Lista 2 ALI

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II Lista de Álgebra Linear - 2012/02
Espaços Vetoriais
Prof. Iva Zuchi Siple
1. Verifique se R2 com as operações definidas por:
i. (x, y) + (s, t) = (s, y + t), onde u = (x, y) e v = (s, t) pertencem a R2
ii. α(x, y) = (αx, y), onde α ∈ R e u = (x, y) ∈ R2.
é um espaço vetorial.
2. Mostre que R2 com as operações definidas por:
i. (x, y) + (s, t) = (x+ s, y + t), onde u = (x, y) e v = (s, t) pertencem a R2
ii. α(x, y) = (αx, αy), onde α ∈ R e u = (x, y) e v = (s, t) pertencem a R2.
é um espaço vetorial .
3. Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto W é um subespaço do espaço vetorial V.
(a) V = R3 e W = {(x, y, z) ∈ R3 : 2x+ 3y − z = 0}
(b) V = R3 e W = {(x1, x2, x3) ∈ R3 : x1 + x2 = 1}
(c) V = P3 e W = {p ∈ P3 : p(0) = p(1)}
(d) V =M(2, 2) e S = {X ∈M2 upslopedet(X) = 0} (S é o conjunto das matrizes não-inversíveis)
(e) V =M(2, 2) e F = {X ∈M(2, 2) upslopeAX = XA} (F é o conjunto das matrizes que comutam com a
matriz A)
(f) V = P1 e W =
{
p(x) ∈ P1 :
∫ 1
0 p(x)dx = 0
}
(g) V = R3 e W =
(x, y, z) ∈ R3 : det
x y z1 2 1
0 1 1
 = 0

