Aula_6

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Sinais e Sistemas
Engenharia de Controle e Automação
Universidade Federal de Lavras
Prof. Bruno Henrique Groenner Barbosa
Notas de Aula 6 – Representações de Fourier
Sumário
• Séries de Fourier
• Transformada de Fourier
• Teorema da Amotragem
• Transformada Discreta de Fourier
Representações de Fourier
• Na análise no tempo de sistemas LTI foi 
importante expressar sinais como um somatório 
de impulsos deslocados e ponderados –
convolução
• Na frequência os sinais são representados como 
a soma de exponenciais complexas
• Se a entrada de um sistema LTI é uma 
combinação de entradas exponencias, a saída 
também será.
Representações de Fourier
• Resposta a uma entrada exponencial complexa:
• Considerando 
Representações de Fourier
• Nas representações de Fourier há uma restrição 
nas variáveis s e z de forma que:
▫ No tempo contínuo, o interesse está em valores 
puramente imaginários
▫ No tempo discreto, o interesse está em valores de 
módulo unitário: 
jΩnjΩ
Representações de Fourier
• Análise de sinais
• Exemplo: ECG
• Ou h(t)
Representações de Fourier
• Análise de sinais
piano
piano
violino
violino
flauta
flauta
Representações de Fourier
Série de Fourier
• Representação de sinais periódicos 
como a combinação linear de 
exponenciais complexas
• Um sinal é periódico se existe uma constante positiva T0
ou N0, tal que:
o menor valor de T0 e N0 que satisfaz as equações acima é
chamado de período fundamental.
Série de Fourier
frequência fundamental de x(t) em hertz 
frequência fundamental de x(t) em radianos por segundo 
frequência fundamental de x[n] em radianos por segundo 
Série de Fourier
Série de Fourier
• E o sinal é periódico?
▫ Sim, com frequência fundamental e período 
fundamental 
▫ Da mesma forma, as harmônicas também são periódicas:
▫ A combinação do sinal x(t) com suas harmônicas também 
será um sinal periódico com período fundamental
Série de Fourier
• Representação em Série de Fourier, sinais contínuos e 
periódicos, em sua forma exponencial é:
Série de Fourier
• Representação em Série de Fourier, sinais contínuos e 
periódicos, em sua forma exponencial é:
Série de Fourier
Equação de síntese
Equação de análise
Série de Fourier
Série de Fourier
• Representação em Série de Fourier, sinais contínuos e 
periódicos, em sua forma trigonométrica:
Série de Fourier
• Condições de Convergência (condições de Dirichlet):
▫ O sinal periódico deverá:
1. Ser absolutamente integrável
2.Possuir um número finito de máximos e mínimos num período
3.Possuir um número finito de descontinuidades num período
Série de Fourier
• Condições de Convergência (condições de Dirichlet):
▫ O sinal periódico deverá:
1. Ser absolutamente integrável
2.Possuir um número finito de máximos e mínimos num período
3.Possuir um número finito de descontinuidades num período
Série de Fourier
• Condições de Convergência (condições de Dirichlet):
▫ O sinal periódico deverá:
1. Ser absolutamente integrável
2.Possuir um número finito de máximos e mínimos num período
3.Possuir um número finito de descontinuidades num período
Série de Fourier
• Relação entre a forma exponencial e a forma 
trigonométrica (vista em EDP...):
Série de Fourier
• Relação entre a forma exponencial e a forma 
trigonométrica (vista em EDP...):
Série de Fourier
• Forma compacta:
Série de Fourier
Série de Fourier – Sinais Reais
Série de Fourier – Sinais Reais
• Formas da Série de Fourier para sinais reais:
• Algumas propriedades:
▫ Linearidade:
▫ Deslocamento no tempo:
▫ Reversão temporal:
▫ Conjugação:
