Estruturas_concreto_armado

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CENTRO UNIVERSITÁRIO AUGUSTO MOTTA 
 
ESTRUTURAS DE 
CONCRETO ARMADO 
 
 
 
 
 
2012 
 
 
 
 
 
 
ESTRUTURAS DE 
CONCRETO ARMADO 
 
Elaborado por: 
Wendell Diniz Varela 
Prof. Adjunto UFRJ/FAU/DE 
Estruturas de Concreto Armado I____________________________________UFRJ/FAU/DE 
1 
 
 
ÍNDICE 
 
I. INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO ...... 4 
I.1 Conceitos.................................................................................................................... 4 
I.2 Concreto armado ........................................................................................................ 6 
I.2.1 Características ........................................................................................................ 6 
I.2.2 Vantagens e desvantagens do material concreto armado ....................................... 6 
I.2.3 Método dos estados-limites.................................................................................... 7 
I.2.4 Normas para dimensionamento e execução de estruturas de concreto armado ..... 7 
II. PROPRIEDADES FÍSICAS DO CONCRETO E DO AÇO ............................................. 8 
II.1 Concreto ..................................................................................................................... 8 
II.1.1 Concreto fresco .................................................................................................. 8 
II.1.2 Concreto endurecido ........................................................................................ 10 
II.1.2.1 Resistência à compressão ............................................................................. 10 
II.1.2.2 Resistência do concreto à tração (fct) ........................................................... 11 
II.1.2.3 Diagramas tensão vs deformação (NBR 6118:2003, itens 8.2.8 e 8.2.10)... 12 
II.2 Aço ........................................................................................................................... 15 
III. SISTEMAS ESTRUTURAIS EM EDIFICAÇÕES .................................................... 19 
III.1 O projeto estrutural................................................................................................... 19 
III.1.1 Concepção ........................................................................................................ 19 
III.1.2 Análise.............................................................................................................. 19 
III.1.3 Síntese e otimização ......................................................................................... 21 
III.2 Abrangência do curso............................................................................................... 21 
IV. DIMENSIONAMENTO À FLEXÃO DE PEÇAS DE CONCRETO ARMADO ...... 22 
IV.1 Introdução................................................................................................................. 22 
IV.2 Definições e nomenclatura ....................................................................................... 22 
IV.3 Hipóteses básicas para o cálculo .............................................................................. 23 
IV.4 Domínios de dimensionamento................................................................................ 23 
IV.5 Cálculo das áreas de aço necessárias para combate à flexão normal ....................... 26 
V. PROJETO DE LAJES MACIÇAS EM CONCRETO ARMADO .................................. 28 
V.1 Tipos de laje ............................................................................................................. 28 
V.2 Roteiro para cálculo de lajes maciças em concreto armado..................................... 32 
V.3 Dimensionamento e detalhamento de lajes maciças em concreto armado............... 32 
V.3.1 Pré-dimensionamento das espessuras e dos vãos teóricos das lajes................. 32 
V.3.1.1 Espessuras mínimas das lajes (h) ................................................................. 32 
V.3.1.2 Vãos teóricos de lajes (l) .............................................................................. 32 
V.3.2 Condições de vinculação dos bordos das lajes (condições de contorno) ......... 33 
V.3.3 Cargas atuantes sobre lajes............................................................................... 41 
V.3.3.1 Ações a considerar ....................................................................................... 41 
V.3.3.2 Cargas permanentes...................................................................................... 41 
V.3.3.3 Cargas acidentais.......................................................................................... 44 
V.3.3.4 Carga total sobre a laje ................................................................................. 44 
V.3.4 Determinação das flechas (Estado Limite de Deformação Excessiva) ............ 45 
V.3.4.1 Lajes sem bordos livres ................................................................................ 45 
V.3.4.2 Lajes em balanço.......................................................................................... 45 
V.3.4.3 Deslocamentos-limite impostos pela NBR 6118:2003 ................................ 46 
V.3.5 Cálculo dos esforços em lajes .......................................................................... 47 
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V.3.5.1 Determinação dos momentos máximos nas direções x e y em lajes sem 
bordos livres ................................................................................................................. 47 
V.3.5.2 Determinação dos momentos máximos em lajes em balanço ...................... 47 
V.3.6 Cálculo das áreas de aço necessárias para combate à flexão ........................... 53 
V.3.6.1 Áreas de aço mínimas e máximas para armaduras longitudinais................. 53 
V.3.6.2 Armadura de distribuição ou secundária de flexão ...................................... 53 
V.3.7 Determinação das armaduras de flexão............................................................ 53 
V.3.7.1 Espaçamento entre as barras e diâmetro máximo das barras ....................... 53 
V.3.8 Detalhamento das armaduras ........................................................................... 54 
V.3.8.1 Comprimento das barras............................................................................... 54 
V.3.8.2 Cálculo do número de barras........................................................................ 55 
V.3.8.3 Numeração dos ferros nas lajes.................................................................... 55 
V.3.8.4 Peso das barras ............................................................................................. 56 
VI. PROJETO DE VIGAS EM CONCRETO ARMADO................................................. 57 
VI.1 Determinação do esquema estrutural da viga........................................................... 58 
VI.2 Dimensões das vigas ................................................................................................ 59 
VI.3 Vão efetivos.............................................................................................................. 59 
VI.4 Cargas atuantes sobre as vigas ................................................................................. 59 
VI.4.1 Peso próprio...................................................................................................... 59 
VI.4.2 Alvenaria .......................................................................................................... 59 
VI.4.3 Reação das lajes nas vigas................................................................................ 60 
VI.5 Determinação das flechas (Estado Limite de Deformação Excessiva) .................... 62 
VI.6 Determinação dos esforços atuantes ........................................................................ 62 
VI.6.1 Ligação Viga-pilar............................................................................................63 
VI.6.2 Verificação do momento positivo em vigas contínuas..................................... 64 
VI.7 Dimensionamento das armaduras............................................................................. 64 
VI.7.1 Cálculo das áreas de aço necessárias para combate ao esforço cortante.......... 64 
VI.7.1.1 Cálculo da área de aço transversal mínima .............................................. 64 
VI.7.1.2 Verificação do esmagamento do concreto ............................................... 65 
VI.7.1.3 Área de aço necessária para combate ao cisalhamento (esforço cortante)65 
VI.7.2 Cálculo das áreas de aço necessárias para combate à flexão ........................... 65 
VI.7.3 Determinação e detalhamento das armaduras na seção transversal. ................ 65 
VI.7.3.1 Armadura transversal para combate ao cisalhamento (estribos) .............. 65 
VI.7.3.2 Armadura longitudinal para combate a flexão em uma seção transversal67 
VI.7.4 Determinação e detalhamento das armaduras ao longo da viga....................... 68 
VI.7.4.1 Armadura positiva .................................................................................... 68 
VI.7.4.2 Armadura negativa ................................................................................... 69 
VII. PROJETO PRÁTICO DE CURSO.............................................................................. 71 
VII.1 Apresentação: ....................................................................................................... 71 
VII.1.1 Objetivo:........................................................................................................... 71 
VII.1.2 Etapas: .............................................................................................................. 71 
VII.2 Projeto de lajes ..................................................................................................... 73 
VII.2.1 Cálculo dos vãos teóricos das lajes (ver item V.3.1.2 da apostila) .................. 73 
VII.2.2 Pré-dimensionamento da espessura da laje (ver item V.3.1 da apostila) ......... 73 
VII.2.3 Classificação dos vínculos das lajes (ver item V.3.2 da apostila).................... 74 
VII.2.4 Cálculo das cargas atuantes nas lajes (ver item V.3.3 da apostila) .................. 76 
VII.2.5 Cálculo das flechas (ver item V.3.4 da apostila).............................................. 77 
VII.2.6 Cálculo dos momentos (ver item V.3.5 da apostila) ........................................ 79 
VII.2.7 Cálculo das áreas de aço necessárias para combate à flexão (ver item V.3.6 da 
apostila) 83 
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3 
VII.2.8 Determinação das armaduras positivas e negativas (ver item V.3.7 da apostila)
 84 
VII.2.9 Detalhamento das armaduras (ver item V.3.8 da apostila) .............................. 85 
VII.3 Projeto de vigas .................................................................................................... 88 
VII.3.1 Cálculo dos vãos efetivos das vigas e pré-dimensionamento das seções 
transversais ....................................................................................................................... 88 
VII.3.2 Cálculo das cargas atuantes sobre a viga ......................................................... 88 
VII.3.2.1 Peso-próprio (gp) ...................................................................................... 88 
VII.3.2.2 Peso da alvenaria (ga) ............................................................................... 88 
VII.3.2.3 Cálculo das reações das lajes nas vigas (ver item VI.4.3 da apostila) ..... 89 
VII.3.3 Modelos estruturais .......................................................................................... 92 
VII.3.4 Determinação dos esforços atuantes ................................................................ 93 
VII.3.5 Ligação viga-pilar ............................................................................................ 96 
VII.3.5.1 Verificação do momento positivo em vigas contínuas............................. 98 
VII.3.5.2 Diagrama de momentos fletores modificado ........................................... 98 
VII.3.6 Cálculo das áreas de aço necessárias para combate da flexão (armadura 
longitudinal, positiva e negativa); .................................................................................... 99 
VII.3.6.1 Cálculo da área de aço mínima ................................................................ 99 
VII.3.6.2 Cálculo das áreas de aço positivas e negativas ........................................ 99 
VII.3.7 Cálculo da área de aço para combate do cisalhamento (armadura transversal);
 100 
VII.3.7.1 Cálculo da área de aço transversal mínima ............................................ 100 
VII.3.7.2 Verificação do esmagamento do concreto ............................................. 101 
VII.3.7.3 Área de aço necessária para combate ao cisalhamento (esforço cortante)
 101 
VII.3.8 Determinação e detalhamento das armaduras na seção transversal. .............. 102 
VII.3.8.1 Armadura transversal para combate ao cisalhamento (estribos) ............ 102 
VII.3.8.2 Detalhamento dos estribos ..................................................................... 103 
VII.3.8.3 Armadura positiva longitudinal para combate a flexão ......................... 105 
VII.3.9 Determinação e detalhamento das armaduras ao longo da viga..................... 108 
VII.3.9.1 Armadura positiva .................................................................................. 110 
VII.3.9.2 Armadura negativa ................................................................................. 111 
ANEXO A: Vão efetivo ......................................................................................................... 116 
ANEXO B: Determinação do comprimento de ancoragem reto............................................ 117 
ANEXO C: Determinação de esforços em vigas de dois vãos submetidas a cargas distribuídas
................................................................................................................................................ 119 
ANEXO D: TABELAS.......................................................................................................... 122 
 
 
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4 
I. INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO 
 
I.1 Conceitos 
 
Da associação entre cimento, água e agregados pode resultar: 
 
• Pasta: Cimento + água; 
• Argamassa: Pasta + agregado miúdo; 
• Concreto: Argamassa + agregado graúdo; 
• Microconcreto: Tipo de concreto em que o agregado graúdo tem 
dimensões reduzidas; 
• Concreto de alto desempenho: Concreto cuja resistência à compressão supera os 
40MPa 
 
Assim, o concreto é um material composto por água, cimento e agregados. Como o cimento é 
um material caro, o principal objetivo da utilização do agregado de maior dimensão (graúdo) 
é reduzir custos sem que haja prejuízo à qualidade do material. 
 