(h) V =M2×2 e W =
{
A ∈M2×2 : A2 = A
}
4. a) Verifique se o conjunto S = {A ∈M(3, 3);A e´ uma matriz anti− sime´trica} é um subespaço vetorial
de M(3, 3).
b) Considere o subconjunto de M2, dado por
W =
{[
a b
c d
]
∈M2 upslope b = a e d = −a
}
. Verifique se o subconjunto W é um espaço vetorial.
5. Sejam U =
{
a+ bx+ cx2 + dx3 ∈ P3 / a+ b− c+ 3d = 0
}
e W = {p(x) ∈ P3 / p′(−1) = 0} dois sube-
spaços vetoriais de P3. Determine U ∩W.
6. Qual o subespaço gerado pelas matrizes
(
1 1
1 0
)
,
(
0 0
1 1
)
e
(
0 2
0 −1
)
?
7. Considere o espaço vetorial P3 e o conjunto W = {p(x) ∈ P3; p′′(1) = 0} .
(a) Verifique se W é um subespaço vetorial de P3.
(b) Obtenha os geradores de W.
2
8. Sejam U =
{[
a b
c d
]
/ a+ b+ c = 0
}
e W =
{[
a b
c d
]
/ b+ 2d = 0
}
dois subespaços vetoriais de M2.
Determine os geradores de U ∩W.
9. Verifique se o conjunto W = {(1, 2, 3), (1, 3, 1), (0, 3, 1), (1, 4, 5)} ⊂ R3 é L.I ou L.D.
10. a) Se o conjunto β = {v1, v2, ..., vn} é um conjunto Linearmente Independente então o o conjunto
α =
{
v1,
−→
0 , v2, ..., vn
}
é LI ou LD? Justifique sua resposta.
b) Considere o subespaço N =
{−→
0
}
. Qual é a base e a dimensão de N.
11. Dado o conjunto W = {(1, 1, 3), (1, 2, 1), (0, 1, 3), (1, 4, 5)} ⊂ R3, extrair um subconjunto de vetores L.I.
12. Considere o subespaço de R4 gerado pelos vetores v1 = (1,−1, 0, 0), v2 = (0, 0, 1, 1), v3 = (−2, 2, 1, 1) e
v4 = (1, 0, 0, 0).
(a) O vetor (2,−3, 2, 2) ∈ ger{v1, v2, v3, v4}? Justifique.
(b) Exiba uma base para ger{v1,v2,v3,v4}. Qual é a dimensão deste espaço?
(c) ger{v1,v2,v3,v4} = R4? Por quê?
13. Exiba uma base para cada subespaço determinado no exercício 3.
14. Responda se os subconjuntos abaixo são subespaços de M(2, 2).
(a) W1 =
{[
a b
c d
]
com a, b, c, d ∈ R e b = c e a = −b
}
(b) W2 =
{[
a b
c d
]
com a, b, c, d ∈ R e b = d
}
Em caso afirmativo, determine:
i) uma base para W1 ∩W2
ii) W1 +W2 é soma direta?
iii) W1 +W2 =M(2, 2)?
15. Considere os subespaços de R5, W1 = {(x, y, z, t, w)upslopex+ z + w = 0, x+ w = 0} , W2 = {(x, y, z, t, w)upslopey + z + t = 0}
e W3 = {(x, y, z, t, w)upslope2x+ t+ 2w = 0}.
(a) Determine uma base para o subespaço W1 ∩W2 ∩W3.
(b) Determine uma base e a dimensão de W1 +W3.
(c) W1 +W2 é soma direta? Justifique.
(d) W1 +W2 = R5?
16. Considere os seguintes subespaços de P3 :
U =
{
p ∈ P3 : p′′(1) = 0
}
e W =
{
p ∈ P3 : p′(1) = 0
}
Determine dim(U +W ) e dim(U ∩W ) .
17. Considere o subespaço W de M(2, 2) que é gerado pelas matrizes A1 =
[
1 2
1 0
]
, A2 =
[−1 0
2 3
]
e
A3 =
[−1 4
8 9
]
e o subespaço de M(2, 2) U =
{[
a b
c d
]
: a = 0
}
.
3
(a) Determine uma base e a dimensão de W.
(b) Determine uma base para U ∩W.
(c) Determine uma base para U +W.
18. Sejam U = ger{(1, 0, 0), (1, 1, 1)} e V = ger{(0, 1, 0), (0, 0, 1)} subespaços gerados do R3. Determine:
(a) uma base e a dimensão de U ∩W.
(b) U +W = R3 ?
19. Considere o seguinte subespaço de M(2, 2)
S =
{[
a b
c d
]
∈M(2, 2) : a+ b = c+ d = 0
}
(a) Determine uma base e indique a dimensão de S.
(b) Construa uma base de M(2, 2) que contenha a base de S obtida no ítem a).
20. Determine a dimensão e encontre uma base do espaço-solução do sistema
x− 3y + z = 0
2x− 6y + 2z = 0
3x− 9y + 3z = 0
21. Sejam U e W subespaços de R4 de dimensão 2 e 3, respectivamente. Mostre que a dimensão de U ∩W é
pelo menos 1. O que ocorre se a dimensão de U ∩W for 2 ? Pode ser 3 ? Justifique sua resposta.
22. O conjunto A = {(1, 0, 2), (a2, a, 0), (1, 0, a)} é uma base para um subespaço do R3 de dimensão 2 se e
somente se a = 2 ?
23. Seja S = {X ∈ M3×1 : AX = 0} o espaço solução do sistema

