Modulo 2- Fixação

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo 1
Lista de Fixac¸a˜o – Semana 7
Temas abordados : Regra da cadeia; Derivac¸a˜o impl´ıcita; Derivada de func¸o˜es inversas
Sec¸o˜es do livro: 3.5, 3.6, 3.7, 3.8
1) Calcule a derivada de cada uma das func¸o˜es abaixo.
(a) f(x) = cos(x+ x2) (b) f(x) = e
√
x ln(
√
x)
(c) f(x) = sen((x+ 1)2(x+ 2)) (d) f(x) = (3x3 + 4x2 − 4)3/4
(e) f(x) = arcsen(2x) (f) f(x) =
√
x+
√
2x
(g) f(x) = ln(x
√
x2 + 1) (h) f(x) =
x3 − 3x2
(x4 + 1)5/2
(i) f(x) = arctan(3x2 + 1) (j) f(x) = (ex)x
(k) f(x) = x2e−x (l) f(x) = arccos
(
1
x2 + 1
)
2) Suponha que f e´ deriva´vel e g(x) = f 2(cosx). Sabendo que f(0) = 1 e f ′(0) = −1/2,
calcule g′(pi/2).
3) Seja g uma func¸a˜o deriva´vel e f(x) = (cosx)g2
(
tan
x
x2 + 2
)
. Sabendo que g(0) = 1/2
e g′(0) = 1, calcule f ′(0).
4) Seja f e´ uma func¸a˜o deriva´vel e positiva. Mostre que (ln f(x))′ = f
′(x)
f(x)
. (Essa expressa˜o
e´ chamada de derivada logar´ıtmica de f . A`s vezes e´ mais fa´cil encontrar f ′ usando a
derivada logar´ıtmica pois, como ja´ sabemos, os produtos transformam-se em somas na
expressa˜o de log f(x).)
5) Usando a derivada logar´ıtmica calcule a derivada das func¸o˜es abaixo.
(a) f(x) = (x+ 1)x
(b) f(x) = ( senx)cosx.
6) Seja y = f(x) definida implicitamente pela equac¸a˜o x2 − x√xy + 2y2 = 10. Encontre o
coeficiente angular da reta normal ao gra´fico da func¸a˜o f no ponto (4, 1)
7) Considere y = f(x) definida implicitamente por x4−xy+ y4 = 1. Calcule f ′(0), sabendo
que f e´ uma func¸a˜o positiva.
8) Considere a curva cuja equac¸a˜o e´ (2− x)y2 = x3.
(a) Obtenha a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico da curva em (1, 1).
(b) Obtenha as equac¸o˜es das retas tangentes ao gra´fico da curva nos pontos em que
x = 3/2.
Lista de Fixac¸a˜o da Semana 7 - Pa´gina 1 de 9
RESPOSTAS
1) (a) f ′(x) = −(1 + 2x) sen(x+ x2)
(b) f ′(x) =
e
√
x(1 +
√
x ln(
√
x))
2x
(c) f ′(x) = [(x+ 1)2 + 2(x+ 1)(x+ 2)] cos((x+ 1)2(x+ 2))
(d) f ′(x) =
3
4
(3x3 + 4x2 − 4)−1/4(9x2 + 8x)
(e) f ′(x) =
2√
1− 4x2
(f) f ′(x) =
(
1 +
1√
2x
)
1
2
√
x+
√
2x
(g) f ′(x) =
2x2 + 1
x(x2 + 1)
(h) f ′(x) =
(x4 + 1)5/2(3x2 − 6x)− (x3 − 3x2)(5/2)(x4 + 1)3/2(4x3)
(x4 + 1)5
(i) f ′(x) =
6x
9x4 + 6x2 + 2
(j) f ′(x) = 2xex
2
(k) f ′(x) = e−x(2x− x2)
(l) f ′(x) =
2x
(x2 + 1)2
√
1− (x2 + 1)−2
2) 1
3) 1/2
4) basta usar a regra da cadeia
5) (a) Vamos usar essa func¸a˜o como exemplo. Temos que
ln f(x) = ln(x+ 1)x = x ln(x+ 1)
Assim, pelo item anterior obtemos
f ′(x)
f(x)
= (ln f(x))′
= (x ln(x+ 1))′
= ln(x+ 1) +
x
x+ 1
.
Conclu´ımos da´ı que
f ′(x) = f(x)
(
ln(x+ 1) +
x
x+ 1
)
= (x+ 1)x
(
ln(x+ 1) +
x
x+ 1
)
(b) f ′(x) = ( sen x)cosx
[
−( sen x) ln( senx) + cos
2 x
sen x
]
.