Série de Fourier
• Algumas propriedades:
▫ Reversão temporal:
Série de Fourier
• Algumas propriedades:
▫ Sinais reais:
▫ Sinais reais e pares:
▫ Sinais reais e ímpares:
Série de Fourier
• Algumas propriedades:
▫ Mudança de escala de tempo:
Série de Fourier
Série de Fourier
• Algumas propriedades:
▫ Multiplicação:
▫ Relação de Parseval:
• Fenômeno de Gibbs:
▫ A aproximação pela Série de Fourier (Truncada) não é perfeita 
para sinais descontínuos
▫ A Série de Fourier minimiza a média da diferença próximo da 
descontinuidade
▫ Solução: janelamento – redução da magnitude dos coeficientes de 
altas frequências
Série de Fourier
• Exemplo:
Série de Fourier
• Exemplo:
Série de Fourier
• Exemplo:
Série de Fourier
• Exemplo:
Série de Fourier
• Exemplo:
Série de Fourier
• Exemplo:
Série de Fourier
• Exemplo:
Série de Fourier
• Exemplo Onda Quadrada – forma exponencial:
Série de Fourier
• Exemplo Onda Quadrada – forma exponencial:
Série de Fourier
• Exemplo Onda Quadrada – forma exponencial:
Série de Fourier
• Exemplo:
Série de Fourier
• Exemplo:
Série de Fourier
• Um sinal discreto é periódico se existe uma constante N
tal que:
• O conjunto de harmônicas é:
Série de Fourier Discreta
N harmônicas distintas!
• Equações da DTFS:
Série de Fourier Discreta
• As propriedades da Série de Fourier Discreta são 
similares às da Série de Fourier vistas anteriormente.
Série de Fourier Discreta
• Nas Séries de Fourier, sinais periódicos são 
representados como a combinação de exponenciais 
complexas.
• O que fazer se o sinal for aperiódico?
Transformada de Fourier
• Nas Séries de Fourier, sinais periódicos são 
representados como a combinação de exponenciais 
complexas.
• O que fazer se o sinal for aperiódico?
• Fourier observou que um sinal aperiódico pode ser visto 
como um sinal periódico com período infinito, ou seja:
Transformada de Fourier
Transformada de Fourier
Transformada de Fourier
Transformada de Fourier
Transformada de Fourier
• Fourier observou que um sinal aperiódico pode ser visto 
como um sinal periódico com período infinito, ou seja:
• Na Série de Fourier foi visto que à medida que o período 
fundamental aumenta, a frequência diminui 
(consequentemente as harmônicas).
• Como será o espectro de frequência no limite para o 
período tendendo a infinito?
Transformada de Fourier
• Como será o espectro de frequência no limite para o 
período tendendo a infinito?
Transformada de Fourier
• Equações da Transformada de Fourier:
Transformada de Fourier
• Condições de Convergência (condições de Dirichlet):
▫ O sinal deverá:
1. Ser absolutamente integrável
2.Possuir um número finito de máximos e mínimos
3.Possuir um número finito de descontinuidades
Transformada de Fourier
• Exemplo: Sinal Exponencial
Transformada de Fourier
• Exemplo: Sinal Exponencial
Transformada de Fourier
• Exemplo: Pulso Retangular
Transformada de Fourier
• Exemplo: Pulso Retangular
Transformada de Fourier
• Exemplo: Pulso Retangular
Transformada de Fourier
• Exemplo: Pulso Retangular
Transformada de Fourier
• A função sinc(x)
▫ É uma função par
▫ sinc(x) = 0 – quando seno(x) for zero, com exceção para x=0
▫ sinc(0) = 1 – Regra de L’Hôpital 
Transformada de Fourier
• Exemplo: Pulso Retangular na Frequência
Transformada Inversa de Fourier
DUALIDADE
• Exemplo: Impulso
Transformada de Fourier
• Exemplo: Impulso
Transformada de Fourier
• Exemplo: Impulso
Transformada Inversa de Fourier
• Exemplo: Impulso
Transformada Inversa de Fourier
• Sinais Periódicos: 
• Considere o seguinte espectro:
• Generalizando:
Transformada de Fourier
• Exemplo:
