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Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3
Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3
Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes
julio.lombaldo@ufrgs.br
Semana 7: 19 - 23 de Novembro de 2012
Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Me´todo de Simpson com Exatida˜o Crescente
Exemplo 1:
Voltando ao exemplo de aproximar a integral∫ 1
0
1
1 + x
dx
Podemos realizar a correc¸a˜o por exatida˜o crescente a partir de
h = 0.2.
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Me´todo de Simpson com Exatida˜o Crescente
Vamos primeiro aproximar a integral por trape´zios com h = 0.2,
isto e´,
n =
xn − x0
h
=
1− 0
0.2
= 5
Logo ∫ 1
0
1
1 + x
dx ≈ h
[y0
2
+ y1 + y2 + y3 + y4 +
y5
2
]
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Me´todo de Simpson com Exatida˜o Crescente
onde, substituindo os valores de y , teremos que
∫ 1
0
1
1 + x
dx ≈ 0.2
[
1
2
+ 1/1.2 + 1/1.4 + 1/1.6 + 1/1.8 +
1/2
2
]
︸ ︷︷ ︸
T (f ,0.2)
que resulta em
T (f , 0.2) = 0.695635
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Me´todo de Simpson com Exatida˜o Crescente
Agora, aproximando a integral por trape´zios com h = 0.1, isto e´,
n =
xn − x0
h
=
1− 0
0.1
= 10
Logo ∫ 1
0
1
1 + x
dx ≈ h
[y0
2
+ y1 + ...+ y9 +
y10
2
]
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Me´todo de Simpson com Exatida˜o Crescente
onde, substituindo os valores de y , teremos que
∫ 1
0
1
1 + x
dx ≈ 0.1
[
1
2
+ 1/1.1 + 1/1.2 + ...+ 1/1.8 + 1/1.9 +
1/2
2
]
︸ ︷︷ ︸
T (f ,0.1)
que resulta em
T (f , 0.1) = 0.693771
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Me´todo de Simpson com Exatida˜o Crescente
Como visto anteriormente, o erro estimado e´
≈ T (f , h/2)− T (f , h)
3
=
0.693771− 0.695635
3
= −0.0006
com h = 0.2, e que resulta em uma correc¸a˜o de
Tcorrigido(f , h/2) =
4T (f , h/2)− T (f , h)
3
=
4× 0.693771− 0.695635
3
= 0.693150
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Me´todo de Simpson com Exatida˜o Crescente
Exemplo 2:
Utilizando a correc¸a˜o com integrais aproximadas por Simpson,
temos por exemplo, a integral∫ 0.5
0
1√
1− x2 dx
Podemos realizar a correc¸a˜o por exatida˜o crescente a partir de
h = 0.25.
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Me´todo de Simpson com Exatida˜o Crescente
Vamos primeiro aproximar a integral por Simpson com h = 0.25,
isto e´,
n =
xn − x0
h
=
0.5− 0
0.25
= 2
Logo ∫ 0.5
0
1√
1− x2 dx ≈
h
3
[y0 + 4y1 + y2]
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Me´todo de Simpson com Exatida˜o Crescente
onde, substituindo os valores de y , teremos que∫ 0.5
0
1√
1− x2 dx ≈
0.25
3
[1 + 4× 1.03279 + 1.15470]︸ ︷︷ ︸
S(f ,0.25)
que resulta em
S(f , 0.25) = 0.523824
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Me´todo de Simpson com Exatida˜o Crescente
Agora, aproximando a integral por Simpson com h = 0.125, isto e´,
n =
xn − x0
h
=
0.5− 0
0.125
= 4
Logo ∫ 0.5
0
1√
1− x2 dx ≈
h
3
[y0 + 4(y1 + y3) + 2(y2) + y4]
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Me´todo de Simpson com Exatida˜o Crescente
onde, substituindo os valores de y , teremos que
∫ 0.5
0
1√
1− x2 dx ≈
0.125
3
[1 + 4(1.007905 + 1.07871) + 2(1.03279) + 1.15470]︸ ︷︷ ︸
S(f ,0.125)
que resulta em
S(f , 0.125) = 0.523616
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Me´todo de Simpson com Exatida˜o Crescente
Como visto anteriormente, o erro estimado e´
≈ S(f , h/2)− S(f , h)
15
=
0.523616− 0.523824
15
= 1.38× 10−5
com h = 0.25, e que resulta em uma correc¸a˜o de
Scorrigido(f , h/2) =
16S(f , h/2)− S(f , h)
15
=
16× 0.523616− 0.523824
15
= 0.523599
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Mudanc¸a do Intervalo de Integrac¸a˜o
Mudanc¸a do Intervalo de Integrac¸a˜o:
Trabalharemos com uma mudanc¸a linear de varia´veis que
possibilite uma integrac¸a˜o nume´rica mais acess´ıvel.
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Mudanc¸a do Intervalo de Integrac¸a˜o
Supondo primeiramente que a mudanc¸a e´ de tal forma que
desejamos ter ∫ b
a
f (x)dx →
∫ d
c
f (t)dt
e que vamos aproximar esta u´ltima integral por∫ d
c
f (t)dt ≈
∑
Ai f (ti )
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Mudanc¸a do Intervalo de Integrac¸a˜o
A mudanc¸a adequada neste caso e´ dada por
λ(t) =
b − a
d − c t +
ad − bc
d − c , c ≤ t ≤ d
pois neste caso, temos que
λ(c) = a→ λ−1(a) = c
λ(d) = b → λ−1(b) = d
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Mudanc¸a do Intervalo de Integrac¸a˜o
Tambe´m podemos notar que
x = λ(t)→ dx = λ′(t)dt → dx = b − a
d − c dt
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Mudanc¸a do Intervalo de Integrac¸a˜o
Logo a integral anteriormente escrita como∫ b
a
f (x)dx
podera´ ser escrita como
∫ b
a
f (x)dx =
b − a
d − c
∫ λ−1(b)=d
λ−1(a)=c
f (λ(t))dt
≈ b − a
d − c
∑
Ai f (λ(ti ))
precisamos apenas definir λ(t) linear, de maneira que f (λ(t))
tenha o mesmo grau.
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Mudanc¸a do Intervalo de Integrac¸a˜o
Exemplo:
Podemos por exemplo calcular a integral∫ 1.5
0.5
e−x
2
dx
utilizando uma mudanc¸a de varia´veis tomando c = 0, d = 1, por
exemplo. Assim, teriamos
∫ 1.5
0.5
f (x)dx =
1.5− 0.5
1− 0
∫ λ−1(1.5)=1
λ−1(0.5)=0
f (λ(t))dt
≈ 1.5− 0.5
1− 0
∑
Ai f (λ(ti ))
=
∑
Ai f (ti + 0.5)
que tera´ que ter o mesmo valor.
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Integrac¸a˜o Exata de Polinoˆmios
Integrac¸a˜o Exata de Polinoˆmios:
Aqui, estamos nos referindo a integrac¸a˜o nume´rica cujo erro e´ nulo.
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Integrac¸a˜o Exata de Polinoˆmios
Por exemplo, no caso de integrarmos um polinoˆmio de grau 1 via
regra dos trape´zios, evidentemente que teremos uma integrac¸a˜o
exata, pois o erro associado a este caso e´ ...