Sob o ponto de vista estrutural, o concreto sozinho não é adequado como elemento resistente. 
Sua resistência à compressão, fc, é muito maior que sua resistência à tração, fct. Como ordem 
de grandeza, pode-se afirmar que esta última é cerca de 10 vezes menor. 
 
Tração e compressão são usualmente encontradas em estruturas. Rotineiramente, podem atuar 
em uma mesma seção transversal. Por exemplo, em elementos estruturais fletidos (Figura I.1). 
 
Figura I.1 – Solicitações em uma viga biapoiada. Fissuras no concreto e armação da viga. 
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5 
No trecho BC, as tensões atuantes na parte inferior da viga são positivas, isto é, as fibras 
inferiores são tracionadas. Nessas fibras, podem se formar fissuras (minúsculas trincas 
devidas à pequena deformabilidade e à baixa resistência à tração do concreto). 
 
Essas fissuras fazem com que o máximo momentofletor resistido pela viga seja muito baixo. 
Para aumentar a resistência do elemento é importante a associação do concreto a um material 
que tenha boa resistência à tração e seja mais deformável. 
 
O material mais utilizado é o aço, em formas de barras lisas ou corrugadas, que deve ser 
colocado nas regiões tracionadas da peça. À operação de dispor essas barras de aço ao longo 
de um elemento estrutural denomina-se armar e as barras dispostas são chamadas de 
armaduras. 
 
A armadura disposta paralelamente ao(s) eixo(s) da peça é chamada armadura longitudinal 
(em geral, devida à ação do momento fletor). A armadura disposta perpendicularmente ao 
eixo da peça é chamada armadura transversal (geralmente, devida à ação do esforço cortante). 
 
Por que se utiliza o aço? 
1. Boa deformabilidade e resistência à tração. 
2. Coeficiente de dilatação térmica muito próximo do concreto (αaço = 1,2 x 10-5 °C-1 e 
αconcreto = 1,0 x 10-5 °C-1). Evita que se formem fissuras por deformação diferencial. 
3. Material facilmente encontrado no mercado e de baixo custo. 
 
Para que a estrutura de concreto funcione adequadamente, os dois materiais (concreto e aço) 
deverão trabalhar solidariamente. Isso é possível devido às forças de aderência existentes 
entre a superfície do aço e a do concreto. 
 
Dependendo do tipo de associação entre a argamassa / concreto e o aço, pode-se ter: 
 
• Argamassa armada Argamassa simples com armadura de pequeno diâmetro, 
pouco espaçada, distribuída uniformemente em toda a 
superfície do elemento estrutural e composta, principalmente, 
de fios e telas de aço. 
• Concreto com fibras: Obtido pela adição de fibras metálicas ou poliméricas durante 
o preparo do concreto, fazendo com que, depois de seco, o 
concreto esteja ligado pelas fibras que o atravessam em todas 
as direções. Utilizado em peças com pequenos esforços, como 
por exemplo, piso de concreto sobre o solo. 
• Concreto armado: 
(França, 1855) 
Obtido por meio da associação do concreto simples com a 
armadura convenientemente colocada (armadura passiva), de 
tal modo que ambos resistam solidariamente aos esforços 
solicitantes. 
• Concreto protendido: 
(Alemanha, 1888) 
Formado pela associação do concreto simples e armadura 
ativa (cabos de aço, em geral, nos quais são aplicados forças 
de protensão antes da atuação do carregamento na estrutura). 
 
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6 
I.2 Concreto armado 
 
I.2.1 Características 
 
No concreto armado, as barras de aço só funcionam quando, pela deformação do concreto que 
as envolve, começam a serem alongadas. Decorre, daí, a designação de armaduras passivas. 
 
As principais características das estruturas de concreto armado são: 
1. Concreto e armadura funcionando em conjunto devido à aderência. 
2. Ocorrência de regiões fissuradas no concreto. 
 
O concreto, ao envolver o aço, protege-o satisfatoriamente, em condições normais, contra a 
oxidação e as altas temperaturas. 
 
I.2.2 Vantagens e desvantagens do material concreto armado 
 
A opção do emprego do concreto armado como material de construção tem vantagens e 
desvantagens. 
 
Vantagens Desvantagens 
Boa resistência à maioria das solicitações. 
Resulta em elementos estruturais com 
maiores dimensões do que os construídos 
apenas com perfis metálicos. Isto implica 
elementos estruturais pesados, em virtude do 
elevado peso específico do concreto (γ = 
25kN/m3), limitando seu uso em 
determinadas situações ou elevando muito 
seu custo. 
Boa trabalhabilidade, adaptando-se a várias 
formas. Dá liberdade ao projetista na escolha 
da solução mais conveniente sob o ponto de 
vista estrutural. 
Reformas e adaptações são, muitas vezes, de 
difícil execução. 
Permite a obtenção de estruturas monolíticas 
(o que não ocorre com estruturas de aço e 
madeira). Há aderência entre o concreto já 
endurecido e o que é lançado posteriormente, 
facilitando a transmissão de esforços. 
 
Técnicas de execução são razoavelmente 
dominadas em todo o país (emprego, função 
social!) 
 
Material durável desde que bem executado 
Boa resistência e durabilidade ao fogo desde 
que os cobrimentos e a qualidade do concreto 
estejam de acordo com as condições do meio 
em que está inserida a estrutura. 
Bom condutor de calor e som (associação 
com outros materiais para sanar esses 
problemas). 
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7 
Execução de pré-moldados (maior rapidez e 
facilidade de execução). 
É necessária a utilização de escoramentos 
(exceto em peças pré-moldadas), que 
precisam permanecer no local até que o 
concreto atinja resistência adequada. 
Resistente a choques, vibrações, efeitos 
térmicos, atmosféricos e desgaste mecânico. 
 
I.2.3 Método dos estados-limites 
 
Nas estruturas de concreto armado devem ser verificados no cálculo os estados-limites 
últimos e de serviço. Os estados-limite últimos (ELU) são aqueles relacionados ao colapso ou 
a qualquer outra forma de ruína estrutural que determine a paralisação do uso da estrutura, ou 
seja, estão relacionados à segurança estrutural (equilíbrio e resistência). Por outro lado, os 
estados-limite de serviço (ELS) são aqueles relacionados à durabilidade das estruturas, à 
aparência, ao conforto dos usuários e a boa utilização funcional da mesma (fissuração, 
deformações excessivas, vibrações excessivas), seja com relação aos usuários, às máquinas ou 
aos equipamentos utilizados. 
 
I.2.4 Normas para dimensionamento e execução de estruturas de concreto armado 
 
Com o objetivo de promover uma padronização que garanta a segurança adequada e a 
qualidade na confecção de projetos e na execução e no controle das obras, a ABNT 
(Associação Brasileira de Normas Técnicas) regulamenta os procedimentos a serem 
empregados por meio de normas específicas. 
 
No caso do concreto armado: 
1. NBR 6118 (2003) (conhecida como NB-1): Projeto de Estruturas de Concreto – 
Procedimento. 
2. NBR 6120 (1980): Cargas para Cálculo de Estruturas de Edificações – Procedimento. 
3. NBR 8681 (2003): Ações e Segurança nas Estruturas – Procedimento. 
4. NBR 14931 (2003): Execução de Estruturas de Concreto – Procedimento 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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8 
II. PROPRIEDADES FÍSICAS DO CONCRETO E DO AÇO 
 
II.1 Concreto 
 
O concreto, como visto anteriormente, é obtido a partir da mistura de água, cimento, agregado 
miúdo e agregado graúdo. Em algumas situações, pode-se ainda acrescentar produtos 
químicos ou outros componentes para lhe melhorar algumas propriedades. 
 
O objetivo de seu preparo é obter um material predominantemente sólido, com grande 
resistência e poucos espaços vazios. Isto é atingido com a adequada hidratação do cimento de 
modo que a pasta resultante envolva e adira satisfatoriamente aos sólidos presentes. 
 
As diversas características do produto final são funções do planejamento e de cuidados 
durante sua execução. 
 
O planejamento consiste em definir as propriedades desejadas do concreto, analisar e escolher 
os materiais existentes ou disponíveis e estabelecer uma metodologia para definir o traço 
(proporção entre os componentes), equipamentos para a mistura, transporte, adensamento e 
água. 
 
Em geral, a maior preocupação de projetistas, calculistas e engenheiros de obras é com a 
resistência à compressão do concreto endurecido, obtida a partir de ensaios com corpos de 
prova cilíndricos. Esta resistência é usada como controle de fabricação e admite-se que 
forneça todas as informações relativas à resistência e deformabilidade do concreto. 
 
II.1.1 Concreto fresco 
 
As principais propriedades do concreto fresco são: 
1. Consistência: 
a. Maior ou menor capacidade que o concreto fresco tem de se deformar. 
b. Mede-se a consistência através do abaixamento de uma massa pré-determinada 
colocado em um molde metálico tronco-cônico. A deformação vertical 
produzida é chamadaabatimento ou slump (slump test, NBR 7223:1998 e 
Figura II.1). Quanto maior, menor a consistência do concreto. 
 
 
Figura II.1 – Teste de slump. 
 
