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– Página 6.1 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0066 –– EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDEE PPOOIISSSSOONN EE DDEE LLAAPPLLAACCEE CAPÍTULO 06 EQUAÇÕES DE POISSON E DE LAPLACE 6.1) Seja o potencial no espaço livre (vácuo) expresso por yzx8V 2= volts. a) Determinar o campo elétrico ( PE � ) em P (2, -1, 3); b) Determinar a densidade volumétrica de carga (ρv) em P; c) Determinar a equação da superfície equipotencial que passa por P; d) Verificar se a função V acima satisfaz a Equação de Laplace. Resolução: a) Sabe -se que V∇−=E � (01) � Cálculo do Gradiente (coordenadas cartesianas): z 2 y 2 xzyx yx8zx8xyz16V z V y V x VV aaaaaa ������ ++=∇⇒ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =∇ Substituindo (02) em (01), temos: z 2 y 2 x yx8zx8xyz16 aaaE ��� � −−−= (03) Substituindo as coordenadas de P em (03), temos o campo elétrico PE � : [ ] [ ] m V 32 9696 128 32831216 zyxP z 2 y 2 xP aaaE aaaE ��� � ��� � +−= −⋅⋅−+⋅⋅−+⋅−⋅⋅−= )]([][)( b) ( ) ( ) VV 2ovooov ∇−=⇒∇−•∇=•∇=•∇=•∇= ερεεερ EED (01) � Cálculo do Laplaciano (coordenadas cartesianas): ( ) ( ) ( ) 00yz16Vxy16 z xz16 y xyz16 x V z V zy V yx V x V z V y V x V V 22 2 2 2 2 2 2 22 ++=∇⇒ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =∇ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ =∇⇒ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =∇ Substituindo as coordenadas de P em (02), temos: 48V3116V 2 2 −=∇⇒⋅−⋅=∇ )( (03) (02) (02) – Página 6.2 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0066 –– EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDEE PPOOIISSSSOONN EE DDEE LLAAPPLLAACCEE Substituindo (03) em (01), temos: =⇒−⋅×−= − 3v 12 v m pC 425 48108548 ρρ )(, c) O potencial em P(2;-1;3),é dado por: [ ]V 96V3128V P2P −=⇒⋅−⋅⋅= )( Logo, a equação da superfície equipotencial que passa por P é: 012yzx yzx896VV 22P =+⇒=−⇒= d) A equação não satisfaz a Equação de Laplace, pois 0v ≠ρ (item b), indicando que a região contém cargas livres. Portanto, 0V 2 ≠∇ . 6.2) Planos condutores em φ = 10o e φ = 0o, em coordenadas cilíndricas, possuem tensões de 75 volts e zero, respectivamente. Obtenha D na região entre os planos que contém um material para o qual εR = 1,65. Resolução: As superfícies equipotenciais para φ constante são planos radiais conforme mostrado na figura anterior. Equação de Laplace: 0 ; 0V1V0V 2 2 2 22 ≠==∇⇒=∇ ρ ∂φ ∂ ρ � , pois )(φfV = . 