ET = −xn − x0
12
h2y ′′(ξ), ξ ∈ (x0, xn)
Logo, se integramos um polinoˆmio de grau 1, temos
y ′′(x) = 0⇒ ET = 0.
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Integrac¸a˜o Exata de Polinoˆmios
Outro caso e´ quando integrarmos um polinoˆmio de grau 3 via regra
dos Simpson, evidentemente que teremos uma integrac¸a˜o exata,
pois o erro associado a este caso e´ ...
ES = −xn − x0
180
h4y (4)(ξ), ξ ∈ (x0, xn)
Logo, se integramos um polinoˆmio de grau 3, temos
y (4)(x) = 0⇒ ES = 0.
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Integrac¸a˜o Exata de Polinoˆmios
Primeiramente, vamos tomar a mudanc¸a de varia´veis λ(t) com
c = −1, d = 1, isto e´,
λ(t) =
b − a
2
t +
b + a
2
e assim poderemos fazer∫ b
a
f (x)dx =
b − a
2
∫ 1
−1
f (λ(t))dt
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Integrac¸a˜o Exata de Polinoˆmios
Enta˜o, como acabamos de ver que a integrac¸a˜o de p3 e´ exata por
Simpson, por exemplo, se p3 e´
p3(t) = a3t
3 + a2t
2 + a1t + a0
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Integrac¸a˜o Exata de Polinoˆmios
Tanto por
∫ 1
−1
p3(t)dt =
a3t
4
4
+
a2t
3
3
+
a1t
2
2
+ a0t
]1
−1
=
3
2
a2 + 2a0
quanto por simpson com h = 1
∫ 1
−1
p3(t)dt =
1
3
[p3(−1) + 4p3(0) + p3(1)]
=
3
2
a2 + 2a0
tera˜o o mesmo valor.
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Integrac¸a˜o Exata de Polinoˆmios
A ide´ia, e´ expressar a integrac¸a˜o nume´rica de um polinoˆmio de
como uma combinac¸a˜o linear dos coeficientes A’s. Por exemplo,
neste u´ltimo caso temos∫ 1
−1
p3(t)dt = A1p3(−1) + A2p3(0) + A3p3(1)
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Integrac¸a˜o Exata de Polinoˆmios
Podemos ver que
∫ 1
−1
dt = A1p0(−1) + A2p0(0) + A3p0(1) = A1 + A2 + A3 = 2∫ 1
−1
tdt = A1p1(−1) + A2p1(0) + A3p1(1) = −A1 + A3 = 0∫ 1
−1
t2dt = A1p2(−1) + A2p2(0) + A3p2(1) = A1 + A3 = 2/3∫ 1
−1
t3dt = A1p3(−1) + A2p3(0) + A3p3(1) = −A1 + A3 = 0
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Integrac¸a˜o Exata de Polinoˆmios
de forma que teremos um sistema a ser resolvido para A1,A2,A3,
cuja soluc¸a˜o e´ dada por A1 = 1/3,A2 = 4/3,A3 = 1/3. Que neste
caso coincide com a regra de Simpson.
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Integrac¸a˜o Exata de Polinoˆmios
Podemos pensar de forma geral, por exemplo para um polinoˆmio
de grau n − 1?
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Integrac¸a˜o Exata de Polinoˆmios
Sim!
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Integrac¸a˜o Exata de Polinoˆmios
Sendo assim, gostariamos de calcular os coeficientes Ai ’s tais que∫ 1
−1
f (t)dt ≈ A1f (t1) + A2f (t2) + ...+ Anf (tn)
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Integrac¸a˜o Exata de Polinoˆmios
Para este caso, teriamos enta˜o que
∫ 1
−1
dt = A1 + A2 + ...+ An = 2∫ 1
−1
tdt = A1t1 + A2t2 + ...+ Antn = 0∫ 1
−1
t2dt = A1t
2
1 + A2t
2
2 + ...+ Ant
2
n = 2/3
... =
...∫ 1
−1
tn−1dt = A1tn−11 + A2t
n−1
2 + ...+ Ant
n−1
n =
{
2/n, n impar
0, n par
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Integrac¸a˜o Exata de Polinoˆmios
Logo, teriamos o seguinte sistema a ser resolvido ...

1 1 1 · · · 1
t1 t2 t3 · · · tn
t21 t
2
2 t
2
3
...
...
...
. . .
...
tn−11 t
n−1
2 t
n−1
n


A1
A2
...
An
 =

2
0
2/3
...
2/n ou 0

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Integrac¸a˜o Nume´rica
Quadratura Gaussiana
Quadratura Gaussiana (Gauss-Legendre):
Todas formas de integrac¸a˜o anteriores sa˜o denominadas formas de
Newton-Cotes. A quadratura Gaussiana consiste em uma fo´rmula
de maior precisa˜o para aproximar∫ 1
−1
f (t)dt ≈ A1f (t1) + ...+ Anf (tn)
onde t1, t2, ..., tn ∈ [−1, 1] sa˜o as ra´ızes do Polinoˆmio de Legendre.
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Quadratura Gaussiana
mas quais sa˜o os Polinoˆmios de Legendre?
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Quadratura Gaussiana
Definic¸a˜o do Polinoˆmio de Legendre:
Pn(x) =
1
2nn!
dn
dxn[(x2 − 1)n]
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Quadratura Gaussiana
Propriedades dos Polinoˆmios de Legendre:
Tem n ra´ızes reais em (-1,1).
1
2nn! determina os valores nos extremos no intervalo [−1, 1].∫ 1
−1 x
kPn(x)dx , k = 1, 2, 3, ..., n − 1 e´ nula.∫ 1
−1 q(x)Pn(x)dx e´ nula para toda q(x) com grau menor que
n.
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Quadratura Gaussiana
Propriedades dos Polinoˆmios de Legendre:
Tem n ra´ızes reais em (-1,1).
1
2nn! determina os valores nos extremos no intervalo [−1, 1].∫ 1
−1 x
kPn(x)dx , k = 1, 2, 3, ..., n − 1 e´ nula.∫ 1
−1 q(x)Pn(x)dx e´ nula para toda q(x) com grau menor que
n.
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Quadratura Gaussiana
Propriedades dos Polinoˆmios de Legendre:
Tem n ra´ızes reais em (-1,1).
1
2nn! determina os valores nos extremos no intervalo [−1, 1].∫ 1
−1 x
kPn(x)dx , k = 1, 2, 3, ..., n − 1 e´ nula.∫ 1
−1 q(x)Pn(x)dx e´ nula para toda q(x) com grau menor que
n.
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Quadratura Gaussiana
Propriedades dos Polinoˆmios de Legendre:
Tem n ra´ızes reais em (-1,1).
1
2nn! determina os valores nos extremos no intervalo [−1, 1].∫ 1
−1 x
kPn(x)dx , k = 1, 2, 3, ..., n − 1 e´ nula.∫ 1
−1 q(x)Pn(x)dx e´ nula para toda q(x) com grau menor que
n.
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Quadratura Gaussiana
Alguns dos Polinoˆmios de Legendre:
Como a definic¸a˜o do Polinoˆmio de Legendre de ordem n e´ dada
por ...
Pn(x) =
1
2nn!
dn
dxn
[(x2 − 1)n]
Temos que
P1(x) = x
P2(x) =
1
2
(3x2 − 1)
P3(x) =
1
2
x(5x2 − 3)
... =
...
