MATEMÁTICA FINANCEIRA

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MATEMÁTICA FINANCEIRA 
Unidade Barra – Noite 
5ª Feira – 18:25 às 20:25hs.
2018-2
Prof. Antonio Gonçalves
CURSOS DE ADMINISTRAÇÃO,
CIÊNCIAS ECONÔMICAS E CIÊNCIAS 
CONTÁBEIS
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Antonio Gonçalves
Ementa
A disciplina aborda os conceitos e cálculos da Matemática 
Financeira que envolve juros simples, desconto simples, juros 
compostos, desconto composto, taxa de juros, séries financeiras, 
amortização e empréstimos.
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OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
1. Entender o conceito de juros e saber diferenciar taxas nominais, taxas efetivas 
e taxas reais de juro; 
2. Aplicar juros simples e juros compostos e descontos para resolver problemas 
do cotidiano;
3. Analisar alternativas de investimentos e analisar o custo benefício. 
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CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
1 – Conceitos Iniciais da Matemática Financeira – Porcentagem - Equivalência no tempo
2 – Juros simples - Aplicações financeiras em juros simples
3 –Juros Simples - Taxas proporcionais em juros Simples
4 – Juros Compostos - Aplicações financeiras de juros compostos
5 –Juros Compostos - Taxas Equivalentes em Juro Composto- Juros composto usando a calculadora HP-12C
6 – Desconto Simples - Aplicações financeiras em desconto simples
7 – Desconto Composto - Desconto Composto no regime racional
8 – Desconto Composto - Desconto Composto no regime comercial
9 –Fluxo de Caixa -Classificação dos Fluxos de Caixas - Séries Uniformes postecipadas
10 – Fluxo de Caixa - Séries Uniformes antecipadas
11– Fluxo de Caixa - Séries perpétuas
12 – Amortização - Conceitos iniciais de amortização de empréstimos
13 – Sistema de amortização de empréstimo - Sistema de Amortização Constante (SAC)
14 – Sistema de amortização de empréstimo - Sistema de Amortização Constante (SAC)
15 – Sistema de amortização de empréstimo - Sistema de Amortização Francês (SAF)
16 – Sistema de amortização de empréstimo - Sistema de Amortização Francês (SAF)
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BIBLIOGRAFIA BÁSICA
-SAMANEZ, Carlos P. Matemática Financeira: aplicações à análise de investimentos- 5ª edição. 
-São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010. [Disponível na biblioteca virtual]
-CASTANHEIRA, Nelson P.; MACEDO, Luiz Roberto D. Matemática Financeira Aplicada - 1ª edição. 
-Curitiba:Intersaberes, 2012.[Disponível na biblioteca virtual]
-GIMENES, Cristiano M. Matemática financeira com Hp 12c e excel: uma abordagem descomplicada.
- São Paulo: Person Prentice Hall, 2006.[Disponível na biblioteca virtual]
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR
-MERCHEDE, Alberto. HP-12C: cálculos e aplicações financeiras: exercícios interativos. 
-São Paulo: Atlas, 2009. [Disponível na biblioteca virtual]
-NASCIMENTO, Marco Aurélio. Introdução à matemática financeira.
-São Paulo: Saraiva, 2007. [Disponível na biblioteca virtual]
-WAKAMATSU, A. Matemática financeira. São Paulo: Person Prentice Hall, 2012.
- [Disponível na biblioteca virtual]
-VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Manual de aplicações financeiras HP-12C:
- tradicional, platinum, prestige. 3. ed. São Paulo: Atlas, 2008. [Disponível na biblioteca virtual]
-ASSAF NETO, Alexandre. Matemática financeira: edição universitária. Rio de Janeiro: Atlas, 2017.
[Disponível na biblioteca virtual]
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PROCESSOS E PROCEDIMENTOS DE AVALIAÇÃO
1ª Avaliação ( AV1 )
Prova escrita individual valendo 10 pontos – 27/09/2018
2ª Avaliação ( AV2 )
Prova escrita individual valendo 10 pontos – 06/12/2018
3ª Avaliação ( AV3 )
Prova escrita individual valendo 10 pontos – 20/12/2018
MATEMÁTICA FINANCEIRA
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Definição:
Matemática Financeira
Ciência que estuda o valor do dinheiro no tempo.
É uma ferramenta que auxilia no processo de tomada de decisões financeiras.
Uma decisão financeira é aquela que visa a maximização da rentabilidade do capital
empregado.
Essa rentabilidade se estabelece a partir do valor do dinheiro no tempo.
Partindo da premissa de que existem aplicações financeiras disponíveis no mercado
– poupança, renda fixa, títulos do governo... – podemos, hoje, aplicar R$ 100,00 e,
no futuro, teremos R$ 100,00 mais os juros referentes a essa aplicação.
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Uso da Matemática Financeira
A Matemática Financeira trata dos cálculos que nos permitem manipular valores financeiros ao longo
do tempo, com o objetivo de fazer comparações consistentes entre diferentes alternativas de investimentos.
Na prática, a Matemática Financeira é uma ferramenta que nos permite:
 Calcular o valor de uma prestação;
 Calcular o saldo devedor de um financiamento;
 Decidir qual a melhor forma de financiamento;
 Checar se um determinado investimento vai dar lucro ou prejuízo;
 Verificar se é melhor alugar ou comprar um equipamento / imóvel;
 Saber quanto devemos poupar mensalmente para atingir um determinado objetivo;
 Verificar a viabilidade econômica de um projeto de investimento;
 Saber quanto tempo um projeto leva para dar lucro;
 Saber qual é a taxa que o projeto vai render ao longo do tempo;
 Verificar se a taxa paga pelo projeto é atrativa, etc.
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Conceitos Básicos – Introdução
A seguir são apresentados os conceitos básicos e os principais fundamentos que se 
baseia o estudo da Matemática Financeira.
Fluxo de Caixa
Fluxo de Caixa – Conceitos e Convenções Básicas
Denomina-se fluxo de caixa o conjunto de entradas e saídas de dinheiro (caixa) ao longo do tempo. 
Podem-se ter fluxos de caixa de empresas, de investimentos, de projetos, de operações financeiras etc.
A elaboração do fluxo de caixa é indispensável na análise de rentabilidades e custos de operações
financeiras, e no estudo de viabilidade econômica de projetos e investimentos.
O diagrama do fluxo de caixa é apresentado conforme o esquema abaixo:
Eixo Horizontal do Tempo (Período)
( + ) Recebimento (entrada) Linha do Tempo
( - ) Pagamento (saída) 
0 1 2 ... n
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Convenções:
• As entradas de caixa que correspondem aos recebimentos são representadas por setas apontadas para
cima, têm sinais positivos;
• As saídas de caixa que correspondem aos pagamentos são representadas por setas apontadas para
baixo, têm sinais negativos;
• A escala horizontal representa o tempo, divididos em períodos e são expressos em dias, semanas,
meses, trimestres, semestres ou anos. Assim o ponto 0 representa a data inicial (hoje) e o ponto 1 indica o
final do 1° período, e assim por diante.