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9 
c. Varia com a quantidade de água empregada, granulometria dos agregados e 
presença de produtos químicos específicos. 
d. Concretos com menor consistência devem ser empregados em elementos com 
alta taxa de armadura (dificuldade de adensamento) e em peças com eixo ou 
superfícies inclinadas (escadas e sapatas, por exemplo). Do contrário, é 
preferível o uso de concretos com maior consistência. 
2. Trabalhabilidade: 
a. O conceito de trabalhabilidade está ligado basicamente à maneira de se efetuar 
o adensamento do concreto. Um concreto fácil de ser lançado e adensado é 
considerado de boa trabalhabilidade (slump alto). 
b. Varia com a granulometria dos materiais, incorporação de aditivos e, 
principalmente, com a relação água/cimento. 
c. Prefere-se melhorar a trabalhabilidade de um concreto com aditivos, pois o 
aumento de água reduz sua resistência. 
3. Homogeneidade: 
a. Quanto mais uniformemente ou regularmente os agregados graúdos se 
apresentarem dispersos na massa de concreto (totalmente envolvidos pela 
pasta), melhor será a qualidade do concreto: 
i. Baixa permeabilidade. 
ii. Boa proteção à armadura. 
iii. Melhor acabamento sem necessidade de reparos posteriores (superfície 
“lisa” na retirada de formas). 
b. Pode ser conseguida com boa mistura do concreto na fabricação, cuidadoso 
transporte, atenção no lançamento e um bom adensamento. Estes três últimos 
aspectos são tratados na NBR 14931:2003. 
 
Na moldagem do concreto (lançamento nas formas), três etapas são de fundamental 
importância: 
1. Adensamento: 
a. Consiste, em uma primeira etapa, na separação dos diversos compostos 
para, depois, misturá-los adequadamente, evitando a formação de bolhas de 
ar, vazios (bicheiras) e separação dos materiais (segregação). 
b. Feito a partir da aplicação de energia mecânica ao concreto. 
c. Há várias recomendações na NBR 14031:2003. 
2. Pega: 
a. Período entre o início do endurecimento e o momento em que ele atinge 
uma situação em que possa ser desformado, mesmo sem ter atingido sua 
resistência total. 
b. Caracteriza-se o início da pega através da medida da penetração de uma 
haste, de peso e tamanho pré-definidos, no concreto. Quando esta medida 
supera um valor mínimo pré-estabelecido, considera-se que a pega iniciou. 
3. Cura: 
a. Após o início da pega, a hidratação do concreto se desenvolve com grande 
velocidade e, nesse período, a água existente na mistura tem a tendência de 
sair pelos poros do material e evaporar. Essa evaporação pode 
comprometer as reações de hidratação do cimento gerando uma redução de 
volume no concreto maior que o usual. Essa redução é parcialmente 
impedida pelas formas e armaduras gerando, desta forma, tensões de tração 
no concreto. 
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b. O conjunto de medidas tomadas para evitar a evaporação precoce ou 
mesmo para fornecer água ao concreto até que as propriedades esperadas 
para esse concreto sejam atingidas é chamado cura. 
c. A cura consiste em molhar constantemente as superfícies aparentes do 
concreto, ou mesmo molhar as formas de madeira, evitando a secagem da 
mesma. 
d. Uma cura inadequada pode gerar fissuras na estrutura que levam à 
diminuição de sua resistência final. 
e. A NBR 14931:2003 trata de vários de seus aspectos. 
 
II.1.2 Concreto endurecido 
 
No concreto endurecido, as características principais são as mecânicas, destacando-se a 
resistência à compressão e à tração. 
 
II.1.2.1 Resistência à compressão 
 
A resistência à compressão do concreto (fc) é determinada por ensaios de corpos de provas 
cilíndricos (15cm de diâmetro e 30cm de altura) submetidos à compressão centrada (Figura 
II.2). Esses ensaios também permitem a obtenção de outras características como o módulo de 
elasticidade do concreto. 
 
 
Figura II.2 – Ensaio para determinação da resistência à compressão do concreto. 
 
Vários fatores influenciam a resistência à compressão, mas os principais são: traço e a idade 
do concreto. A Figura II.3 apresenta a variação da relação da resistência do concreto com 
várias idades e sua resistência aos 28 dias. 
 
A resistência à compressão está associada à idade de 28 dias (NBR 6118:2003, item 8.2.4) e 
será estimada a partir do ensaio de uma determinada quantidade de corpos de prova 
(inferência estatística). 
 
Estruturas de Concreto Armado I____________________________________UFRJ/FAU/DE 
11 
0,59
0,78
0,9
1
1,08
1,12 1,14
1,18 1,2
1,22
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
0 100 200 300 400 500 600 700 800
Tempo (dias)
f c
j /
 f c
28
 
Figura II.3 – Variação da relação entre a resistência do concreto (cimento comum) com várias idades e 
sua resistência aos 28 dias. 
 
II.1.2.1.1 Resistência característica do concreto à compressão (fck) 
 
Para avaliar a resistência de um concreto à compressão é necessário realizar um certo número 
de ensaios de corpos de prova. Os valores de resistência proporcionados pelos distintos corpos 
de provas são mais ou menos dispersos, variando de uma obra para outra e também com o 
rigor com que se confecciona. Qual será, então, a resistência representativa do mesmo? 
 
Adotou-se o conceito de resistência característica, que leva em conta a média aritmética dos 
valores encontrados em cada ensaio e também o desvio da série de valores. Assim, a NBR 
6118:2003 (item 12.2) define que a resistência característica à compressão é aquele valor que 
apresenta um grau de confiança de 95%, ou seja, o valor para o qual 95% dos ensaios 
realizados gerem resistências superiores a ele e 5% abaixo. 
 
Na prática, o calculista especifica um valor de fck e usa-o nos cálculos. Cabe ao construtor 
fabricar (ou comprar) um concreto com essas características. 
 
A partir de fck, a NBR 6118:2003 (item 8.2.1) define classes para o concreto: 
• C20 ou superior (fck = 20MPa ou superior): aplica-se a concreto com armadura 
passiva (concreto armado). 
• C25 ou superior (fck = 25MPa ou superior): aplica-se a concreto com armadura ativa 
(concreto protendido). 
• C15 a C20 (fck = 15MPa a fck = 20MPa): aplica-se apenas a fundações ou obras 
provisórias. 
 
II.1.2.2 Resistência do concreto à tração (fct) 
 
O concreto resiste mal à tração, por essa razão não se conta com a ajuda dessa resistência. 
 
Estruturas de Concreto Armado I____________________________________UFRJ/FAU/DE 
12 
 
A resistência à tração, contudo, pode estar relacionada à capacidade resistente da peça a, por 
exemplo, fissuração e ao esforço cortante. 
 
Existem três tipos de ensaio (Figura II.4): 
1. Flexo-tração (não é prático) (atinge 60% da resistência à tração pura). 
2. Compressão diametral (conhecido como ensaio brasileiro – Eng. F. L. B. Lobo 
Carneiro) (atinge 85% da resistência à tração pura) 
3. Tração direta (difícil realização). 
 
 
Figura II.4 – Ensaios para determinação da resistência à tração. 
 
A NBR 6118:2003 (item 8.2.5) estabelece que a resistência à tração deve ser obtida através de 
ensaios. Na ausência desses, sugere: 
 



⋅=
⋅=
⋅=
ctmsup,ctk
ctminf,ctk
/
ckctm
f,f
f,f
f,f
31
70
30 32
 (II.1) 
 
onde fctm e fck devem ser utilizados em MPa 
 
Sendo MPa7≥ckjf , estas expressões também podem ser usadas para idades diferentes de 28 
dias. 
 
O uso de fctk,inf ou fctk,sup é determinada pela norma em cada situação particular. 
 
II.1.2.3 Diagramas tensão vs deformação (NBR 6118:2003, itens 8.2.8 e 8.2.10) 
 
A Figura II.5 apresenta um típico diagrama tensão vs deformação do concreto obtido em um 
ensaio de compressão. Esse gráfico tem uma parte inicial retilínea e uma parte final 
parabólica. As principais características desse gráfico são discutidas a seguir. 
 
Estruturas de Concreto Armado I____________________________________UFRJ/FAU/DE13 
 
Figura II.5 – Diagrama tensão vs deformação do concreto sob compressão. 
 
II.1.2.3.1 Módulos de elasticidade 
 
Nesta figura, destacam-se as seguintes propriedades elásticas: 
 
• Módulo tangente: seu valor é variável em cada ponto e é dado pela inclinação da reta 
tangente à curva nesse ponto. 
• Módulo de deformabilidade inicial (Eci): inclinação da reta tangente à curva na 
origem. É o módulo, quando necessário, que deve ser especificado em projeto e 
controlado na obra. 
• Módulo secante (Ecs): seu valor é variável em cada ponto e é obtido pela inclinação da 
reta que une a origem com esse ponto. É empregado nas análises elásticas de projeto 
para determinação de esforços solicitantes e verificação de estados-limite de serviço: 
 
ε
σ=csE (II.2) 
 
Segundo a NBR 6118:2003 (item 8.2.8), o módulo de elasticidade deve ser obtido segundo 
ensaio descrito na NBR 8522:1994. Quando não forem feitos ensaios, pode-se adotar: 
 
• Módulo de deformabilidade inicial: 
 
ckci fE ⋅= 5600 (II.3) 
 
• Módulo secante: 
 
cics E,E ⋅= 850 (II.4) 
 
Estruturas de Concreto Armado I____________________________________UFRJ/FAU/DE 
14 
Nas Eqs. (II.3) e (II.4), todas as grandezas devem ser expressas em MPa. 
 
Na avaliação do comportamento à tração, quando necessário, pode-se utilizar o módulo 
secante dado pela Eq. (II.4). 
 
II.1.2.3.2 Relação tensão vs deformação sugerida pela NBR 6118:2003 (item 8.2.10) 
 
A Figura II.6 apresenta a curva sugerida (curva inferior) para análise no estado-limite último 
pela NBR6118:2003 (diagrama parábola-retângulo). Nessa curva, fcd é a resistência de cálculo 
do concreto (fck / 1,4). Até 0,5fcd, a relação entre tensões e deformações é linear e o módulo de 
elasticidade é dado pela Eq. (II.4). A tensão-limite é 0,85 fcd. 
 
Figura II.6 – Diagrama tensão vs deformação do concreto sob compressão sugerido pela 
NBR 6118:2003. 
 
Para obtenção da equação da curva superior, basta substituir 0,85 fcd por fck na equação 
apresentada. 
 