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Quadratura Gaussiana
Fo´rmulas de Gauss-Legendre:
Em [−1, 1] sa˜o considerados os pontos (no´s) t1, t2, ..., tn ∈ (−1, 1)
que sa˜o ra´ızes de Pn(x).
Precisamos obter A1,A2, ...,An, resolvendo sistema anterior.
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Quadratura Gaussiana
Exemplo:
Determinar a fo´rmula de Gauss-Legendre para 3 pontos de
integrac¸a˜o aplicada ao intervalo [−1, 1].
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Quadratura Gaussiana
Neste caso, temos 3 no´s, isto e´, 3 ra´ızes de P3(x), que neste caso
sa˜o t1 = −
√
3/5, t2 = 0, t3 =
√
3/5. Assim, temos que resolver o
sistema  1 1 1t1 t2 t3
t21 t
2
2 t
2
3
 A1A2
A3
 =
 20
2/3

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Integrac¸a˜o Nume´rica
Quadratura Gaussiana
Substituindo os valores de t1, t2, t3, temos que 1 1 1−√3/5 0 √3/5
3/5 0 3/5
 A1A2
A3
 =
 20
2/3

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Integrac¸a˜o Nume´rica
Quadratura Gaussiana
Este sistema tem como soluc¸a˜o
A1 = 5/9
A2 = 8/9
A3 = 5/9
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Quadratura Gaussiana
Sendo assim, aproximariamos
∫ 1
−1 f (t)dt com 3 no´s por
∫ 1
−1
f (t)dt ≈ A1f (t1) + A2f (t2) + A3f (t3)
=
5
9
f (−
√
3/5) +
8
9
f (0) +
5
9
f (
√
3/5)
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Quadratura Gaussiana
Evidente que podemos proceder de maneira similar e obter uma
aproximac¸a˜o por Gauss-Legendre usando um nu´mero de maior de
’no´s’. Assim, teriamos uma forma geral de aproximac¸a˜o dada por∫ b
a
f (x)dx =
b − a
2
∫ 1
−1
f (λ(t))dt
onde λ(ti ) =
b−a
2 ti +
b+a
2 e
b − a
2
∫ 1
−1
f (λ(t))dt =
b − a
2
∑
Ai f (λ(ti ))
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Quadratura Gaussiana
Pore´m usando n no´s teremos valores para ti e para Ai diferentes
em cada caso, como mostra a tabela
tk Ak k
-0.57735027 1.000000 1
0.57735027 1.000000 2
-0.7745966 0.555555 1
0.0000000 0.888888 2
0.7745966 0.555555 3
-0.861136 0.347854 1
-0.339981 0.652145 2
0.339981 0.347854 3
0.861136 0.652145 4
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Quadratura Gaussiana
de uma maneira mais geral,
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Quadratura Gaussiana
Exemplo 1:
Aproxime a integral ∫ 1
0
1
1 + x
dx
utilizando a quadratura gaussiana com 3 pontos.
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Quadratura Gaussiana
Aproximaremos enta˜o
∫ 1
0
1
1 + x
dx ≈ b − a
2
[A1f (λ(t1)) + A2f (λ(t2)) + A3f (λ(t3))]
=
1− 0
2
[
5
9
1
1 + λ(t1)
+
8
9
1
1 + λ(t2)
+
5
9
1
1 + λ(t3)
]
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Quadratura Gaussiana
Aqui, como teremos 3 pontos, enta˜o
t1 = −0.774596
t2 = 0.000000
t3 = 0.774596
⇒

λ(t1) =
1
2 t1 +
1
2 = 0.112702
λ(t2) =
1
2 t2 +
1
2 = 0.500000
λ(t3) =
1
2 t3 +
1
2 = 0.887298
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Quadratura Gaussiana
Assim, aproximamos
∫ 1
0
1
1+x dx , por
≈ 1− 0
2
[
5
9
1
1 + λ(t1)
+
8
9
1
1 + λ(t2)
+
5
9
1
1 + λ(t3)
]
=
1
2
[
5
9
1
1 + 0.112702
+
8
9
11 + 0.500000
+
5
9
1
1 + 0.887298
]
= 0.693142
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Quadratura Gaussiana
Exemplo 1:
Aproxime a integral ∫ 3
0.5
ln (1 + x)
x
dx
utilizando a quadratura gaussiana com 4 pontos.
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Quadratura Gaussiana
Aproximaremos
∫ 3
0.5
ln (1+x)
x dx enta˜o por
≈ b − a
2
[A1f (λ(t1)) + A2f (λ(t2)) + A3f (λ(t3)) + A4f (λ(t4))]
=
3− 0.5
2
[
0.347854
ln 1 + λ(t1)
λ(t1)
+ 0.652145
ln 1 + λ(t2)
λ(t2)
+ 0.652145
ln 1 + λ(t3)
λ(t3)
+ 0.347854
ln 1 + λ(t4)
λ(t4)
]
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Quadratura Gaussiana
Aqui, como teremos 4 pontos, enta˜o

t1 = −0.861136
t2 = −0.339981
t3 = 0.339981
t4 = 0.861136
⇒

λ(t1) =
2.5
2 t1 +
3.5
2 = 0.6735
λ(t2) =
2.5
2 t2 +
3.5
2 = 1.3250
λ(t3) =
2.5
2 t3 +
3.5
2 = 2.1749
λ(t4) =
2.5
2 t4 +
3.5
2 = 2.8264
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Quadratura Gaussiana
Assim, aproximamos
∫ 3
0.5
ln (1+x)
x dx por ...
≈ 3− 0.5
2
[
0.347854
ln 1 + λ(t1)
λ(t1)
+ 0.652145
ln 1 + λ(t2)
λ(t2)
+ 0.652145
ln 1 + λ(t3)
λ(t3)
+ 0.347854
ln 1 + λ(t4)
λ(t4)
]
=
2.5
2
[
0.347854
ln 1 + 0.6735
0.6735
+ 0.652145
ln 1 + 1.3250
1.3250
+ 0.652145
ln 1 + 2.1749
2.1749
+ 0.347854
ln 1 + 2.8264
2.8264
]
= 1.4909589
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Quadratura Gaussiana
Erro associado a fo´rmula de Gauss-Legendre:
Para o caso de aproximarmos a integral
∫ b
a f (x)dx com n pontos,
teremos um erro associado expresso por
En(f ) =
(b − a)2n+1(n!)4
((2n)!)3(2n + 1)
f (2n)(ξ), ξ ∈ [a, b]
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Quadratura Gaussiana
Por exemplo, para n = 1, 2, 3, 4, temos que
E1(f ) =
1
3
(
b − a
2
)3
f (2)(ξ)
E2(f ) =
1
135
(
b − a
2
)5
f (4)(ξ)
E3(f ) =
1
15750
(
b − a
2
)7
f (6)(ξ)
E4(f ) =
1
3472875
(
b − a
2
)9
f (8)(ξ)
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Quadratura Gaussiana
Exemplo 1:
Estime o erro de truncamento ao calcularmos numericamente a
integral ∫ 3
2
x2e−1/xdx
usando a quadratura gaussiana com apenas dois pontos.