6) 0
7) 1/4
8) (a) y = 2x− 1 (b) y = 3√3x− 3√3 e y = −3√3x+ 3√3
Lista de Fixac¸a˜o da Semana 7 - Pa´gina 2 de 9
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Ca´lculo 1
Lista de Fixac¸a˜o – Semana 8
Temas abordados : Taxas relacionadas, Extremos de func¸o˜es
Sec¸o˜es do livro: 3.9, 4.1
1) Um funil coˆnico teˆm um diaˆmetro de 30 cent´ımetros na parte superior e altura de 40
cent´ımetros. Se o funil for alimentado a` taxa de 1,5 l/seg e tem uma vaza˜o de 800
cm3/seg, determine qua˜o rapidamente esta´ subindo o n´ıvel de a´gua quando esse n´ıvel for
de 25 cent´ımetros.
2) Um ponto move-se sobre o gra´fico de y = 1/(x2+1), de tal modo que sua abcissa x varia
a uma velocidade de 5 m/s. Qual a velocidade de y no instante em que x e´ igual a 10
metros.
3) Uma escada de 8 metros esta´ encostada numa parede. Se a extremidade inferior da
escada for afastada do pe´ da parede a uma velocidade constante de 2 m/seg, com que
velocidade a extremidade superior estara´ descendo no instante em que a inferior estiver
a 3 metros da parede?
4) Um objeto circular aumenta de tamanho de alguma forma desconhecida. Entretanto, e´
sabido que quando o raio e´ igual a 6 metros, a taxa de variac¸a˜o do raio e´ igual a 4 m/min.
Encontre a taxa de variac¸a˜o da a´rea quando o raio e´ igual a 6 metros.
5) Um dos catetos de um triaˆngulo retaˆngulo diminui a` uma taxa de 2,5 cm/min, en-
quanto outro cresce 5 cm/min. Em certo instante, o comprimento do primeiro lado e´
20 cent´ımetros e o do segundo e´ 15 cent´ımetros. Passados 2 minutos, a que taxa esta´
variando a a´rea? Ela esta´ aumentando ou diminuindo?
6) Determine os pontos onde ocorrem os extremos absolutos de cada uma das func¸o˜es abaixo,
nos intervalos especificados.
(a) f(x) = x3 − 3x2, x ∈ [−1, 3]
(b) f(x) =
x5
5
− x
3
3
+ 2, x ∈ [−2, 2]
(c) f(x) = 2 cosx+ sen(2x), x ∈ [0, 4pi]
(d) f(x) = 1− |x− 1|, x ∈ [0, 2]
7) Prove que entre todos os retaˆngulos com um dado per´ımetro P , o quadrado e´ o que possui
maior a´rea.
8) Considere os triaˆngulos retaˆngulos situados no 1o quadrante, com cada um dos seus
catetos apoiados nos eixos coordenados e cuja hipotenusa conte´m o ponto (2, 3). Encontre
o triaˆngulo de a´rea mı´nima.
Lista de Fixac¸a˜o da Semana 8 - Pa´gina 3 de 9
RESPOSTAS
1) 1792/(225pi) cm3/s
2) −100/1012 m/s
3) 6/
√
55 m/s
4) 48pi m2/min
5) Aumentando a` uma taxa de 6, 25 m2/min
6) (a) ponto(s) de ma´ximo: x = 0 e x = 3
ponto(s) de mı´nimo: x = −1 e x = 2
(b) ponto(s) de ma´ximo: x = 2
ponto(s) de mı´nimo: x = −2
(c) ponto(s) de ma´ximo: x = pi/6 e x = 13pi/6
ponto(s) de mı´nimo: x = 5pi/6 e x = 17pi/6
(d) ponto(s) de ma´ximo: x = 1
ponto(s) de mı´nimo: x = 0 e x = 2
7) Denote por x e y dois lados na˜o paralelos do retaˆngulo e observe que o seu per´ımetro e´
P = 2x+ 2y.
8) o triaˆngulo cujos catetos medem 4 e 6
Lista de Fixac¸a˜o da Semana 8 - Pa´gina 4 de 9
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Lista de Fixac¸a˜o – Semana 9
Temas abordados : Teorema do Valor Me´dio, Crescimento de func¸o˜es, Otimizac¸a˜o
Sec¸o˜es do livro: 4.2, 4.3, 4.5
1) Para cada uma das func¸o˜es abaixo, determine os pontos cr´ıticos, classifique-os como
ma´ximos ou mı´nimos locais, quando for o caso, e determine os intervalos onde f e´ cres-
cente e decrescente.
(a) f(x) = x+
3
x2
(b) f(x) =
3x2 + 4x
1 + x2
(c) f(x) =
x2 − x+ 1
2(x− 1) (d) f(x) = e
−x − e−2x
(e) f(x) = x3 − 12x− 5 (f) f(x) = (x2 − 3)ex
(g) f(x) = x
√
8− x2 (h) f(x) = x2/3(x2 − 4)
(i) f(x) = x− lnx (j) f(x) = x
lnx
2) Mostre que a func¸a˜o f(x) = (ln x)/x tem um ma´ximo absoluto em x = e. Usando agora
o fato de que f(e) > f(pi) e que a func¸a˜o x 7→ lnx e´ crescente, conclua que pie < epi.