• Os intervalos de tempo de todos os períodos são iguais;
• Os valores monetários ( $ ) só podem ser colocados no início ou no final de cada período, dependendo da
convenção adotada.
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Juros
Conceito: - Define-se juros como sendo a remuneração do capital, a qualquer título.
Desta forma, são aceitas algumas expressões como conceito de juros:
• remuneração do capital empregado em atividades produtivas;
• custo do capital de terceiros;
• remuneração paga pelas instituições financeiras sobre o capital investido;
• remuneração cobrada pelas instituições financeiras sobre o capital emprestado.
Unidade de Medida
Os juros são fixados por meio de uma taxa percentual que sempre se refere a 
uma unidade de tempo (ano, semestre, trimestre, mês, dia).
Exemplos: 15% ao ano = 15% a.a.
5% ao semestre = 5% a.s.
10% ao trimestre = 10% a.t.
4% ao mês = 4% a.m.
1% ao dia = 1% a.d.
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Regimes de Juros
 Na Matemática Financeirasão estudados os regimes de Juros Simples e de Juros Compostos.
 No regime de Juros Simples, apenas o capital inicial, também denominado de principal, rende juros.
 Neste caso, os juros não são capitalizados, portanto não rendem juros.
 No regime de Juros Compostos, o capital inicial é acumulado aos juros do período e aplica-se novamente
gerando novos juros sobre esse novo total, e assim sucessivamente.
 Os regimes de juros serão abordados de maneira específica ao longo deste estudo.
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O Valor do Dinheiro no Tempo
 A Matemática Financeira estuda o valor do dinheiro no tempo, que está interligada à existência da taxa de
juros.
 O conceito de valor do dinheiro no tempo define que um mesmo valor financeiro em momentos
diferentes possui valores diferentes em razão da taxa de juros.
 A partir desse conceito, $ 1.000,00 hoje não são iguais a $ 1.000,00 em qualquer outra data, pois o
dinheiro é reajustado ao longo do tempo devido à taxa de juros do período.
 Desta forma, um capital de $ 1.000,00 aplicado hoje a uma taxa de juros de 5% ao ano, irá gerar um
rendimento de $ 50,00 ao final de um ano, proporcionando assim um montante de $ 1.050,00 ao final do
período (1 ano).
 Pode-se afirmar então que $ 1.000,00 hoje ou $ 1.050,00 daqui a um ano são indiferentes se a taxa de
juros do período for igual a 5% ao ano.
 Como conclusão, é possível afirmar que um determinado valor só será igual em momentos diferentes, se
a taxa de juros do período for igual a zero. O que é considerado irreal no ambiente financeiro.
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Taxa de Juros ( i )
Definição: É a razão entre os juros recebidos (ou pagos) no fim de um período de tempo e o capital
inicialmente empregado. É a renumeração da unidade de capital empregado por um prazo igual aquele da
taxa.
Ex: 12% a.a. Se empregarmos um certo capital àquela taxa, por um ano obteremos 12% do capital.
São apresentadas de dois modos:
Forma Percentual:
A taxa é aplicada a centos do capital, ou seja, se obtém após dividir o capital por 100.
Forma Unitária/Decimal:
A taxa refere-se à unidade do capital, ou seja, estamos calculando o que rende a aplicação de uma Unidade
de capital no intervalo de tempo referido pela taxa.
Se tivermos uma taxa de 0,12 ao ano, então a aplicação de R$1,00 por um ano gera de juros R$ 0,12.
Para transformar forma percentual em decimal, basta dividir a taxa expressa na forma porcentual por 100.
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A transformação da taxa percentual em unitária se processa simplesmente pela divisão da notação em 
percentual por 100. 
Para a transformação inversa, basta multiplicar a taxa unitária por 100.
Nas fórmulas de Matemática Financeira todos os cálculos são efetuados utilizando-se a taxa unitária de juros. 
Porém, nos enunciados e respostas dos exercícios devem ser sempre indicados pela taxa percentual. 
Abaixo, exemplos de conversão das taxas:
Taxa Percentual Taxa Unitária
1,5% 0,015
17% 0,17
120% 1,20
1.500% 15,0
Transformação de Taxa de Juros
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Tempo ( n )
Definição: É o prazo em que o capital é investido ou prazo de compra de determinado bem
ou investimento. Esse prazo pode ser mensal, semestral, anual, etc.
Juros ( J )
Definição: É a remuneração do capital emprestado, podendo ser entendido, de forma simplificada,
como sendo o aluguel pago pelo uso do dinheiro.
Para calcularmos os juros, precisamos da taxa de juros, do valor da operação (Capital) e do prazo.
Ex: Qual os juros de um capital de R$ 100, 00, investido por um mês a uma taxa de 10% a.m.?
Juros ( J ) = Capital ( C ) x Taxa ( i ) x Tempo ( n )  J = C x i x n
J = R$ 100,00 x 10% x 1 = R$ 10,00
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Montante (M) ou Valor Futuro (VF)
Definição: É o resultado final do capital investido (capital) mais a remuneração do capital (juros).
Ex:
Qual será o montante, ao investir um capital de R$ 100, 00, por um mês a uma taxa de 10% a.m.?
Montante ( M ) = Capital ( C ) + Juros ( J )  M = C + J
J = C x i x n  J = R$ 100,00 x 10% x 1 = R$10,00
M = C + J  M = R$ 100,00 + R$ 10,00 = R$ 110,00
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Juros Simples
Definição: 
Neste regime, a remuneração pelo capital inicial aplicado (também chamado Principal) 
é diretamente proporcional ao valor e ao tempo de aplicação. O fator de proporcionalidade é a taxa de juros.
No regime de capitalização simples os juros incidem somente sobre o capital inicial da operação
(aplicação ou empréstimo).
O valor dos juros simples é calculado a partir da expressão:
J = C x i x n
Onde: J = valor dos juros expressos em unidades monetárias;
C = capital. É o valor (em $) representativo de determinado momento;
i = taxa de juros, expressa na forma unitária
n = prazo
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Esta fórmula é básica tanto para o cálculo dos juros como dos outros valores financeiros 
mediante simples dedução algébrica:
Para o Capital: Para a Taxa de Juro: Para o Prazo:
J J J
C = ─────── i = ─────── n = ───────
i x n C x n C x i
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Nas fórmulas de matemática financeira, tanto o prazo da operação como a taxa de juros devem 
necessariamente estar expressos na mesma unidade de tempo. 
Por exemplo, uma aplicação rende juros de 2% ao mês e os rendimentos são creditados mensalmente. 
Neste caso, a regra básica é atendida, e pode-se efetuar, pois a taxa é mensal e os rendimentos também. 
Mas pode ocorrer, por exemplo, uma taxa anual para uma aplicação mensal. 
Como não há coincidências de prazos deve-se transformar a taxa anual para o período da aplicação. 
Portanto, só devem-se efetuar os cálculos financeiros quando o prazo e a taxa estejam na mesma unidade 
de tempo.