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Quadratura Gaussiana
Para este caso, teremos que analisar o erro via
E2(f ) =
1
135
(
b − a
2
)5
f (4)(ξ)
que e´ o erro relativo ao me´todo com uso de 2 pontos.
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Quadratura Gaussiana
Aqui, o integrando f (x) = x2e−1/x , possui
f (4)(x) = −(4x − 1)
x6
e−1/x
f (5)(x) = −(20x
2 − 10x + 1)
x8
e−1/x
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Quadratura Gaussiana
precisamos analisar onde f (4)(x) e´ maxima, pore´m, como f (5) > 0
em (2, 3), indica que f (4) e´ ma´xima no extremo x = 2, de maneira
que
E2(f ) =
1
135
(
3− 2
2
)5
f (4)(ξ) ≤ 1
135
(
3− 2
2
)5
0.06634 = 0.15×10−4
isto e´, se efetuarmos o ca´lculo da integral
∫ 3
2 x
2e−1/xdx via
quadratura com 2 pontos, teremos como erro ma´ximo 0.15× 10−4.
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Quadratura Gaussiana
Exemplo 2:
Calcular nume´ricamente a integral∫ 1.5
0
ex sin xdx
usando a quadratura gaussiana com erro menor que 0.0005.
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Quadratura Gaussiana
Neste tipo de problema, precisamos primeiro analisar o erro para
cada caso (nu´mero de pontos). Verificando primeiro, o erro ao
usarmos apenas 2 pontos, teremos que
E2 =
1
135
(
b − a
2
)5
f (4) ≤ 1
135
(
b − a
2
)5
max
ξ∈[0,1.5]
|f (4)(ξ)|
Neste caso, f (4) e´ ma´xima em x = 1.5, pois f (4)(x) = −4(sin x)ex .
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Quadratura Gaussiana
Enta˜o, para o caso de 2 pontos, temos
E2 ≤ 243
34560
sin(1.5)e1.5 = 0.032
que na˜o e´ menor que 0.0005. Sendo assim, devemos verificar o
erro para o caso do uso de mais pontos.
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Quadratura Gaussiana
Vamos agora analisar o erro ao usarmos 3 pontos, teremos que
E3 =
1
15750
(
b − a
2
)7
f (6)(ξ) ≤ 1
15750
(
1.5
2
)7
max
ξ∈[0,1.5]
|f (6)(ξ)|
Neste caso, f (6) e´ ma´xima em x = pi/4, pois
f (6) = −8(cos x)ex e f (7) = −8(cos x − sin x)ex
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Quadratura Gaussiana
Enta˜o, para o caso de 3 pontos, temos
E2 ≤ 1
15750
(
1.5
2
)7
max
ξ∈[0,1.5]
|f (6)(ξ)|
= 8.475× 10−6(8 cospi/4)epi/4 = 0.0001087
que e´ menor que 0.0005. Sendo assim, podemos efetuar o ca´lculo
com 3 pontos e teremos a precisa˜o exigida.
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Quadratura Gaussiana
Enta˜o, podemos aproximar
∫ 1.5
0 e
x sin xdx por
≈ b − a
2
[A1f (λ(t1)) + A2f (λ(t2)) + A3f (λ(t3))]
=
b − a
2
[
5
9
f (λ(t1)) +
8
9
f (λ(t2)) +
5
9
f (λ(t3))
]
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Quadratura Gaussiana
Realizando a mudanc¸a de varia´veis,como sabemos que a = 0 e
b = 1.5temos que
λ(ti ) =
b − a
2
ti +
b + a
2
=
1.5− 0
2
ti +
1.5 + 0
2
=
1.5
2
(ti + 1)
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Quadratura Gaussiana

t1 = −0.774596
t2 = 0.000000
t3 = 0.774569
⇒

λ(t1) =
1.5
2 (t1 + 1) = 0.169053
λ(t2) =
1.5
2 (t2 + 1) = 0.750000
λ(t3) =
1.5
2 (t3 + 1) = 1.330947
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Quadratura Gaussiana
Enta˜o, substituindo os valors para obtermos cada f (λ(ti ))
λ(t1) =
1.5
2 (t1 + 1) = 0.169053
λ(t2) =
1.5
2 (t2 + 1) = 0.750000
λ(t3) =
1.5
2 (t3 + 1) = 1.330947
⇒

f (λ(t1)) = e
λ(t1) sinλ(t1) = 0.199237
f (λ(t2)) = e
λ(t2) sinλ(t2) = 1.443029
f (λ(t3)) = e
λ(t3) sinλ(t3) = 3.676286
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Quadratura Gaussiana
podemos aproximar
∫ 1.5
0 e
x sin xdx por
≈ b − a
2
[A1f (λ(t1)) + A2f (λ(t2)) + A3f (λ(t3))]
=
1.5
2
[
5
9
0.199237 +
8
9
1.443029 +
5
9
3.676286
]
= 2.57682
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Quadratura Gaussiana
Integrac¸a˜o de func¸o˜es mal comportadas:
Chamamos de func¸o˜es mal comportadas ou mal condicionadas
aquelas que possuem algum tipo de caracter´ıstica especial, como
por exemplo, singularidades em algum extremo ou dentro do
intervalo de integrac¸a˜o, ou derivadas infinitas, que podem tornar
complicado a escolha do nu´mero de intervalos para a integrac¸a˜o
nume´rica.
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Quadratura Gaussiana
Alguns Exemplos:
Exemplo 1:
Considere a integral ∫ 1
0
ex√
x
dx
que possui uma singularidade no extremo do intervalo de
integrac¸a˜o.
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Quadratura Gaussiana
Se realizarmos a seguinte mudanc¸a de varia´vel,
x = u2 ⇒ dx = 2udu
e teremos que
∫ 1
0
ex√
x
dx =
∫ 1
0
eu
2
u
2udu
= 2
∫ 1
0
eu
2
du
que apo´s a troca de varia´veis, conseguimos eliminar a singularidade.
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Quadratura Gaussiana
Exemplo 2:
Considere a integral ∫ 1
0
√
sin xdx
que possui uma derivada ’infinita’ no extremo x = 0, pois
f (x) =
√
sin x implica em f ′(x) = cos x
2
√
sin x
, implicando em uma reta
tangente vertical neste ponto, dificultando a integrac¸a˜o nume´rica.
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Quadratura Gaussiana
Se realizarmos a seguinte mudanc¸a de varia´vel,
sin x = u2 ⇒ dx = 2udu√
1− u4
e teremos que
∫ 1
0
√
sin xdx =
∫ √sin 1
0
√
u2
2udu√
1− u4
= 2
∫ √sin 1
0
u2√
1− u4 du
agora, apo´s a troca de varia´veis, conseguimos eliminar este
problema.
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Quadratura Gaussiana
QUESTA˜O DESAFIO:
(Questa˜o 16 da lista). Em estat´ıstica e´ conhecido que∫ ∞
−∞
1
σ
√
2pi
e−
1
2
( x
σ
)2dx = 1
para todo σ positivo. A func¸a˜o
f (x) =
1
σ
√
2pi
e−
1
2
( x
σ
)2
e´ a func¸a˜o densidade normal com desvio padra˜o σ. A probabilidade
de uma valor escolhido aleatoriamente, descrito por essa
distribuic¸a˜o, estar em [a, b] e´ dada por
∫ b
a f (x)dx . Obtenha uma
aproximac¸a˜o, utilizando a regra de Simpson com 6 subintervalos,
da probabilidade de um valor escolhido aleatoriamente, decrito por
esta distribuic¸a˜o estar em [−σ, σ].