Transformada de Fourier
• Exemplo: Trem de Impulsos
▫ Série de Fourier
Transformada deFourier
• Propriedades
▫ Linearidade:
▫ Conjugado:
� se x(t) for real:
Transformada de Fourier
• Propriedades
▫ Dualidade:
Transformada de Fourier
• Propriedades
▫ Dualidade:
Transformada de Fourier
• Propriedades
▫ Dualidade:
Transformada de Fourier
• Propriedades
▫ Dualidade:
Transformada de Fourier
• Propriedades
▫ Dualidade:
Transformada de Fourier
• Propriedades
▫ Compressão/Expansão: compressão no tempo, expansão na 
frequência
Transformada de Fourier
• Propriedades
▫ Deslocamento no tempo
Transformada de Fourier
• Propriedades
▫ Deslocamento na frequência (multiplicação - modulação)
Transformada de Fourier
• Propriedades
▫ Deslocamento na frequência
Transformada de Fourier
• Propriedades
▫ Truncagem de dados: 
Transformada de Fourier
• Propriedades
▫ Janelamento
Transformada de Fourier
Espalhamento (redução da resolução espectral)
Vazamento (energia distribuída para lóbulos laterais)
• Propriedades
▫ Janelamento
� Lóbulo principal mais próximo de um impulso
� Solução: aumentar tamanho da janela
� Reduzir vazamento
� Solução: evitar descontinuidade na função de janelamento
▫ As duas soluções são incompatíveis
Transformada de Fourier
• Propriedades
▫ Janelamento - Exemplos
Transformada de Fourier
• Propriedades
▫ Convolução
Transformada de Fourier
• Propriedades
▫ Convolução
Transformada de Fourier
• Propriedades
▫ Relação de Parseval
Transformada de Fourier
• Propriedades
▫ Ler tabela de propriedades no Livro
▫ Observar semelhanças com a Transformada de Laplace
Transformada de Fourier
• Filtragem
▫ Eletrocardiograma
Transformada de Fourier
• Filtragem
▫ Eletrocardiograma
▫ Deseja-se obter um filtro para que:
Transformada de Fourier
• Filtragem
▫ Eletrocardiograma
Transformada de Fourier
• Filtragem
▫ Eletrocardiograma
Transformada de Fourier
• Filtragem
▫ Eletrocardiograma
Transformada de Fourier
• Filtragem
▫ Eletrocardiograma
Transformada de Fourier
• Necessidade de processamento digital
▫ Microprocessadores, FPGAs, etc
Amostragem
• Que conclusão interessante pode ser tirada da figura a 
seguir?
Amostragem
• Que condição deve ser satisfeita para que um sinal de 
banda limitada seja recuperado a partir de suas 
amostras?
Teorema da Amostragem
• Teorema da Amostragem de Shannon
▫ Se a Transformada de Fourier de um sinal contínuo e(t) é
nula para todo f>fo, ou seja, fo é a maior frequência contida 
no sinal, então e(t) pode ser determinado de forma única 
por meio de suas amostras e(kT), desde que a frequência de 
amostragem seja escolhida de forma a se verificar a relação 
fs>2 fo (conhecida como frequência de amostragem de 
Nyquist).
▫ No exemplo anterior, a frequência de amostragem mínima 
deveria ser de 200Hz
▫ Note que a recuperação única do sinal, como descrito no 
teorema, depende da mplantação de um filtro ideal, que é
não realizável
Teorema da Amostragem
• Considere o sinal de banda limitada e seu espectro:
• Considerando amostrador ideal (trem de impulsos)
• O sinal amostrado é então:
• Para reconstruir o sinal original, deve ser utilizado um 
filtro ideal:
▫ Isso só é possível se as áreas hachuradas não se sobreporem, ou 
seja, fs deve ser duas vezes maiores que B.
Teorema da Amostragem
• Considere o sinal com banda limitada em 5Hz:
• Amostrando com frequência crítica de 10Hz (Nyquist) 
Teorema da Amostragem
• Amostrando com frequência de 20Hz:
• Amostrando abaixo da frequência de Nyquist:
Teorema da Amostragem
• Filtro anti-aliasing:
▫ Garantir que o sinal possui banda limitada em B = fs/2.
