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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE UNIDADE ACADÊMICA DE AGRONOMIA E TECNOLOGIA DE ALIMENTOS DISCIPLINA: ESTATÍSTICA BÁSICA Estatística descritiva (Parte 2) Profª Railene Hérica Carlos Rocha 5. Análise de pequenos conjuntos de dados Análise de dados Pequeno conjunto de dados Grande conjunto de dados N ≤ 30 N ≥ 30 Agrupamento de dados Medidas numéricas: Resumem o conjunto de dados Medidas numéricas: (Técnicas) 1. Valor central do conjunto de números 2. Dispersão dos números 5.1 Medidas de tendência central a) Média A mais importante medida de tendência central Média aritmética: Exemplo: 70 + 80 + 120 = 270 = 90 3 3 Média de uma amostra x x = i=1 xi n n Ou x = x n : Média da população N: Número de elementos da população Média da população = x N Propriedades da média: 1. A média de um conjunto de números pode sempre ser calculada. 2. Para um dado conjunto de números, a média é única; 3. A média é afetada por todos os valores do conjunto. Se um valore se modifica, a média também se modifica. 4. Somando-se uma constante a cada valor do conjunto, a média ficará aumentada do valor da constante. 5. A soma dos desvios dos números de um conjunto a contar da média é zero. (xi – x) = 0 Média ponderada: As observações possuem “pesos” ou importâncias diferentes Exemplo: Um professor informa à classe que haverá dois exames, valendo cada um 30% do total de pontos do curso, e um final valendo 40%. O cálculo da média deve levar em conta os pesos desiguais dos exames: Fórmula: Média ponderada = n i=1 wixi n i=1 wi Wi:peso da observação de ordem i Se um estudante obtém as seguintes notas: Exame Nota Peso Nº 1 80 0,30 Nº 2 90 0,30 Nº 3 96 0,40 1,00 Resolver no quadro b) Mediana Característica principal: Dividir um conjunto ordenado de dados em dois grupos iguais Processo para determinar a mediana: 1º: Ordenar os valores 2º: Verificar se há um número ímpar ou par de valores 3º: Para nº ímpar: valor do meio Para nº par: média dos dois valores do meio Em geral, a mediana ocupa a posição (n + 1)/2: Exemplos: Par Mediana Ímpar Mediana a. 2, 3, 3, 4 a. 1, 2, 3, 3, 3, 4, 7 b. 1, 18, 19, 20 b. 9, 40, 80, 81, 100 c. 5, 1, 6,5, 8,1, 9,1, 10,1, 15,5 c. 3,7, 9,2, 10,1, 11,8, 12,8 b.1 ) Quartil Divide o conjunto ordenado em 4 partes iguais Exemplo: Resolver no quadro 3 18,5 8,6 3 80 10,1 b.1 ) Percentil Dividem os dados em 100 subgrupos iguais Exemplo: Resolver no quadro c) Comparação entre média e mediana Mediana Média A média é afetada pelos valores extremos Exemplo: Renda pessoal Valor de casas residenciais Mediana: d) Moda Valor que ocorre com maior freqüência Série Nº modas Exemplos Unimodal 1 3,5,4,6,6,6,7,8. Bimodal 2 2,5,5,5,6,7,9,9,9,10,10. Trimodal 3 4,4,4,5,6,7,7,7,8,9,9,9,10. Polimodal 4 ou mais 0,0,1,3,3,4,7,8,8,11,12,12,13,13. Amodal 0 0,1,3,4,7,8. e) Comparação entre Média, Mediana e Moda Definições Vantagens Limitações Média x = xi Reflete cada valor É influenciada por valores extremos Mediana Metade dos valores são maiores, metade menores Menos sensível a valores extremos do que a média Difícil de determinar para grande quantidade de dados Moda Valor mais frequente Valor “típico”: maior quantidade de valores concentrados neste ponto Não se presta a análise matemática n Exercícios em sala ... 1. Determine a média e a mediana de cada conjunto: a) 4, 8, 7, 3, 5, 6 b) 2, 1, 7, 6 c) 309, 81, 452, 530, 70, 55, 198, 266 2. Quatro amigos trabalham em um supermercado por tempo parcial com o seguintes horários: Bill: $ 2,20 Tom: $ 2,50 Ed: $ 2,40 Don: $ 2,10 a) Determine o salário horário médio dentre os quatro b) Se Bill trabalha 20 horas, Ed 10 horas, Tom 20 horas e Don 15 horas em uma semana, determine seus salários totais e seus salários horários médios. c) Se cada um trabalha 40 horas em uma semana, determine o salário horário médio, e o salário total. 