x+ y + az = 0
x+ ay + z = 0
ax+ y + z = 0
. Determine os valores
de a para os quais S seja: a própria origem; uma reta que passa pela origem; e, um plano que passa pela
origem.
24. Verifique se as afirmações abaixo são VERDADEIRAS ou FALSAS. Se forem verdadeiras, demonstre.
Se forem falsas, dê um contra-exemplo.
(a) A interseção de dois subespaços vetoriais nunca é vazia.
(b) A matriz
(−1 2
0 3
)
pertence ao subespaço W =
[(
1 1
1 0
)
,
(
0 0
1 1
)
,
(
0 2
0 −1
)]
.
(c) Se os vetores
−→u ,−→v e −→w são LI então os vetores −→u −−→v ,−→v −−→w e −→u −−→w são LI ′s.
(d) W = [(1, 2, 0), (2, 4, 0)] é um plano no R3 que passa pela origem.
(e) Se β = {−→v 1,−→v 2,−→v 3} é uma base de um espaço vetorial V , então o conjunto A = {−→v 1 +−→v 3,−→v 1 +−→v 2,−→v 1 +−→v 2 +−→v 3} é lineramente independente.
(f) O subespaço W = {p ∈ P3 : p′(1) = 0 e p′′(−1) = 0} é gerado pelos polinômios p1 = 1 e p2 =
−9x+ 3x2 + x3.
(g) O conjunto {−→v 1,−→v 2,−→v 3} é sempre uma base para o subespaço ger{−→v 1,−→v 2,−→v 3}.
(h) Sejam β = {(1, 0), (0, 1)}, β1 = {(−1, 1), (1, 1)}, β2 = {
√
3, 1), (
√
3,−1)} e β3 = {(2, 0), (0, 2)} bases
ordenadas de R2.
25. Encontre a matrizes mudança de base:
(a) i. [I]β1β ii. [I]
β
β1
iii. [I]ββ2 iv. [I]
β
β3
.
4
(b) Quais são as coordenadas do vetor v = (3,−2) em relação à base
i. β ii. β1 iii. β2 iv. β3.
(c) As coordenadas de um vetor u em relação à base β1 são dadas por [u]β1 =
[
4
0
]
Quais as coordenadas do vetor u em relação à base: i. β ii. β2 iii. β3
26. Sejam P4 =
{
p = a0 + a1x+ a2x2 + a3x3 + a4x4�a0, a1, a2, a3, a4 ∈ R
}
, α =
{
1, x, x2, x3, x4
}
e β ={
2, 2x, 4x2, 8x3, 16x4
}
.
(a) Determine [I]αβ ..
(b) Se [p]α =

1
2
3
4
5
 ,determinar [p]β
(c) Determine o polinômio p cujas coordenadas são dadas no item b) acima.
27. Considere o seguinte subespaço de M2 :W =
{[
a b
c d
]
upsloped = 0
}
. Sejam
α =
{[
1 1
1 0
]
,
[
1 −1
1 0
]
,
[
1 1
−11 0
]}
β =
{[
1 0
1 0
]
,
[
1 1
0 0
]
,
[
1 0
0 0
]}
(a) Detemine [I]αβ
(b) Se [v]β =
 pie
0
 , determine [v]α .
28. Sejam α e β bases de R3. Determine a base β sabendo que α = {(1,−1, 0), (0, 1, 0), (0, 0,−1)} e a matriz
mudança de base de α para β é
[I]αβ =
 1 0 00 2 1
−1 1 1

