Oscilações Forçadas

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Aula 4
1.4 - Oscilações Forçadas
Quando um sistema é submetido a uma série de impulsos periódicos, 
isto é, quando sobre o sistema atua uma força diretriz, de variação 
senoidal com tempo, dizemos que o Movimento é Harmônico 
Forçado.
A força diretriz é da forma:
tsinFF dmáx ω=
A força resultante sobre o corpo que vibra será a soma das forças 
diretriz periódica, restauradora elástica e de atrito.
Logo pela 2ª lei de Newton, tem-se:
mabvkxtsinF dmáx =−−ω
ou,
tsinFkx
dt
dxb
dt
xd
m dmáx ω=++2
2
(eq. 1)
(eq. 2)
(eq. 3)
Onde Fmáx é o módulo máximo da força e ωd é a freqüência angular
da força diretriz
A expressão que mostra como a amplitude A da oscilação depende da 
freqüência angular de uma força diretriz senoidal, que possui um valor 
máximo Fmáx, é da forma:
2222 )( dd
máx
bmk
FA
ωω +−
= (eq. 4)
A variação da amplitude com a freqüência da força diretriz:
• Quando ωd diminuir muito (i.é., quando a força diretriz oscilar 
ligeiramente), tem-se:
k
FA máx
d
=→0ω
Neste caso, o corpo é simplesmente impelido para frente e para trás, 
até a distância máxima, a qual a Fmáx pode distender a mola de 
constante k.
• Quando a freqüência ωd crescer muito, o termo ωdm também aumentará, 
tem-se:
m
FA
d
máx
d 2ωω
=
∞→
Quando variamos a freqüência angular ωd da força diretriz, a amplitude da 
oscilação forçada resultante varia conforme mostra a figura abaixo.
Ressonância
Consideremos, agora, o caso particular em que não há amortecimento, isto é,
b = 0. Se a freqüência diretriz equivaler à natural ωo do sistema, isto é, quando
O denominador da (eq. 4) se anulará e a amplitude a torna-se infinita. Em 
sistema real, a amplitude não atingirá o infinito, pois existe sempre algum 
amortecimento.
od mk ωω == /
Na freqüência ressonante, a amplitude será limitada apenas pelo grau no qual a
força dissipativa possa estar apta para se desfazer da energia ou pela própria
destruição do sistema.
Exemplo 1:
Um corpo de m = 2 kg oscila preso a certa mola com constante de 
força k = 400 n/m. a constante de amortecimento tem o valor 
b = 2,00 kg/s. o sistema é excitado por uma força senoidal cujo 
valor máximo é de 10 N e a freqüência angular ωd = 10 rad/s.
pedem-se:
(a) Qual a amplitude da oscilação?
(b) Se a freqüência de excitação variar, em que freqüência 
ocorrerá a ressonância?
(c) Qual a amplitude das oscilações na ressonância?
Exemplo 2:
Suponha que um oscilador forçado seja descrito por 
m = 0,050 kg, Fmáx = 1,0 N, ωo = 25 rad/s e α = 1,8 s-1. Calcule a amplitude 
do oscilador:
(a) Em ressonância.
(b) Quando impulsionado em ωd = 50 rad/s.