Ex: 12% ao ano = 6% ao semestre = 4% ao trimestre = 3% ao quadrimestre e 1% ao mês
Transformação de taxas juros em função do tempo
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Exemplo 1:
Uma empresa toma emprestado a quantia de R$ 1.000,00 pelo prazo de 2 (dois) anos
e taxa de 10% ao ano. Qual o valor a ser pago como juros ao final do período?
C = 1.000,00
i = 10% a.a.
n = 2 anos
J = C x i x n J = 1.000,00 x 0,10 x 2 anos J = 200,00
Exemplo 2: 
Após somar todas as vendas, você verificou que o bazar beneficente de uma instituição rendeu R$ 1.000,00 
e a obra que será empregada acontecerá daqui a 1 ano e 2 meses. Um banco está oferecendo 3% ao mês 
numa aplicação de juros simples, qual será o montante obtido se a instituição optar por aplicar esse valor?
C = 1.000,00 
i = 3% a.m. 
n = 1 ano e 2 meses = 14 meses
J = C x i x n J = 1.000,00 x 0,03 x 14 meses J = 420,00
Montante (M) = Capital (C) + Juros (J) = 1.000,00 + 420,00 = R$ 1.420,00 
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Montante e Capital
Um determinado capital, quando aplicado a uma taxa periódica de juro por determinado tempo, produz 
um valor acumulado denominado de montante, e identificado em juros simples por M. 
Em outras palavras, o montante é constituído do capital mais o valor acumulado dos juros, isto é:
Montante (M) = Capital (C) + Juros (J)
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No entanto, sabe-se que:
J = C x i x n
Substituindo esta expressão básica na fórmula acima e colocando-se C em evidência:
M = C + C x i x n
M = C [ 1 + (i x n) ] 
Evidentemente que o valor de C(capital) desta fórmula pode ser obtido através de simples transformação 
algébrica:
M
C = ──────────
[ 1 + (i x n) ]
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 A expressão [ 1 + (i x n) ] é definidacomo fator de capitalização (ou de valor futuro) dos juros simples. 
 Ao multiplicar um capital por esse fator, corrige-se o seu valor para uma data futura, determinando o 
montante. 
 O inverso, ou seja, 1 / [ 1 + ( i x n ) ] é denominado de fator de atualização (ou de valor presente).
 Ao se aplicar o fator sobre um valor expresso em uma data futura, apura-se o seu equivalente numa data 
atual.
Fator de Capitalização e Fator de Atualização
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Utilizando o exemplo do tópico anterior, então teríamos:
Exemplo: 
Após somar todas as vendas, você verificou que o bazar beneficente de uma instituição rendeu R$ 
1.000,00 e a obra que será empregada acontecerá daqui a 1 ano e 2 meses. Um banco está oferecendo 
3% ao mês numa aplicação de juros simples, qual será o montante obtido se a instituição optar por aplicar 
esse valor?
C = 1.000,00 
i = 3% a.m. = 0,03
n = 1 ano e 2 meses = 14 meses
J = C x i x n J = 1.000,00 x 0,03 x 14 meses J = 420,00
Para calcular o Montante utilizando a fórmula:
M = C [ 1 +( i x n )] M = 1.000,00 ( 1 + 0,03 x 14 meses ) = R$ 1.420,00
Para conferir o valor do Capital, utilizando a fórmula:
M
C = ────────── C = 1.420 / (1 + 0,03 x 14 meses) = R$ 1.000,00 
[ 1 + ( i x n )]
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Taxa Proporcional e Taxa Equivalente
Para se conhecer o significado dessas taxas deve-se reconhecer que toda operação envolve dois prazos: 
 o prazo a que se refere a taxa de juros;
 o prazo de capitalização (ocorrência) dos juros.
Como exemplo, admita um empréstimo bancário a uma taxa nominal de 24% ao ano.
O prazo a que se refere especificamente a taxa de juros é anual. 
A seguir deve-se identificar a periodicidade de ocorrência dos juros. 
Ao se estabelecer que os encargos (juros) incidirão sobre o capital somente ao final de cada ano, os dois 
prazos considerados são coincidentes.
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Taxa Equivalente
Exemplo: 
Uma fatura foi paga com atraso de 12 dias. O banco cobra uma taxa de 13% ao mês nesses casos. 
Se o valor da fatura é de R$ 700,00, quanto deverá ser o valor da fatura paga por este atraso?
Período: 12 dias
Taxa: 13% ao mês
13% a.m. /30 dias = 0,43% ao dia = taxa equivalente ao dia de 13% ao mês
M = C x [ 1 + (i x n)] = 700,00 x [ 1 + (0,43/100 x 12)] = 700,00 x 1,052 = 
M = R$ 736,40
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No regime de juros simples, taxas proporcionais (nominais ou lineares) e taxas equivalentes são 
consideradas a mesma coisa, sendo indiferente a classificação de duas taxas de juros como proporcionais 
ou equivalentes.
Por fim, é preciso encontrar a equivalência de taxas quando o período de capitalização informado não 
corresponde ao período em que a taxa está expressa.
Por exemplo:
 A taxa está expressa em dias e você quer saber qual é a taxa mensal.
 O banco informa a taxa mensal cobrada e a empresa quer saber a taxa diária.
 A remuneração é informada ao trimestre e você quer saber qual é a remuneração mensal.
 A corretora de valores sugere uma aplicação para 60 dias, informa a taxa para o período e você quer saber
quanto receberá por mês.
 A financeira afirma cobrar juros mensais e você quer saber quanto irá pagar de juros anuais.
Em capitalização simples, basta multiplicar ou dividir a taxa informada pelo número de períodos da taxa 
procurada, como pode ser visto no quadro a seguir.
Taxas Proporcionais e Taxas Equivalentes em Juros Simples
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Taxa informada em Taxa procurada Cálculo
Dia Mês Multiplicar a taxa diária por 30
Mês Ano Multiplicar a taxa mensal por 12
Semana Mês Multiplicar a taxa semanal por 4,5
Trimestre Ano Multiplicar a taxa trimestral por 4
Mês Dia Dividir a taxa mensal por 30
Ano Mês Dividir a taxa anual por 12
Semana Dia Dividir a taxa semanal por 7
Quadrimestre Mês Dividir a taxa quadrimestral por 4
Taxas Equivalentes em Regime de Capitalização Simples
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Aplicando em alguns exemplos as taxas equivalentes:
1) A taxa cobrada é de 0,3% ao dia e você quer saber qual a taxa mensal?
Fator de multiplicação = 30 (n° de dias em um mês)
0,3/100 = 0,003 x 30 = 0,09 x 100 = 9,0% ao mês
2) O banco informa que a taxa mensal cobrada é 12%, e a empresa quer saber a taxa diária?
Fator de divisão = 30 (n° de dias do mês)
12/100 = 0,12 / 30 dias = 0,004 x 100 = 0,4% ao dia
3) A remuneração é informada como 2,4% ao trimestre, e você quer saber qual é a remuneração mensal?
Fator de divisão = 3 (n° de meses do trimestre)
2,4/100 = 0,024 / 3 = 0,008 x 100 = 0,8% ao mês
4) A corretora de valores sugere uma aplicação para 60 dias e informa a taxa para o período como de 1,9%. 