A Figura II.7 apresenta a curva sugerida para tração considerando o concreto não-fissurado. 
 
Estruturas de Concreto Armado I____________________________________UFRJ/FAU/DE 
15 
 
Figura II.7 – Diagrama tensão vs deformação do concreto não-fissurado sob tração sugerido pela NBR 
6118:2003. 
 
II.2 Aço 
 
A norma NBR 7480:1996 define os tipos, as características e outros detalhes sobre as barras e 
fios de aço destinados a armaduras de concreto armado. 
 
Segundo esta norma, existem três tipos de aço para aplicação em estruturas de concreto 
armado: CA-25, CA-50 e CA-60. 
 
Os aços CA-25 e CA-50 são utilizados sob a forma de barras (Figura II.8) comercializadas 
com diâmetros nominais de 6,3mm, 8,0mm, 10mm, 12,5mm, 16mm, 20mm, 25mm, 32mm e 
40mm. As barras possuem comprimento máximo de 12m. Para comprimentos superiores a 
esse, há necessidade de emenda. 
 
 
Figura II.8 – Barras de aço. 
 
O aço CA-60 é utilizado na fabricação de fios (Figura II.9) que são comercializados nos 
diâmetros de 3,4mm, 4,2mm, 5,0mm, 6,0mm, 7,0mm, 8,0mm e 9,5mm. 
 
Estruturas de Concreto Armado I____________________________________UFRJ/FAU/DE 
16 
 
Figura II.9 – Fios de aço. 
 
Para massa específica desses aços, pode-se assumir o valor de 7850 kg/m3. 
 
A Figura II.10 apresenta o diagrama tensão vs deformação típico de um aço obtido em um 
ensaio de tração (NBR 6152:1992). As características mecânicas mais importantes obtidas a 
partir dessa curva e que, por conseqüência, definem um aço, são: 
 
 
Figura II.10 – Diagrama tensão vs deformação do aço. 
 
• Tensão característica de escoamento do aço à tração (fyk) (ponto a): é a máxima tensão 
que a barra ou fio deve suportar, pois a partir dela o aço passa a sofrer deformações 
permanentes, ou seja, até esse valor de tensão, ao se interromper o ensaio de tração de 
uma amostra, esta voltará até seu tamanho inicial não apresentando nenhum tipo de 
deformação permanente. Os aços CA-25 e CA-50 têm patamar de escoamento bem 
definido e, assim, o valor da resistência é obtido claramente a partir do diagrama 
tensão vs deformação. O aço CA-60 não tem patamar definido e, assim, a resistência 
característica é aquela correspondente a uma deformação específica permanente de 
0,2%. 
 
• Limite de resistência (fstk): força máxima suportada pelo material na qual ele se rompe, 
ou seja, é o ponto máximo de resistência da barra. 
 
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17 
• Alongamento na ruptura: é o aumento do comprimento do corpo de prova 
correspondente à ruptura. 
 
Para efeito de dimensionamento em concreto armado, não se faz necessário utilizar o 
diagrama tensão vs deformação apresentado na Figura II.10. A NBR 6118:2003 permite o uso 
do diagrama tensão vs deformação simplificado que é indicado na Figura II.11. 
 
 
Figura II.11 – Diagramas tensão vs deformação simplificados propostos pela NBR 6118:2003 para 
dimensionamento de estruturas de concreto armado. 
 
Nessa figura, têm-se as seguintes grandezas: 
 
Es – módulo de elasticidade do aço, admitido igual 210000MPa. 
fyk – tensão característica de escoamento do aço à tração. 
fyd – tensão de escoamento de cálculo do aço ( = fyk / 1,15). 
 
A Tabela II.1 destaca os valores dessas grandezas referentes aos aços que serão utilizados no 
dimensionamento de estruturas de concreto armado. Nessa tabela, εyd é a deformação 
específica de cálculo (= fyd / Es) e ξ é a relação entre a profundidade da linha neutra e a altura 
útil de uma seção de concreto (será visto mais adiante). 
 
Tabela II.1 – Propriedades dos aços utilizados no dimensionamento de estruturas de concreto armado. 
Aço fyk fyd εyd = fykEs ξ = 
x
d 
CA-25 250 MPa 217 MPa 0,104 % 0,7709 
CA-50 500 MPa 435 MPa 0,207 % 0,6283 
CA-60 600 MPa 522 MPa 0,248 % 0,5900 
 
 
 
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18 
EXERCÍCIO PROPOSTO II.1: Para fck = 20MPa, 25MPa e 30MPa, montar uma tabela 
apresentando: 
1. Resistência de cálculo à compressão (fcd). 
2. Resistências à tração (fctm, fctk,sup e fctk,inf). 
3. Módulos de deformabilidade inicial (Eci) e secante (Ecs) do concreto. 
 
EXERCÍCIO PROPOSTO II.2: Para fck = 25MPa, traçar as curvas tensão vs deformação do 
concreto na compressão (NBR 6118:2003) considerando valores característicos e de cálculo. 
 
EXERCÍCIO PROPOSTO II.3: Traçar o diagrama tensão vs deformação simplificado 
proposto pela NBR 6118:2003 para o aço CA-50. Considerar valores de cálculo e 
característico. 
 
 
 
 
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19 
III. SISTEMAS ESTRUTURAIS EM EDIFICAÇÕES 
 
III.1 O projeto estrutural 
 
O projeto estrutural de edificações em concreto armado compõe-se das seguintes etapas: 
 
CONCEPÇÃO 
ANÁLISE 
SÍNTESE 
OTIMIZAÇÃO 
 
Essas etapas são inter-relacionadas e consecutivas. A cada ciclo, o projeto sofrerá revisões e 
alterações conceituais de modo a reduzir os custos sem comprometer o desempenho 
estrutural. 
 
III.1.1 Concepção 
 
Em uma primeira etapa, é preciso conceber a estrutura (concepção). Nesta fase, são 
estabelecidos os elementos estruturais e, por conseqüência, o sistema estrutural que será 
analisado. 
 
Elementos estruturais são peças com uma ou duas dimensões preponderantes sobre as demais 
que compõem a estrutura. Nos edifícios de concreto armado, têm-se os elementos: 
• Básicos: lajes, vigas e pilares. 
• Fundações: sapatas, blocos, estacas, tubulões entre outras. 
• Complementares: escadas, muros de arrimo, caixas d’água entre outras. 
 
O modo como esses elementos são arranjados é denominado sistema estrutural. 
 
Os elementos e o sistema estrutural propostos deverão atender, simultaneamente, as restrições 
impostas pelos projetos arquitetônico e de instalações prediais. 
 
III.1.2 Análise 
 
De posse do sistema e dos elementos estruturais, passa-se à fase de análise. 
 
A interpretação e a análise do comportamento real de umaestrutura são, de modo geral, 
complexas e nem sempre possíveis. Por essa razão, na construção de modelos físicos e 
matemáticos voltados para análise de estruturas (não só de estruturas concreto armado!) é 
comum utilizar técnicas de discretização. 
 
A discretização consiste em desmembrar uma estrutura complexa, cujo comportamento global 
seria de difícil previsão, em elementos menores cujos comportamentos possam ser admitidos 
já conhecidos e de fácil estudo. 
 
Estruturas de concreto armado são usualmente discretizadas em lajes, vigas, pilares e 
fundações. Esses elementos estruturais são analisados separadamente seguindo ordem 
contrária à de execução da estrutura, ou seja: 
1. Análise das lajes com determinação das reações nos bordos, isto é, sobre as vigas. 
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20 
2. Análise das vigas considerando as cargas impostas pelas lajes. Calculam-se as reações 
nos apoios das vigas, que, de modo geral, correspondem aos pilares. 
3. Análise dos pilares levando-se em conta as cargas impostas pelas vigas. Determinação 
da carga total que será transferida para as fundações. 
4. Análise das fundações. 
 
A Figura III.1 ilustra uma estrutura simples (garagem em concreto armado) e a discretização 
adotada para sua análise. 
 
 
(a) 
 
(b) 
Figura III.1 – (a) Projeto de uma garagem em concreto armado; (b) Sistema e elementos estruturais 
gerados por discretização. 
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21 
 
É importante destacar que a execução da estrutura se dá em sentido contrário ao da análise, 
isto é: primeiro constroem-se as fundações, logo após os pilares, vigas e lajes. 
 
Por fim, cabe salientar que durante o processo de discretização, várias hipóteses são 
assumidas e, ao final da análise do sistema estrutural, deverão ser verificadas suas respectivas 
validades. Em particular, na análise de edificações de concreto armado, pode-se citar que: 
• As vigas são apoios indeformáveis para as lajes. 
• As lajes são totalmente apoiadas ou engastadas nas vigas. 
• As ações sobre as vigas são uniformemente distribuídas. 
• Os pilares fazem o papel de apoios indeslocáveis na direção vertical para as vigas. 
 
III.1.3 Síntese e otimização 
 
De posse de todas as dimensões dos elementos estruturais e do comportamento da estrutura 
como um todo, verifica-se se as hipóteses adotadas ao longo da análise foram adequadas, se o 
comportamento estrutural obtido foi o desejado e se ainda pode ser aprimorado. A esta fase é 
dado o nome de síntese e, em linhas gerais, consiste em uma análise crítica dos resultados 
obtidos na análise estrutural. 
 
Caso o comportamento estrutural obtido não tenha sido o desejado ou ainda se queira 
melhorá-lo (reduzindo as dimensões dos elementos estruturais, por exemplo), passa-se a fase 
de otimização. Nessa fase, obtém-se um novo sistema estrutural que deverá seguir todas as 
etapas estabelecidas inicialmente (novas concepção, análise, síntese e otimização). 
 
Nota-se, portanto, que a elaboração do projeto estrutural é um processo cíclico no qual se 
deseja obter estruturas as mais resistentes possíveis da forma mais econômica. 
 
III.2 Abrangência do curso 
 
Nesse curso, será enfocada apenas a análise de estruturas de concreto armado e, 
particularmente, as lajes e vigas. 
 
As demais etapas do projeto serão abordadas em disciplinas futuras. 
 
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22 
IV. DIMENSIONAMENTO À FLEXÃO DE PEÇAS DE CONCRETO ARMADO 
 
IV.1 Introdução 
 
O cálculo da armadura necessária para resistir a um momento fletor é um dos pontos mais 
importantes no dimensionamento das peças de concreto armado. 
 