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias
Introduc¸a˜o
Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias:
Introduc¸a˜o:
A motivac¸a˜o para a construc¸a˜o dos primeiros computadores foi
ocasionada, em grande parte, pela necessidade de serem calculadas
soluc¸o˜es de EDO’s que modelam problemas real´ısticos, de forma
ra´pida e precisa.
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias
Introduc¸a˜o
As soluc¸o˜es nume´ricas de EDO’s sa˜o extremamente usadas em
diversas a´reas, como por exemplo:
Mecaˆnica dos Fluidos.
Reac¸o˜es Qu´ımicas.
F´ısica Nuclear.
Economia.
Biologia.
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias
Introduc¸a˜o
As soluc¸o˜es nume´ricas de EDO’s sa˜o extremamente usadas em
diversas a´reas, como por exemplo:
Mecaˆnica dos Fluidos.
Reac¸o˜es Qu´ımicas.
F´ısica Nuclear.
Economia.
Biologia.
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias
Introduc¸a˜o
As soluc¸o˜es nume´ricas de EDO’s sa˜o extremamente usadas em
diversas a´reas, como por exemplo:
Mecaˆnica dos Fluidos.
Reac¸o˜es Qu´ımicas.
F´ısica Nuclear.
Economia.
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias
Introduc¸a˜o
As soluc¸o˜es nume´ricas de EDO’s sa˜o extremamente usadas em
diversas a´reas, como por exemplo:
Mecaˆnica dos Fluidos.
Reac¸o˜es Qu´ımicas.
F´ısica Nuclear.
Economia.
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias
Introduc¸a˜o
As soluc¸o˜es nume´ricas de EDO’s sa˜o extremamente usadas em
diversas a´reas, como por exemplo:
Mecaˆnica dos Fluidos.
Reac¸o˜es Qu´ımicas.
F´ısica Nuclear.
Economia.
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es DiferenciaisOrdina´rias
Introduc¸a˜o
Alguns Exemplos:
Vamos considerar a equac¸a˜o diferencial
dy
dt
= 1− e−t
Cuja soluc¸a˜o e´ a ’antiderivada’ de 1− e−t .
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias
Introduc¸a˜o
neste caso, a soluc¸a˜o e´ dada por
y(t) = t + e−t + c
onde c e´ uma constante. Assim, a equac¸a˜o anterior formara´ uma
’fam´ılia’ de soluc¸o˜es que satisfazem a equac¸a˜o diferencial
dy
dt
= 1− e−t
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias
Introduc¸a˜o
representadas por...
para diferentes valores de c .
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias
Introduc¸a˜o
Um outro exemplo, e´ considerarmos a equac¸a˜o
dy
dt
= −k(y − A)
onde y(t) representa a temperatura de um objeto sob resfriamento.
A taxa de variac¸a˜o de temperatura do corpo esta´ relacionada com
a diferenc¸a de sua temperatura e a do meio que o cerca. Aqui, A e´
a temperatura do meio, k uma constante positiva.
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias
Introduc¸a˜o
Digamos que a temperatura deste objeto seja conhecida no tempo
t = 0, a qual chamaremos de condic¸a˜o inicial
y(0) = y0
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias
Introduc¸a˜o
Assim, formamos um chamado problema de valor inicial
dy
dt
= −k(y − A)
com
y(0) = y0
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias
Introduc¸a˜o
Neste caso, podemos utilizar separac¸a˜o de varia´veis e resolver esta
equac¸a˜o facilmente, obtendo
y(t) = A + (y0 − A)e−kt
que evidentemente tera´ soluc¸o˜es diferentes dependendo da
condic¸a˜o inicial y0.
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias
Introduc¸a˜o
Como mostra a figura...
onde usamos A = 3, k = 4 e y0 = 5, 4, 3.1, 2.8, 2, e podemos
observar que a medida que o tempo passa a temperatura do objeto
se aproxima da temperatura do meio.
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias
Introduc¸a˜o
Formulac¸a˜o geral:
Uma equac¸a˜o diferencial de ordem n, com uma varia´vel
independente que depende de suas derivadas de ordem inferior
pode ser representada por
y (n) = f (x , y , y ′, y ′′, ..., y (n−1))
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias
Introduc¸a˜o
Tem como soluc¸a˜o uma func¸a˜o φ(x), que sera´ n vezes diferencia´vel
em um intervalo determinado e tem a forma,
φ(n) = f (x , φ, φ′, φ′′, ..., φ(n−1))
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias
Introduc¸a˜o
Alguns exemplos de Equac¸o˜es:
Equac¸a˜o diferencial ordina´ria:
dy
dx
= x + y
Equac¸a˜o diferencial parcial:
∂2u
∂x2
+
∂2u
∂y2
= 0
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias
Introduc¸a˜o
Alguns exemplos de Equac¸o˜es:
Equac¸a˜o diferencial linear:
x
dy
dx
= x − y
Equac¸a˜o diferencial na˜o linear:
d2y
dx2
+ (1− y2)dy
dx
+ y = 0
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias
Introduc¸a˜o
Definic¸a˜o de PVI:
Se dada uma equac¸a˜o com ordem m, a func¸a˜o, assim como suas
derivadas ate´ ordem m− 1 sa˜o especificadas em um mesmo ponto,
enta˜o temos um problema de valor inicial (PVI).
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias
Introduc¸a˜o
Definic¸a˜o de PVC:
Se em problemas envolvendo equac¸o˜es diferencias ordina´rias de
ordem m ≥ 2, as m condic¸o˜es fornecidas para busca da soluc¸a˜o
u´nica na˜o sa˜o dadas em um mesmo ponto enta˜o temos um
problema de valor de contorno (PVC).
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias
Introduc¸a˜o
Exemplo de PVI: {
y ′(x) = y
y(0) = 1
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias
Introduc¸a˜o
Exemplo de PVC:  y
(4)(x) + ky(x) = q
y(0) = y ′(0) = 0
y(L) = y ′′(L) = 0
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias
Introduc¸a˜o
Existem diversas te´cnicas para solucionar de maneira aproximada
algumas classes de equac¸o˜es diferenciais, a grande maioria de
problemas reais na˜o podem ser solucionados na pra´tica, por
te´cnicas analiticas. Como por exemplo,
y ′ = x3 + y2
y(0) = 0
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias
Introduc¸a˜o
Basicamente os procedimentos nume´ricos para os ca´lculos de
soluc¸o˜es aproximadas em equac¸o˜es diferenciais, baseiam-se em
encontrar valores y0, y1, y2, ..., yn da soluc¸a˜o y = φ(t) em um
conjunto de pontos ordenado da maneira t0 < t1 < t2 < ... < tn
conforme podemos verificar do desenho ...
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias
Problema de Valor Inicial
Problema de Valor Inicial:Comec¸ando pela definic¸a˜o geral:{
x ′(t) = f (t, x(t))
x(t0) = x0
(1)
aqui definimos x(t) em func¸a˜o de t e x ′(t) = ddt x(t).