0V 0V1V 2 2 2 2 2 2 =⇒==∇ ∂φ ∂ ∂φ ∂ ρ � Integrando pela 1a vez: AV =∂φ ∂ – Página 6.3 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0066 –– EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDEE PPOOIISSSSOONN EE DDEE LLAAPPLLAACCEE Integrando pela 2a vez: BAV += φ (01) Condições de Contorno: =⇒⋅==⇒°= =⇒=⇒= 1350A 18 A75V10 Em 0B 0V0 Em pi piφ φ Substituindo (02) e (03) em (01), temos: [ ]V 1350V φ pi = (04) � Cálculo de E : [ ]mV 1350 13501V1V φ φφ piρ φ piφρφρ aE aEaEE − = ∂ ∂ −=⇒ ∂ ∂ −=⇒∇−= � Cálculo de D : − = −⋅⋅×=⇒=⇒= − 2 12 Ro m C 286 135065,110854,8 η ρ piρ εεε φ φ aD aDEDED � � ����� , 6.3) Sendo o potencial V função somente da coordenada cilíndrica ρ (como num cabo coaxial), determinar: a) a expressão matemática de, sendo V =V0 em ρ = a e V = 0 em ρ = b (b > a); b) a expressão da capacitância C, com as mesmas condições do item (a); c) o valor de VP em P(2,1,3) se V = 50 V em a = 2 m e V = 20 V em b = 3 m. Resolução: a) Segundo a Equação de Laplace: 0V1V0V 22 = =∇⇒=∇ ∂ρ ρ∂ ∂ρ ∂ ρ � , pois )(ρfV = . BAVAV0V +=⇒=⇒= ρ∂ρ ρ∂ ∂ρ ρ∂ ∂ρ ∂ ln (01) Condições de Contorno: ⋅− = = ⇒ += += b a b B b a Bb Ba ln ln ln ln ln o o o V V A A0 AV (02) (02) (03) – Página 6.4 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0066 –– EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDEE PPOOIISSSSOONN EE DDEE LLAAPPLLAACCEE Substituindo (02) em (01), temos: ⋅= a b b ln ln ρ oVV b) Sabe-se que oV QC = (01) Porém, SSQ ρ⋅= , onde a)== ρρ (DNS (02) � Cálculo de E : ρρρ ρ ρ ρ ∂ρ ∂ aEaEaEE ⋅=⇒ − ⋅ − =⇒−=⇒∇−= a bb b a b 2 lnln 1VVVV oo � Cálculo de a)=ρ(DN : ==∴ == = === a b a a a) a)a)a) ln D D ( ((( o NS N V para de módulo o é E onde ,E ερ ρε ρ ρρρ E Substituindo (03) em (02), temos: =⇒⋅ = a b a a b a lnln oo VL 2QL 2V Q εpipiε (04) Substituindo (04) em (01), temos: = a b ln L 2C εpi c) ⋅= a b b ln ln ρ oVV , onde a = 2 m e b = 3 m. (01) � Cálculo de VO: [ ]V 30V2050V oo =⇒−= (02) � Cálculo de ρ: 512yx 2222 =⇒+=⇒+= ρρρ (03) (03) – Página 6.5 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0066 –– EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDEE PPOOIISSSSOONN EE DDEE LLAAPPLLAACCEE Substituindo (02) e (03) em (01), temos: [ ]V 7421V 2 3 5 3 30V , ln ln =⇒ ⋅= (Para V = 0 em ρ = a) VP = 20 + 21,74 ⇒ VP = 41,74 [V] (Para V = 20 V em ρ = a) 6.4) Dado o potencial 2r 50V θsen= , r≠0 [V], no espaço livre. a) Verifique se V satisfaz a equação de Laplace; b) Encontrar a carga total armazenada dentro da casca esférica (1 < r < 2). Resolução: a) Cálculo do Laplaciano (coordenadas esféricas): 0 r 50V r 50V2 r 50V 22 r 50V2 r 50 r 100V 2 r 50 r 1 r 1100 r 1V 0 r 1 r 50 r 12 r 50 r rr 1V V r 1V r 1 r V r rr 1V 4 2 2 4 222 4 2 4 2 44 2 2222 2 22223 2 2 2 2 2 222 2 2 2 ≠=∇ +⋅=∇⇒ −+⋅=∇ +⋅=∇⇒⋅+⋅=∇ ⋅+ − ⋅⋅−=∇ ⋅+ + −⋅=∇ + + =∇ θ θ θθ θ θ θ θθ θ θθ θ θθ θ θ θ θ θθ∂θ ∂ θ θ ∂ ∂ ∂φ ∂ θ∂θ ∂θ∂θ ∂ θ∂ ∂ ∂ ∂ sen sen cos sen sen sen sen cos sen sen cos sen sen cos sen cos sen sen sen cossen sen )( sen sen sen sen b) 1o modo: Equação de Poisson: o v2V ε ρ −=∇ ∫= vol vdvQ ρ , onde: = − = φθθ θ ερ d drd rdv Poisson) de Equacão a (Segundo m C r 50 2 34 o v sen sen ∫∫∫∫ === ⋅⋅⋅−=⇒⋅ − = pi φ pi θ φθεφθθ θ ε 2 00 2 1r 2o vol 2 4 o dd r dr50Qd drd r r 50Q sen sen ⇒ V não satisfaz a Equação de Laplace – Página 