Você quer saber quanto receberá por mês?
Fator de divisão = 2 ( n° de meses em 60 dias)
1,9/100 = 0,019 / 2 = 0,0095 x 100 = 0,95% ao mês
5) A financeira afirma cobrar juros mensais de 3,5%, e você quer saber quanto irá pagar de juros anuais?
Fator de multiplicação = 12 (n° de meses em um ano)
3,5/100 = 0,035 x 12 = 0,42 x 100 = 42% ao ano
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Juros Compostos
 O regime de juros compostos considera que os juros formados em cada 
período são acrescidos ao capital formando o montante (capital mais juros) do período. 
 Este montante por sua vez, passará a render juros no período seguinte formando um
novo montante (constituído do capital inicial, dos juros acumulados e dos juros sobre os
juros formados em períodos anteriores), e assim por diante.
 Este processo de formação dos juros é diferente daquele descrito para os juros simples,
onde unicamente o capital rende juros, não ocorrendo remuneração sobre os juros 
formados em períodos anteriores.
 Tecnicamente, o regime de juros compostos é superior ao dos juros simples, 
principalmente pela possibilidade de fracionamento dos prazos. 
 No critério composto, a equivalência entre capitais pode ser apurada em qualquer data,
retratando melhor a realidade das operações que o regime linear.
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Fórmulas de Juros Compostos
No regime de juros compostos, os juros são capitalizados, produzindo juros sobre juros 
periodicamente. 
Para melhor desenvolver este conceito e definir suas fórmulas de cálculo, admita 
ilustrativamente uma aplicação de $ 1.000,00 a taxa composta de 10% ao mês. 
Identificando-se por PV o Valor Presente (Capital) e FV o Valor Futuro (Montante),
tem-se os seguintes resultados ao final de cada período:
obs: a nomenclatura utilizada PV e FV é para familiarizar o usuário com as calculadoras 
financeiras e significam, respectivamente, Present Value (Valor Presente em inglês) e 
Future Value (Valor Futuro em inglês).
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Final do 1° mês:
O capital de $ 1.000,00 produz juros de $ 100,00 (10% x $ 1.000,00) e um montante 
de $ 1.100,00 ( $ 1.000,00 + $ 100,00 ), ou seja:
FV = 1.000,00 x ( 1 + 0,10 ) = $ 1.100,00
Final do 2° mês:
O montante do mês anterior ( $ 1.100,00 ) é o capital deste 2° mês, servindo de 
base para o cálculo dos juros deste período, ou seja:
FV = 1.000,00 x ( 1 + 0,10 ) x ( 1 + 0,10 )
FV = 1.000,00 x ( 1 + 0,10 )2 = $ 1.210,00
O montante do 2° mês pode ser decomposto assim:
$ 1.000,00 capital aplicado
$ 100,00 juros referentes ao 1° mês ( 10% x 1.000,00 )
$ 100,00 juros referentes ao 2° mês ( 10% x 1.000,00 )
$ 10,00 juros sobre os juros produzidos no 1° mês ( 10% x 100,00 )
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Final do 3° mês: 
Dando sequência ao raciocínio de juros compostos:
FV = 1.000,00 x ( 1 + 0,10) x ( 1 + 0,10 ) x ( 1 + 0,10 )
FV = 1.000,00 x ( 1 + 0,10 )3 = $ 1.331,00
Final do enésimo mês:
Aplicando-se a evolução dos juros compostos exposta para cada um dos meses,
o montante (valor futuro) acumulado ao final o período atinge:
FV = 1.000,00 x ( 1 + 0,10 ) x ( 1 + 0,10 ) x ( 1 + 0,10 ) ... ( 1 + 0,10 )
FV = 1.000,00 x ( 1 + 0,10 )n
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Generalizando-se: Fórmulas do Valor Futuro (FV) e Valor Presente (PV)
FV
FV = PV ( 1 + i )n e PV = ────────
( 1 + i )n
Onde ( 1 + i )n é o fator de capitalização.
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ANO VALOR INICIAL JUROS OBTIDOS VALOR FINAL
1 $1.000,00 $100,00 $1.100,00
2 $1.100,00 $110,00 $1.210,00
3 $ 1.210,00 $121,00 $1.331,00
4 $1.331,00 $133,10 $1.464,10
5 $1.464,10 $146,41 $1.610,51
A tabela abaixo mostra a progressão dos juros compostos para uma 
aplicação financeira de $ 1.000,00, a taxa de 10% a.a. pelo período de 
5 (cinco) anos:
Obs: Total dos juros obtidos = $ 610,51
FV = PV x ( 1 + i )n
FV = $ 1.000,00 x ( 1 + 0,10 )5 = $ 1.610,51
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Por outro lado sabe-se que o valor monetário dos juros ( J ) é apurado pela 
diferença entre o montante ( FV ) e o capital ( PV ), podendo-se obter o seu 
resultado também pela seguinte expressão:
J = FV – PV
Como:
FV = PV ( 1 + i )n
Colocando-se PV em evidência:
J = PV . [ ( 1 + i )n – 1 ] 
Utilizando o exemplo da tabela anterior, teríamos:
J = PV . [ ( 1 + i )n – 1 ] = $ 1.000,00 [ ( 1 + 0,10 )5 – 1 ]
J = $ 610,51
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Por outro lado se quiséssemos saber o valor do capital ( PV ) aplicado para um
montante ( FV ) de $ 1.610,51, teríamos então a expressão:
PV = FV / (1 + i) n
assim: 
PV = $1.610,51 / ( 1 + 0,10 )5
PV = $1.610,51 / 1,61051 
PV = $1.000,00
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Fórmula Geral para Juros Compostos
Valor Futuro
VF = VP (1 + i )n
Valor Presente
VP = VF / (1 + i )n
Taxa de Juros
i = ( VF / VP)1/n - 1
Número de Períodos (Tempo)
n = Ln (VF/VP) / Ln(1 + i )
Onde: VP = Valor Presente
VF = Valor Futuro
i = Taxa de juro
n = N° de períodos (tempo)
Ln = Logaritmo
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Exercícios exemplo de juros compostos:
1) Foi aplicado um valor de $ 40.000 a taxa de juros composta de 8,2% ao mês por um
período de 6 meses. Calcular o valor do montante final desta operação.
PV = $40.000,00
i = 8,2% a.m.
n = 6 meses 
FV = ? 
VF = VP (1 + i )n
FV = 40.000 x ( 1 + 0,082 )6 = 40.000 x 1,605 = $ 64.183,52
2) Uma aplicação financeira produz $900.000 de montante durante um período de 8 meses aplicados 
a uma taxa de juros composta de 4% ao mês. Determine o valor aplicado inicialmente neste operação.
FV = $900.000,00
i = 4,0% a.m.
n = 8 meses 
PV = ?
