖,CαLB(t− τ)1−β}.
Como β > α , o Crite´rio de Cauchy implica que o limite, quando t → ω−u , existe. Seja
u1 o valor deste limite e defina v(t) = upit, se t ∈ [0,ωu) e v(ωu) = u1. Segue que v e´ uma
soluc¸a˜o de (1.7.1) com v(0) = u definida em [0,ωu]. Pore´m isso contradiz a maximalidade de
ωu. Portanto, ωu =+∞ para todo u ∈ B.
O pro´ximo resultado pode ser encontrado na Proposic¸a˜o 3.2.1 e Lema 3.2.1 em [7].
Proposic¸a˜o 1.7.4. Seja B⊂ Xα um subconjunto limitado em Xα . Enta˜o para todo t ∈ (0,ωB),
Bpit e´ limitado em X γ , para cada α ≤ γ ≤ 1.
Concluı´mos o capı´tulo com um resultado de regularidade que pode ser encontrado em [15].
Como apresentaremos a demonstrac¸a˜o desse resultado, enunciamos um lema auxiliar.
28 1. Preliminares
Lema 1.7.5 (Desigualdade de Gronwall Singular). Sejam 0 ≤ α < 1, 0 ≤ β < 1, a ≥ 0, b ≥ 0
constantes e T ∈ (0,∞). Se u : [0,T ]→ R e´ uma func¸a˜o integra´vel tal que
0≤ u(t)≤ at−α +b
∫ t
0
(t− s)−βu(s)ds, para quase todo t ∈ [0,T ],
enta˜o existe uma constante positiva M tal que
0≤ u(t)≤ aMt−α , para quase todo t ∈ (0,T ].
Teorema 1.7.6. Assuma a notac¸a˜o apresentada acima. Seja u uma soluc¸a˜o de (1.7.1) em [t0, t1]
e γ ∈ (0,1). Enta˜o du
dt
∈ X γ e existe uma constante C > 0 tal que
∣∣∣∣dudt
∣∣∣∣
Xγ
≤C(t− t0)α−γ−1, para t0 < t ≤ t1.
Demonstrac¸a˜o. Seja β > 0 tal que max{α,γ}< β < 1.
Denotemos f (t) := g(u(t)), para t ∈ [t0, t1]. Como [t0, t1] e´ compacto, sejam B e L constantes
positivas tais que, para todo t ∈ [t0, t1] e h0 ≥ 0, com t0 ≤ t ≤ t+h≤ t1 e 0≤ h≤ h0,
| f (t)| ≤ B, (1.7.3)
| f (t+h)− f (t)| ≤ L |u(t+h)−u(t)| . (1.7.4)
Para t0 < t < t+h≤ t1 temos:
u(t+h)−u(t) = e−A(t+h−t0)u(t0)+
∫ t+h
t0
e−A(t+h−s) f (s)ds
− e−A(t−t0)u(t0)−
∫ t
t0
e−A(t−s) f (s)ds
= (e−Ah− I)e−A(t−t0)u(t0)+
∫ t0+h
t0
e−A(t+h−s) f (s)ds
+
∫ t
t0
e−A(t−s)[ f (s+h)− f (s)]ds.
1. Preliminares 29
Desse modo,
|u(t+h)−u(t)|Xα ≤
∣∣∣(e−Ah− I)e−A(t−t0)u(t0)∣∣∣
Xα
+
∫ t0+h
t0
∣∣∣e−A(t+h−s) f (s)∣∣∣
Xα
ds
+
∫ t
t0
∣∣∣e−A(t−s) f (s+h)−f (s)∣∣∣
Xα
ds
≤ β−1C1−βhβ
∣∣∣Aβ e−A(t−t0)Aαu(t0)∣∣∣
X
+
∫ t0+h
t0
Cα(t+h− s)−αKBds
+
∫ t
t0
Cα(t− s)−αKL|u(s+h)−u(s)|Xαds
≤ β−1C1−βhβCβ (t− t0)−βK|u(t0)|Xα +CαKBh(t− t0)−α+
+CαKL
∫ t
t0
(t− s)−α |u(s+h)−u(s)|Xαds
≤ K˜hβ (t− t0)−β +CαKL
∫ t
t0
|u(s+h)−u(s)|Xαds,
onde K˜ = β−1C1−βCβK(t1− t0)β−α |u(t0)|Xα . Portanto, a Desigualdade de Gronwall Singular,
Lema 1.7.5, implica que existe uma constante M ≥ 0 tal que
|u(t+h)−u(t)|Xα ≤Mhβ (t− t0)−β ,
para todo t ∈ (t0, t1), 0≤ h≤ h0.
Afirmamos que, para todo t ∈ (t0, t1),
A
∫ t
t0
e−A(t−s) f (s)ds =
∫ t
t0
Ae−A(t−s)[ f (s)− f (t)]ds+ f (t)− e−A(t−t0) f (t). (1.7.5)
De fato, note que para t ∈ (t0, t1) temos
∫ t
t0
Ae−A(t−s) f (t)ds =
∫ t
t0
d
ds
(
e−A(t−s) f (t)
)
ds = f (t)− e−A(t−t0) f (t).
Logo, para t ∈ (t0, t1),
∫ t
t0
Ae−A(t−s) f (s)ds =
∫ t
t0
Ae−A(t−s)[ f (s)− f (t)]ds+ f (t)− e−A(t−t0) f (t)
e portanto temos∣∣∣∣∫ tt0 Ae−A(t−s) f (s)ds
∣∣∣∣≤ ∫ tt0 K(t− s)β−1(t− t0)−βds+B+B‖e−A(t−t0)‖.
30 1. Preliminares
Como 0 < β < 1, temos
∣∣∣∣∫ tt0 Ae−A(t−s) f (s)ds
∣∣∣∣ define um nu´mero real. Como A e´ um operador
fechado, a igualdade (1.7.5) segue e afirmativa esta´ demonstrada. Portanto, para t ∈ (t0, t1)
temos
du
dt
=−Au(t)+ f (t) =−A(e−A(t−t0)u(t0)+
∫ t
t0
e−A(t−s)g(s)ds)+ f (t)
=−Ae−A(t−t0)u(t0)+ e−A(t−t0) f (t)+
∫ t
t0
Ae−A(t−t0)[ f (t)− f (s)]ds
e ∣∣∣∣dudt
∣∣∣∣
Xγ
≤Cγ+1−αK(t− t0)α−γ−1|u(t0)|α +CγB(t− t0)−γ
+
∫ t
t0
Cγ+1KL(t− s)β−γ−1(t− t0)βds.
E´ fa´cil ver que para t ∈ (t0, t1)
∫ t
t0
Cγ+1KL(t− s)β−γ−1(t− t0)βds≤ (t− t0)α−γ−1Cγ+1L(t− t0)1−α(β − γ)−1.
Portanto, ∣∣∣∣dudt
∣∣∣∣
Xγ
≤C(t− t0)α−γ−1, para t ∈ (t0, t1],
onde C =
{
Cγ+1−α |u(t0)|α +BCγ(t1− t0)1−α +LCγ+1(β − γ)−1(t1− t0)1−α
}
e isso conclui a
demonstrac¸a˜o.
Capı´tulo
2
O problema linear
Neste capı´tulo analisamos o problema linear abstrato associado a` equac¸a˜o (ERD). Na
sec¸a˜o 2.3 apresentamos as hipo´teses (HL1), (HL2) e (HL3). Com estas hipo´teses o opera-
dor u 7→ −Lu+ β (x)u apresentado na Introduc¸a˜o define um operador positivo auto-adjunto
A : D(A) ⊂ X → X , onde X = L2(Ω). Nessa sec¸a˜o apresentamos as propriedades importantes
do operador A e construı´mos uma famı´lia de operadores auto-adjuntos A(α), α ∈ R tal que
A(α) : Xα → Xα−1.