O dimensionamento é feito no estado-limite de ruína, impondo que na seção mais solicitada 
sejam alcançadas as deformações específicas limites dos materiais, ou seja, o estado-limite 
último pode ocorrer tanto pela ruptura do concreto comprimido quanto pela deformação 
excessiva da armadura tracionada. 
 
IV.2 Definições e nomenclatura 
 
Antes de apresentar a teoria que possibilita o dimensionamento das peças de concreto armado, 
é conveniente repetir as principais definições e nomenclatura das grandezas envolvidas no 
cálculo: 
 
h – altura total da seção transversal de uma peça. 
 
d – altura útil: distância entre o centro de gravidade da armadura longitudinal tracionada até 
a fibra mais comprimida de concreto (Figura IV.1). 
 
 
Figura IV.1 – Altura útil de uma laje. 
 
A altura útil relaciona-se com a espessura da laje através da expressão: 
 
h = d + cnom + 
φ
2 (IV.1)
 
Pode-se adotar, em um pré-dimensionamento, para lajes maciças: 
 
d = h – 3cm (IV.2)
 
E para vigas o menor valor entre: 
d = h – 5cm e d = h – 10%h (IV.3)
 
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23 
 
Msd – momento fletor solicitante de cálculo: no dimensionamento, é obtido multiplicando-se 
o momento de serviço (calculado) pelo coeficiente de ponderação 1,4. 
Mrd – momento fletor resistente de cálculo: momento fletor que a peça deve resistir 
(calculado com fcd e fyd e sempre Msd ≤ Mrd). 
 
bw – largura da seção transversal: no caso de lajes, bw = 100cm = 1,0m. 
x – altura (profundidade) da linha neutra: distância da borda mais comprimida do concreto 
ao ponto que tem deformação e tensão nulas (distância da linha neutra ao ponto de maior 
encurtamento da seção transversal de uma peça fletida). 
 
IV.3 Hipóteses básicas para o cálculo 
 
As hipóteses para o cálculo no estado-limite último estão no item 17.1.2 da NBR 6118:2003 e 
são as seguintes: 
 
1. Seções transversais permanecem planas: do início da deformação até o estado-
limite último; as deformações são, em cada ponto, proporcionais a sua distância à 
linha neutra da seção. 
2. Solidariedade dos materiais: admite-se solidariedade perfeita entre o concreto e a 
armadura; dessa forma, a deformação específica de uma barra da armadura, em tração 
ou compressão, é igual à deformação específica do concreto adjacente. 
3. Tensões de tração no concreto podem ser desprezadas. 
4. Caracterização da ruína da peça para qualquer tipo de flexão feita através das 
deformações específicas de cálculo do concreto (εc) e do aço (εs). 
5. Encurtamentos últimos (máximos) do concreto: no estado-limite último, o 
encurtamento específico de ruptura do concreto vale: 
a. Nas seções não inteiramente comprimidas (flexão): εc = 3,5‰. 
b. Nas seções inteiramente comprimidas: εc = 2,0‰. 
6. Alongamento último das armaduras: o alongamento máximo permitido ao longo da 
armadura tracionada é εs = 10‰. 
7. Admite-se que a distribuição de tensões no concreto seja feita de acordo com o 
diagrama parábola-retângulo apresentado no capítulo II. 
 
IV.4 Domínios de dimensionamento 
 
Conforme já apontado, a ruína da seção transversal para qualquer tipo de flexão no estado-
limite último é caracterizada pelas deformações específicas de cálculo do concreto e do aço, 
que atingem os valores últimos das deformações específicas desses materiais. 
 
Os conjuntos de deformações específicas do concreto e do aço ao longo de uma seção 
transversal retangular com armadura simples (só tracionada) submetida a ações normais 
definem seis domínios de deformação esquematizados na Figura IV.2. Os domínios 
representam as diversas possibilidades de ruína da seção; a cada par de deformações 
específicas de cálculo εc e εs correspondem um esforço normal, se houver, e um momento 
fletor atuantes na seção. 
 
Estruturas de Concreto Armado I __UFRJ/FAU/DE 
24 
 
Figura IV.2 – Domínios de deformação no estado-limite último em uma seção transversal (Figura 
17.1, NBR 6118:2003). 
 
Domínio 1 
 
O estado último é caracterizado pela deformação εsd = 10‰. A linha neutra é externa à seção 
transversal, a qual está inteiramente tracionada. 
 
Neste domínio estão incluídos os casos de tração axial e de tração excêntrica com pequena 
excentricidade. 
 
A seção resistente é composta pelas armaduras deaço, não havendo participação resistente do 
concreto que é admitido inteiramente fissurado. 
 
Domínio 2 
 
O estado limite último é caracterizado pela deformação εsd = 10‰. A linha neutra corta a 
seção transversal, havendo na peça um banzo tracionado e um banzo comprimido. 
 
Neste domínio, estão incluídos os casos de tração excêntrica com grande excentricidade, de 
flexão pura e de compressão excêntrica com grande excentricidade. 
 
Na peça existe um banzo tracionado, mas o concreto da zona comprimida não atinge a 
ruptura, pois esta somente poderá ocorrer na posição limite no fim do domínio 2, quando, 
então, εcd = 3,5‰. 
 
Observando a Figura IV.2, percebe-se que no limite entre os domínios 2 e 3, a linha neutra se 
encontra a uma profundidade igual a: 
 
3,5 ‰
x2 = 
10‰
d − x2 ∴ x2 = 0,259 . d 
 
 
 
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25 
Domínio 3 
 
O estado limite último é caracterizado pela deformação εcd = 3,5‰. A linha neutra corta a 
seção transversal, havendo um banzo comprimido e outro tracionado. 
 
Na situação última (limite entre o domínio 3 e 4), a deformação da armadura tracionada é pelo 
menos igual à deformação de início de escoamento. Assim, a ruptura do concreto ocorre 
simultaneamente com o escoamento da armadura. Esta é a situação desejável para projeto, 
pois os dois materiais são aproveitados inteiramente e, além disso, não há risco de ruína não 
avisada. 
 
As peças que chegam ao estado último no domínio 3 são ditas peças subarmadas (na verdade 
deveriam ser chamadas de peças normalmente armadas). 
 
Neste domínio também estão incluídos os casos de tração excêntrica com grande 
excentricidade, de flexão pura e de compressão excêntrica com grande excentricidade. 
 
O domínio 3 é limitado pela condição: 
 
3,5 ‰
x3 = 
εyd
d − x3 ∴ x3 = 
0,0035
 εyd + 0,0035 d 
 
que é variável com o tipo de aço empregado. 
 
Domínio 4 
 
O estado limite último é caracterizado pela deformação εcd = 3,5‰. A linha neutra corta a 
seção transversal, havendo um banzo comprimido e outro tracionado. 
 
No estado último, a deformação da armadura é inferior à deformação de início de escoamento. 
A ruptura da peça ocorre, portanto, de forma frágil, não avisada, pois o concreto se rompe 
sem que a armadura tracionada possa provocar uma fissuração que sirva de advertência. 
 
As peças que chegam ao estado limite último no domínio 4 são ditas superarmadas, devendo 
ser evitadas tanto quanto possível. 
 
No domínio 4 estão incluídos apenas os casos de compressão excêntrica com grande 
excentricidade. Existe predominância do efeito de compressão, embora a excentricidade não 
possa ser chamada de pequena, pois a peça ainda apresenta um banzo tracionado. 
 
O domínio 4 é limitado pela condição: 
 
x4 = d 
 
sendo nula a deformação da chamada armadura de tração a qual, na situação limite, não é 
solicitada. 
 
 
 
 
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26 
Domínio 4a 
 
O estado limite último é caracterizado pela deformação εcd = 3,5‰. A linha neutra ainda corta 
a seção transversal, mas na região de cobrimento da armadura menos comprimida. 
 
No domínio 4a, as armaduras estão comprimidas, embora sejam usualmente desprezíveis as 
tensões na armadura menos comprimida. 
 
O domínio 4a é um simples domínio de transição conceitual, estando limitado por uma 
posição da linha neutra tangente à fibra extrema da seção, sendo, pois: 
 
x4a = d 
 
Domínio 5 
 
No domínio 5, estão incluídos os casos de flexo-compressão com pequena excentricidade e o 
caso limite da compressão centrada. A linha neutra não corta a seção transversal a qual se 
encontra inteiramente comprimida. 
 
Admite-se que neste domínio seja variável a deformação última do concreto. Toma-se 2‰ na 
compressão uniforme e 3,5‰ na flexo-compressão com linha neutra tangente à seção. 
 
Os diagramas de deformação nos dois casos limites citados cruzam-se no ponto C, afastado de 
3
7 h da borda mais comprimida da seção, como decorrência da hipótese de que o estado 
último seja caracterizado por εcd = 2,0‰ na compressão uniforme e εcd = 3,5‰ na flexo-
compressão. 
 
A ruptura é frágil, sem aviso, pois o concreto se rompe com encurtamento da armadura. Não 
há fissuração nem deformação que sirvam de advertência. 
 
IV.5 Cálculo das áreas de aço necessárias para combate à flexão normal 
 
Considerando equações de equilíbrio de uma dada seção de concreto armado e as hipóteses 
estabelecidas no item IV.3, chega-se às seguintes expressões para o cálculo da armadura 
longitudinal em lajes sob flexão normal: 
 
kmd = 0,68 . kx − 0,272 . kx2 (IV.4)
 
kz = 1 − 0,4 . kx (IV.5)
 
As = 
Msd
kz . d . fs (IV.6) 
 
 
Onde 
 
kmd = 
Msd
bw . d 2 . fcd (IV.7) 
 
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27 
kx = 
x
d (IV.8) 
 
e As é área necessária de armadura longitudinal e fs é a tensão associada a essa armadura 
devida aos esforços atuantes. 
 
A partir dos parâmetros adimensionais gerados (kmd, kz e kx), obtém-se a Tabela D.1. 
 