3. A média pode ser zero? Pode ser negativa? Explique. 4. A mediana pode ser zero? Pode ser negativa? Explique 1. Determine a média e a mediana de cada conjunto: a) Média: 5,5 mediana: 5,5 b) Média: 4,0 mediana: 4 c) Média: 245,1 mediana: 232 2. Quatro amigos trabalham em um supermercado por tempo parcial com o seguintes horários: a) $ 2,30 b) (1) $ 149,5 (2) $ 2,30 c) (1) $ 2,30 (2) 368 3. A média pode ser zero? Pode ser negativa? Explique. 4. A mediana pode ser zero? Pode ser negativa? Explique Respostas ... 5.2 Medidas de dispersão Indicam se os valores estão próximos ou separados uns dos outros a) Pequena dispersão b) Grande dispersão Medidas de dispersão: Intervalo, Desvio médio, variância e desvio padrão (Tem a média como ponto de referência) a) Intervalo Focaliza o maior e o menor valor no conjunto Pode ser expresso por: a) A diferença entre o maior e o menor valor; b) O maior e o menor valor no grupo. Exemplo: Intervalo Números Diferença Do menor ao maior 1, 5, 7, 13 13 – 1 = 12 de 1 a 13 14, 3, 17, 4, 8, 73, 36, 48 73 – 3 = 70 de 3 a 73 3,2, 4,7, 5,6, 2,1, 1,9, 10,3 10,3 – 1,9 = 8,4 de 1,9 a 10,3 31-1 = 12 de 1 a 13 73-3= 70 de 3 a 73 10,3 -1,9 = 8,4 de 1,9 a 10,3 31-1 = 12 de 1 a 13 73-3= 70 de 3 a 73 10,3 -1,9 = 8,4 de 1,9 a 10,3 Vantagem: Fácil de calcular e de entender Desvantagem: Só leva em conta os dois valores extremos de um conjunto 1 2 3 Três grupos diferentes de números, todos com o mesmo intervalo 5.2.1 Medidas de dispersão que têm a média como ponto de referência a) Desvio médio absoluto (DMA): A soma dos desvios é igual a zero DMA = |xi - x| n Onde n é o número de observações no conjunto Exemplo: Determine o desvio médio para o conjunto de valores: 1, 2, 3, 4 e 5 Resolver no quadro xi x xi - x xi - x Somas: b) Variância (sx2): É a medida de dispersão mais utilizada; É a média dos quadrados dos desvios dos valores a contar da média, calculada usando-se n – 1 em lugar de n. DMA = |xi - x| n Sx2 = (xi – x)2 n -1 Usa-se n - 1: amostra n: população Obs: Ou xi 2 – [( xi) 2/n] n -1 Sx2 = Usa-se n - 1: amostra n: população Obs: Exemplo: xi x (xi – x) (xi – x) 2 Calcule a variância da amostra: 2, 4, 6, 8, 10 Resolver no quadro Somas: Sx2 = (xi – x)2 n -1 Sx2 = xi 2 – [( xi) 2/n] n -1 Utilizando a segunda opção de fórmula: xi xi 2 xi xi2 Resolver no quadro As duas fórmulas levam ao mesmo resultado! c) Desvio padrão (s): É a raiz quadrada positiva da variância. s = xi 2 – [( xi) 2/n] (xi - x) 2 = n -1 n -1 Usa-se n - 1: amostra n: população Obs: Exemplo: Calcule o desvio padrão da amostra: 20, 5, 10, 15, 25. xi xi 2 Resolver no quadro xi xi2 xi 2 – [( xi) 2/n] n -1 s = d) Outras medidas: Proporção = n x x: número de elementos que apresentam determinada característica n: número total de observações Exemplo:Se num grupo de 40 pessoas 10 tem propriedade agrícola, dizemos que a proporção dos que a têm é de: 10/40 = 0,25 ou 25% Exercícios em sala ... 1. O desvio padrão pode ser zero? Explique. Pode ser negativo? Explique. 2. Calcule a média e o desvio padrão das vendas diárias: $ 8.100, $ 9.000, $ 4.580, $ 5.600, $ 7.680, $ 4.800, $ 10.640 3. Determine o intervalo, o desvio médio absoluto e a variância dos dados: a) 7, 9, 2, 1, 5, 4,5, 7,5 6,2 b) 1, 2, 10, 7, 7, 9, 8, 5, 2, 11 c) 30, 2, 79, 50, 38, 17, 9 d) 0,011, 0,032, 0,027, 0,035, 0,042 Lista de exercícios Para o I Estágio
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