Para a construc¸a˜o do operador A necessitamos de alguns resultados auxiliares que sa˜o co-
nhecidos na literatura, contudo as demonstrac¸o˜es na˜o sa˜o encontradas fa´cilmente. Em [21]
os autores reuniram estes fatos elementares na Proposic¸a˜o 2.2. Na sec¸a˜o 2.2 apresentamos a
demonstrac¸a˜o dessa proposic¸a˜o.
Iniciamos o capı´tulo demonstrando um resultado de ana´lise funcional que sera´ utilizado na
Sec¸a˜o 2.3. A refereˆncia para este capı´tulo e´ o artigo [21].
2.1 Um resultado de ana´lise funcional
Os lemas abaixo foram demonstrados na Sec¸a˜o 4 de [21].
Lema 2.1.1. Suponha que (Y,〈·, ·〉Y ) e (X ,〈·, ·〉X) sejam espac¸os de Hilbert tais que Y ⊂ X, Y
e´ denso em (X ,〈·, ·〉X) e a inclusa˜o j : (Y,〈·, ·〉Y )→ (X ,〈·, ·〉X) e´ contı´nua. Enta˜o para cada
31
32 2. O problema linear
u ∈ X existe um u´nico wu ∈ Y tal que
〈v,wu〉Y = 〈v,u〉X , para todo v ∈ Y.
A aplicac¸a˜o B : X → X, u 7→ wu e´ linear, sime´trica e positiva.
Demonstrac¸a˜o. Para cada u ∈ X , a func¸a˜o Y 3 v 7→ 〈v,u〉X e´ linear e contı´nua. Logo, pelo
Teorema de Representac¸a˜o de Riesz existe um u´nico wu ∈ Y tal que
〈v,u〉X = 〈v,wu〉Y , para todo v ∈ Y.
Ale´m disso do Teorema de Representac¸a˜o de Riesz segue que B e´ linear. Para u,v ∈ X , note que
〈Bu,v〉X = 〈Bu,Bv〉Y = 〈u,Bv〉X .
Logo B e´ uma aplicac¸a˜o sime´trica e, como 〈Bu,u〉X = 〈Bu,Bu〉Y ≥ 0, B e´ tambe´m positiva.
Assuma a notac¸a˜o e as hipo´teses do Lema 2.1.1. Seja B1/2 a raiz quadrada de B, isto e´,
B1/2 : X → X e´ uma aplicac¸a˜o linear, sime´trica e e´ tal que B1/2 ◦B1/2 = B.
Lema 2.1.2. Com a notac¸a˜o e as hipo´teses do Lema 2.1.1, temos B e B1/2 sa˜o aplicac¸o˜es
linereares injetoras e R(B) e´ um conjunto denso em Y .
Demonstrac¸a˜o. Se u ∈ X e´ tal que Bu = 0, enta˜o
0 = 〈v,Bu〉Y = 〈v,u〉X , para todo v ∈ Y.
Como Y e´ denso em X , segue que u= 0 e, portanto, B e´ injetora. Analogamente mostramos que
B1/2 e´ injetora.
Para concluir a demonstrac¸a˜o, seja v ∈ Y tal que 〈v,Bu〉Y = 0, para todo u ∈ X . Enta˜o
〈v,u〉X = 0, para todo u ∈ X e enta˜o v = 0, o que nos mostra que R(B) e´ denso em Y .
Assuma a notac¸a˜o e as hipo´teses do Lema 2.1.1. Considere X1/2 = X1/2B = R(B
1/2) e
B−1/2 : X1/2→ X a aplicac¸a˜o inversa de B1/2. E´ fa´cil ver que
〈u,v〉1/2 := 〈B−1/2u,B−1/2v〉X , u, v ∈ X1/2,
2. O problema linear 33
define um produto interno em X1/2. Mais ainda, (X1/2,〈·, ·〉1/2) e´ um espac¸o de Hilbert.
Lema 2.1.3. Com a notac¸a˜o e as hipo´teses do Lema 2.1.1, temos Y = X1/2 e 〈·, ·〉Y = 〈·, ·〉1/2.
Demonstrac¸a˜o. Afirmamos que R(B) e´ um conjunto denso em X1/2. De fato, como B1/2 e´ uma
aplicac¸a˜o sime´trica, para v ∈ X1/2 e u ∈ X , temos
〈v,Bu〉1/2 = 〈B−1/2v,B1/2u〉X = 〈v,u〉X .
Logo, se 〈v,Bu〉1/2 = 0, para todo u ∈ X , segue que v = 0 e nossa afirmativa esta´ mostrada.
Agora afirmamos que
〈u,v〉Y = 〈u,v〉1/2, para u,v ∈ R(B). (2.1.1)
De fato, se u,v ∈ R(B), existem u˜, v˜ ∈ X tais que u = Bu˜ e v = Bv˜. Logo,
〈u,v〉Y = 〈u,Bv˜〉Y = 〈u, v˜〉X
e
〈u,v〉1/2 = 〈B1/2u˜,B1/2v˜〉X = 〈Bu˜, v˜〉X = 〈u, v˜〉X ,
provando, assim, a afirmac¸a˜o.
A continuidade de B1/2 : X → X implica que para todo u ∈ X1/2 temos
|u|X ≤ ‖B1/2‖|B−1/2u|X = ‖B1/2‖|u|1/2,
e, portanto, a inclusa˜o i : (X1/2, | · |1/2)→ (X , | · |X) e´ contı´nua.
Seja u∈Y . Logo, existe uma sequeˆncia (un)n em R(B) tal que |un−u|Y → 0 quando n→∞.
Logo, (un)n e´ uma sequeˆncia de Cauchy em Y . A igualdade (2.1.1) implica que (un)n tambe´m e´
sequeˆncia de Cauchy em X1/2. Logo, existe um v∈ X1/2 tal que |un−v|X1/2→ 0 quando n→∞.
Como as incluso˜es j : (Y,〈·, ·〉Y )→ (X ,〈·, ·〉X) e i : (X1/2, | · |1/2)→ (X , | · |X) sa˜o contı´nuas
temos |un− u|X → 0 e |un− v|X → 0 quando n→ ∞. Portanto, u = v e, assim, u ∈ X1/2. Ou
seja, Y ⊆ X1/2. Pelo mesmo argumento obtemos X1/2 ⊆ Y .
Finalmente, a densidade de R(B) em Y e igualdade (2.1.1) implicam 〈u,v〉1/2 = 〈u,v〉Y , para
34 2. O problema linear
todo u,v ∈ Y .
2.2 Resultados auxiliares sobre espac¸os de poteˆncias fra-
ciona´rias
Nesta sec¸a˜o demonstramos a Proposic¸a˜o 2.2 de [21].
Sejam X um espac¸o de Banach e A : D(A)⊂ X → X um operador setorial positivo. Logo A
e´ setorial em X , reσ(A) > 0 e −A e´ o gerador infinitesimal de um semigrupo analı´tico {e−At |
t ≥ 0} de operadores lineares em X (cf. Teorema 1.5.9).
Para α > 0 definimos, como usual, o operador A−α : X → X como
A−αu =
1
Γ(α)
∫ ∞
0
tα−1e−Atudt, u ∈ X .