29. Seja α =
{(
1 1
0 0
)
,
(
0 1
1 0
)
,
(
2 1
−2 0
)}
uma base para um subespaço de M2×2 e [I]αβ =
1 0 −11 1 −1
2 −1 2

onde β é também uma base para um subespaço de M2×2
(a) Determine a base β.
(b) Se [v]β =
 1−2
1
 , determine [v]α.
30. Seja E um espaço vetorial qualquer e α = {u1, u2, u3} uma base de E. Considere ainda os vetores
v1 = u1 + u2, v2 = 2u1 + u2 − u3 e v3 = −u2.
(a) Determine a matriz S de mudança da base β = {v1, v2, v3} para a base α = {u1, u2, u3}.
(b) Calcule as coordenadas do vetor w = v1 + v2 − v3 na base {u1,u2, u3}.
5
31. Sejam α e β bases de um espaço vetorial V
(a) Mostre que det
(
[I]αβ [I]
β
α
)
= 1
(b) Determine [I]αα
32. Seja V um espaço vetorial e γ = {v1, v2, v3, v4} uma base ordenada para V.
(a) Mostre que β = {v1, v1 + v2, v1 + v2 + v3, v1 + v2 + v3 + v4} é uma base para V.
(b) Determine a matriz de mudança da base ordenada β para a base ordenada γ.
(c) Determine a matriz de mudança da base ordenada γ para a base ordenada β.
(d) Se o elemento v ∈ V tem como vetor de coordenadas [v]γ =
(
1 1 −1 0) , em relação ã base
ordenada γ, determine o vetor de coordenadas em relação ã base ordenada β.
6
ALGUMAS RESPOSTAS DA TERCEIRA LISTA DE EXERCÍCIOS:
1. Não é espaço vetorial.
2. É espaço vetorial
3. a) Sim b) Não c) Sim d) Não e) Sim f) Sim g) Sim h) Não
4. a) Sim b) Sim
5. Uma possibilidade de expressar U ∩W é U ∩W = {a+ bx+ cx2 + dx3 ∈ P3 / c = −a e b = 2c− 3d} ou
U ∩W = {p(x) = a+ (−2a− 3d)x− ax2 + dx3; a, d ∈ R} .
6. W =
{[
a b
c d
]
∈M2 : a+ b− 2c+ 2d = 0
}
7. a) Sim b) W = ger{1, x, x3 − 3x2}
8. Uma das possibilidades é: U ∩W = ger
{[−1 0
1 0
]
,
[
2 −2
0 1
]}
9. É LD.
10.
11. Um exemplo é W1 = {(1, 1, 3), (1, 2, 1), (0, 1, 3)}
12. a) Sim
b) β = {(1,−1, 0, 0), (0, 0, 1, 1), (1, 0, 0, 0)} e dimW = 3
c) Não.
13. a) Uma das bases é: β = {(1, 0, 2), (0, 1, 3)}
c) Uma das bases é: β = {1, x− xn, x2 − xn, ..., xn−1 − xn}
e) Sim
f) Uma das bases é: β =
{
x, x2, x3
}
g)Uma das bases é: β = {1− 2x}
h) Uma das bases é: β = {(1, 1, 0), (0, 1, 1)}
14. i) α =
{(−1 1
1 1
)}
ii) Não iii) Sim
15. a) Uma das bases é: β = {(1, 0, 0, 0,−1)}
b) Uma das bases é: β = {(1, 0, 0, 0,−1), (0, 1, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 1, 0), (1, 0, 0,−2, 0), (0, 0, 1, 0, 0)}
c) Não
d) Sim
16. dim(U +W ) = 4 e dim(U ∩W ) = 2
17. a) Uma das bases é: β =
{[
1 2
1 0
]
,
[−1 0
2 3
]}
, dimW = 2
b) Uma das bases é: β =
{[
0 23
1 1
]}
7
c) Uma das bases é: β =
{[
1 2
1 0
]
,
[−1 0
2 3
]
,
[
0 1
0 0
]
,
[
0 0
1 0
]}
18. a) Uma das bases é:β = {(0, 1, 1)}, dim(U ∩W ) = 1
b) Sim
19. a)Uma base é β =
{(
1 −1
0 0
)
,
(
0 0
1 −1
)}
e dimS = 2.
b) Um exemplo é: β =
{(
1 −1
0 0
)
,
(
0 0
1 −1
)
,
(
0 0
1 0
)
,
(
0 1
0 0
)}
20. Uma base é β =

 10
−1
 ,
01
3
 e dimW = 2.
22. Verdadeiro
23. a) a 6= 1, a 6= −2 b) a 6= 1, a = −2 c) a = 1
24. a) V b) V c) F d) F e) V f) V g) F
25. a) i) [I]β1β =
[−1 1
1 1
]
ii. [I]ββ1 =
[−12 12
1
2
1
2
]
iii. [I]ββ2 =
[√
3
6
1
2√
3
6 −12
]
iv. [I]ββ3 =
[
1
2 0
0 12
]
b) i) [v]β =
(
3
−2
)
ii. [v]β1 =
(−52
1
2
)
iii. [v]β2 =
(√
3
6 − 1√
3
6 + 1
)
iv. [v]β3 =
(
3
2
−1
)
c) i) [u]β =
(−4
4
)
ii. [u]β2 =
(
−2
√
3
3 + 2
−2
√
3
3 − 2
)
iii) [u]β3 =
(−2
2
)
26. a) [I]αβ =

1
2 0 0 0 0
0 12 0 0 0
0 0 14 0 0
0 0 0 18 0
0 0 0 0 116
 b) [p]β =

1
2
1
3
4
1
2
5
16
 c) p(x) = 1 + 2x+ 3x2 + 4x3 + 5x4
27. a) [I]αβ =
 1 1 −111 −1 1
−1 1 11

b) [v]α =
12pi + 1110e1
2pi
− 110e

28. β = {(1,−2,−2), (0, 1, 1), (0,−1,−2)}
29. a) β =
{(−54 −32
1
2 0
)
,
(
3
4
3
2
1
2 0
)
,
(
3
4
1
2
−12 0
)}
b) [v]α =
−1613
7

30. a) [I]βα =
1 2 01 1 −1
0 −1 0

b) [w]α =
 33
−1

31. b) [I]αα = In