3) Mostre que p(x) = x3 − 3x2 + 6 tem exatamente uma ra´ız real.
4) Mostre que x+
1
x
≥ 2 para todo x > 0.
5) A concentrac¸a˜o de certa substaˆncia qu´ımica no fluxo sangu´ıneo t horas apo´s ele ter sido
injetado e´ dada por C(t) = (3t)/(54 + t3). Determine o instante em que a concentrac¸a˜o
e´ ma´xima.
6) Entre todas as latas cil´ındricas de volume 1 litro, raio da base r e altura h, qual a que
tem menor a´rea superficial.
7) Um retaˆngulo deve ser inscrito em uma semicircunfereˆncia de raio 2 metros. Qual e´ a
maior a´rea que o retaˆngulo pode ter e quais as suas dimenso˜es?
Lista de Fixac¸a˜o da Semana 9 - Pa´gina 5 de 9
RESPOSTAS
1. (a) pontos cr´ıticos: x = 3
√
6 (mı´nimo local)
crescente em (−∞, 0) ∪ ( 3√6,+∞)
decrescente em (0, 3
√
6)
(b) pontos cr´ıticos: x = −1/2 (mı´nimo local); x = 2 (ma´ximo local)
crescente em (−1/2, 2)
decrescente em (−∞,−1/2) ∪ (2,+∞)
(c) pontos cr´ıticos: x = 0 (ma´ximo local); x = 2 (mı´nimo local)
crescente em (−∞, 0) ∪ (2,+∞)
decrescente em (0, 1) ∪ (1, 2)
(d) pontos cr´ıticos: x = ln 2 (ma´ximo local)
crescente em (−∞, ln 2)
decrescente em (ln 2,+∞)
(e) pontos cr´ıticos: x = −2 (ma´ximo local);x = 2 (mı´nimo local)
crescente em (−∞,−2) ∪ (2,+∞)
decrescente em (−2, 2)
(f) pontos cr´ıticos: x = −3 (ma´ximo local); x = 1 (mı´nimo local)
crescente em (−∞,−3) ∪ (1,+∞)
decrescente em (−3, 1)
(g) pontos cr´ıticos: x = −2 (mı´nimo local); x = 2 (ma´ximo local)
crescente em (−2, 2)
decrescente em (−√8,−2) ∪ (2,√8)
(h) pontos cr´ıticos: x = −1 e x = 1 (mı´nimos locais); x = 0 ( ma´ximo local)
crescente em (−1, 0) ∪ (1,+∞)
decrescente em (−∞,−1) ∪ (0, 1)
(i) pontos cr´ıticos: x = 1 (mı´nimo local)
crescente em (1,+∞)
decrescente em (0, 1)
(j) pontos cr´ıticos: x = e (mı´nimo local)
crescente em (e,+∞)
decrescente em (0, 1) ∪ (1, e)
2. Estude os intervalos de crescimento e decrescimento da func¸a˜o.
3. Calcule a func¸a˜o em cada ponto cr´ıtico, estude os intervalos de crescimento e decresci-
mento e os limites no infinito.
4. Basta verificar que o ponto de mı´nimo absoluto da func¸a˜o x 7→ x+ (1/x) no intervalo
(0,+∞) e´ x = 1.
5. A concentrac¸a˜o sera´ ma´xima apo´s 3 horas da injec¸a˜o
6. Aquela que tem raio igual a 3
√
1/(2pi)
7. A maior a´rea e´ de 4 metros e e´ dada por um retaˆngulo de lados 2
√
2 e
√
2 metros.
Lista de Fixac¸a˜o da Semana 9 - Pa´gina 6 de 9
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Lista de Fixac¸a˜o – Semana 10
Temas abordados : Concavidade, Esboc¸o de gra´ficos, L’Hopital
Sec¸o˜es do livro: 4.4, 4.6
1) Para cada uma das func¸o˜es abaixo determine: pontos cr´ıticos, ma´ximos e mı´nimos locais,
intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflexa˜o, intervalos onde f e´ coˆncava
para cima e para baixo, ass´ıntotas verticais e horizontais. Em seguida fac¸a um esboc¸o do
gra´fico de f .
(a) f(x) = x+
3
x
(b) f(x) =
x3 − 2
x
(c) f(x) =
16− x2
(x− 2)2 (d) f(x) = e
−x − e−2x
(e) f(x) = xe−x (f) f(x) = x+ senx, x ∈ [0, 2pi]
(g) f(x) = e−x
2
(h) f(x) = x2 ln(x)
2) Calcule os limites abaixo.