VP = FV / (1 + i )n
PV = 900.000 / ( 1 + 0,04 ) 8 = 900.000 / 1,368 = $ 657.621,18
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Exercícios propostos:
1) Uma empresa aplicou $ 8.000 a 5% ao bimestre de juros compostos, durante
1 ano e 10 meses. Qual o valor do capital acumulado? R: $ 13.682,71
2) A empresa Celta investiu $4.500 aplicados a juros compostos durante 5 anos
a taxa de 8,5% ao ano. Calcule o montante produzido e os juros auferidos.
R: $ 6.766,46
3) Um investimento de $ 480.000 foi aplicado a 5% ao mês de juros compostos. 
Calcule o valor do montante final após 8 meses de aplicação. R: $ 709.178,61
4) A empresa MSM aplicou $ 185.000.000 à taxa composta de 7% ao trimestre, 
durante 4 anos. Qual o valor do capital acumulado no final do período? 
R: $ 546.150.293,50
5) A empresa XYZ aplicou R$ 46.000.000 a uma taxa de 2% ao mês, e 2 meses
depois aplicou $ 34.000.000 a uma taxa de 1,5%. Qual o montante das 
aplicações após um ano da primeira aplicação? 
R: $ 58.339.122,55 e $ 39.458.388,05 e M = $ 97.797.510,60.
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Exemplos:
1) Suponha que você tenha $ 2.000,00 hoje e se investir em uma instituição financeira terá em
dois anos $ 2.420,00. Qual é a taxa de juros compostos anual que a instituição está pagando pela sua 
aplicação?
i = ( VF / VP)1/n - 1 então: i = (2.420 / 2.000)1/2 – 1 = 10,0% ao ano
Comprovando pela fórmula geral : VF = VP ( 1 + i )n
2.420 = 2.000 ( 1 + 0,10 )2
2.420 = 2.000 (1,21)
2.420 = 2.420
2) Se você obteve $ 4.147,20 ao final de um período pela aplicação de $ 2.000,00 a juros compostos. 
Determine por quanto tempo o dinheiro ficou aplicado sabendo que a taxa de juros era de 20% a.a.? 
n = Ln (VF/VP) / Ln( 1 + i ) então: n = Ln (4.147,20/2.000) / Ln (1 + 20/100) =
= Ln 2,0736 / Ln 1,2 = 0,729286 / 0,182321 = 4 anos
Comprovando pela fórmula geral: VF = VP ( 1 + i )n
4.147,20 = 2.000 ( 1 + 0,20 )4
4.147,20 = 2.000 ( 1,20)4
4.147,20 = 2.000 (2,0736)
4.147,20 = 4.147,20
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Taxa Nominal e Taxa Efetiva
A taxa efetiva de juros é a taxa dos juros apurada durante todo o prazo n, sendo 
formada exponencialmente através dos períodos de capitalização.
Ou seja, taxa efetiva é o processo de formação dos juros pelo regime de juros 
compostos ao longo dos períodos de capitalização. 
É obtida através da seguinte expressão:
• Onde n representa o número de períodos de capitalização dos juros.
Por exemplo, uma taxa de 3,8% ao mês determina um montante efetivo de juros de 
56,45% ao ano, ou seja:
if = ( 1 + 3,8/100 )
12 – 1 = (1,038)12 = 56,45% a.a.
Taxa Efetiva ( if ) = ( 1 + i )
n – 1
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Quando se diz, por outro lado, que uma taxa de juros é nominal, 
geralmente é admitido que o prazo de capitalização dos juros (ou seja, 
período de formação e incorporação dos juros ao principal) não é o mesmo
daquele definido para a taxa de juros.
Por exemplo:
Seja a taxa nominal de juros de 36% ao ano, capitalizada mensalmente. 
Os prazos não são coincidentes. 
O prazo de capitalização é de um mês e o prazo a que se refere a taxa de juros igual 
a 1 ano (12 meses).
Assim 36% ao ano não representam uma taxa nominal de juros, expressa para um 
período inteiro, a qual deve ser atribuída ao período de capitalização.
Quando se trata de taxa nominal é comum admitir-se que a capitalização ocorre por 
juros proporcionais simples. 
Assim, no exemplo, a taxa por período de capitalização é de:
36% / 12 = 3% ao mês (taxa proporcional ou linear).
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Ao se capitalizar essa taxa nominal, apura-se uma taxa efetiva de juros
superior aquela declarada para a operação. 
Baseando-se nos dados do exemplo anterior, tem-se:
Taxa nominal da operação para o período = 36% ao ano
Taxa proporcional simples:
(taxa definida para o período de capitalização) = 3% ao mês.
Taxa efetiva de juros: 
if = [ 1 + (36/100)/12 )
12 ] – 1 = (1,03)12 - 1 = 42,58% a.a.
Observe que a taxa nominal não revela a taxa efetiva de juros da operação. 
Ao afirmar que os juros anuais são de 36%, mas capitalizados mensalmente, apura-se 
que a taxa efetiva de juros atinge 42,58% ao ano.
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Para que 36% ao ano seja considerada a taxa efetiva, a formação mensal dos
juros deveria ser feita a partir da taxa equivalente composta, ou seja:
Taxa Equivalente Mensal de 36% a.a. 
in = 
n√(1+i) – 1
i12 = 
12√ (1 + 0,36) - 1 = 12√ (1,36) - 1 = 2,6% ao mês
Ao capitalizar exponencialmente esta taxa de juros equivalente mensal chega-se, 
evidentemente, aos 36% ao ano:
Taxa Efetiva Anual: if = ( 1 + 2,6/100 )
12 – 1 = (1,026)12 - 1 = 36% a.a.
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Um empréstimo no valor de $ 11.000,00 é efetuado pelo prazo de 
um ano à taxa nominal (linear) de juros de 32% ao ano, capitalizados 
trimestralmente. 
Pede-se determinar o montante e o custo efetivo do empréstimo.
(de acordo com a convenção, a taxa de juros pelo período de capitalização seja 
proporcional simples)
Taxa nominal (linear) = 32% a.a.
Descapitalização proporcional = 32% / 4 trimestres = 8% ao trimestre
Montante do empréstimo:
FV = PV ( 1 + i )n
FV = 11.000,00 x (1,08)4
FV = $ 14.965,38
Taxa Efetiva:
if = ( 1 + 0,08)
4 – 1 = (1,08)4 if = 36,0% ao ano
Exemplo: 
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A Caderneta de Poupança no Brasil, paga juros anuais de 6% com capitalização
mensal à base de 0,5%. Instituída por Lei Federal e praticada por todas as instituições
financeiras autorizadas a operar com este instrumento de captação financeira.
Calcular a rentabilidade efetiva desta aplicação financeira.
Taxa Efetiva: if = (1 + i/n)
n – 1 
if = ( 1 + 0,06/12)
12 – 1 
if = ( 1 + 0,005)
12 – 1 
if = 6,17% ao ano
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Uma aplicação financeira promete pagar 42% ao ano de juros. 