ROTEIRO PARA CÁLCULO DAS ARMADURAS LONGITUDINAIS EM LAJES 
 
1. Calcular através da Eq. (IV.7) o valor de kmd. 
2. Com o valor de kmd, buscar na Tabela D.1 os valores de kx e kz, além da tensão 
associada à armadura (fs) 
3. Com kx, determinar o domínio de dimensionamento: 
 
a. Se aço CA-25: 
i. kx > 0,771 Domínio 4 (deve ser evitado) 
ii. 0,259 < kx < 0,771 Domínio 3 (ideal) 
iii. kx < 0,259 Domínio 2 (admissível) 
 
b. Se aço CA-50: 
i. kx > 0,628 Domínio 4 (deve ser evitado) 
ii. 0,259 < kx < 0,628 Domínio 3 (ideal) 
iii. kx < 0,259 Domínio 2 (admissível) 
 
c. Se aço CA-60: 
i. kx > 0,590 Domínio 4 (deve ser evitado) 
ii. 0,259 < kx < 0,590 Domínio 3 (ideal) 
iii. kx < 0,259 Domínio 2 (admissível) 
 
Com kz e fs e considerando a Eq. (IV.6), calcula-se a área de aço necessária. 
 
 
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28 
V. PROJETO DE LAJES MACIÇAS EM CONCRETO ARMADO 
 
V.1 Tipos de laje 
 
Sob o ponto de vista estrutural, lajes são elementos estruturais de concreto, com superfície 
plana, em que a dimensão perpendicular à superfície, usualmente chamada espessura, é muito 
menor do que as demais (largura e comprimento). 
 
Esses elementos são submetidos, principalmente, a ações normais (perpendiculares) a seu 
plano e têm como função, em edifícios de concreto armado, transferir as cargas que atuam 
sobre os pavimentos para os elementos que as sustentam (vigas). 
 
Há vários tipos de concepções para as lajes de concreto armado: 
 
• Lajes maciças: 
 
Figura V.1 – Ilustração de uma laje maciça em concreto armado apoiada nas bordas por vigas. 
 
 
Figura V.2 – Edifício em construção com lajes maciças em concreto armado. 
 
 
o São constituídas por peças maciças de concreto armado, sendo o tipo mais 
comum em edificações. 
o Não tem grande capacidade portante (estrutural), devido à pequena relação 
rigidez / peso. 
o Dimensões (vãos) variando entre 3m e 6m podendo-se chegar a 8m. 
Estruturas de Concreto Armado I __UFRJ/FAU/DE 
29 
o Há necessidade de se utilizar fôrmas, sendo uma opção anti-econômica caso 
não haja repetição de pavimentos. 
o Necessita de uma grande quantidade de vigas, o que dificulta a execução das 
formas. 
o Funcionam como elementos de contraventamento (diafragmas rígidos) e de 
enrijecimento (vigas). 
o Permite uma grande versatilidade geométrica das peças constituintes da 
edificação, pois são moldadas in loco. 
 
• Lajes pré-fabricadas (vide Figura V.3 e Figura V.4): 
 
o Existem diversos tipos e são fabricadas seguindo um rígido controle de 
qualidade. 
o Podem ser constituídas por vigotas treliçadas ou armadas, que funcionam como 
elementos resistentes, cujos vãos são preenchidos com blocos cerâmicos ou de 
cimento. Nesse caso, a solidarização do conjunto é feita com uma capa 
superior de concreto com espessura, geralmente, de 4cm. 
o Outra possibilidade é a utilização de painéis pré-fabricados protendidos ou 
treliçados, apoiados diretamente sobreas vigas de concreto ou metálicas 
(estrutura mista), dispensando elemento de vedação. 
o A maior vantagem desse tipo de laje é a rapidez de execução. 
o Podem possuir vãos que variam de 4m a 8m podendo atingir 15m. 
 
• Lajes nervuradas (vide Figura V.5): 
 
o São utilizadas quando se deseja vencer grandes vãos e/ou grandes sobrecargas. 
o O aumento do desempenho estrutural é obtido pela ausência de concreto entre 
as nervuras, que possibilita um alívio de peso não comprometendo sua inércia. 
o Para a execução das nervuras, são empregadas formas reutilizáveis ou não, 
confeccionadas normalmente em material plástico, polipropileno ou 
poliestireno expandido. 
o Devido à grande concentração de tensões na região de encontro da laje 
nervurada com o pilar, deve-se criar uma região maciça para absorver os 
momentos decorrentes do efeito de punção (perfuração da laje pelo pilar). 
 
 
Figura V.3 – Lajes pré-fabricadas. 
 
Estruturas de Concreto Armado I __UFRJ/FAU/DE 
30 
 
 
 
(a) 
 
 
(b) 
 
 
(c) 
 
Figura V.4 – Ilustração de painéis para lajes pré-fabricadas: 
(a) tipos π e alveolar; (b) tipos T e múltiplos T; e (c) tipo U invertido. 
 
 
Figura V.5 – Lajes nervuradas. 
 
 
 
 
 
 
Estruturas de Concreto Armado I __UFRJ/FAU/DE 
31 
• Lajes cogumelo: 
 
o São lajes apoiadas diretamente sobre os pilares por intermédio de capitéis, 
mostrados na Figura V.6, que têm a função de absorver os esforços de punção 
presentes na ligação laje-pilar. 
o O dimensionamento é feito com base nos esforços de cisalhamento, que são 
preponderantes sobre os esforços de flexão. 
 
 
 
Figura V.6 – Ilustração de lajes cogumelo com capitéis e com engrossamentos. 
 
• Lajes lisas (vide Figura V.7): 
 
 
Figura V.7 – Ilustração de laje lisa ou plana. 
o São apoiadas diretamente nos pilares sem o uso de capitéis ou engrossamentos. 
o Ausência de recortes nas lajes permite a redução no tempo de execução das 
formas, além da redução expressiva do desperdício de materiais. 
o Como não há capitéis ou engrossamentos, o dimensionamento deve ser muito 
criterioso observando atentamente a possibilidade de puncionamento. Para 
combatê-lo, podem ser utilizados conectores ou chapas metálicas na junção 
entre a laje e o pilar. 
 
Nesse curso será abordado apenas o dimensionamento das lajes maciças em concreto armado. 
 
 
 
 
 
 
 
Estruturas de Concreto Armado I __UFRJ/FAU/DE 
32 
V.2 Roteiro para cálculo de lajes maciças em concreto armado 
 
Como visto no item III desta apostila, pelo processo de discretização do pavimento de uma 
edificação, obtêm-se várias lajes que deverão ser dimensionadas isoladamente. 
 
Para o dimensionamento dessas lajes isoladas, sugere-se o seguinte roteiro: 
1. Pré-dimensionamento das espessuras e dos vãos teóricos das lajes. 
2. Determinação das condições mais adequadas de vinculação das lajes (apoios nos bordos 
das lajes). 
3. Cálculo das cargas atuantes. 
4. Verificação das flechas. 
5. Cálculo dos momentos fletores. 
6. Cálculo das áreas de aço necessárias para combate à flexão; 
7. Determinação das armaduras longitudinais; 
7. Cálculo das reações das lajes nas vigas de apoio; 
8. Verificação do efeito das forças cortantes; 
9. Detalhamento das armaduras. 
 
V.3 Dimensionamento e detalhamento de lajes maciças em concreto armado 
 
V.3.1 Pré-dimensionamento das espessuras e dos vãos teóricos das lajes 
 
! DICA: Pode-se usar para pré-dimensionamento da espessura das lajes um valor entre 
lx
40 e 
lx
50 para lajes comuns e 
lx
12,5 para lajes em balanço, onde lx é o menor vão da 
laje, respeitando-se as espessuras mínimas recomendadas na NBR 6118:2003. 
 
V.3.1.1 Espessuras mínimas das lajes (h) 
 
A NBR 6118:2003, item 13.2.4.1, estipula valores mínimos para a espessura das lajes que 
DEVEM ser respeitados: 
• 5cm para lajes de cobertura não em balanço. 
• 7cm para lajes de piso ou de cobertura em balanço. 
• 10cm para lajes que suportem veículos de peso total menor ou igual a 30kN. 
• 12cm para lajes que suportem veículos de peso total maior ou igual a 30kN. 
• 15cm para lajes com protensão apoiadas em vigas, l / 42 para lajes de piso biapoiadas e 
l / 50, onde l é o menor vão da laje. 
• 16cm para lajes lisas e 14cm para lajes-cogumelo. 
 
 
V.3.1.2 Vãos teóricos de lajes (l) 
 
Para determinação do vão teórico segundo a NBR 6118:2003 Anexo A. 
Usualmente, adota-se um sistema de eixos nas lajes onde x é a direção do menor vão e y é a 
direção do maior vão (Figura V.8). 
 
Estruturas de Concreto Armado I __UFRJ/FAU/DE 
33 
 
Figura V.8 – Eixos e definição dos vãos lx
 
e ly. 
 
! DICA: Pode-se considerar para o vão teórico, conservadoramente, lef = lo + 
t1
2 + 
t2
2 , onde lo é 
a distância entre faces internas de dois apoios consecutivos, e t1 e t2 são as larguras desses 
apoios. 
 
V.3.2 Condições de vinculação dos bordos das lajes (condições de contorno) 
 
Como visto no capítulo III, a complexidade da descrição do comportamento conjunto das 
lajes em uma estrutura força a adoção de algumas hipóteses simplificadoras de forma a 
viabilizar a análise individual de cada painel de laje. 
 
Uma dessas hipóteses está relacionada à forma como os bordos da laje se comportam. Na 
metodologia de análise aqui proposta, os bordos da laje poderão ter três tipos de 
comportamento distintos, isto é, poderão estar engastados, apoiados ou livres (Tabela V.1). 
 
Tabela V.1 – Tipos de condições de contorno nos bordos de uma laje. 
Tipo de condição 
de contorno Símbolo Restrição Esforços gerados 
ENGASTE 
Deslocamentos e 
rotações Forças e momentos
APOIO Deslocamentos Forças 
LIVRE Sem restrição Não gera esforços 
 
No que vem a seguir, para as situações usualmente encontradas no projeto de lajes, serão 
apresentadas as condições de contorno sugeridas. 
 
 
1. Primeira situação: Bordo da laje analisada não é comum a nenhuma outra laje. 
 
Nessa situação, há duas possibilidades: 
• Se o bordo estiver sobre uma viga, então considera-se APOIADO. 
• Se não houver viga, trata-se de um bordo LIVRE. 
Estruturas de Concreto Armado I __UFRJ/FAU/DE 
34 
 
2. Segunda situação: Bordo da laje é comum a outras lajes e todas as lajes estão no mesmo nível. 
 
Nesta situação (Figuras V.9 e V.10), independente da espessura das lajes, considera-se o 
bordo ENGASTADO. 
 