6.6 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0066 –– EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDEE PPOOIISSSSOONN EE DDEE LLAAPPLLAACCEE [ ]C 50Q1 2 1100Q2 r 150Q o2o2 2 1r o εpiεpipipiε −=⇒ −⋅=⇒⋅⋅ − ⋅−= = 2o modo: [ ]V r 50V 2 θsen = � Cálculo de E : [ ] m V r 50 r 100 V r 1V r 1 r VV 3r3 r θ φθ θθ φθθ aaE aaaE cossen sen −= ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ −=∇−= � Cálculo de D : −== 23 o r3 o o m C r 50 r 100 θ θεθε ε aaED cossen (02) � Cálculo de vρ : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − =⇒ +⋅ − = ⋅− − = −⋅ − + − ⋅⋅= + ∂ ∂ − ⋅+ ⋅ ∂ ∂ ⋅= ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =•∇= 34 o v4 o v 4 o 4 o v 22 4 o 22 o v 3 o 3 2 o2v r 2 2v m C r 5022 r 50 2 r 50 r 100 r 50 r 1 r 100 0 r 50 r 1 r 1 r r 100 r 1 r 1 r 1 r rr 1 θ ερ θ θθερ θ θ εθερ θθ θ εθερ θθ θ ε θ θερ φθθθθρ φθ sensen cos sen cos sen sen sencos sen sen sencos sen sen D sen senD sen DD � Cálculo de Q: ∫= vol vdvQ ρ , onde: = − = φθθ θ ερ d drd rdv r 50 2 4 o v sen sen [ ] [ ]C 374Qou C 50Q 1 2 1100Q2 r 150Q dd r dr50Qd drd r r 50Q o 2 o 2 2 1r o 2 00 2 1r 2o vol 2 4 o ηεpi εpipipiε φθεφθθ θ ε pi φ pi θ , sen sen −=−=∴ −⋅=⇒⋅⋅ − ⋅−= ⋅⋅⋅−=⇒⋅ − = = === ∫∫∫∫ (03) – Página 6.7 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0066 –– EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDEE PPOOIISSSSOONN EE DDEE LLAAPPLLAACCEE 3o modo: ∫ •= S Q dSD , onde: −= = θ θεθε φθθ aaD adS 3 o r3 o r 2 r 50 r 100 d d r cossen sen r 100Q002 4 1 2r 200Q 2 4 1 2r 200Q d 2 2 1 2 12 r 100Q d 2 r 100Qd d r r 100Q o 2 o 0 o 0 o 0 2o 2 0 0 2 3 o εpi pi pipiε θθpiεθθpiε θθpiεφθθθε pi θ pi θ pi θ pi φ pi θ =⇒ −−−⋅= −⋅=⇒ −⋅⋅= ⋅⋅=⇒⋅= = = == = ∫ ∫∫ ∫ sen sencos sensen sen Em [ ]C 100Q1r o2εpi=⇒= Em [ ]C 50Q2r o2εpi=⇒= Para [ ] [ ]C -4,37Qou C 50Q 10050Q2r1 o2o2o2 ηεpiεpiεpi =−=⇒−=⇒<< 6.5) Dois cilindros condutores coaxiais de raios a = 2 cm e b = 6 cm apresentam potenciais de 100 V e de 0 V, respectivamente. A região entre os cilindros é preenchida com um dielétrico perfeito, porém, não homogêneo, no qual ),/(, 04030R += ρε . Determinar para esta região: a) o potencial elétrico V( )ρ ; b) o campo elétrico )(ρE� ; c) a densidade de fluxo elétrico )(ρD� ; d) a capacitância C por metro de comprimento. Resolução: a) ⇒= )(ρε fR As Equações de Laplace e de Poisson não podem ser usadas diretamente; � Deve-se calcular uma relação a partir da forma puntual de Lei de Gauss, da definição de D e da relação do Gradiente. Portanto: – Página 6.8 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0066 –– EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDEE PPOOIISSSSOONN EE DDEE LLAAPPLLAACCEE ( ) v v V .Gradiente) do (Relacão V de (Definicão Gauss); de Lei da Puntual (Forma ρεε ρ −=∇⋅•∇⇒ ∇−= = =•∇ E DED D ); (01) No dielétrico perfeito, ρv = 0 e ε = εoεR (02) Substituindo (02) em (01), temos: ( ) 0V R =∇⋅•∇ ε (03) Desenvolvendo (03), temos: 0V 040 300V 040 301 0a d dV 040 300a d dV R = ∂ ∂ ⋅ +∂ ∂ ⇒= ∂ ∂ ⋅ + ⋅ ∂ ∂ = ⋅ + •∇⇒= ⋅•∇ ρρ ρ ρρρ ρ ρρ ρ ρρ ρ ρ ε , , , , , , ���� Integrando pela 1a vez: ( ) ( ) ρ ρ ρ ρ ρ ρρρ ρ ∂+=∂⇒+= ∂ ∂ ⇒= ∂ ∂ ⋅ + 30 040AV 30 040AVAV 040 30 , , , , , , Integrando pela 2a vez: ( ) [ ] B040 30 AVd 30 040AV ++=⇒+= ∫ ρρρρ ρ ln, ,, , (04) Condições de Contorno: [ ] [ ] ++==⇒= ++==⇒= B06,004,006,0 30 A0Vcm 6 Em B02,004,002,0 30 A100Vcm 2 Em ln , ln , ρ ρ Fazendo (05) – (06), temos: 4357A 060 02,004,004,0 30 A100 , , ln , −=⇒ +−= (07) Substituindo (07) em (06), temos: [ ] 662B 06004,006,0 30 4357B ,,ln , , −=⇒+ − = (08) Substituindo (07) e (08) em (04), temos: [ ] [ ]V 6626547 341191V 662040 30 4357V ,ln,,,ln, , , −−−=⇒−+ − = ρρρρ (05) (06) – Página 6.9 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0066 –– EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDEE PPOOIISSSSOONN EE DDEE LLAAPPLLAACCEE b) Cálculo do Campo Elétrico )(ρE� : [ ]mV 0401341191 647341191VV ρ ρρ ρ ρρ aE aEaEE += +=⇒ ∂ ∂ −=⇒∇−= , , , , c) Cálculo da Densidade de Fluxo Elétrico )(ρD : ∫∫ ==• S Sint S dSQ ρdSD ρρ ρ piρρpi aD L 2L 2 SS a a ⋅ =⇒⋅⋅=⋅⋅D (01) Mas 0,02m para de módulo o é E onde ,E 020020020NS === === ρερ ρρρ E))) ,(,(,(D =∴ +⋅ + ⋅=⇒= = = 2S oS020020 RoS m C 22158 020 0401341191 040020 30E ηρ ερεερ ρρ , , , , ,, , ,( ),( ) Substituindo (02) em (01), temos: =⇒ ⋅ = 2m C 163 02022158 η ρρ ρρ aDaD ,,, d) Cálculo da capacitância C por metro de comprimento: =⇒ ⋅⋅⋅ =⇒ ⋅ =⇒= m pF 8198 L C 100 L020222158C V S C V QC 0 S 0 , ,, piρ 6.6) Uma região entre dois cilindros condutores concêntricos com raios a = 2 cm e b = 5 cm contém uma densidade volumétrica de carga uniforme 8V 10−−=ρ C/m3. Se o campo elétrico E e o potencial V são ambos nulos no cilindro interno, determinar: a) A expressão matemática do potencial V na região, partindo da Equação de Poisson; b) A expressão matemática do potencial V na região, partindo da Lei de Gauss; c) O valor do potencial V no cilindro externo. Assumir a permissividade do meio como sendo a do vácuo. Resolução: a) Equação de Poisson: o v2 V1V ε ρ ρ ρ ρρ−= ∂ ∂ ∂ ∂ ⋅=∇ Integrando pela 1a vez: ρ ρ ε ρ ρ ρ ε ρ ρ ρ A 2 V A 2 V o v 2 o v +⋅−= ∂ ∂ ⇒+⋅−= ∂ ∂ (01) (Lei de Gauss para uma Superfície Gaussiana Cilíndrica de raio 2<ρ<6 cm) (02) – Página 6.10 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0066 –– EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDEE PPOOIISSSSOONN EE DDEE LLAAPPLLAACCEE � Porém, sabe-se que: EE −= ∂ ∂ ⇒ ∂ ∂ −==⇒ ∂ ∂ −=⇒∇−= ρρρ ρ V V VV EaEE (02) Substituindo (02) em (01), temos: ρ ρ ε ρ ρ A 2 V o v +⋅−=−= ∂ ∂ E (03) 1a Condição de Contorno: 0 =E para ρ = a. (04) Substituindo (04) em (03), temos: 2 o v o v 2 A A 2 0 a a a ⋅=⇒+⋅−= ε ρ ε ρ (05) Substituindo (05) em (01), temos: ρε ρρ ε ρ ρ 2 o v o v 22 V a ⋅+⋅−= ∂ ∂ (06) Integrando pela 2a vez: B 222 V 2 o v 2 o v +⋅+⋅−= ρ ε ρρ ε ρ lna (07) 2a Condição de Contorno: 0V = para ρ = a. (08) Substituindo (08) em (07), temos: aaaaa a lnln 2 o v2 o v2 o v 2 o v 24 B B 222 0 ⋅−⋅=⇒+⋅+⋅−= ε ρ ε ρ ε ρ ε ρ (09) Substituindo (09) em (07), temos: [ ]V 24 V 2424 V 2 o v22 o v 2 o v2 o v2 o v2 o v ⋅+−⋅= ⋅−⋅+⋅+⋅−= a aa aaaa ρ ε ρρ ε ρ ε ρ ε ρρ ε ρρ ε ρ ln)( lnln – Página 6.11 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0066 –– EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDEE PPOOIISSSSOONN EE DDEE LLAAPPLLAACCEE b) Lei de Gauss: ∫∫ ==• S Sint S dSQ ρdSD −⋅=∴ −⋅=⇒⋅−⋅=⋅⋅ 2 2 v 2 v22 v m C 2 2 L L 2 ρρ ρρ ρ ρρpipiρρρpi aD a a a D)(D � Cálculo do Campo Elétrico E : [ ]mV 2 2 o v o ρρ ρ ε ρ ε aEDE −⋅=⇒= a � Cálculo de V: [ ]V 24 V 222 V 22 V d 2 VV o 2 v22 o v 2 2 2 2 o v2 2 o v 2 o v A B AB a a a aa a aa a a a ρ ε ρρ ε ρ ρρ ε ρρρ ε ρ ρ ρ ρ ε ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ln)( lnlnln ⋅+−⋅= −− −⋅−=⇒ −⋅−= • −⋅−=⇒•−= = = ∫∫ aadLE c) No cilindro externo, ρ = b = 0,05 m . [ ]V 3860V 20705930V 02,0 050 1085482 02,01005002,0 1085484 10V 12 28 22 12 8 ,,, , ln , )( ),( , =⇒−= ⋅ ⋅⋅ ⋅− +−⋅ ⋅⋅ − =∴ − − − − – Página 6.12 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0066 –– EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDEE PPOOIISSSSOONN EE DDEE LLAAPPLLAACCEE 6.7) Dois cilindros condutores, circulares retos, coaxiais, acham-se em ρ = a = 10 mm e ρ = b = 30 mm, com tensões de 10 volts no cilindro interno e Vo no cilindro externo. Se [ ] m KV 10 ρaE � � −= em ρ = 20 mm, determinar: a) A expressão do potencial V em função de ρ por Laplace; b) O valor de Vo; c)A densidade de cargas do condutor externo. Resolução: a) Equação de Laplace: 0V1V0V 22 = =∇⇒=∇ ∂ρ ρ∂ ∂ρ ∂ ρ � , pois )(ρfV = . BAV AV0V +=⇒=⇒= ρ∂ρ ρ∂ ∂ρ ρ∂ ∂ρ ∂ ln (01) 1a Condição de Contorno: V = 10 V em ρ = 10 mm . (02) Substituindo (02) em (01), temos: ( ) B0,01 A10 += ln (03) Porém, sabe-se que [ ] m KV 10 ρaE � � −= ρ = 20 mm, oque indica que: ρ ρ ρ ρρ aE aEE 200 200A 020 A10000AAV −=∴ =⇒−=−⇒−=⇒−=⇒∇−= , E Substituindo (04) em (03), temos: ( ) 931B B0,01 20010 =⇒+= ln (05) Substituindo (04) e (05) em (01), temos: [ ]V 931200V BAV +=⇒+= ρρ lnln (06) (02) – Página 6.13 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0066 –– EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDEE PPOOIISSSSOONN EE DDEE LLAAPPLLAACCEE b) 2a Condição de Contorno: V = Vo em ρ = 30 mm . (01) Substituindo a equação (01) do item (b) na equação (06) do item (a), temos: ( ) [ ]V 7229V 931030200V931200V oo ,,lnln =⇒+=⇒+= ρ c) )) 030030NS ,(,( ED == == ρρ ερ , onde )030,(E =ρ é o módulo de E (da Equação (04) do item (a)) para ρ = 0,03 m . −=∴ − ⋅⋅=⇒ − ⋅=⇒= − = 2S 12 SoS030oS m C 02759 030 200108548200 ηρ ρ ρ ερερ ρ , , ,E ,( ) 6.8) Um cabo coaxial possui seu condutor interno com cargas uniformemente