(a) lim
x→−∞
x2ex
(b) lim
x→0
cos2 x− 1
x2
(c) lim
x→0
ex − 1
x
(d) lim
x→0
ex − 1− x− x2
2
x2
(e) lim
x→0
ln(x+ 1)
x
(f) lim
x→0
ln(1 + x)− x− x2
2
− x3
6
x3
(g) lim
x→0
(1− x) 1x
(h) lim
x→0
(cosx)
1
x2
(i) lim
x→+∞
lnx
x
(j) lim
x→+∞
(x2 − 1)e−x2
(k) lim
x→+∞
x2 + 3e3x
e3x
(l) lim
x→+∞
ln(ln(x))
lnx
(m) lim
x→0+
x2 ln(x)
(n) lim
x→0
x
arctan(x)
Lista de Fixac¸a˜o da Semana 10 - Pa´gina 7 de 9
RESPOSTAS
1) (a) pontos cr´ıticos: x = −√3 (ma´ximo local); x = √3 (mı´nimo local)
crescente em (−∞,−√3) ∪ (√3,+∞)
decrescente em (−√3, 0) ∪ (0,√3)
concavidade volta para cima em: (0,+∞)
concavidade volta para baixo em: (−∞, 0)
pontos de inflexa˜o: na˜o existem
ass´ıntotas verticais: x = 0
ass´ıntotas horizontais: na˜o existem
(b) pontos cr´ıticos: x = −1 (mı´nimo local)
crescente em: (−1, 0) ∪ (0,+∞)
decrescente em: (−∞,−1)
concavidade volta para cima em: (−∞, 0) ∪ (21/3,+∞)
concavidade volta para baixo em: (0, 21/3)
pontos de inflexa˜o: x = 21/3
ass´ıntotas verticais: x = 0
ass´ıntotas horizontais: na˜o existem
(c) pontos cr´ıticos: x = 8 (mı´nimo local)
crescente em: (−∞, 2) ∪ (8,+∞)
decrescente em: (2, 8)
concavidade volta para cima em: (−∞, 2) ∪ (2, 11)
concavidade volta para baixo em: (11,+∞)
pontos de inflexa˜o: x = 11
ass´ıntotas verticais: x = 2
ass´ıntotas horizontais: y = −1
(d) pontos cr´ıticos: x = ln 2 (ma´ximo local)
crescente em: (−∞, ln 2)
decrescente em: (ln 2,+∞)
concavidade volta para cima em: (ln 4,+∞)
concavidade volta para baixo em: (−∞, ln 4)
pontos de inflexa˜o: x = 2 ln 2 = ln 4
ass´ıntotas verticais: na˜o existem
ass´ıntotas horizontais: y = 0
(e) pontos cr´ıticos: x = 1 (ma´ximo local)
crescente em: (−∞, 1)
decrescente em: (1,+∞)
concavidade volta para cima em: (2,+∞)
concavidade volta para baixo em: (−∞, 2)
pontos de inflexa˜o: x = 2
ass´ıntotas verticais: na˜o existem
ass´ıntotas horizontais: y = 0
(f) pontos cr´ıticos: x = 0 (mı´nimo local); x = 2pi (ma´ximo local); x = pi
crescente em: (0, 2pi)
decrescente em: nunca
concavidade volta para cima em: (pi, 2pi)
concavidade volta para baixo em: (0, pi)
pontos de inflexa˜o: x = pi
ass´ıntotas verticais: na˜o existem
ass´ıntotas horizontais: na˜o existem
Lista de Fixac¸a˜o da Semana 10 - Pa´gina 8 de 9
(g) pontos cr´ıticos: x = 0 (ma´ximo local)
crescente em: (−∞, 0)
decrescente em: (0,+∞)
concavidade volta para cima em: (−∞,−1/√2) ∪ (1/√2,+∞)
concavidade volta para baixo em: (−1/√2, 1/√2)
pontos de inflexa˜o: x = −1/√2 e x = 1/√2
ass´ıntotas verticais: na˜o existem
ass´ıntotas horizontais: y = 0
(h) pontos cr´ıticos: x = e−1/2 (mı´nimo local)
crescente em: (e−1/2,+∞)
decrescente em: (0, e−1/2)
concavidade volta para cima em: (e−3/2,+∞)
concavidade volta para baixo em: (0, e−3/2)
pontos de inflexa˜o: x = e−3/2
ass´ıntotas verticais: na˜o existem
ass´ıntotas horizontais: na˜o existem
2) (a) 0
(b) −1
(c) 1
(d) 0
(e) 1
(f) na˜o existe
(g) 1/e
(h) 1/
√
e
(i) 0
(j) 0
(k) 3
(l) 0
(m) 0
(n) 1
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