Denote por Xα = R(A−α), α ≥ 0, a famı´lia de espac¸os de poteˆncias fraciona´rias em X
gerada por A. Xα e´ um espac¸o de Banach com a norma |u|Xα := |Aαu|X , u ∈ Xα .
Se β > α ≥ 0 enta˜o Xβ e´ denso em Xα . Ainda mais,
A−αA−β x = A−α−β x, α,β ∈ (0,∞), x ∈ X . (2.2.1)
Seja agora X um espac¸o de Hilbert e A : D(A) ⊆ X → X um operador auto-adjunto em X
com reσ(A)> 0. Enta˜o A e´ setorial em X e, para α ∈ (0,∞),
A−α =
∫ ∞
0
λ−αdEλ
onde {Eλ}λ∈R e´ a medida espectral definida por A. Nesse caso, Xα e´ um espac¸o de Hilbert com
respeito ao produto interno
〈u,v〉Xα := 〈Aαu,Aαv〉X , u,v ∈ Xα .
Para α ∈ (0,∞) seja X−α = X−αA o espac¸o dual de Xα . Definimos em X−α o produto interno
2. O problema linear 35
〈·, ·〉X−α dual ao produto interno 〈·, ·〉Xα , isto e´,
〈u′,v′〉X−α := 〈R−1α u′,R−1α v′〉Xα , u′,v′ ∈ X−α ,
onde Rα : Xα → X−α e´ o isomorfismo de Fre´chet-Riesz u 7→ 〈·,u〉Xα . O espac¸o de Hilbert X−α
e´ chamado espac¸o de poteˆncia fraciona´ria de ordem −α .
Denotemos por ϕ a aplicac¸a˜o dualidade de X em X ′, isto e´,
ϕ(x) = 〈·,x〉, x ∈ X .
Lema 2.2.1. Sejam β > 0 e x ∈ X e defina o funcionallinear fx : Xβ → R dado por
fx(y) = 〈y,x〉X , para todo y ∈ Xβ .
Enta˜o fx ∈ X−β .
Demonstrac¸a˜o. Sejam β > 0 e x ∈ X fixados. Claramente fx e´ linear e esta´ bem definida.
Mostremos que fx e´ limitada de Xβ . De fato, como Xβ esta´ continuamente imerso em X ,
existe constante B≥ 0 tal que
|y|X ≤ B|y|Xβ , para todo y ∈ Xβ .
Portanto, se y ∈ Xβ ,
fx(y) = 〈y,x〉X ≤ |y|X |x|X ≤ B|x|X |y|Xβ .
Concluindo que fx e´ limitada em Xβ e ‖ fx‖ ≤ B|x|X .
Sejam α,β ∈ R arbitra´rios. Nosso objetivo e´ definir aplicac¸o˜es lineares contı´nuas entre os
espac¸os Xα e Xβ .
(i) Se β ≥ α ≥ 0, defina ϕβ ,α : Xβ → Xα como sendo a aplicac¸a˜o inclusa˜o.
(ii) Se β ≥ α > 0, defina enta˜o a aplicac¸a˜o ϕ−α,−β : X−α → X−β por ϕ−α,−β (y′) = y′|Xβ ,
para y′ ∈ X−α .
36 2. O problema linear
(iii) Se β > 0, defina ϕ0,−β : X0 = X → X−β por ϕ0,−β (x) = fx, onde fx ∈ X−β e´ como no
Lema 2.2.1.
(iv) Finalmente, se α > 0 e β > 0, enta˜o ϕβ ,−α := ϕ0,−α ◦ϕβ ,0.
Apresentamos a seguir diversas propriedades das aplicac¸o˜es que acabamos de definir.
Proposic¸a˜o 2.2.2. Para todo α , β ∈ R com β ≥ α a aplicac¸a˜o ϕβ ,α : Xβ → Xα esta´ bem
definida, e´ linear, limitada e injetora. O subespac¸o ϕβ ,α(Xβ ) e´ denso no espac¸o de Hilbert Xα .
Demonstrac¸a˜o. Sejam α , β ∈R com β ≥ α . E´ claro que a aplicac¸a˜o ϕβ ,α : Xβ → Xα esta´ bem
definida e e´ linear.
Afirmamos que ϕβ ,α e´ uma aplicac¸a˜o limitada, injetora e sua imagem e´ um conjunto denso
em Xα . Para mostrar este fato teremos que considerar treˆs casos.
Primeiro Caso:
Suponha β ≥ α ≥ 0. Neste caso a aplicac¸a˜o ϕβ ,α e´ a inclusa˜o e a injetividade e´ clara, assim
como a continuidade. Ainda, Xβ e´ denso em Xα , logo ϕβ ,α(Xβ ) e´ denso em Xα .
Segundo Caso:
Suponha α < 0≤ β . Logo ϕβ ,α = ϕ0,α ◦ϕβ ,0. Segue do Primeiro Caso que ϕβ ,0 e´ limitada,
injetora e sua imagem e´ densa em X0 = X . Portanto, resta mostrarmos que ϕ0,α : X → Xα
tambe´m e´ uma aplicac¸a˜o limitada, injetora e possui imagem densa em Xα . Recordemos que
dado x ∈ X , ϕ0,α(x) : X−α → R (−α > 0) e´ dado por ϕ0,α(x)(y) = 〈y,x〉X , para y ∈ X−α .
Para x ∈ X , pelo Teorema de Hahn-Banach sabemos que
‖ fx‖= sup
w∈X−α
|w|X−α=1
fx(w) = sup
w∈X−α
|w|X−α=1
〈w,x〉X .
Logo
‖ fx‖ ≤ sup
w∈X−α
|w|X−α=1
|w|X |x|X ≤ sup
w∈X−α
|w|X−α=1
B|w|X−α |x|X ≤ B|x|X .
Portanto a aplicac¸a˜o X 3 x 7→ fx ∈ Xα e´ limitada.
2. O problema linear 37
Seja x ∈ X e suponha que ϕ0,α(x) = 0 ∈ Xα . Logo,
〈y,x〉X = 0 para todo y ∈ X−α .
Como X−α e´ denso em X , segue que x = 0. Portanto, ϕ0,α e´ injetora.
Seja, agora, z ∈ X−α tal que ϕ0,α(w)(z) = fw(z) = 0, para todo w ∈ X . A fim de mostrar
que ϕ0,α(X) e´ denso em Xα , devemos mostrar que z = 0. De fato, apenas note que fw(z) =
〈z,w〉X = 0, para todo w ∈ X e, portanto, z = 0. Como era desejado.
Terceiro caso:
Suponha, por fim, que α ≤ β < 0. Temos que ϕβ ,α : Xβ → Xα e´ a restric¸a˜o de funcionais
definidos em X−β a X−α (notemos que −β > 0 e −α > 0).
Dado x∗ ∈ Xβ , pelo Teorema de Fre´chet-Riesz existe um x ∈ X−β tal que
x∗(y) = 〈y,x〉X−β , para todo y ∈ X−β .
Logo, para w ∈ X−α , ϕβ ,α(x∗)(w) = 〈w,x〉X−β . E, analogamente ao Segundo Caso, teremos
ϕβ ,α limitada de Xβ em Xα .
Mostremos que ϕβ ,α e´ injetora. De fato, seja x ∈ Xβ tal que ϕβ ,α(x) = 0 ∈ Xα . Isto e´,
ϕβ ,α(x)(v) = x(v) = 0, para todo v ∈ X−α .
Como X−α e´ denso em X−β , segue que x = 0.