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Problema de Valor Inicial
Exemplo de PVI: {
x ′(t) = tan (t + 3)
x(−1) = 1
aqui definimos x(t) em func¸a˜o de t e x ′(t) = ddt x(t).
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias
Problema de Valor Inicial
Estudaremos aqui, como determinar em um intervalo contendo o
ponto inicial t0. Neste caso, o PVI tem como soluc¸a˜o anal´ıtica
x(t) = sec (t + 3)
que tem soluc¸a˜o anal´ıtica em −pi/2 < t + 3 < pi/2. Pore´m aqui
trabalharemos com problemas que talvez na˜o possuam soluc¸o˜es
anal´ıticas.
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias
Problema de Valor Inicial
Alguns Exemplos de Problemas que na˜o possuem soluc¸o˜es
anal´ıticas:
A equac¸a˜o y ′ = x2 + y2 na˜o tem soluc¸a˜o elementar.
A equac¸a˜o y ′′ ± a(y ′)2 + by = 0 que descreve vibrac¸o˜es com
amortecimento proporcional ao quadrado da velocidade, na˜o
possui soluc¸a˜o anal´ıtica.
Equac¸o˜es que governam movimento de 3 ou mais corpos
sujeitos as pro´prias atrac¸o˜es gravitacionais, tambe´m na˜o
possui soluc¸a˜o anal´ıtica.
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Problema de Valor Inicial
Alguns Exemplos de Problemas que na˜o possuem soluc¸o˜es
anal´ıticas:
A equac¸a˜o y ′ = x2 + y2 na˜o tem soluc¸a˜o elementar.
A equac¸a˜o y ′′ ± a(y ′)2 + by = 0 que descreve vibrac¸o˜es com
amortecimento proporcional ao quadrado da velocidade, na˜o
possui soluc¸a˜o anal´ıtica.
Equac¸o˜es que governam movimento de 3 ou mais corpos
sujeitos as pro´prias atrac¸o˜es gravitacionais, tambe´m na˜o
possui soluc¸a˜o anal´ıtica.
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Problema de Valor Inicial
Alguns Exemplos de Problemas que na˜o possuem soluc¸o˜es
anal´ıticas:
A equac¸a˜o y ′ = x2 + y2 na˜o tem soluc¸a˜o elementar.
A equac¸a˜o y ′′ ± a(y ′)2 + by = 0 que descreve vibrac¸o˜es com
amortecimento proporcional ao quadrado da velocidade, na˜o
possui soluc¸a˜o anal´ıtica.
Equac¸o˜es que governam movimento de 3 ou mais corpos
sujeitos as pro´prias atrac¸o˜es gravitacionais, tambe´m na˜o
possui soluc¸a˜o anal´ıtica.
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias
Problema de Valor Inicial
Existeˆncia da soluc¸a˜o:
Sera´ que todo PVI tem soluc¸a˜o?
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias
Problema de Valor Inicial
Existeˆncia da soluc¸a˜o:
Na˜o!
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias
Problema de Valor Inicial
Exemplo:
Considere o seguinte PVI:{
x ′(t) = 1 + x2
x(0) = 0
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias
Problema de Valor Inicial
Como neste caso x ′(0) = 1 e aumenta para t > 0, pois
x ′(t) = 1 + x2 enta˜o para algum valor de t na˜o havera´ soluc¸a˜o. No
entanto, este e´ um problema com soluc¸a˜o anal´ıtica
x(t) = tan t
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias
Problema de Valor Inicial
Theorem
Se f e´ cont´ınua em um retaˆngulo R centrado em (t0, x0), isto e´,
R = {(t, x) : |t − t0| ≤ α, |x − x0| ≤ β}, enta˜o o PVI tem uma
soluc¸a˜o x(t) para |t − t0| ≤ min (α, β/M) onde M e´ o ma´ximo de
|f (x , t)| no retaˆngulo R.
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias
Problema de Valor Inicial
Theorem
Se f e ∂f∂x sa˜o cont´ınuas no retaˆngulo R, enta˜o o PVI tem uma
u´nica soluc¸a˜o no intervalo |t − t0| < min (α, β/M).
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias
Problema de Valor Inicial
Theorem
Se f e´ cont´ınua na faixa a ≤ t ≤ b, −∞ < x <∞ e satisfaz a
condic¸a˜o de Lipchitz em x,
|f (t, x1)− f (t, x2)| ≤ L|x1 − x2|
Enta˜o o PVI tem soluc¸a˜o u´nica em [a, b].
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias
Problema de Valor Inicial
Tipos de Erros que podem ocorrer na soluc¸a˜o nume´rica:
Existem diversos tipos de erros que podem ocorrem na busca por
uma soluc¸a˜o nume´rica para equac¸o˜es diferenciais, alguns deles sa˜o:
ETL (Erro de truncamento local) - e´ o erro existente em uma
iterac¸a˜o da integrac¸a˜o nume´rica, acontece ao substituirmos
um processo infinito por um finito.
EAL (Erro de arredondamento local) - causado pela precisa˜o
finita do computador em uso.
ETG (Erro de truncamento global) - e´ formado pela
acumulac¸a˜o dos ETL ao longo do processo.
EAG (Erro de aredondamento global) - e´ formado pela
acumulac¸a˜o dos EAL ao longo do processo.
ET (Erro total) - e´ a soma de ETG e EAG.
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias
Problema de Valor Inicial
Tipos de Erros que podem ocorrer na soluc¸a˜o nume´rica:
Existem diversos tipos de erros que podem ocorrem na busca por
uma soluc¸a˜o nume´rica para equac¸o˜es diferenciais, alguns deles sa˜o:
ETL (Erro de truncamento local) - e´ o erro existente em uma
iterac¸a˜o da integrac¸a˜o nume´rica, acontece ao substituirmos
um processo infinito por um finito.
EAL (Erro de arredondamento local) - causado pela precisa˜o
finita do computador em uso.
ETG (Erro de truncamento global) - e´ formado pela
acumulac¸a˜o dos ETL ao longo do processo.
EAG (Erro de aredondamento global) - e´ formado pela
acumulac¸a˜o dos EAL ao longo do processo.ET (Erro total) - e´ a soma de ETG e EAG.
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Problema de Valor Inicial
Tipos de Erros que podem ocorrer na soluc¸a˜o nume´rica:
Existem diversos tipos de erros que podem ocorrem na busca por
uma soluc¸a˜o nume´rica para equac¸o˜es diferenciais, alguns deles sa˜o:
ETL (Erro de truncamento local) - e´ o erro existente em uma
iterac¸a˜o da integrac¸a˜o nume´rica, acontece ao substituirmos
um processo infinito por um finito.
EAL (Erro de arredondamento local) - causado pela precisa˜o
finita do computador em uso.
ETG (Erro de truncamento global) - e´ formado pela
acumulac¸a˜o dos ETL ao longo do processo.
EAG (Erro de aredondamento global) - e´ formado pela
acumulac¸a˜o dos EAL ao longo do processo.
ET (Erro total) - e´ a soma de ETG e EAG.
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Tipos de Erros que podem ocorrer na soluc¸a˜o nume´rica:
Existem diversos tipos de erros que podem ocorrem na busca por
uma soluc¸a˜o nume´rica para equac¸o˜es diferenciais, alguns deles sa˜o:
ETL (Erro de truncamento local) - e´ o erro existente em uma
iterac¸a˜o da integrac¸a˜o nume´rica, acontece ao substituirmos
um processo infinito por um finito.
