Flexão em Engenharia Civil

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Universidade Federal de São Carlos
Departamento de Engenharia Civil 
Mecânica dos Sólidos para 
Engenharia Civil
Prof. Dr. Alex Sander Clemente de Souza
Profa. Dra. Silvana De Nardin
Universidade Federal de São Carlos
Departamento de Engenharia Civil 
FLEXÃO: 
Revisão
Prof. Dr. Alex Sander Clemente de Souza
Profa. Dra. Silvana De Nardin
Mecânica dos Sólidos para Engenharia Civil
Universidade Federal de São Carlos
Departamento de Engenharia Civil 
Tensões e deformações na 
flexão pura
Prof. Dr. Alex Sander Clemente de Souza
Profa. Dra. Silvana De Nardin
Mecânica dos Sólidos para Engenharia Civil
Referência Bibliográfica:
BEER, F. P.; JOHNSTON JR, E. R. Mecânica dos Materiais. 5 ed. Porto Alegre: Editora McGraw-Hill, 2011
PROENÇA, S.P.B. Curso de Resistência dos Materiais. Notas de aula Escola de Engenharia São Carlos, v. 1 e 2. São Carlos. 2001
Tipos de flexão
• Flexão pura
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Diagrama de esforço cortante
Ensaio de flexão em viga
V=0
V=F
V=F
F F
R=F R=F
E o peso próprio da viga??
• Flexão Simples
• Flexão composta
(flexão + força axial) ou força axial excêntrica
• Reta
• Oblíqua
Carregamentos excêntricos
• Flexão Assimétrica 
(oblíqua)
Tensões e deformações na flexão
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5
• Flexão pura
• Deformações
Tensões e deformações na flexão
• Deformações na Flexão pura
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6
 
 
mx
m
m
x
c
y
c
ρ
c
yy
L
yyLL
yL













ou 
e)linearment variao(deformaçã 
𝜀𝑚
𝜀𝑥
Para y=c deformação máxima
Deformação proporcional à 
curvatura
Fibra JK
M
𝜎𝑚
Tensões e deformações na flexão
• Distribuição de tensões na flexão pura
• Considerando material elástico linear
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𝜎𝑥 = 𝐸𝜀𝑥 Relação constitutiva do material
𝜀𝑥 = −
𝑦
𝑐
𝜀𝑚
Variação linear ao longo da 
altura da seção
Deformações ao longo da seção transversal
𝜎𝑥 = 𝐸 −
𝑦
𝑐
𝜀𝑚 = −
𝑦
𝑐
𝐸𝜀𝑚
𝜀𝑥 = −
1
𝜌
𝑦
−
σm
c
 ydA = 0
Mz =
σm
c
 y2dA
Tensões e deformações na flexão
• Relação entre tensão e momento fletor
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𝜎𝑥 = −
𝑦
𝑐
𝜎𝑚
 −
y
c
σmdA = 0 ydA = 0






MdAyM
0dAzM
0dAF
xz
xy
xx
 Fx = σxdA = 0
Momento estático da seção LN passa pelo CG. 
Equilíbrio de forças na seção:
Equilíbrio de momentos na seção:
Equações de equilíbrio
 Mz = − yσxdA = Mz Mz = − y −
y
c
σm dA Mz =
σm. Iz
c
Momento de inércia seção
Tensões e deformações na flexão
• Relação entre tensão e momento fletor
• Considerando material elástico linear
• Hipóteses para validade da relação entre tensão e momento
• Material homogêneo
• Material elástico linear (lei de Hooke)
• Seção com um plano de simetria (eixo principal de inércia)
• Flexão no plano de simetria
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Mz =
σm. Iz
c
σm =
𝑀𝑧. 𝑐
Iz
𝜎𝑥 = −
𝑦
𝑐
𝜎𝑚 σx = −
𝑀𝑧. 𝑐
Iz
Tensões e deformações na flexão
• Relação entre tensão e momento fletor
• Considerando material elástico linear
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Somente parâmetros geométricos da seção
Módulo resistente elástico da seção
c
I
W 
W
M
m 
c
I
M
 m 
y
I
M
 x 
Tensões e deformações na flexão
• Relação entre curvatura e deformação da seção
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𝜀𝑚 =
𝑐
𝜌
1
𝜌
=
𝜀𝑚
𝑐
No regime elástico: 
𝜎𝑚 = 𝐸𝜀𝑚
1
𝜌
=
𝜀𝑚
𝑐
=
𝜎𝑚
𝐸𝑐
Mas: 𝜎𝑚 =
𝑀𝑐
𝐼
Curvatura: Da geometria diferencial sabe-se:
  2/32 )x(v1
)x(v1