Sendo de um mês o prazo da aplicação, pede-se determinar a sua
rentabilidade efetiva considerando os juros de 42% ao ano, como:
a) Taxa Efetiva b) Taxa nominal
Taxa Efetiva: – A rentabilidade mensal é a taxa equivalente composta de 42% a.a.
in = 
12√(1 + 0,42) - 1
in = 
12√(1,42) - 1
in = 2,97% ao mês
Capitalizando-se exponencialmente os juros de 2,97% ao mês, chega-se, evidentemente, 
à taxa efetiva anual de 42% ao ano.
( 1 + 2,97/100)12 – 1 = 42,0% ao ano
Taxa Nominal: A rentabilidade mensal de 42% ao ano é definida pela taxa
proporcional simples, isto é:
i = 42% / 12 = 3,5% ao mês
Ao se capitalizar exponencialmente esta taxa para o prazo de um ano, chega-se a um 
resultado efetivo superior à taxa nominal dada de 42% a.a.:
if = ( 1 + 3,5/100)
12 – 1 = 51,1% ao ano
Logo, 51,1% é a taxa efetiva anual da operação, sendo de 42% a taxa nominal.
Taxa Efetiva e Número de Períodos de Capitalização
À medida que o número de períodos de capitalização de uma taxa nominal de 
juros aumenta, a taxa efetiva também se eleva. Em outras palavras, quanto maior 
a frequência de capitalização de uma mesma taxa nominal, mais alto é o 
rendimento acumulado.
Para ilustrar, admita uma taxa nominal de 18% ao ano. 
A tabela a seguir apresenta a taxa efetiva anual para diferentes períodos de 
capitalização.
Período de 
Capitalização
Número 
de 
Períodos
Taxa 
Efetiva 
Anual
Anual 1 18,00%
Semestral 2 18,81%
Quadrimestral 3 19,10%
Trimestral 4 19,25%
Mensal 12 19,56%
Diário (*) 360 19,72%
Idiária = (1+0,18/360)
360 – 1
(1,0005)360 – 1 = 19,72% a.a.
(*)
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Taxa Efetiva e Número de Períodos de Capitalização
Observe que a taxa efetiva anual cresce conforme aumenta o número de períodos de 
incidência dos juros, produzindo um valor futuro maior.
Para uma mesma taxa nominal, pode-se concluir que:
 maior número de períodos de capitalização são mais interessantes aos 
aplicadores de recursos (investimentos), pois produzem maior 
rendimento acumulado efetivo. 
 para os tomadores de recursos (empréstimos), ao contrário, uma maior 
frequência na capitalização dos juros eleva o custo efetivo da operação.
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Taxa Real de Juros
– A Taxa Real de Juros é a taxa de juros nominal descontada a inflação do período
observado. 
Inflação
– É o fenômeno conhecido como o aumento persistente e generalizado dos preços de
bens e serviços na economia.
– Existem alguns fatores que provocam o fenômeno da inflação, entre eles: 
aumento dos custos de produção, aumento da demanda agregada, escassez de 
produtos, déficit público, emissão descontrolada de moeda, etc.
– É medida pela média ponderada dos preços de alguns produtos (cesta básica).
– No Brasil o índice oficial de inflação é medido pelo IPCA – Índice de Preços ao 
Consumidor Amplo (até 40 s.m´s) e é calculado pelo IBGE – Instituto Brasileiro 
de Geografia e Estatística (órgão oficial do Governo Federal).
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Taxa de Juros Real
– Em virtude de a inflação corroer o poder aquisitivo da moeda, é de fundamental
importância analisar a relação das taxas de juros com as taxas de inflação.
– Em determinadas circunstâncias uma aplicação financeira produz resultados que não 
refletem efetivamente o ganho dos investidores. Neste caso, quando o investidor não 
leva em consideração a inflação observada no período, poderá estar incorrendo em 
possíveis perdas ou em ganhos menores, em razão da corrosão provocada pela
inflação.
– É o que realmente o investimento proporcionou de retorno, descontada a inflação do
período. 
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Taxa Real de Juros
São as taxas utilizadas nas aplicações pós-fixadas.
A taxa de juros real não inclui a inflação estimada para o período. 
Ela pode ser calculada a partir de uma taxa nominal ou efetiva, excluindo-se a inflação 
nela embutida através da seguinte fórmula:
iReal = [( 1 + i ) / ( 1 + F )] – 1
onde: iReal = Taxa de Juros Real
i = Taxa de Juros Nominal
F = Inflação no período
Exemplo:
Suponha um país onde a taxa de inflação mensal seja de 20% ao mês. 
Se um empréstimo tem uma taxa mensal nominal de 26%. 
Qual a taxa real de juros deste empréstimo?
iReal = [( 1 + 0,26 ) / ( 1 + 0,20 )] – 1 iReal = 5,0%
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Exercícios:
1) Um investimento rendeu em um trimestre a taxa de juros nominal de 3,5%.
Sabe-se que, neste período, a inflação apresentou o seguinte comportamento: 
1° mês = 1,0%; 2º mês = 0,8% e no 3º mês = 0,9%. 
Determine a inflação acumulada no período e a taxa de juro real obtida no investimento.
2) Sabe-se que uma operação financeira rendeu em dois anos 21%. Durante este período
foi registrada uma inflação medida pelo IPCA de 6,25% no primeiro ano e 5,78% no segundo
ano. Defina a taxa de juro real desta aplicação financeira.
3) Um capital foi aplicado, por um ano, à taxa de juros igual a 22% a.a. No mesmo período, a taxa
de inflação foi de 12%. Qual a taxa real de juros?
4) Um capital foi aplicado por seis meses a uma taxa de 7% a.s. No mesmo período, a taxa
de inflação foi de 9%. Qual a taxa real da aplicação?
5) Durante dois semestres consecutivos, as taxas de inflação foram de 9% e 12%. Se um 
investidor aplicou seu dinheiro no mesmo período a uma taxa de juros de 19% a.a., qual 
sua taxa real de perda?
6) Calcule a taxa acumulada e a média das taxas de 5%, 2%, 1%, -3,5% e 4%.
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SÉRIES DE PAGAMENTOS UNIFORMES
É a série que mostra o retorno do capital através de pagamentos ou recebimentos iguais e 
periódicos. Este retorno ou pagamento do capital pode ser de um empréstimo, aquisição 
de um bem ou de um recebimento de pagamento ao longo de um determinado período de 
tempo.
Elementos: Notação
Valor Presente ou Valor Financiado ............................PV
Pagamento ou Prestação.............................................PMT
Taxa de Juros............................................................... i
Número de Pagamentos ou Recebimentos.................. n
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É importante destacar que os pagamentos/recebimentos podem se apresentar de
duas formas distintas: antecipadosou postecipados.
Série de Pagamentos/Recebimentos Antecipados
Neste sistema, os pagamentos/recebimentos são efetuados no início do período de
referência. Um exemplo sobre esse tipo de pagamento/recebimento são os que são
conceituados como sendo: pago para usar, ou seja, primeiro pago depois utilizo. 
Ex: taxa condominial.
Série de Pagamentos/Recebimentos Postecipados
Neste sistema, os pagamentos/recebimentos são efetuados no final do período de 
referência. Um exemplo sobre esse tipo de pagamento/recebimento são os que são 
conceituados como sendo: uso e pago, ou seja, primeiro utilizo depois pago. 