EAL (Erro de arredondamento local) - causado pela precisa˜o
finita do computador em uso.
ETG (Erro de truncamento global) - e´ formado pela
acumulac¸a˜o dos ETL ao longo do processo.
EAG (Erro de aredondamento global) - e´ formado pela
acumulac¸a˜o dos EAL ao longo do processo.
ET (Erro total) - e´ a soma de ETG e EAG.
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Tipos de Erros que podem ocorrer na soluc¸a˜o nume´rica:
Existem diversos tipos de erros que podem ocorrem na busca por
uma soluc¸a˜o nume´rica para equac¸o˜es diferenciais, alguns deles sa˜o:
ETL (Erro de truncamento local) - e´ o erro existente em uma
iterac¸a˜o da integrac¸a˜o nume´rica, acontece ao substituirmos
um processo infinito por um finito.
EAL (Erro de arredondamento local) - causado pela precisa˜o
finita do computador em uso.
ETG (Erro de truncamento global) - e´ formado pela
acumulac¸a˜o dos ETL ao longo do processo.
EAG (Erro de aredondamento global) - e´ formado pela
acumulac¸a˜o dos EAL ao longo do processo.
ET (Erro total) - e´ a soma de ETG e EAG.
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias
Problema de Valor Inicial
Na busca por soluc¸o˜es nume´ricas utilizaremos diversos me´todos,
dentre eles:
Me´todo da Se´rie de Taylor.
Me´todo de Euler.
Me´todo de Euler melhorado.
Me´todo de Heum.
Me´todos de Runge-Kutta.
Me´todos de passo mu´ltiplo.
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Problema de Valor Inicial
Na busca por soluc¸o˜es nume´ricas utilizaremos diversos me´todos,
dentre eles:
Me´todo da Se´rie de Taylor.
Me´todo de Euler.
Me´todo de Euler melhorado.
Me´todo de Heum.
Me´todos de Runge-Kutta.
Me´todos de passo mu´ltiplo.
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Problema de Valor Inicial
Na busca por soluc¸o˜es nume´ricas utilizaremos diversos me´todos,
dentre eles:
Me´todo da Se´rie de Taylor.
Me´todo de Euler.
Me´todo de Euler melhorado.
Me´todo de Heum.
Me´todos de Runge-Kutta.
Me´todos de passo mu´ltiplo.
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Problema de Valor Inicial
Na busca por soluc¸o˜es nume´ricas utilizaremos diversos me´todos,
dentre eles:
Me´todo da Se´rie de Taylor.
Me´todo de Euler.
Me´todo de Euler melhorado.
Me´todo de Heum.
Me´todos de Runge-Kutta.
Me´todos de passo mu´ltiplo.
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Na busca por soluc¸o˜es nume´ricas utilizaremos diversos me´todos,
dentre eles:
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Me´todo de Euler.
Me´todo de Euler melhorado.
Me´todo de Heum.
Me´todos de Runge-Kutta.
Me´todos de passo mu´ltiplo.
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Problema de Valor Inicial
Na busca por soluc¸o˜es nume´ricas utilizaremos diversos me´todos,
dentre eles:
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Me´todo de Euler.
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Me´todo de Heum.
Me´todos de Runge-Kutta.
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias
Me´todo da Se´rie de Taylor
Me´todo da Se´rie de Taylor:
Consiste em obtermos uma expansa˜o em x atrave´s de f (t, x(t))
ate´ um determinado nu´mero de termos e apo´s isso integrar a
mesma em um intervalo [t0, t1] e [x0, x1].
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias
Me´todo da Se´rie de Taylor
Considerando o PVI de forma geral dado por{
x ′(t) = f (t, x(t))
x(t0) = x0
que pode ter como exemplo...
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias
Me´todo da Se´rie de Taylor
Considere o seguinte PVI:{
x ′(t) = cos t − sin x + t2
x(−1) = 3
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias
Me´todo da Se´rie de Taylor
Considere o seguinte PVI:
x ′(t) = cos t − sin x + t2︸ ︷︷ ︸
=f (t,x(t))
x(−1) = 3
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias
Me´todo da Se´rie de Taylor
Escrevendo a se´rie de Taylor para a func¸a˜ox , temos que
x(t + h) = x(t) + hx ′(t) +
h2
2!
x ′′(t) +
h3
3!
x ′′′(t) +
h4
4!
x (4)(t) + ...
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias
Me´todo da Se´rie de Taylor
Como temos x ′, podemos obter as derivadas de ordem superior,
que sera˜o
x ′′ = − sin t − x ′ cos x + 2t
x ′′′ = − cos t − x ′′ cos x + (x ′)2 sin x + 2
x (4) = sin t − x ′′′ cos x + 3x ′x ′′ sin x + (x ′)3 cos x
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias
Me´todo da Se´rie de Taylor
Aqui, vemos que cada termo de ordem superior a 4 sera´ mais
extenso. Podemos observar tambe´m que cada derivada depende da
anterior. Neste caso, dizemos que o me´todo de Taylor e´ de ordem
4, pois utilizamos ate´ a 4 derivada.
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias
Me´todo da Se´rie de Taylor
De maneira geral, podemos dizer o me´todo de Taylor de n-e´zima
ordem e´ aquele que inclui todos termos ate´ h
n
n! x(t) e portanto, os
termos descartados contituem o ETL. Assim, o ETL de ordem n e´
expresso por
ETLn =
hn+1
(n + 1)!
x (n+1)(t + θh), 0 < θ < 1
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias
Me´todo da Se´rie de Taylor
A aplicabilidade do me´todo de Taylor e´ extremamente
condicionada ao problema a ser resolvido, pois precisamos escrever
as derivadas explicitamente.
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias
Me´todo de Euler
Me´todo de Euler:
Este me´todo nada mais e´ do que o me´todo de Taylor de ordem 1.
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias
Me´todo de Euler
Considerando o PVI de forma geral dado por{
x ′(t) = f (t, x(t))
x(t0) = x0
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias
Me´todo de Euler
Consideraremos a expansa˜o de ordem 1, que e´ expressa por
x(t + h) = x(t) + hx ′(t)
ou ainda ...
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias
Me´todo de Euler
Consideraremos a expansa˜o de ordem 1, que e´ expressa por
x(t + h) = x(t) + hf (t, x(t))
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias
Me´todo de Euler
Exemplo 1:
Considere o problema {
x ′(t) = 1− t + 4x
x(0) = 1
Vamos aproximar a soluc¸a˜o deste problema em t = 0.2, utilizando
um passo h = 0.1.