▫ Considere o sinal de espectro
Teorema da Amostragem
• Sem filtro anti-aliasing:
▫ Após amostragem:
▫ Após reconstrução:
Teorema da Amostragem
• Com filtro anti-aliasing:
Teorema da Amostragem
• Reconstrução ideal:
▫ Filtro passa baixa ideal (função sinc – função de interpolação)
Teorema da Amostragem
• A partir do sinal fornecido, encontre:
▫ A Transformada Discreta de Fourier do sinal (espectrograma)
▫ Implemente um filtro IIR em cascata para rejeitar as duas faixas de 
frequencias (ruido adicionado no sinal de música) utilizando o 
toolbox do Matlab.
▫ Apresente a resposta em frequencia do filtro.
▫ Encontre a equação de diferenças do filtro e apresente sua resposta 
ao impulso.
▫ Apresente a alocação de polos e zeros do filtro no plano Z e discuta.
▫ Aplique o filtro no sinal original e obtenha o sinal filtrado e sua TDF 
(espectrograma).
▫ Discuta os resultados.
Trabalho – Filtros Digitais
• A amostragem temporal tem um dual na frequência: a 
amostragem espectral.
• Considere um sinal limitado x(t) com espectro X(w): 
Amostragem Espectral
• Construindo um sinal xTo(t), espera-se obter um espectro 
amostrado – expressado como a Série de Fourier: 
Amostragem Espectral
• A Transformada de Fourier é computada usando técnicas 
discretas.
• A partir de um sinal limitado x(t), deseja-se calcular sua 
Trasformada de Fourier X(w):
• Amostragem no domínio do tempo: 
A Transformada Discreta de 
Fourier
• Construindo a versão amostrada de x(t) com cópias 
repetidas, o efeito é amostrar no espectro:
A Transformada Discreta de 
Fourier
Número de 
amostras no 
tempo
Número de 
amostras na 
frequência
• Uma vez que x(t) não é limitado, há aliasing
• Além disso, é preciso truncar, consequência: espalhamento 
e vazamento
A Transformada Discreta de 
Fourier
• Exemplo:
• Use a DFT para computar a Transformada de Fourier de:
A Transformada Discreta de 
Fourier
• Exemplo:
• Após amostragem e repetição:
A Transformada Discreta de 
Fourier
• Sinais aperiódicos
A Transformada de Fourier de Tempo 
Discreto
• Sinais aperiódicos
A Transformada de Fourier de Tempo 
Discreto
• Sinais aperiódicos
A Transformada de Fourier de Tempo 
Discreto
• Sinais aperiódicos
A Transformada de Fourier de Tempo 
Discreto
• Definição:
A Transformada de Fourier de Tempo 
Discreto
• Relação com a Transformada Z:
A Transformada de Fourier de Tempo 
Discreto
• Exemplo: Encontrar a TFTD de
A Transformada de Fourier de Tempo 
Discreto
• Exemplo: Encontrar a TFTD de
A Transformada de Fourier de Tempo 
Discreto
• Exemplo: Encontrar a TFTD de
A Transformada de Fourier de Tempo 
Discreto
• Exemplo: Encontrar a inversa TFTD de
A Transformada de Fourier de Tempo 
Discreto
• Exemplo: Encontrar a inversa TFTD de
A Transformada de Fourier de Tempo 
Discreto
• Exemplo: Encontrar a inversa TFTD de
A Transformada de Fourier de Tempo 
Discreto
• Exemplo: Encontrar TFTD de
A Transformada de Fourier de Tempo 
Discreto
• No tempo:
Relação entre as Representações de 
Fourier
• Na frequência:
Relação entre as Representações de 
Fourier
• 5.1-4
• 5.1-5
• 5.1-6
• 5.2-2
• 5.2-9
• 5.3-2
• 5.3-19
• 5.5-4
• 5.5-9
• 5.6-1
• 5.6-7
• 7.2-2
• 7.3-7
• 7.4-3 a)
Exercícios