Finalmente, seja v ∈ X−α tal que ϕβ ,α(x)(v) = 0, para todo x ∈ Xβ . Analogamente ao caso
anterior devemos mostrar que v = 0. Pore´m, note que
ϕβ ,α(x)(v) = x|X−αv = x(v), (2.2.2)
uma vez que v ∈ X−α . Portanto, como X−α e´ um subespac¸o denso de X−β , (2.2.2) implica que
x≡ 0, concluindo a demonstrac¸a˜o.
38 2. O problema linear
Proposic¸a˜o 2.2.3. Para todo α , β ∈ R com β ≥ α a aplicac¸a˜o ϕβ ,α : Xβ → Xα satisfaz
ϕα,α = IXα , para todo α ∈ R e
ϕγ,α = ϕβ ,α ◦ϕγ,β , para α,β ,γ ∈ R com γ ≥ β ≥ α .
Demonstrac¸a˜o. E´ fa´cil ver que ϕα,α = IXα , para qualquer α ∈ R. Sejam α , β , γ ∈ R com
γ ≥ β ≥ α . A demonstrac¸a˜o de que ϕγ,α = ϕβ ,α ◦ϕγ,β sera´ dividada em cinco casos.
Primeiro Caso: α ≥ 0.
Todas as func¸o˜es em questa˜o sa˜o incluso˜es, desse modo fica claro que ϕγ,α = ϕβ ,α ◦ϕγ,β .
Segundo Caso: γ < 0.
Todas as func¸o˜es em questa˜o sa˜o restric¸o˜es de funcionais lineares a subespac¸os encaixados,
isto e´, X−γ ⊃ X−β ⊃ X−α e ϕγ,α f = f |X−α . Por outro lado, ϕβ ,α ◦ϕγ,β f = ϕβ ,α f |X−β = f |X−α .
Logo ϕγ,α = ϕβ ,α ◦ϕγ,β .
Terceiro Caso: β ≥ 0 e α < 0.
Segue da definic¸a˜o que ϕγ,α = ϕ0,α ◦ϕγ,0 e ϕβ ,α = ϕ0,α ◦ϕβ ,0. Logo,
ϕβ ,α ◦ϕγ,β = ϕ0,α ◦ϕβ ,0 ◦ϕγ,β
= ϕ0,α ◦ϕγ,0 = ϕγ,α ,
onde, na segunda igualdade, usamos o resultado para γ ≥ β ≥ 0.
Quarto Caso: γ = 0 e β < 0.
Note que ϕβ ,α e´ a restric¸a˜o de funcionais lineares e, para y ∈ X−β , ϕ0,β (x)(y) = 〈y,x〉X ,
x ∈ X . Logo, sua restric¸a˜o a Xα e´ exatamente ϕ0,α .
Quinto Caso: γ > 0 e β < 0.
Segue da definic¸a˜o que ϕγ,β = ϕ0,β ◦ϕγ,0 e ϕγ,α = ϕ0,α ◦ϕγ,0. Logo,
ϕβ ,α ◦ϕγ,β = ϕβ ,α ◦ϕ0,β ◦ϕγ,0
= ϕ0,α ◦ϕγ,0 = ϕγ,α ,
2. O problema linear 39
onde, na segunda igualdade, usamos o resultado para 0 > β ≥ α .
Proposic¸a˜o 2.2.4. Para todo α,γ ∈ R, θ ∈ [0,1] com α ≤ γ e β = (1−θ)α+θγ vale a desi-
gualdade de interpolac¸a˜o:
|ϕγ,β x|Xβ ≤ |ϕγ,αx|1−θXα |x|θXγ , para todo x ∈ X γ . (2.2.3)
Demonstrac¸a˜o. Combinando as Proposic¸o˜es 1.5.23 e 1.5.27 obtemos
|Aβ x|X ≤ |Aαx|1−θX |Aγx|θX , para todo x ∈ Xδ (2.2.4)
e todo α,γ ∈ R, δ ≥ 0, θ ∈ [0,1], com α ≤ γ ≤ δ e β = (1−θ)α+θγ .
Afirmamos que para todo α > 0, β ≥ 0
|ϕβ ,β−αA−β x|Xβ−α = |A−αx|X , para todo x ∈ X . (2.2.5)
De fato, sejam α > 0 e β ≥ 0. Suponha que β ≥ α . Temos
|ϕβ ,β−αA−β x|Xβ−α = |Aβ−αϕβ ,β−αA−β x|X = |A−αx|X , para todo x ∈ X .
Suponha agora que β < α . Note que, pela definic¸a˜o de ϕ0,β−α , temos R−1β−α
(
ϕβ ,β−αA−β x
)
=
Aβ−2αx para todo x ∈ X e portanto
|ϕβ ,β−αA−β x|Xβ−α = |Aα−βR−1α−βϕβ ,β−αA−β x|X
= |Aα−βAβ−2αx|X
= |A−αx|X ,
para todo x ∈ X . A igualdade (2.2.5) esta´ demonstrada.
Em particular, se β = 0 em (2.2.5), obtemos
|ϕδ ,αx|Xα = |Aαx|X , para todo x ∈ Xδ (2.2.6)
e todo α ∈ R, δ ∈ [0,∞) com δ ≥ α . Agora, a Proposic¸a˜o 2.2.2 e as equac¸o˜es (2.2.4) e (2.2.6)
40 2. O problema linear
demonstram que para todo α,γ ∈ R, θ ∈ [0,1] e β = (1−θ)α+θγ temos:
|ϕγ,β x|Xβ ≤ |ϕγ,αx|1−θXα |x|θXγ , para todo x ∈ X γ .
A proposic¸a˜o esta´ demonstrada.
Para cada α ≥ 0 e β ≥ 0 defina a aplicac¸a˜o
A−β
(α) := A
−β |Xα : Xα → Xβ+α . (2.2.7)
Proposic¸a˜o 2.2.5. Com a notac¸a˜o introduzida acima, para todo α ≥ 0 e β ≥ 0 a aplicac¸a˜o
A−β
(α) e´ uma isometria linear bijetora.
Demonstrac¸a˜o. E´ claro que A−β
(α) e´ uma aplicac¸a˜o linear e injetora. Mostremos que e´ sobreje-
tora. Seja y ∈ Xβ+α . Logo existe um x ∈ X tal que A−β−αx= y. Em particular, segue de (2.2.1)
que A−βA−αx = y. Considere z := A−αx ∈ Xα e teremos A−β
(α)z = A
−βA−αx = y. Portanto A−β
(α)
e´ sobrejetora.
Note que, se y ∈ Xα , enta˜o
|A−β y|Xβ+α = |A−(β+α)Aαy|Xβ+α = |Aαy|X = |y|Xα ,
ou seja, A−β
(α) e´ uma isometria.
Para provar o pro´ximo resultado necessitaremos de um fato auxiliar que e´ simples e conhe-
cido cuja demonstrac¸a˜o na˜o sera´ apresentada.
Lema 2.2.6. Sejam Ek,Fk, k ∈ {1,2} espac¸os vetoriais (sobre R ou C) com E2 e F2 completos.
Suponha que e : E1→ E2, f : F1→ F2 e B1 : E1→ F1 sejam isometrias lineares com B1 bijetora.
Se o conjunto e(E1) e´ denso em E2 e o conjunto f (F1) e´ denso em F2 enta˜o existe uma u´nica
isometria linear bijetora B2 : E2→ F2 tal que B2 ◦ e = f ◦B1.