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias
Me´todo de Euler
Primeiramente, cabe ressaltar que esta e´ uma equac¸a˜o diferencial
linear de primeira ordem que possui soluc¸a˜o anal´ıtica
x = φ(t) =
1
4
t − 3
16
+
19
16
e4t
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias
Me´todo de Euler
Como aqui, f (t, x(t)) = 1− t + 4x(t). Podemos substituir a
aproximac¸a˜o de Euler...
x(t + h) = x(t) + hf (t, x(t))
por
x(t + h) = x(t) + h(1− t + 4x(t))
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias
Me´todo de Euler
Para uma comum estrate´gia de resoluc¸a˜o nume´rica por Euler,
vamos definir
ti = t0 + i .h (2)
onde
h = ti+1 − ti (3)
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias
Me´todo de Euler
Neste caso, definimos h = 0.1 e pela condic¸a˜o inicial
x(0) = 1
vemos que
t0 = 0, x0 = 1
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias
Me´todo de Euler
Neste caso, definimos h = 0.1 e pela condic¸a˜o inicial
x( 0︸︷︷︸
t0
) = 1︸︷︷︸
x0
vemos que
t0 = 0, x0 = 1
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias
Me´todo de Euler
Enta˜o, olhando para a equac¸a˜o diferencial (aproximac¸a˜o por
Euler), temos que
x(t + h) = x(t) + h(1− t + 4x(t))
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x(t0 + h) = x(t0) + h(1− t0 + 4x(t0))
x(t1) = x(t0) + h(1− t0 + 4x(t0))
x1 = x0 + h(1− t0 + 4x0)
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias
Me´todo de Euler
Sendo assim, podemos aproximar para cada iterc¸a˜o/passo
xi+1 = xi + h(1− ti + 4xi )
na verdade, para todo equac¸a˜o diferencial a ser resolvida por Euler,
faremos
xi+1 = xi + hf (ti , xi )
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias
Me´todo de Euler
Como
xi+1 = xi + h(1− ti + 4xi )
implica que
x1 = x0 + h(1− t0 + 4x0)
x2 = x1 + h(1− t1 + 4x1)
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias
Me´todo de Euler
Sabendo que t0 = 0, x0 = 1 (pelas condic¸o˜es iniciais), temos
x1 = x0 + h(1− t0 + 4x0)
= 1 + (0.1)(1− 0 + 4× 1)
= 1 + (0.1)(5)
= 1.5
e consequentemente
x2 = x1 + h(1− t1 + 4x1)
= 1.5 + (0.1)(1− 0.1 + 4× 1.5)
= 1.5 + (0.1)(6.9)
= 2.19
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias
Me´todo de Euler
Como para este caso, conhecemos a soluc¸a˜o analitica, que e´
x(t) =
1
4
t − 3
16
+
19
16
e4t
temos que x(0.2) = 2.5053299, Assim, o erro e´ aproximadamente
0.32. Isto e´, temos um erro da ordem 12%.
Exerc´ıcio: Aproxime x(0.2) com passo h = 0.025 e descubra o
percentual do erro.
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias
Me´todo de Euler
Exemplo 2:
Considere o problema {
y ′(x) = xy2
y(0) = 1
Vamos aproximar a soluc¸a˜o deste problema em x = 1, utilizando
h = 0.1. �
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias
Me´todo de Euler
utilizando o me´todo de Euler, teremos{
yi+1 = yi + hf (xi , yi )
y0 = 1, x0 = 0
ou ainda {
yi+1 = yi + h
xiyi
2
y0 = 1, x0 = 0
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias
Me´todo de Euler
Assim, na iterac¸a˜o 1:
y1 = y0 + h
x0y0
2
= 1 + (0.1)(
0× 1
2
)
= 1 + (0.1)(0)
= 1
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias
Me´todo de Euler
depois, na iterac¸a˜o 2:
y2 = y1 + h
x1y1
2
= 1 + (0.1)(
0.1× 1
2
)
= 1 + (0.1)(0.05)
= 1.005
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Me´todo de Euler
depois, na iterac¸a˜o 3:
y3 = y2 + h
x2y2
2
= 1.005 + (0.1)(
0.2× 1.005
2
)
= 1.005 + (0.1)(0.1005)
= 1.0150
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias
Me´todo de Euler
Realizando ate´ a iterac¸a˜o 10, descobriremos o valor de y10 que e´ o
mesmo que aproximar y(1) com h = 0.1 a partir de y(0). Como
podemos ver na tabela...
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias
Me´todo de Euler
i xi yi
0 0.0 1.0000
1 0.1 1.0000
2 0.2 1.0050
3 0.3 1.0150
4 0.4 1.0303
...
...
...
10 1.0 1.2479
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias
Me´todo de Euler
neste caso a soluc¸a˜o anal´ıtica (real) e´
y = e
x2
4
portanto podemos realizar uma comparac¸a˜o entre as soluc¸o˜es
aproximadas e reais, como mostra a tabela...
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias
Me´todo de Euler
i xi yi y(xi ) = e
x2i
4
0 0.0 1.0000 1.0000
1 0.1 1.0000 1.0025
2 0.2 1.0050 1.0100
3 0.3 1.0150 1.0227
4 0.4 1.0303 1.0408
...
...
...
...
10 1.0 1.2479 1.2840
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Soluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias
Me´todo de Euler
Convergeˆncia do Me´todo de Euler:
Vamos chamar de yi como sendo a soluc¸a˜o aproximada em xi , e
y(xi ) a soluc¸a˜o exata (real) em xi . Assim, definiremos que a cada
iterac¸a˜o i , teremos o erro local
ei = yi − y(xi )
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Me´todo de Euler
Usando o exemplo anterior, poderiamos conhecer o erro...
i xi yi y(xi ) = e
x2i
4 ei
0 0.0 1.0000 1.0000 0.0000
1 0.1 1.0000 1.0025 0.0025
2 0.2 1.0050 1.0100 0.0050
3 0.3 1.0150 1.0227 0.0077
4 0.4 1.0303 1.0408 0.0105
...
...
...
...
...
10 1.0 1.2479 1.2840 0.0361
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Me´todo de Euler
Uma fo´rmula para o limitante do erro pode ser representada por
|ei+1| = |y(xi+1)− yi+1| ≤ hM
2L
(e(xi+1−x0)L − 1)
onde M = max |y ′′(ξ)|, L e´ a constante de Lipchitz.
Podemos verificar usando a se´rie de Taylor...
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Me´todo de Euler
Exemplo 3:
Vamos considerar o problema de valor inicial{
y ′(x) = y − x2 + 1, 0 ≤ x ≤ 2
y(0) = 0.5
Vamos aproximar a soluc¸a˜o deste problema usando 10 iterac¸o˜es.
Isto e´, com h = 0.2.
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Me´todo de Euler
utilizando o me´todo de Euler, teremos{
yi+1 = yi + hf (xi , yi )
y0 = 0.5, x0 = 0
ou ainda {
yi+1 = yi + h(yi − x2i + 1)
y0 = 1, x0 = 0
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Me´todo de Euler
Assim, na iterac¸a˜o 1:
y1 = y0 + h(y0 − x20 + 1)
= 0.5 + (0.2)(0.5− (0)2 + 1)
= 0.5 + (0.2)(1.5)
= 0.8
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Me´todo de Euler
depois, na iterac¸a˜o 2:
y2 = y1 + h(y1 − x21 + 1)
= 0.8 + (0.2)(0.8− (0.2)2 + 1)
= 0.8 + (0.2)(1.76)
= 1.152
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Me´todo de Euler
Realizando ate´ a iterac¸a˜o 10, descobriremos o valor de y10 que e´ o
mesmo que aproximar y(2) com h = 0.2 a partir de y(0). Como
podemos ver na tabela...
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