3. Terceira situação: Bordo da laje é comum a outras lajes e as lajes estão desniveladas. 
 
Nesta situação (Figuras V.11 a V.13), deve-se verificar o valor do rebaixamento (r). Se o 
rebaixamento for inferior à espessura da laje superior (h1) (Figura V.11), considera-se que o 
bordo está ENGASTADO, caso contrário o bordo será considerado APOIADO. 
 
4. Quarta situação: Lajes com mudança de direção (lajes inclinadas). 
 
Neste caso, o bordo comum às duas lajes (Figura V.14) é assumido como ENGASTADO. 
 
5. Quinta situação: Lajes parcialmente contínuas. 
 
Uma situação muito comum na prática é a ocorrência de um bordo parcialmente engastado ou 
apoiado, como apontado na Figura V.15. Neste caso, a análise da laje torna-se bastante 
complexa e, por simplificação, tende-se a assumir que o bordo ou está totalmente engastado 
ou totalmente apoiado. 
 
Para tanto, propõe-se o seguinte critério prático (Figuras V.16 e V.17): 
 
Se l2 ≥ 
2
3 . l1, então os bordos das lajes L1 e L2 estão ENGASTADOS. 
Se l2 < 
2
3 . l1, então o bordo da laje L1 está APOIADO e o da laje L2 está ENGASTADO. 
 
6. Sexta situação: Laje adjacente à laje em balanço. 
 
Nesta situação, a laje em balanço (Figura V.18) será sempre considerada ENGASTADA no 
bordo continuamente ligado à outra laje. Por outro lado, a laje contígua tem o bordo 
APOIADO, dada a impossibilidade da laje em balanço restringir as rotações que surgem nesse 
bordo. Despreza-se, no entanto, o momento (meng) que seria imposto no bordo da laje L1 para 
simplificaros cálculos. 
 
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35 
 
 
Figura V.9 – Lajes em nível, de mesma espessura, e suas condições de contorno. 
 
 
Figura V.10 – Lajes em nível, de espessuras distintas, e suas condições de contorno. 
 
 
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36 
 
Figura V.11 – Lajes em desnível. 
 
 
Figura V.12 – Condições de contorno das lajes desniveladas para o caso em que r < h1. 
 
 
Figura V.13 – Condições de contorno das lajes desniveladas para o caso em que r ≥ h1. 
 
 
Figura V.14 – Laje inclinada (rampa). 
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37 
 
Figura V.15 – Lajes parcialmente contínuas e condição de contorno mista (engaste-apoio) para o 
bordo da laje L1. 
 
Figura V.16 – Condições de contorno em lajes parcialmente contínuas para l2 ≥ 
2
3 . l1. 
 
Figura V.17 – Condições de contorno em lajes parcialmente contínuas para l2 < 
2
3 . l1. 
 
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38 
 
 
 
Figura V.18 – Laje adjacente à laje em balanço. 
 
EXERCÍCIO RESOLVIDO IV.1: Determine as condições de contorno nas lajes L1 a L10 
apresentadas na planta de formas abaixo. Notar que a laje L1 está rebaixada de 25 cm em 
relação às demais. 
 
Estruturas de Concreto Armado I __UFRJ/FAU/DE 
39 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Laje L1: 
lx = 500 + 0,5*20 + 0,5*15 = 517,5cm 
ly = 500 + 0,5*20 + 0,5*20 = 520,0cm 
 
Laje L2: 
lx = 200 + 0,5*15 + 0,5*15 = 215,0cm 
ly = 500 + 0,5*15 + 0,5*20 = 517,5cm 
 
Laje L3: 
lx = 400 + 0,5*15 + 0,5*20 = 417,5cm 
ly = 500 + 0,5*15 + 0,5*20 = 517,5cm 
 
Laje L4: 
lx = 190 + 0,5*15 + 0,5*15 = 205,0cm 
ly = 400 + 0,5*15 + 0,5*20 = 417,5cm 
 
Laje L5: 
lx = 200 + 0,5*15 + 0,5*20 = 217,5cm 
ly = 500 + 0,5*20 + 0,5*15 = 517,5cm 
 
Laje L6: 
lx = 200 + 0,5*15 + 0,5*15 = 215,0cm 
ly = 200 + 0,5*15 + 0,5*20 = 217,5cm 
 
Laje L7: 
lx = 185 + 0,5*15 + 0,5*15 = 200,0cm 
ly = 200 + 0,5*15 + 0,5*15 = 215,0cm 
 
Laje L8: 
lx = 500 + 0,5*20 + 0,5*15 = 517,5cm 
ly = 500 + 0,5*20 + 0,5*15 = 517,5cm 
 
Laje L9: 
lx = 200 + 0,5*15 + 0,5*15 = 215,0cm 
ly = 500 + 0,5*20 + 0,5*15 = 517,5cm 
 
Laje L10: 
lx = 400 + 0,5*15 + 0,5*20 = 417,5cm 
ly = 500 + 0,5*20 + 0,5*15 = 517,5cm 
 
 
 
 
 
Estruturas de Concreto Armado I __UFRJ/FAU/DE 
40 
EXERCÍCIO PROPOSTO IV.1: Determine os vãos teóricos e as condições de contorno das 
lajes L1 a L4 apresentadas na planta de formas abaixo. 
 
 
 
EXERCÍCIO PROPOSTO IV.2: Determine as condições de contorno nas lajes L1 a L8 
apresentadas na planta de formas abaixo. 
 
 
 
 
Estruturas de Concreto Armado I __UFRJ/FAU/DE 
41 
V.3.3 Cargas atuantes sobre lajes 
 
V.3.3.1 Ações a considerar 
 
No cálculo dos esforços solicitantes deverá ser considerada a influência das cargas 
permanentes e acidentais e de todas as ações que possam produzir esforços importantes. 
 
Neste curso, serão consideradas apenas cargas permanentes e acidentais. Não serão tratados 
efeitos indiretos tais como variação de temperatura, retração ou deformação lenta do concreto 
ou ainda cargas de ocorrência excepcional como as provocadas por choque (veículos ou 
aeronaves), vibração de equipamentos entre outras. 
 
V.3.3.2 Cargas permanentes 
 
As cargas permanentes das lajes são oriundas do peso próprio, da camada de regularização do 
piso, da argamassa de assentamento, dos revestimentos cerâmicos ou naturais, enchimentos e 
alvenarias (definidas no projeto de arquitetura). 
 
# Peso-Próprio 
 
O peso específico do concreto armado é definido como um carregamento volumétrico 
causado pela aceleração da gravidade. No caso de lajes (elementos bidimensionais), rebaixa-
se em uma dimensão a ordem deste carregamento, obtendo-se uma carga distribuída pela área 
da estrutura, conforme demonstrado na Figura V.19. 
 
 
Figura V.19 – Distribuição do peso-próprio em lajes. 
 
Essa redução de ordem é feita com uso da dimensão não-predominante, ou seja, a espessura 
da laje. Deste modo, considerando o peso específico do concreto armado igual a 25 kN / m3, o 
peso próprio da laje é dado por: 
 
gp = γc . h = 25 . h , em kN / m2 (V.1) 
 
# Revestimento 
 
É composto por diversas parcelas, tais como: camada de regularização, argamassa de 
assentamento, revestimentos cerâmicos ou naturais. Este carregamento depende do 
acabamento a ser utilizado na construção e é representado esquematicamente na Figura V.20. 
Estruturas de Concreto Armado I __UFRJ/FAU/DE 
42 
 
Figura V.20 – Carregamento devido ao revestimento. 
 
A NBR 6120:1980 apresenta os pesos específicos dos materiais de construção frequentemente 
empregados em revestimentos de pisos. A Tabela D.2 são apresentados alguns desses valores. 
 
A carga devida ao revestimento é dada por: 
 
gR = Σ γR . hR (V.2) 
 
onde hR é a espessura do revestimento. 
! DICA: Na ausência de um valor definido, pode-se, também, utilizar o valor prático gR = 
1,0 kN/m2
 
para revestimentos cerâmicos ou de madeira, e gR = 1,5 kN/m
2 para revestimentos 
de granito ou mármore. 
 
ALVENARIA 
 
Este carregamento somente será considerado quando existirem paredes descarregando sobre 
as lajes. Dois métodos podem ser utilizados para a determinação do carregamento 
parcialmente distribuído sobre a laje: 
 
1. Método rigoroso: 
 
Consiste em se empregar programas computacionais, baseados nas placas por elementos 
finitos, podendo-se definir carregamentos e condições de contorno complexas. A utilização 
deste método é recomendável nos casos em que se deve verificar o efeito localizado 
produzido por um carregamento parcial ou em casos que fogem ao usual. 
 
2. Método simplificado: 
 
Devido à inexistência de tabelas que considerem a disposição das alvenarias sobre as lajes, 
deve-se introduzir este carregamento de maneira aproximada, de modo a produzir resultados 
qualitativamente confiáveis. Esta aproximação consiste em: 
(i) Se 1 ≤ lylx ≤ 2 (Figura V.21) (laje armada em cruz), distribui-se uniformemente o 
carregamento das alvenarias sobre a laje, ou seja: 
 
gA = 
γA (eA . hA . cA)
 lx . ly , em kN/m
2 (V.3) 
 
Estruturas de Concreto Armado I __UFRJ/FAU/DE 
43 
onde γA é o peso específico da alvenaria (NBR 6120, Tabela D.3); eA é a espessura da alvenaria acabada, hA é a altura da parede (pé-direito), e cA é o comprimento total das paredes 
sobre a laje e lx e ly são os vãos teóricos da laje. 
 
Figura V.21 – Paredes sobre laje armada em cruz. 
 
O comprimento da parede, se apoiada sobre as vigas da laje, deve ser tomado de eixo das 
vigas. Além disso, o comprimento deve ser medido segundo a linha média da parede. 
 
(ii) Se 
ly
lx > 2 (laje armada em uma só direção) e a parede é disposta segundo a menor 
dimensão da laje: nesse caso, recomenda-se adotar uma faixa resistente de 1m de largura, 
segundo o maior vão da laje, conforme mostrado na Figura V.22. 
 
Figura V.22 – Parede disposta sobre o menor vão de uma laje armada em uma só direção. 
 
Nessa situação: 
 
gA = γA . (eA . hA), em kN/m (V.4) 
 
O carregamento devido à alvenaria, disposta longitudinalmente, em relação à faixa unitária, 
será representado como uma carga por unidade de comprimento em um modelo de viga 
equivalente (será explicado mais adiante). 
 
