Segunda prova da disciplina de Sinais e Sistemas, UFRPE

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Universidade Federal Rural de Pernambuco
Unidade Acadeˆmica do Cabo de Santo Agostinho
2a V.A. - Sinais e Sistemas - 2018.1
Prof. Fernando Gonc¸alves de Almeida Neto
• Na˜o e´ permitida a consulta a qualquer tipo de material.
• E´ permitido o uso de calculadora, mas na˜o e´ permitido o uso de telefones, tablets e computadores.
• Na˜o e´ permitido emprestar a calculadora.
• Esta folha de questo˜es deve ser entregue juntamente com a folha de respostas.
Nome: Nota:
1. Considere o sinal perio´dico de tempo discreto x[n]. A
figura a seguir detalha as amostras de x[n] em um
per´ıodo.
x[n]
n1
1
−1
−1
2
2
−2
−2
3
−3
(a) (1,0) Fornec¸a os valores dos coeficientes a0, a1 e
a2 da se´rie de Fourier de tempo discreto.
(b) (1,0) Sem fazer ca´lculos, fornec¸a o valor do co-
eficiente a15. Explique como voceˆ obteve o valor
desse coeficiente.
2. Considere um sistema linear e invariante no tempo,
cuja relac¸a˜o entrada-sa´ıda e´ descrita pela seguinte
equac¸a˜o de diferenc¸as:
y[n] = 5y[n− 1]− 6y[n− 2] + x[n]− 4x[n− 1].
(a) (1,0) Obtenha func¸a˜o de transfereˆncia H(ejω)
desse sistema.
(b) (1,0) Obtenha a resposta impulsiva associada a
esse sistema.
(c) (1,0) Calcule a sa´ıda y[n] do sistema quando
x[n] = δ(n− 2).
(d) (1,0) Calcule a sa´ıda y[n] desse sistema quando a
entrada e´
x[n] = sen
(pi
4
n
)
.
3. Considere o sinal de tempo cont´ınuo x(t), dado por:
x(t) =
{
cos(t), −pi ≤ t ≤ pi
0, Caso contra´rio.
(a) (1,0) Sabendo que a transformada de Fourier do
sinal x(t) pode ser escrita como
X(jω) = A sen(B) + C sen(D),
obtenha A, B, C e D.
(b) Sabendo que o sinal x(t) e´ entrada de um sistema
LIT, de reposta impulsiva dada por
h(t) = (e−t + 2e−3t)u(t),
em que u(t) e´ o degrau unita´rio, e sabendo que a
sa´ıda desse sistema e´ y(t), calcule:
i. (1,0) A transformada de Fourier de h(t).
ii. (1,0) O valor da transformada de Fourier da
sa´ıda, quando ω = 0.
(c) (1,0) Se um novo sinal x2(t) for definido como:
x2(t) =
{
cos(t), pi ≤ t ≤ 3pi
0, Caso contra´rio
qual sera´ sua transformada de Fourier?
RELAC¸O˜ES U´TEIS:
• Int. de convoluc¸a˜o: x(t) ∗ h(t) =
∫
∞
−∞
x(τ)h(t − τ)dτ
• Soma de convoluc¸a˜o: x[n]∗h[n] =
∑
∞
k=−∞ x[k]h[n−k]
• Equac¸a˜o de Euler: ejθ = cos(θ) + jsen(θ)
• Equac¸o˜es de s´ıntese e de ana´lise da se´rie de Fourier de
tempo cont´ınuo
x(t) =
∑
∞
k=−∞ ake
jkω0t
ak =
1
T
∫
T
x(t)e−jkω0t
ω0 =
2pi
T
• Equac¸o˜es de s´ıntese e de ana´lise da se´rie de Fourier de
tempo discreto:
x[n] =
∑
k=<N> ake
jkω0n
ak =
1
N
∑
n=<N> x[n]e
−jkω0n
ω0 =
2pi
N
• Equac¸o˜es de s´ıntese e de ana´lise da transformada de
Fourier de tempo cont´ınuo:
x(t) =
1
2pi
∫
∞
−∞
X(jω)ejωtdω
X(jω) =
∫
∞
−∞
x(t)e−jωtdt
• Equac¸o˜es de s´ıntese e de ana´lise da transformada de
Fourier de tempo discreto:
x[n] =
1
2pi
∫
2pi
X(ejω)ejωndω
X(ejω) =
∑
∞
n=−∞ x[n]e
−jωn
1