Ex: tarifa de energia elétrica.
Série de Pagamentos/Recebimentos Antecipados e Postecipados
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Fórmula da Prestação:
Para uma Série de N° de Pagamentos, periódicos, iguais e postecipados:
(1 + i)n x i 
PMT = PV x 
(1 + i)n – 1
Exemplo:
O preço à vista de um microcomputador é de $ 1.000,00. 
Entretanto o mesmo pode ser adquirido em 6 pagamentos mensais iguais, 
com o primeiro pagamento efetuado 30 dias após a compra.
Se, nos financiamentos a loja cobra a taxa efetiva de 5% ao mês, determinar
o pagamento mensal a ser efetuado.
Dados: PV = $ 1.000,00; n = 6 pagamentos; i = 5% a.m.; PMT = ?
PMT = 1.000 x [ (1 + 0,05)6 x 0,05 / (1 + 0,05)6 – 1 ] = 
= 1.000 x [ (1,34 x 0,05) / (1,34 - 1)] = 1.000 x [0,067 / 0,340] = $ 197,02 
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Fórmula da Prestação:
Para uma Série de N° de Pagamentos, periódicos, iguais e antecipados:
(1 + i)n-1 x i 
PMT = PV x 
(1 + i)n – 1
Exemplo:
O preço à vista de um microcomputador é de $ 1.000,00. 
Entretanto o mesmo pode ser adquirido em 6 pagamentos mensais iguais, 
com o primeiro pagamento efetuado como entrada.
Se, nos financiamentos a loja cobra a taxa efetiva de 5% ao mês, determinar
o pagamento mensal a ser efetuado.
Dados: PV = $ 1.000,00; n = 6 pagamentos; i = 5% a.m.; PMT = ?
PMT = 1.000 x [ (1 + 0,05)6-1 x 0,05 / (1 + 0,05)6 – 1 ] = 
= 1.000 x [ (1,2763 x 0,05) / (1,34 - 1)] = 1.000 x [0,0638 / 0,340] = $ 187,64 
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Série de Pagamentos Uniformes
Fórmulas genéricas para obtenção de Valor Presente (VP), Valor Futuro (VF),
Prestações ou pagamentos (PMT):
a) Dado PMT achar FV: FV = PMT x [ (1 + i)n - 1 / i ]
b) Dado FV achar PMT: PMT = FV x [ i / (1 + i)n – 1]
c) Dado PMT achar PV: PV = PMT x [ (1 + i)n - 1 / (1 + i)n x i ]
d) Dado PV achar PMT: PMT = PV x [ (1 + i)n x i / (1 + i)n – 1]
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Utilizando os dados do exemplo anterior para o teste das fórmulas, teremos:
O preço à vista de um microcomputador é de $ 1.000,00.
Entretanto o mesmo pode ser adquirido em 6 pagamentos mensais iguais, com o
primeiro pagamento efetuado 30 dias após a compra. Se, nos financiamentos a
loja cobra a taxa efetiva de 5% ao mês, determinar o valor futuro que será pago.
Dados: n = 6 pagamentos; i = 5% a.m.; PMT = 197,02; FV = ?
a) Dado PMT achar FV
FV = PMT x [ (1 + i)n - 1 / i ]
FV = 197,02 x [ (1 + 0,05)6 - 1 / 0,05 ] = 197,02 x [ 1,34 -1 / 0,05 ] 
= 197,02 x (0,34/0,05) = 197,02 x 6,80 = $ 1.340,11
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Utilizando os dados do exemplo anterior para o teste das fórmulas, teremos:
O preço à vista de um microcomputador é de $ 1.000,00.
Entretanto o mesmo pode ser adquirido em 6 pagamentos mensais iguais, com o
primeiro pagamento efetuado no ato da compra. Se, nos financiamentos a loja cobra a 
taxa efetiva de 5% ao mês, determinar o valor futuro (com pagto. antecipado) que 
será pago.
Dados: n = 6 pagamentos; i = 5% a.m.; PMT = 197,02; FV = ? (antecipado)
a) Dado PMT achar FV (antecipado)
FV = PMT x [ (1 + i)n - 1 / i x (1 + i) ]
FV = 197,02 x [ (1 + 0,05)6 - 1 / 0,05 x (1 + 0,05) ] = 197,02 x [ 1,34 -1 / 0,05 ] 
= 197,02 x (0,34/0,05 x 1,05) = 197,02 x 7,14 = $ 1.407,12
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Utilizando os dados do exemplo anterior para o teste das fórmulas, teremos:
O preço à vista de um microcomputador é de $ 1.000,00.
Entretanto o mesmo pode ser adquirido em 6 pagamentos mensais iguais, com o
primeiro pagamento efetuado 30 dias após a compra. Se, nos financiamentos a loja 
cobra a taxa efetiva de 5% ao mês, determinar o valor da prestação.
Dados: n = 6 pagamentos; i = 5% a.m.; PMT = ?; FV = 1.340,11
b) Dado FV achar PMT
PMT = FV x [ i /(1 + i)n – 1 ] 
PMT = 1.340,32 x [ 0,05 / (1 + 0,05)6 - 1] = 1.340,32 x [ 0,05 / 0,34 ] 
= 1.340,32 x 0,147017 = $ 197,02
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Utilizando os dados do exemplo anterior para o teste das fórmulas, teremos:
O preço à vista de um microcomputador é de $ 1.000,00.
Entretanto o mesmo pode ser adquirido em 6 pagamentos mensais iguais, com o
primeiro pagamento efetuado 30 dias após a compra. Se, nos financiamentos a loja cobra a 
taxa efetiva de 5% ao mês, determinar o valor presente.
Dados: n = 6 pagamentos; i = 5% a.m.; PMT = 197,02; PV = ?
c) Dado PMT achar PV
PV = PMT x [ (1 + i)n – 1 / (1 + i)n x i ] 
PV = 197,02 x [ (1 + 0,05)6 - 1 / (1 + 0,05)6 x 0,05] = 197,02 x [ 0,34 / 0,067 ] 
= 197,02 x 5,0757 = $ 1.000,00
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Utilizando os dados do exemplo anterior para o teste das fórmulas, teremos:
O preço à vista de um microcomputador é de $ 1.000,00.
Entretanto o mesmo pode ser adquirido em 6 pagamentos mensais iguais, com o
primeiro pagamento efetuado 30 dias após a compra. Se, nos financiamentos a loja 
cobra a taxa efetiva de 5% ao mês, determinar o valor da prestação.
Dados: n = 6 pagamentos; i = 5% a.m.; PV = 1.000,00; PMT = ?;
d) Dado PV achar PMT
PMT = PV x [ (1 + i)n x i / (1 + i)n - 1 ] 
PMT = 1.000 x [ (1 + 0,05)6 x 0,05 / (1 + 0,05)6 - 1] = 1.000 x [ 0,067 / 0,34 ] 
= 1.000 x 0,19702 = $ 197,02
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Exemplo com pagamento de valor de entrada diferente das prestações:
O preço à vista de um televisor de 20 polegadas é de $ 700,00. 