Estruturas de Concreto Armado I __UFRJ/FAU/DE 
44 
(iii) Se 
ly
lx > 2 (laje armada em uma só direção) e a parede é disposta segundo a maior 
dimensão da laje: nesse caso, recomenda-se adotar uma faixa resistente de 1m de largura, 
segundo o menor vão da laje, conforme a Figura V.23. O carregamento devido à alvenaria 
será representado como uma carga concentrada no modelo de viga equivalente. Essa carga é 
dada por: 
Gp = γA . (eA . hA), em kN (V.5) 
 
Figura V.23 – Parede disposta sobre o maior vão de uma laje armada em uma só direção. 
 
V.3.3.3 Cargas acidentais 
 
As cargas acidentais que atuam em uma laje são definidas em função do seu uso. Nesta 
categoria, estão incluídos pessoas, móveis, materiaisdiversos, veículos, utensílios domésticos, 
equipamentos etc (Figura V.24). 
 
Figura V.24 – Cargas acidentais atuantes sobre laje. 
 
Os valores das sobrecargas podem ser obtidos na NBR 6120:1980. Na Tabela D.4, são 
apresentados alguns desses valores. A NBR 6120:1980, item 2.2.1.5, sugere ainda que, ao 
longo de parapeitos e balcões, devem ser consideradas uma carga horizontal de 0,8 kN/m na 
altura do corrimão ou letreiro e uma carga vertical mínima de 2,0 kN/m. 
 
V.3.3.4 Carga total sobre a laje 
 
A carga total sobre a laje (gT) é dada pela soma das cargas permanentes e acidentais atuantes, 
ou seja: 
 
gt = gP + gR + gA + q (V.6) 
Estruturas de Concreto Armado I __UFRJ/FAU/DE 
45 
 
V.3.4 Determinação das flechas (Estado Limite de Deformação Excessiva) 
 
V.3.4.1 Lajes sem bordos livres 
 
A flecha (deslocamento transversal máximo de uma barra reta ou placa) para lajes submetidas 
a carregamento uniforme e com diferentes condições de contorno (Tabela D.5) é calculada 
através de: 
 
f = 
g . lx4
 Ecs . h3 . 
α
100 (V.7) 
 
onde: f é a flecha na laje; g é o carregamento atuante; h é a espessura da laje; Ecs é o módulo 
de elasticidade secante do concreto, Eqs. (II.3) e (II.4); e α é um coeficiente, função da 
relação entre os vãos e das condições de contorno da laje, dado pelos valores apresentados na 
Tabela D.5. 
 
V.3.4.2 Lajes em balanço 
 
Para lajes em balanço, têm-se as seguintes expressões: 
 
Tabela V.2 – Flechas em lajes em balanço. 
Condição de contorno Flecha 
 
f = 
3
2 
. 
g . lx4
Ecs . h3 
 
f = 4 . 
P . lx3
Ecs . h3 
 
f = 6 . 
M . lx2
Ecs . h3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estruturas de Concreto Armado I __UFRJ/FAU/DE 
46 
 
V.3.4.3 Deslocamentos-limite impostos pela NBR 6118:2003 
 
Como definido no item 13.3 da NBR 6118:2003, “deslocamentos-limite são valores práticos 
utilizados para verificar o estado-limite de deformações excessivas da estrutura”. Os 
deslocamentos excessivos e a tendência à vibração dos elementos estruturais podem ser 
indesejáveis por diversos motivos, a saber: 
 • Aceitabilidade sensorial: o limite é caracterizado por vibrações indesejáveis ou efeito 
visual desagradável. Limites para esses casos são apresentados na Tabela D.6 (Tabela 
3.12 da NBR 6118:2003). 
 • Efeitos específicos: os deslocamentos podem impedir a utilização adequada da 
construção; limites para esses casos são apresentados também na Tabela D.6. 
 • Efeitos em elementos não estruturais: deslocamentos estruturais podem ocasionar o 
mau funcionamento de elementos que, apesar de não fazerem parte da estrutura, estão 
ligados a ela (Tabela D.6). 
 • Efeitos em elementos estruturais: os deslocamentos podem afetar o comportamento 
do elemento estrutural, provocando afastamento em relação às hipóteses de cálculo 
adotadas. 
 
Observando a Tabela D.6, nota-se que, nas lajes maciças para edificações residenciais 
considerando a condição de aceitabilidade sensorial, os seguintes deslocamentos-limite 
deverão ser considerados: 
 1. Carga total: 
lx
250 
 2. Carga acidental: 
lx
350 
 3. Lajes em balanço: o vão é igual ao dobro do comprimento do balanço, daí 
lx
125 para 
carga global e 
lx
175 para carga acidental. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estruturas de Concreto Armado I __UFRJ/FAU/DE 
47 
V.3.5 Cálculo dos esforços em lajes 
 
V.3.5.1 Determinação dos momentos máximos nas direções x e y em lajes sem bordos livres 
 
Os momentos fletores máximos, sendo os positivos designados pela letra m e os negativos 
pela letra n, são determinados pelas Eqs. (V.8) e (V.9). 
 
 1. Momentos máximos positivos, por unidade de comprimento, nas direções x e y. 
 

mx = µx 
. 
g . lx2
100 
my = µy . g . lx
2
100
 
(V.8) 
 
 2. Momentos máximos negativos, por unidade de comprimento, nas direções x e y. 
 

nx = -µx´ 
. 
g . lx2
100 
ny = -µy´ . g . lx
2
100
 
(V.9) 
 
onde lx é o menor vão teórico da laje; µx, µy, µx´ e µy´ são coeficientes fornecidos nas 
Tabelas D.7 a D.9. 
 
Com relação aos valores calculados, cabe destacar que: 
 • Os momentos são calculados para uma faixa unitária de laje e para lajes isoladas. 
Assim, tem como unidade (considerando a carga em kN/m2 e o vão em m) kNm/m. 
 • Os coeficientes indicados nas tabelas levam a valores extremos dos momentos e, 
portanto, não expressam a variação de esforços ao longo da placa. 
 • Os momentos positivos ocorrem ao longo dos vãos das lajes (Figura V.25). 
 • Os momentos negativos ocorrem nas bordas engastadas das lajes. Caso não haja 
bordas engastadas, não se consideram momentos negativos (Figura V.25). 
 • No caso de momentos negativos em face comum a duas lajes, é usual considerar o 
maior valor entre a média dos momentos e 80% do maior momento fletor (Figura 
V.26). 
 
 
V.3.5.2 Determinação dos momentos máximos em lajes em balanço 
 
Nesta apostila, somente será considerado o caso da laje em balanço. Para essa situação, 
consideram-se os casos apresentados na Tabela V.3. 
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Figura V.25 – Momentos fletores em lajes sem bordos livres. 
 
Figura V.26 – Regra para compatibilização, em um mesmo bordo da laje, dos momentos negativos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estruturas de Concreto Armado I __UFRJ/FAU/DE 
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Tabela V.3 – Momentos fletores para lajes em balanço. 
Condição de contorno / carregamento Momento negativo máximo 
 
nx = - 
g . lx2
2 
 
nx = - P . lx 
 
nx = - M 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXEMPLO RESOLVIDO IV.2: 
 
(a) Determinar o carregamento total (cargas permanentes e acidentais) a ser aplicado na laje 
L1 correspondente aos compartimentos indicados na planta de arquitetura da figura abaixo. 
(b) Verificar as flechas totais e acidentais de acordo com o critério de aceitabilidade sensorial 
descrito na NBR 6118:2003. Considerar f
ck 
= 25MPa. 
(c) Calcular os momentos fletores atuantes. 
 
Considerar alvenaria composta por tijolos furados, altura do pé-direito 2,70m, largura das 
vigas externas 22cm e internas 17 cm, e espessura da laje igual a 7cm (espessura mínima). 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. Carga permanente: 
 
Peso próprio: gP = 25 . 0,07 = 1,75 kN/m
2 
Revestimento (não informado): gR = 1,00 kN/m
2 
Alvenaria: gA = 
13 . 0,17 . 2,70 . (4,825 + 1,670)
4,825 . 5,605 = 1,43 kN/m
2 
L1 
 
h = 7,0 cm = 0,07 m 
ly = 506,5cm = 5,065 m 
lx = 482,5 cm 
= 4,825 m 
167,0cm = 1,670 m 
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2. Carga acidental (banheiro e dormitório): q = 1,50 kN/m2 
 
3. Carga total: 
 
Permanente: gpermanente = 4,18 kN/m
2 
Acidental: q = 1,50 kN/m2 
Total: gT = gP + gR + gA + q = 5,68 kN/m
2 
 
4. Determinação do módulo longitudinal secante do concreto: 
 
Ecs = 0,85 . 5600 . fck [MPa] = 23800 MPa = 23800000 
kN
m2 
 
5. Verificação da flecha devida ao carregamento total: 
 
λ = 
ly
lx = 
506,5
482,5 = 1,05 
 
Da Tabela D.5, caso 4, tem-se: α = 2,67 
 
De acordo com a Eq. (V.7): fg = 
4,18 . (4,825)4
23800000 . (0,07)3 . 
2,67
100 = 0,0074 m = 7,4 mm 
 
A flecha admissível vale (NBR 6118:2003): fadm,g = 
4,825
250 = 0,0193 m = 19,3 mm 
 
Como f
g 
< f
adm,g
, a flecha para cargas globais está OK! 
 
6. Verificação da flecha devida ao carregamento acidental: 
 
De acordo com a Eq. (V.7): fq = 
1,50 . (4,825)4
23800000 . (0,07)3 . 
2,67
100 = 0,0027 m = 2,7 mm 
 
A flecha admissível vale (NBR 6118:2003): fadm,q = 
4,825
350 = 0,0137 m = 13,7 
mm 
 
Como fq < fadm,q, a flecha para cargas acidentais está OK! 
 
7. Determinação dos coeficientes µx, µy, µx´, e µy´ 
Relação entre os vãos: λ = 
ly
lx = 
506,5
482,5 = 1,05 
Condições de contorno: Caso 4 
 
Consultando as tabelas apresentadas: µx = 3,05; µx´ = 7,43; µy = 2,81; µy´ = 7,18 
 
 
 
Estruturas de Concreto Armado I __UFRJ/FAU/DE 
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8. Cálculo