distribuída de 1ηC/m. Os raios dos condutores interno e externo são a = 1 cm e b = 4 cm, respectivamente. Entre o condutor interno e o externo são colocadas duas camadas de material dielétrico possuindo, respectivamente, permissividades relativas εR1 = 2 e εR2, e espessuras w1 e w2. Determinar εR2, w1 e w2, de modo que a diferença de potencial de cada camada seja a mesma e a capacitância total do cabo seja de 75 pF/m. Resolução: � Cálculo da Capacitância: Equação de Laplace: 0V1V0V 2 2 = =∇⇒=∇ ∂ρ ρ∂ ∂ρ ∂ ρ � , pois )(ρfV = . BAV AV0V +=⇒=⇒= ρ∂ρ ρ∂ ∂ρ ρ∂ ∂ρ ∂ ln (01) Condições de Contorno: Seja +=⇒== +=⇒== BAV em VV BA0 em 0V oo aa bb ln ln ρ ρ Fazendo (03) – (02),temos: ( ) =⇒−= b a ba ln lnln oo V A AV (04) (02) (03) – Página 6.14 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0066 –– EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDEE PPOOIISSSSOONN EE DDEE LLAAPPLLAACCEE Substituindo (04) em (02), temos: ⋅− =⇒+⋅ = b a b b b a ln ln ln ln oo VBB V 0 (05) Substituindo (04) e (05) em (01), temos: ( ) [ ]V VV VV VV VBAV oo oo ⋅ =⇒−⋅ = ⋅ −⋅ =⇒+= b b a b b a b a b b a ρρ ρρ ln ln lnln ln ln ln ln ln ln [ ] [ ] [ ] [ ] m F 2 L C ou F L 2C V QC C LV 2Q 2 V QdS V QdSQ m C V 0 pois ,0 V m C V m V V 1 VVV o o o Interno Cil. S o S 2 o o N 2 o oo = =⇒= = ⋅ ⋅ =⇒ ⋅ =⇒= ⋅ =∴ < ⇒<> ⋅ − =⇒== ⋅ − =⇒= ⋅− =⇒ ⋅ − =⇒ ∂ ∂ −=⇒∇−= ∫∫ = = a b a b a b aL a b a a b a a b a b aba b a a b a b a b b b a S S Sa a S lnln ln lnln ln ln ln D ln lnln piεpiε piε pi εερ ερ ερρ ρ ε ε ρρρ ρ ρ ρ ρρρ D aDED aEaEaEE (06) – Página 6.15 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0066 –– EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDEE PPOOIISSSSOONN EE DDEE LLAAPPLLAACCEE Dados: = == == = =−=+ == m pF 75 L C QQQ 2 VVV 2 cm3 cm4 , cm1 T 21 o 21 1R ; ; ε abww ba 21 (07) De (06), temos: 2 2 1 2Ro2 1 1 1 1Ro1 V Q b 2 L C e V Q2 L C = + = = + = wa a wa ln ln εpiε εpiε De (07), temos: CCC QQQ 2 V VV 21 21 o 21 ==⇒ == == De acordo com a figura, CT é a capacitância equivalente do arranjo série de C1 e C2. Portanto, podemos escrever: TT 2 T 21 21 T C2C2 CC C2 CC CC CCC =⇒=⇒=⇒ + ⋅ = (10) Substituindo (10) em (08), temos: cm11m010970 01,0 01,0 74070 01,0 01,0 75 85482 01,0 01,0 10752 01,0 01,0 21085482 L C22 L C L C 11 74070111 12 1 12 T 1 1Ro1 ,, e,ln , ln ln , ln , ≅⇒=∴ = + ⇒= + ⇒ ⋅ = + ⋅⋅= + ⋅⋅⋅ ⇒= + == − − ww www w a wa pi piεpiε (08) (09) (11) – Página 6.16 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0066 –– EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDEE PPOOIISSSSOONN EE DDEE LLAAPPLLAACCEE De (07), sabemos que w1 + w2 = 3cm. Portanto, w2 = 1,9 cm (12) Substituindo (11) em (09), temos: ( ) 7361 8548 9041 75 10752 011001,0 040 1085482 L C2 b 2 L C L C 2R2R 122R 12 T 1 2Ro2 , , ,ln , , ln , ln =⇒ ⋅ ⋅ = ⋅⋅= + ⋅⋅⋅ ⇒= + == − − ε pi ε εpiεpiε wa
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