Proposic¸a˜o 2.2.7. Para todo α > 0 e β ≥ 0 existe uma u´nica isometria linear bijetora
A−β
(−α) : X
−α → Xβ−α tal que
A−β
(−α) ◦ϕ0,−α = ϕβ ,β−α ◦A−β . (2.2.8)
2. O problema linear 41
Demonstrac¸a˜o. Se β > 0, considere em Xβ a norma ηβ−α(·) dada por ηβ−α(x) = |Aβ−αx|X ,
x∈ Xβ . Observamos que, em geral, (Xβ ,ηβ−α(·))na˜o e´ um espac¸o de Banach. Fo´rmula (2.2.1)
implica que ϕβ ,β−α : Xβ → Xβ−α e´ uma isometria entre (Xβ ,ηβ−α(·)) e o espac¸o de Hilbert
(Xβ−α , | · |Xβ−α ).
Se β = 0, considere em X a norma η−α(·) dada por η−α(x) = |A−αx|X , x ∈ X . Novamente,
temos ϕ0,−α : X → X−α isometria entre (X ,η−α(·)) e o espac¸o de Hilbert (X−α , | · |X−α ).
Assim, como A−β e´ uma isometria bijetora de X munido com a norma η−α em Xβ−α
munido com a norma ηβ−α , aplicando o Lema 2.2.6, com E1 = X (munido com a norma
η−α ), E2 = X−α , F1 = Xβ (munido com a norma ηβ−α ), F2 = Xβ−α , B1 = A−β , e = ϕ0,−α
e f = ϕβ ,β−α , segue que existe uma u´nica isometria linear bijetora B2 := A
−β
(−α) tal que
A−β
(−α) ◦ϕ0,−α = ϕβ ,β−α ◦A−β .
Dados γ ∈ R e β > 0, segue das Proposic¸o˜es 2.2.5 e 2.2.7 que esta´ bem definida uma
isometria linear bijetora A−β
(γ) : X
γ → Xβ+γ . No caso em que γ ≥ 0, A−β
(γ) e´ a restric¸a˜o de A
−β a
X γ . Se γ < 0, enta˜o A−β
(γ) e´ tal que A
−β
(γ) ◦ϕ0,γ = ϕβ ,β+γ ◦A−β .
Quando β > 0 e α ∈ R, definimos a aplicac¸a˜o Aβ
(α) : X
α → X−β+α por
Aβ
(α) = (A
−β
(−β+α))
−1. (2.2.9)
Denote por A(α) := A1(α).
Proposic¸a˜o 2.2.8. Com a notac¸a˜o introduzida acima, para todo γ,γ ′ ∈ R, com γ > γ ′, e todo
β ∈ R
ϕ−β+γ,−β+γ ′ ◦Aβ(γ) = A
β
(γ ′) ◦ϕγ,γ ′.
Demonstrac¸a˜o. Sejam γ , γ ′ ∈ R tais que γ > γ ′ e β ∈ R. Suponhamos, primeiramente, que
β ≤ 0 e note que, neste caso Aβ
(γ ′) ◦ϕγ,γ ′ = A
β
(γ ′) ◦ϕγ,γ ′ . Consideremos treˆs possibilidades:
Primeiro Caso: γ ≥ 0 > γ ′.
Como γ ′ < 0, temos que Aβ
(γ ′) ◦ϕ0,γ ′ = ϕ−β ,−β+γ ′ ◦Aβ . Ale´m disso, como γ ≥ 0, temos
42 2. O problema linear
ϕ−1−β+γ,−β ◦Aβ ◦ϕγ,0 = A
β
(γ). Portanto,
Aβ
(γ ′) ◦ϕγ,γ ′ = ϕ−β ,−β+γ ′ ◦Aβ ◦ϕγ,0
= ϕ−β+γ,β+γ ′ ◦ϕ−1−β+γ,−βAβ ◦ϕγ,0
= ϕ−β+γ,−β+γ ′ ◦Aβ(γ).
Segundo Caso: 0 > γ.
Para mostrarmos a igualdade desejada basta verificarmos que
ϕ−β+γ,−β+γ ′ ◦Aβ(γ) ◦ϕ−1γ,γ ′ ◦ϕ0,γ ′ = ϕ−β ,−β+γ ′ ◦Aβ ,
pois a unicidade da aplicac¸a˜o Aβ
(γ ′) implicara´ o resultado. Observe que ϕ0,γ ′ = ϕγ,γ ′ ◦ϕ0,γ e
ϕ−β+γ,−β+γ ′ ◦Aβ(γ) ◦ϕ−1γ,γ ′ ◦ϕ0,γ ′ = ϕ−β+γ,−β+γ ′ ◦A
β
(γ) ◦ϕ0,γ
= ϕ−β+γ,−β+γ ′ϕ−β ,−β+γ ◦Aβ
= ϕ−β ,−β+γ ′ ◦Aβ ,
como era desejado.
Terceiro Caso: γ ′ ≥ 0.
Como −β ≥ 0 as aplicac¸o˜es ϕγ,γ ′ e ϕ−β+γ,−β+γ ′ sa˜o incluso˜es. Portanto, se x ∈ X γ , por um
lado
Aβ
(γ ′) ◦ϕγ,γ ′(x) = Aβ x ∈ X γ
′−β .
Por outro lado ϕ−β+γ,−β+γ ′ ◦Aβ(γ)(x) = Aβ x ∈ X γ
′−β e segue a igualdade desejada.
Para completar a demonstrac¸a˜o, suponhamos que β > 0. Neste caso, Aβ
(γ) = (A
−β
(−β+γ))
−1.
Como −β + γ >−β + γ ′, temos
ϕγ,γ ′ ◦A−β(−β+γ) = A
−β
(−β+γ ′) ◦ϕ−β+γ,−β+γ ′.
2. O problema linear 43
Portanto suas inversas sa˜o iguais e temos
(A−β
(−β+γ))
−1 ◦ϕ−1γ,γ ′ = ϕ−1−β+γ,−β+γ ′ ◦ (A
−β
(−β+γ ′))
−1.
Logo, ϕ−β+γ,−β+γ ′ ◦Aβ(−β+γ) = A
β
(γ ′) ◦ϕγ,γ ′ .
Para demonstrar o pro´ximo resultado novamente dividiremos a demonstrac¸a˜o em casos. Em
cada caso, teremos que fazer novas diviso˜es o que tornara´ a demonstrac¸a˜o um tanto quanto
te´cnica.
Proposic¸a˜o 2.2.9. Com a notac¸a˜o introduzida acima, para todo α,β ,γ ∈ R
Aβ
(−γ+α) ◦A
γ
(α) = A
β+γ
(α) .
Demonstrac¸a˜o. Dividiremos a demonstrac¸a˜o em quatro casos.
Primeiro Caso: β ≤ 0 e γ ≤ 0.
Suponha que α > 0. Com isso temos
Aβ+γ
(α) x = A
β+γx ∈ Xα−β−γ , para todo x ∈ Xα .
Por outro lado,
Aγ
(α)x = A
γx ∈ Xα−γ , para todo x ∈ Xα
e, assim, Aβ
(−γ+α)A
γx = Aβ (Aγx) = Aβ+γx ∈ Xα−β−γ .Portanto Aβ
(−γ+α) ◦A
γ
(α) = A
β+γ
(α) .
Suponha que α ≤ 0 com −γ+α > 0. Segue da Proposic¸a˜o 2.2.7 que
Aγ
(α) ◦ϕ0,α = ϕ−γ,−γ+α ◦Aγ ,
Aβ+γ
(α) ◦ϕ0,α = ϕ−β−γ,−β−γ+α ◦Aβ+γ .