Entretanto o mesmo pode ser adquirido da seguinte forma: entrada correspondente a 25% 
do preço à vista e o restante financiado em 4 pagamentos mensais iguais. 
Se para esse financiamento a loja cobra a taxa efetiva de juros de 6% ao mês, determinar 
o pagamento mensal a ser efetuado.
Dados: PV = 700 – 25%(entrada) = (700 – 175) = $ 525,00 (valor financiado)
n = 4 pagamentos mensais
i = 6% a.m.
PMT = PV x [ (1 + i)n x i / (1 + i)n – 1]
PMT = 525,00 x [ (1+0,06)4 x 0,06 / (1+0,06)4 – 1] 
PMT = 525,00 x [ 1,2625 x 0,06 / 1,2625 – 1 ]
PMT = 525,00 x [ 0,07575 / 0,2625 ] 
PMT = 525,00 x 0,2886 = $ 151,51
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Exemplo com pagamento de valor de entrada igual ao das prestações:
Uma empresa adquiriu um determinado equipamento e para liquidar a dívida
comprometeu-se a efetuar 18 pagamentos mensais iguais de $ 645,62, e o 
primeiro pagamento dado como entrada. Sabendo-se que a taxa efetiva de 
juros da operação é de 4% ao mês, calcule o valor financiado.
Dados: PMT = $ 645,62
n = 18 pagamentos mensais antecipados
i = 4% a.m.
PV = ?
PV = PMT x [ (1 + i)n - 1 / (1 + i)n-1 x i ]
PV = 645,62 x [ (1 + 0,04)18 – 1 / (1 + 0,04)18-1 x 0,04 ] 
PV = 645,62 x [ (2,0258 – 1) / 1,9479 x 0,04 ]
PV = 645,62 x [1,0258 / 0,0779 ]
PV = 645,62 x 13,1657 = $ 8.500,00
Séries Uniformes – Regime de Perpetuidade
Valor Presente de Prestações Perpétuas dado o Valor das Prestações:
VP = PMT x 1 / i
Ex: PV = 1.000,00 x 1 / 0,5%/100 = PV = R$ 200.000,00
Valor das Prestações Perpétuas dado o Valor Presente:
PMT = PV x i
Ex: PMT = 200.000,00x 0,5%/100 = PMT = R$ 1.000,00
Onde: VP = Valor Presente
PMT = Valor das Prestações/Pagamentos
i = Taxa de Juros
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Antonio Gonçalves
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Antonio Gonçalves
1) Determinar o valor de seis depósitos mensais, iguais e sucessivos, 
capazes de produzir um montante de $ 5.000,00 no final do 6º mês, 
imediatamente após a realização do 6º depósito, sabendo-se que esses
depósitos são remunerados a uma taxa de juros de 12% ao ano, capitalizados
mensalmente.
2) Um indivíduo precisa efetuar cinco pagamentos anuais de $ 8.000,00. 
Sabendo-se que para esses pagamentos são cobrados uma taxa de juros efetiva
de 10% ao ano, no regime de juros compostos, determinar o valor acumulado por
esse indivíduo no final de cinco anos, nas seguintes situações:
a) pagamentos postecipados;
b) pagamentos antecipados.
3) Determinar o valor das prestações anuais de um financiamento realizado com a
taxa efetiva de 8% ao ano, no regime de juros compostos, sabendo-se que o 
valor do principal é de $ 1.000,00 e que o prazo da operação é de quatro anos.
4) Determinar o valor do investimento necessário para garantir um recebimento anual
de $ 10.000,00 no final de cada um dos próximos oito anos, sabendo-se que esse
investimento é remunerado com uma taxa efetiva de 10% ao ano, no regime de
juros compostos.
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Antonio Gonçalves
1) Você gostaria de se aposentar daqui a trinta anos e de ter 
acumulado ao final deste tempo a quantia de R$ 1.000.000,00. 
Sabendo-se que a taxa de remuneração que você conseguirá obter 
mensalmente é de 0,7% ao mês. Calcule o valor mensal dos depósitos que você deverá 
efetuar ao longo deste período. (R: R$ 618,38)
2) Utilizando o exercício anterior, imagine que você gostaria de receber em regime de
aposentadoria de forma perpétua a partir do final do período o valor de R$ 5.000,00.
Qual deverá ser a taxa de juros de remuneração para alcançar seu objetivo? 
(R: 0,5% a.m.)
3) Adotando como referência a sua idade hoje, planeje a sua aposentadoria:
a) determine com quantos anos você deseja parar de trabalhar.
b) imagine que a taxa de juros que você deverá considerar seja de 0,7% a.m.
c) estabeleça qual o valor que você gostaria de receber de aposentadoria mensal.
d) calcule o valor dos depósitos que você deverá fazer mensalmente para conseguir
o que você planejou.
(simulação: jovem com 25 anos e deseja se aposentar aos 60 anos com uma renda
de R$ 10.000,00 por mês) = (R: PMT=$ 564,24 e VF=$ 1.428.571,43)
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Antonio Gonçalves
Séries Uniformes – COM PERÍODOS DE CARÊNCIA
Valor Presente de Prestações com períodos de carência:
VP = PMT x [ (1+i)n - 1 / (1+i)n + m x i ]
Valor das Prestações com períodos de carência:
PMT = VP x [ (1+i) n + m x i / (1+i)n - 1 ]
onde: m = período de carência
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Antonio Gonçalves
Um empréstimo de R$ 50.000,00 deverá ser liquidado em 12 pagamentos mensais
Iguais, à taxa efetiva de juros de 3% a.m. Sabendo-se que está estipulado para a
operação o período de carência de 5 meses, calcular o pagamento mensal a ser
efetuado.
Dados: VP = 50.000 ; n = 12 ; i = 3% a.m. ; m = 5 meses ; PMT ?
PMT = VP x [ (1+i) n + m x i / (1+i)n - 1 ]
PMT = 50.000 x [ (1+0,03)12+5 x 0,03 / (1+0,03)12 - 1 ]
PMT = 50.000 x [ 0,049585429 / 0,425760887 ]
PMT = 50.000 x 0,116463091
PMT = R$ 5.823,15
Exercícios:
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Antonio Gonçalves
Determinada dívida deverá ser liquidada em 18 pagamentos iguais de R$ 2.998,55.
Sabendo-se que está envolvido na operação o período de carência de 6 meses e
que a taxa de juros é de 4% a.m., calcular o valor da dívida.
Dados: 
PMT = R$ 2.998,55 ; n = 18 ; i = 4% a.m. ; m = 6 meses ; VP = ?
VP = PMT x [ (1+i)n - 1 / (1+i)n + m x i ]
VP = 2.998,55 x [ (1+0,04)18 - 1 / (1+0,04)18+6 x 0,04 ]
VP = 2.998,55 x [ 1,025816515 / 0,102532167 ]
VP = 2.998,55 x 10,00482628
PMT = R$ 30.000,00
Exercícios:
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Antonio Gonçalves
CALCULADORA FINANCEIRA HP 12C