Exercicios 2

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Derivadas Parciais 
 
1. Seja f(x,y)=3 x3y2. Determine 
a) fx(x,y), b) fy(x,y), c) fx(1,y), d) fx(x,1), 
 
 
2. Seja )2ln(),( 2 xyxyxf += . Calcular 
x
f
∂
∂
e 
y
f
∂
∂
 
 
3. Seja z=sen(y2-4x). 
a) Determine a taxa de variação de z em relação a x no ponto (2,1) com y fixado. 
 
b) Determine a taxa de variação de z em relação a y no ponto (2,1) com x fixado. 
 
4. Ache a inclinação da reta tangente à curva de interseção a superfície 22 yxz += com o 
plano 1=y , no ponto (2,1,5). 
 
5. Seja w=y ez sen(xz). Determine a) wx, b)wy e c) wz 
 
6. Um ponto move-se ao longo da interseção do paraboloide elíptico z=x2+3y2 e do plano 
y=1. Qual é a taxa de variação de z em relação a x quando o ponto estiver em (2,1,7)? 
 
7. O volume V de um cilindro circular reto é dado pela fórmula hrV 2pi= onde r é raio e h 
a altura. 
a) Determine uma fórmula para a taxa de variação instantânea de V em relação a r se r 
variar e h permanecer constante. 
b) Determine uma fórmula para a taxa de variação instantânea de V em relação a h se h 
variar e r permanecer constante. 
c) Suponha que h tenha um valor constante de 4pol, mas que r varie. Determine a taxa 
de variação de V em relação a r no ponto onde r=6pol. 
 
8. Derivando implicitamente, determine a inclinação do hiperboloide 1222 =−+ zyx na 
direção x no ponto )62,4,3( 
 
9. Calcule 
x
z
∂
∂
 e 
y
z
∂
∂
usando diferenciação implícita. 
a) 1)( 2/3222 =++ zyx 
b) 0)sin(2 =+ xyzzx 
 
10. Dado f(x,y)=excos(y). Mostrar que 
xy
f
yx
f
∂∂
∂
=
∂∂
∂ 22
 
 
11. Encontre o diferencial total ( dz ) de 22 yxz += 
 
 
12. Calcular dtdz / se: 223 ),cos(, tytxez yx === + 
 
13. Determinar dxdz / se yxez = onde )(xy ϕ= 
 
14. O lado de um retângulo x-20m aumenta numa velocidade de 5m/s. O outro lado y=30m 
diminui numa velocidade de 4m/s. Qual é a taxa de cambio do perímetro do retângulo? 
 
15. Duas rodovias intersectam em um ângulo reto. O carro A, movendo-se sobre uma das 
rodovias, aproxima-se da interseção a 25 km/h, o carro B, movendo-se sobre a outra 
rodovia, aproxima-se da interseção a 30 km/h. Com que taxa está variando a distancia 
entre os carros quando A está a 0,3 km da interseção e B a 0,4 km da interseção. 
 
16. Encontrar a derivada direcional de xyxyxf 43),( 22 +−= na direção do vetor 
jiU
6
sin
6
cos
pipi
+= 
 
17. Dada yxyxyxf −+−= 32),( 22 . Ache o valor máximo de fDU no ponto (1,-2). 
 
18. A temperatura em cada ponto (x,y) de uma placa retangular situada no plano xy, é 
determinada por .),( 22 yxyxT += 
a) Ache a taxa de variação da temperatura no ponto (3,4) na direção e sentido que fazem 
um ângulo de 60o com o eixo x positivo. 
b) Ache a direção e sentido em que a taxa de variação da temperatura no ponto (1,1) é 
máxima. 
 
19. Dada 222 23),,( zyzyxyxzyxf +−−+= ache a taxa de variação de ),,( zyxf em (1,-
2,-1) na direção e sentido do vetor V=(2,-2,-1). 
 
20. Se V(x,y,z) volts for o potencial elétrico num ponto (x,y,z) do espaço tridimensional e 
222
1),,(
zyx
zyxV
++
= , determine: 
a) A taxa de variação de V no ponto (2,2,-1), na direção e sentido do vetor (2,-3,6). 
b) A direção e sentido em que se dá a maior taxa de variação de V em (2,2,-1). 
 
21. Determine o plano tangente ao paraboloide 222 yxz += no ponto (1,1,3). 
 
22. Determine as equações do plano tangente e a reta normal no ponto (-2,1,-3) ao elipsoide 
3
94
2
2
2
=++
zyx 
 
23. Encontre o plano tangente e a reta normal à superfície 0922 =−++ zyx no ponto 
(1,2,4) 
 
24. Encontre a reta tangente à curva de interseção do cilindro 0222 =−+ yx e o plano 
04 =−+ zx em P0(1,1,3). 
 
25. Encontre uma aproximação (linearização) de 3
2
1),( 22 ++−= yxyxyxf na vizinhança 
do ponto (3,2). 
 
26. Calcule aproximadamente o valor de 01,302,1 
 
27. Calcular aproximadamente: 
a) 1,023 b) 0,972 c) 22 )93,2()05,4( +