Ale´m disso, Aβ
(−γ+α) e´ a restric¸a˜o de A
β a X−γ+α ⊂ X e Aβ
(−γ) e´ a restric¸a˜o de A
β a X−γ ⊂ X
44 2. O problema linear
(ver fo´rmula (2.2.7)). Portanto,
Aβ
(−γ+α) ◦A
γ
(α) ◦ϕ0,α = A
β
−γ+αϕ−γ,−γ+α ◦Aγ
= ϕ−β−γ,−β−γ+α ◦Aβ(−γ) ◦Aγ
= ϕ−β−γ,−β−γ+α ◦Aβ+γ .
e isso implica a desigualdade desejada.
Para completar a demonstrac¸a˜o do Primeiro Caso, suponha que α ≤ 0 com −γ +α ≤ 0.
Proposic¸a˜o 2.2.7 implica que
Aβ
(−γ+α) ◦ϕ0,−γ+α = ϕ−β ,−β−γ+α ◦Aβ ,
Aγ
(α) ◦ϕ0,α = ϕ−γ,−γ+α ◦Aγ
Aβ+γ
(α) ◦ϕ0,α = ϕ−β−γ,−β−γ+α ◦Aβ+γ .
Como −β − γ ≥ −β ≥ −β − γ +α , temos ϕ−β−γ,−β−γ+α = ϕ−β ,−β−β+αϕ−β−γ,−β . As
aplicac¸o˜es ϕ−γ,0 e ϕ−β−γ,−β sa˜o incluso˜es e portanto:
Aβ
(−γ+α) ◦A
γ
(α) ◦ϕ0,α = A
β
(−γ+α) ◦ϕ−γ,−γ+α ◦Aγ
= Aβ
(−γ+α) ◦ϕ0,−γ+α ◦ϕ−γ,0 ◦Aγ
= ϕ−β ,−β−γ+α ◦Aβ ◦ϕ−γ,0 ◦Aγ
= ϕ−β−γ,−β−γ+α ◦ϕ−1−β−γ,−β ◦Aβ ◦ϕ−γ,0 ◦Aγ
= ϕ−β−γ,−β−γ+α ◦Aβ+γ
e isso implica a desigualdade desejada.
Segundo Caso: β > 0, γ > 0 e α ∈ R.
Utilizando a definic¸a˜o descrita na fo´rmula (2.2.9) temos
Aβ
(−γ+α) = (A
−β
−β−γ+α)
−1,
Aγ
(α) = (A
−γ
(−γ+α))
−1,
Aβ+γ
(α) = (A
−β−γ
−β−γ+α)
−1.
2. O problema linear 45
Defina α˜ =−β−γ+α , β˜ =−γ e γ˜ =−β . Segue que β˜ ≤ 0 e γ˜ ≤ 0 e aplicando a igualdade
obtida no Primeiro Caso temos
A−γ
(−γ+α) ◦A
−β
(−β−γ+α) = A
−β−γ
(−β−γ+α).
Logo,
Aβ+γ
(α) = (A
−β−γ
−β−γ+α)
−1 = (A−γ
(−γ+α) ◦A
−β
(−β−γ+α))
−1 = (A−β−β−γ+α)
−1 ◦ (A−γ
(−γ+α))
−1
= Aβ
(−γ+α) ◦A
γ
(α).
Resta agora considerarmos os dois casos em que β e γ tem sinais contra´rios.
Terceiro Caso: β > 0, γ ≤ 0 e α ∈ R.
Utilizando a definic¸a˜o descrita na fo´rmula (2.2.9) temos Aβ−γ+α = (A
−β
(−β−γ+α))
−1. Suponha
que β +γ > 0. Novamente, temos Aβ+γ
(α) = (A
−β−γ
(−β−γ+α))
−1. Como γ ≤ 0,−β −γ ≤ 0 e−β ≤ 0,
o Primeiro Caso com α˜ =−β − γ+α , β˜ = γ e γ˜ =−β − γ implica
Aγ
(α) ◦A
−β−γ
(−β−γ+α) = A
−β
−β−γ+α .
Logo,
Aβ+γ
(α) = (A
−β−γ
(−β−γ+α))
−1 = (A−β
(−β−γ+α))
−1 ◦Aγ
(α) = A
β
(−γ+α) ◦A
γ
(α).
Se β + γ ≤ 0, o Primeiro Caso com α˜ = α , β˜ =−β e γ˜ = β + γ implica que
A−β
(−β−γ+α) ◦A
β+γ
(α) = A
γ
(α)
e obtemos a igualdade desejada.
Quarto Caso: β ≤ 0 e γ > 0 e α ∈ R.
A demonstrac¸a˜o e´ ana´loga a do Terceiro Caso.
Sejam α , β > 0. Segue da Proposic¸a˜o 2.2.2 que a aplicac¸a˜o ϕβ−α,−α e´ bijetora de Xβ−α
46 2. O problema linear
em ϕβ−α,−α(Xβ−α). Defina a aplicac¸a˜o
A˜β
(−α) := A
β
(β−α) ◦ϕ−1β−α,−α : ϕβ−α,−α(Xβ−α)⊆ X−α → X−α . (2.2.10)
Denote por A˜(−α) = A˜1(−α). A aplicac¸a˜o A˜
β
(−α) e´ bijetora, ja´ que e´ composic¸a˜o de aplicac¸o˜es
bijetoras. Defina
A˜−β
(−α) := (A˜
β
(−α))
−1. (2.2.11)
Segue, da definic¸a˜o em (2.2.10), que
A˜−β
(−α) = ϕβ−α,−α ◦A
−β
(−α).
Lema 2.2.10. Com a notac¸a˜o introduzida acima, A˜β
(−α) e´ uma aplicac¸a˜o auto-adjunta com
respeito ao produto interno em X−α .
Demonstrac¸a˜o. Primeiramente, afirmamos que:
(R−1α ◦ϕ0,−α)(x) = A−2αx, x ∈ X , (2.2.12)
onde Rα : Xα → X−α e´ o isomorfismo de Fre´chet-Riesz. De fato, seja x ∈ X . O funcional linear
ϕ0,−α(x) : Xα → R e´ dado por ϕ0,−α(x)(y) = 〈y,x〉X , para y ∈ Xα . Por outro lado, como A e´
auto-adjunto temos
〈y,x〉X = 〈Aαy,AαA−2αx〉X = 〈y,A−2αx〉Xα .
Portanto, ϕ0,−αx(·) = 〈·,A−2αx〉Xα e, desse modo, (Rα ◦ A−2α)x = ϕ0,−α(x) e (2.2.12) esta´
demonstrada.
Fo´rmula (2.2.12) implica que para todo u, v ∈ X temos
〈ϕ0,−αu,ϕ0,−αv〉X−α = 〈A−2αu,A−2αv〉Xα = 〈A−αu,A−αv〉X . (2.2.13)
Como Aβ
(β−α) = (A
−β
(−α))
−1 e Aβ = (A−β )−1, Proposic¸a˜o 2.2.7 implica que
Aβ
(β−α) ◦ϕβ ,β−α = ϕ0,−α ◦Aβ .
2. O problema linear 47
Assim, para u ∈ Xβ , temos
(ϕ0,−α ◦Aβ )(u) = (Aβ(β−α) ◦ϕβ ,β−α)(u) = (A˜
β
(−α) ◦ϕβ−α,−α ◦ϕβ ,β−α)(u). (2.2.14)
Para u, v ∈ Xβ , defina x = ϕβ−α,−αϕβ ,β−αu e y = ϕβ−α,−αϕβ ,β−αv. E´ fa´cil ver que y =
ϕβ−α,−αϕβ ,β−αv = ϕ0,−αϕβ−α,0ϕβ ,β−αv = ϕ0,−αϕβ ,0v. Como ϕβ ,0 e´ a aplicac¸a˜o inclusa˜o
temos
〈A˜β
(−α)x,y〉X−α = 〈A−αAβu,A−αv〉X . (2.2.15)
Analogamente, obtemos
〈x, A˜β
(−α)y〉X−α = 〈A−αu,A−αAβ v〉X .