)(xv
x
y
o

1v 2 
Em pequenos deslocamentos:
)x(v
1


Então:
Ajustando a orientação dos eixos podemos 
escrever:
 
EI
xM
)x(v 
Relação momento x curvatura
𝜀𝑥 = −
1
𝜌
𝑦
𝜎𝑥 = 𝐸𝜀𝑥
EI
M1


Relação entre curvatura e deformação
Tensões e deformações na flexão
• Curvatura e deformação da seção
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Deformações transversais:
xy 
xz 
 y
1
x 

 

y
y


y
z
Tensões e deformações na flexão
• Exercício 01
• Determinar o momento aplicado que produz a distribuição 
de tensões para a seção a seguir: a) a fórmula da flexão 
pura; b) as resultantes de forças.
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Tensões e deformações na flexão
• Exercício 02
• Sabendo que a viga com seção transversal mostrada na 
figura a seguir é flexionada em torno do eixo horizontal e 
que o momento fletor na seção é 1200 kN.m, determine a 
força total atuante na porção sombreada da viga.
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Tensões e deformações na flexão
• Exercício 03
• Uma viga tem extremidades em balanço, vínculos e carregamento
como mostrado na figura. Calcule as tensões normais máximas de
tração e compressão e o deslocamento (deflexão) no meio do vão.
Admitir que a seção transversal seja circular com diâmetro de 250
mm. Adote: a=350 mm; L=1500 mm; P=120 kN e E=21000
kN/cm2.
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P
L/2a a
P
A B
C D
L/2

 
Tensões e deformações na flexão
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3m
A
B
C
1,5m
3,2 kN/m
y
x
CG
t
y
x
bw
bf tw xtf
yx
bf
H
tftw
y
xCG
t
y
xbw
bf
tw
x
tf
y
x
bf
H
tf
tw
a) b)
y
xCG
t
y
xbw
bf
tw
x
tf
y
x
bf
H
tf
tw
h x peso bw tf tw bf A Ix Wx rx Zx Iy Wy ry Cw It Xg X0 
mm X kg/m mm mm mm mm cm² cm4 cm² cm cm4 cm4 cm³ cm cm6 cm4 cm cm 
152x 19,4 152,4 8,7 11,1 54,8 24,7 724 95,0 5,4 112,1 43,9 10,5 1,3 1921,4 8,6 1,3 10,9 
203 x 17,1 203,2 9,9 5,6 57,4 21,8 1356 133,4 7,9 157,4 54,9 12,8 1,6 4390,8 4,8 1,5 7,4 
203x 20,5 203,2 9,9 7,7 59,5 26,1 1503 147,9 7,6 174,5 63,6 14,0 1,6 5130,5 6,6 1,4 9,0 
203x 24,2 203,2 9,9 10,0 61,8 20,8 1667 164,0 7,4 193,5 72,9 15,3 1,5 5910,8 10,1 1,4 13,3 
 
• Exercício 4
• Deseja-se utilizar para viga da figura a seção em aço U 203x24,2
para o carregamento de projeto indicado. A tensão resistente de
projeto para essa seção, na flexão, é 20 kN/cm2. Indique qual das
orientações da seção (a ou b) é a mais indicada.
Tensões e deformações na flexão
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x
y
M
10cm 20cm20cm
10cm
50cm
• Exercício PROPOSTO
• Para a seção ao lado, submetida a um momento fletor de
400 kN.m, determine a posição da LN e as tensões máximas
de tração e compressão.
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Tópicos completares de flexão
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Mecânica dos Sólidospara Engenharia Civil
Referência Bibliográfica/ créditos figuras
HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 7. ed. 2010.
BEER, F. P.; JOHNSTON JR, E. R. Mecânica dos Materiais. 5 ed. Porto Alegre: Editora McGraw-Hill, 2011
1. Flexão assimétrica – Teoria geral da Flexão, eixos principais de inércia 
2. Flexão + força normal – núcleo central
3. Deformações plásticas e vigas de material elastoplástico
4. Flexão em barras constituídas por vários materiais
5. Cisalhamento na flexão
6. Vigas com seção transversal de parede fina
7. Carregamento assimétrico em barras de parede fina – centro de cisalhamento
Flexão Assimétrica – eixos principais
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20
• Momento aplicado em eixo principal de inércia
Flexão Assimétrica – eixos principais
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21
MdAy
c
 MdA
c
y
yM 2mmz 