Como AαAβ = Aα+β e Aβ e´ sime´trica em X , temos
〈A˜β
(−α)x,y〉X−α = 〈AβA−αu,A−αv〉X = 〈A−αu,AβA−αv〉X = 〈x, A˜β
(−α)y〉X−α .
Ou seja, mostramos que
〈A˜β
(−α)x,y〉X−α = 〈x, A˜
β
(−α)y〉X−α , para todo x,y ∈ ϕβ−α,−α(ϕβ ,β−α(Xβ )). (2.2.16)
Por densidade e (2.2.16) segue que
〈A˜β
(−α)x,y〉X−α = 〈x, A˜
β
(−α)y〉X−α , para todox,y ∈ ϕβ ,β−α(Xβ ).
Isso mostra que A˜β
(−α) e´ auto-adjunta.
Segue do Lema 2.2.10 que A˜−β
(−α), a aplicac¸a˜o invesa de A˜
β
(−α), e´ sime´trica em X
−α .
Lema 2.2.11. Com a notac¸a˜o introduzida acima, para todo α,β ,γ ∈ (0,∞) temos
A˜−β−γ
(−α) = A˜
−β
(−α) ◦ A˜
−γ
(−α).
48 2. O problema linear
Demonstrac¸a˜o. Notemos que
A˜−β−γ
(−α) = ϕβ+γ−α,−α ◦A
−β−γ
(−α) ,
A−β
(γ−α) = ϕβ ,β+γ−α ◦A−β ◦ϕ−10,γ−α .
A igualdade da Proposic¸a˜o 2.2.9 implica que A−β−γ
(−α) = A
−β
(γ−α) ◦A
−γ
(−α). Portanto,
A˜−β−γ
(−α) = ϕβ+γ−α,−α ◦A
−β
γ−α ◦ϕ−1γ−α,−α ◦ϕγ−α,−α ◦A−γ(−α).
O lema esta´ demonstrado.
Proposic¸a˜o 2.2.12. Seja α > 0. A aplicac¸a˜o B := A˜(−α) : D(B) = ϕ1−α,−α(X1−α) ⊂ X−α →
X−α e´ auto-adjunta em X−α e reσ(B) > 0. Se β > 0, seja B−β a poteˆncia fraciona´ria ba´sica
de B de ordem −β e XβB o espac¸o de poteˆncia fraciona´ria correspondente. Enta˜o
B−β = A˜−β
(−α) e X
β
B = ϕβ−α,−α(X
β−α).
A aplicac¸a˜o ϕβ−α,−α e´ uma isometria entre os espac¸os de Hilbert Xβ−α e X
β
B .
Demonstrac¸a˜o. Como reσ(A)> 0, existe um δ > 0 tal que 〈Ax,x〉X ≥ δ 〈x,x〉X , para todo x∈X .
As igualdades (2.2.14) e (2.2.15) implicam que para u ∈ X1 e x = ϕ1−α,−αϕ1,1−αu temos
〈A˜1(−α)x,x〉X−α = 〈A−αu,A1A−αu〉X ≥ δ 〈A−αu,A−αu〉X = δ 〈x,x〉X−α .
Logo, pela densidade de ϕ1,1−α(X1) em ϕ1−α,−α(X1−α) = D(A˜1(−α)), obtemos
reσ(A˜1(−α)) > 0. Portanto B := A˜(−α) gera a famı´lia B
−β , β > 0, de espac¸os de poteˆncias
fraciona´rias de B. Portanto
B−β−γ = B−β ◦B−γ , β , γ ∈ (0,∞). (2.2.17)
Afirmamos que
B−β = A˜−β
(−α), para todo β > 0. (2.2.18)
De fato, seja Z o conjunto formado por β ∈ (0,∞) tal que B−β = A˜−β
(−α). E´ fa´cil ver que
1 ∈ Z e usando um argumento de induc¸a˜o, a igualdade (2.2.17) e o Lema 2.2.11, mostramos
2. O problema linear 49
que Z conte´m todos os nu´meros inteiros.
Como um operador sime´trico na˜o-negativo definido em espac¸os de Hilbert possui uma u´nica
raiz quadrada na˜o-negativa, novamente um argumento de induc¸a˜o (em k ∈ N) implica que Z
conte´m todos os nu´meros da forma m/2k, com m, k ∈ N. Defina Z0 = {m/2k | m,k ∈ N}. Logo
Z0 e´ denso em (0,∞). Dado β > 0 seja (βn)n uma sequeˆncia em Z0 tal que βn → β quando
n→ ∞.
Utilizando a igualdade (1.5.3), temos
B−βnx =
1
Γ(βn)
∫ 1
0
tβn−1e−Btxdt, para cada n ∈ N e x ∈ X−α ,
B−β x =
1
Γ(β )
∫ 1
0
tβ−1e−Btxdt para cada x ∈ X−α .
Portanto,
B−βnx−B−β x = 1
Γ(βn)Γ(β )
[∫ 1
0
(Γ(β )tβ−1−Γ(βn)tβ−1)e−Btxdt
]
.
Logo, para cada x ∈ X−α ,
|B−βnx−B−β x|X−α → 0, quando n→ ∞.
Analogamente mostramos que para cada x ∈ X
|A−βnx−A−β x|X → 0, quando n→ ∞.
Seja u∈X . Como A˜−βn
(−α)ϕ0,−αu=ϕ0,−αA
−βnu para todo n∈N e A˜−β
(−α)ϕ0,−αu=ϕ0,−αA
−βu
obtemos
|B−βnϕ0,−αu−B−βϕ0,−αu|X−α → 0, quando n→ ∞.
Tambe´m |A−βnu−A−βu|X→ 0, quando n→∞, e desse modo |ϕ0,−αA−βnx−ϕ0,−αA−βu|X−α →
0, quando n→ ∞. Portanto,
|A˜−βn
(−α)ϕ0,−αu− A˜
−β
(−α)ϕ0,−αu|X−α → 0, u ∈ X .
50 2. O problema linear
Recordemos que βn ∈ Z0 para todo n ∈N. Logo B−βn = A˜−βn(−α), para todo n ∈N e segue que
B−βϕ0,−αu = A˜
−β
(−α)ϕ0,−αu, para todo u ∈ X .
Como o conjunto ϕ0,−α(X) e´ denso em X−α , temos β ∈ Z e isto prova nossa afirmativa. A
igualdade (2.2.18) implica que XβB = ϕβ−α,−α(X
β−α).
Afirmamos agora para todo β > 0, ϕβ−α,−α e´ uma isometria de Xβ−α em X
β
B . De fato,
sejam x˜, y˜ ∈ Xβ−α arbitra´rios e defina x = ϕβ−α,−α x˜ e y = ϕβ−α,−α y˜.
Consideremos primeiro o caso em que existam u, v ∈ Xβ tais que x˜ = ϕβ ,β−αu e y˜ =
ϕβ ,β−αv. Como A
β
(β−α)ϕβ ,β−α = ϕ0,−αA
β , temos
Bβ x = A˜β
(−α)x = A
β
(β−α)ϕ
−1
β−α,−αϕβ−α,−α x˜
= Aβ
(β−α)ϕβ ,β−αu = ϕ0,−αA
βu.
Analogamente mostramos que Bβ y = ϕ0,−αAβ v. Usando (2.2.13) temos
〈x,y〉
XβB
= 〈Bβ x,Bβ y〉X−α = 〈ϕ0,−αAβu,ϕ0,−αAβ v〉X−α
= 〈A−αAβu,A−αAβ v〉X = 〈Aβ−αu,Aβ−αv〉X .
Agora, se β −α ≥ 0, como ϕβ ,β−α e´ uma aplicac¸a˜o inclusa˜o, temos
〈Aβ−αu,Aβ−αv〉X = 〈u,v〉Xβ−α = 〈x˜, y˜〉Xβ−α .
Por outro lado, se β −α < 0, temos
〈Aβ−αu,Aβ−αv〉X = 〈A−(α−β )u,A−(α−β )v〉X
= 〈ϕ0,−(α−β )u,ϕ0,−(α−β )v〉X−(α−β ) = 〈x˜, y˜〉X−(α−β ).
Portanto, em ambas as situac¸o˜es, temos 〈x,y〉
XβB
= 〈x˜, y˜〉Xβ−α . O caso geral segue do fato do
conjunto ϕβ ,β−α(Xβ ) ser denso em Xβ−α e do primeiro caso. Concluı´mos a demonstrac¸a˜o da
proposic¸a˜o.
2. O problema linear 51
Proposic¸a˜o 2.2.13. Se α ∈ [0,1/2), x ∈ X1−α e v ∈ X1/2 ⊆ Xα , temos
(A(1−α)x).v = 〈x,v〉X1/2,
onde o ponto ‘.’ denota a func¸a˜o avaliac¸a˜o entre um elemento de X−α e Xα .
Demonstrac¸a˜o. Suponha que x ∈ X1. Segue da Proposic¸a˜o 2.2.7 que
A(1−α)x = ϕ0,−αAx.
O Teorema de Freche´t-Riesz e a fo´rmula (2.2.12) implicam que para todo v ∈ X1/2 temos
(
A(1−α)x
)
.v = 〈v,R−1α
(
A(1−α)x
)〉α = 〈v,R−1α ϕ0,−αAx〉α
= 〈v,A−2αAx〉α = 〈Aαv,AαA−2αAx〉X
= 〈v,Ax〉X = 〈v,x〉X1/2 .
Portanto, o resultado esta´ demonstrado sempre que x ∈ X1. O caso geral segue da densidade de
X1 em X1−α e em X1/2.
2.3 O problema linear abstrato
Vamos agora analisar o problema linear abstrato associado a` equac¸a˜o (ERD).
Nesta sec¸a˜o vamos assumir treˆs hipo´teses ba´sicas para desenvolver nosso trabalho.
(HL1) Sejam a0, a1 ∈ (0,∞) constantes positivas e para cada i, j= 1 . . . ,N consideremos func¸o˜es
ai j : Ω→ R, em L∞(Ω) tais que ai j = a ji e para qualquer que seja ξ ∈ RN e para quase
todo x ∈Ω suponha que
a0|ξ |2 ≤
N
∑
i, j=1
ai j(x)ξiξ j ≤ a1|ξ |2. (2.3.1)
No que seja utilizaremos a notac¸a˜o A(x) := (ai j(x))Ni, j=1, x ∈Ω.
52 2. O problema linear
(HL2) Seja β : Ω→ R uma func¸a˜o mensura´vel tal que para todo ε > 0 existe uma constante
Cε ≥ 0 tal que∣∣∣|β |1/2u∣∣∣2
L2(Ω)
≤ ε|u|2H1(Ω)+Cε |u|2L2(Ω), para todo u ∈ H10 (Ω). (2.3.2)
(HL3) Suponhamos tambe´m que
λ1 := inf
{∫
Ω
[ N
∑
i, j=1
ai j∂iu∂ ju+β |u|2
]
dx | u ∈ H10 (Ω), |u|L2 = 1
}
> 0.
Podemos dizer que a Hipoo´tese (HL3) significa que a soluc¸a˜o do problema estaciona´rio
−Lu+β (x)u = 0
em Ω com potencial β e com condic¸o˜es de fronteira de Dirichlet possui energia positiva.
Suponha que as Hipo´teses (HL1), (HL2) e (HL3) sejam va´lidas. Consideremos o espac¸o
das distribuic¸o˜es em Ω, D ′(Ω), e o operador L: H10 (Ω)→D ′(Ω) definido por
Lu =
N
∑
i, j=1
∂i(ai j∂ ju), u ∈ H10 (Ω).
A definic¸a˜o de derivadas de distribuic¸o˜es implica que
(Lu−βu)(v) =−
∫
Ω
[
N
∑
i, j=1
ai j∂iu∂ jv+βuv
]
dx, u ∈ H10 (Ω), v ∈D(Ω). (2.3.3)
Segue por densidade, de H10 (Ω) em L
2(Ω) e de D(Ω) em H10 (Ω), que
〈Lu−βu,v〉L2(Ω) =−
∫
Ω
[
N
∑
i, j=1
ai j∂iu∂ jv+βuv
]
dx (2.3.4)
para u,v ∈ H10 (Ω) com Lu−βu ∈ L2(Ω).
Lema 2.3.1. Assuma as Hipo´teses (HL1), (HL2) e (HL3). Seja κ ∈ [0,λ1) arbitra´rio. Para cada
ε ∈ (0,a0), existe um ρ ∈ (0,1) tal que c :=min{ρ(a0−ε),(1−ρ)(λ1−κ)−ρ(ε+Cε+κ)}>
2. O problema linear 53
0 e
c
(
|∇u|2L2(Ω)+ |u|2L2(Ω)
)
≤
∫
Ω
[
N
∑
i, j=1
ai, j∂iu∂ ju+(β −κ)|u|2
]
dx
≤C
(
|∇u|2L2(Ω)+ |u|2L2(Ω)
)
, u ∈ H10 (Ω),
onde C := max{a1+ ε,ε+Cε}.
Demonstrac¸a˜o. Seja ε ∈ (0,a0). Como a0− ε > 0 temos que
0 <
λ1−κ
(λ1−κ)+(ε+κ+Cε)
< 1.
Seja ρ ∈ R tal que
0 < ρ <
λ1−κ
(λ1−κ)+(ε+κ+Cε)
< 1.
Com esta escolha de ρ ∈ (0,1) temos que
(1/ρ−1)(λ1−κ)> (ε+κ+Cε)
e, portanto, c > 0. Note que, a definic¸a˜o λ1 na Hipo´tese (HL3) implica que qualquer que seja
u ∈ H10 (Ω) temos
λ1|u|2L2(Ω) ≤
∫
Ω
[
N
∑
i, j=1
ai j∂iu∂ ju+β |u|2
]
dx.
Logo,
∫
Ω
[
N
∑
i, j=1
∂iu∂ ju+(β −κ)|u|2]dx≥ ρa0|∇u|2L2 +ρ
∫
Ω
(β −κ)|u|2dx+
+(1−ρ)λ1|u|2+(1−ρ)
∫
Ω
κ|u|2dx
= ρa0|∇u|2L2(Ω)+(1−ρ)(λ1−κ)|u|2L2(Ω)+ρ
∫
Ω
(β −κ)|u|2dx
≥ ρa0|∇u|2L2(Ω)+(1−ρ)(λ1−κ)|u|2L2(Ω)−ρε|u|2H1(Ω)