 
0dAy 0dA
c
y
dAF mxx 





  0IdAyz 0dA
c
y
zdAzM yzmxy 





 
MM 0M 0F zyx 
Momento estático 
Produto de inércia
Momento de inércia em z
Eixos principais de inércia
Regime elástico
LN tem a mesma direção do vetor 
momento aplicado
Momento atuando em um dos 
eixos principais de inércia
• Momento sobre os eixos principais
Caso os eixos não sejam principais, é preciso encontrar os momentos de inércia para os eixos principais
Flexão Assimétrica – eixos principais
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22
• Momento aplicado em um plano qualquer
Flexão Assimétrica – eixos principais
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23
y
y
z
z
x
I
zM
I
yM

 MsenMMM yz  cos
   


tantan
cos
0
y
z
yzy
y
z
z
x
I
I
z
y
I
zMsen
I
yM
I
zM
I
yM


z
z
x
I
yM

y
y
x
I
zM

Posição da Linha Neutra
• Momento aplicado em um plano qualquer
Os ângulos  e  terão sempre o mesmo sinal
Se:
yz II 
A linha neutra estará entre a direção do vetor momento e o eixo de menor inércia
zy II 
 
Se:
 
Exercício 1
• Uma viga inclinada, biapoiada, com seção transversal
retangular de 10cm x 20 cm deve vencer um vão de 4m com
um carregamento uniforme de 10 kN/m, incluindo o peso
próprio, aplicada como mostra a figura. Determinar as tensões
máximas de tração e compressão.
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24
𝜃 =26,6
q=10,0kN/m
Flexão Assimétrica – eixos principais
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25
• Formulação geral para Flexão: Teoria geral da flexão
pura
Teoria Geral da flexão
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z
y
Mz
My
CG
Curvatura do plano xz
Curvatura do plano xy
0 0
OK
De forma análoga:
Resolvendo esse 
sistema determina-
se: ky e kz
 y.E
1
x 


Convenção de sinal para a concavidade
y
x
+
z
Mz
z
x
-
My
y
y
y
1
k


z
z
1
k


z
z
1
k


y
y
1
k


   z.E
1
y.E
1
zy
x




Relação tensão-curvatura z.Eky.Ek zyx 
0dAF xx   0zdAkydAk zy  Eixos passam pelo centroide
Teoria Geral da flexão
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27
𝑀𝑦 = −𝑘𝑦 𝐸𝐼𝑦𝑧 − 𝑘𝑧𝐸𝐼𝑦𝑧
𝑀𝑧 = 𝑘𝑦 𝐸𝐼𝑧 + 𝑘𝑧𝐸𝐼𝑦𝑧
𝑘𝑍 = −
𝑀𝑦𝐼𝑧 +𝑀𝑧𝐼𝑦𝑍
𝐸 𝐼𝑦𝐼𝑍 − 𝐼𝑦𝑧
2
𝑘𝑦 =
𝑀𝑍𝐼𝑦 +𝑀𝑦𝐼𝑦𝑍
𝐸 𝐼𝑦𝐼𝑍 − 𝐼𝑦𝑧
2
𝜎𝑥 =
𝑀𝑦𝐼𝑧 +𝑀𝑧𝐼𝑦𝑧 𝑧 − 𝑀𝑧𝐼𝑦 +𝑀𝑦𝐼𝑦𝑧 𝑦
𝐼𝑦𝐼𝑧 − 𝐼𝑦𝑧
2
Substituindo e em:𝑘𝑦 𝑘𝑧 𝜎𝑥 = −𝑘𝑦𝐸𝑦 − 𝑘𝑧𝐸𝑧
Fórmula generalizada da flexão:
Para eixos quaisquer que 
passem no centroide da seção
z
y
Mz
My
CG
Teoria Geral da flexão
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28
𝜎𝑥 =
𝑀𝑦𝐼𝑧 +𝑀𝑧𝐼𝑦𝑧 𝑧 − 𝑀𝑧𝐼𝑦 +𝑀𝑦𝐼𝑦𝑧 𝑦
𝐼𝑦𝐼𝑧 − 𝐼𝑦𝑧
2
Fórmula generalizada da flexão:
Para eixos quaisquer que
passem no centroide da seção
PARTICULARIZANDO A SOLUÇÃO GERAL
Por exemplo: 𝑀𝑦=0 𝜎𝑥 =
𝑀𝑧 𝐼𝑦𝑧𝑧 − 𝐼𝑦𝑦
𝐼𝑦𝐼𝑧 − 𝐼𝑦𝑧
2
Momento atuando num único eixo e eixo principal de 
inércia
y
y
z
z
x
I
zM
I
yM

𝜎𝑥 = −
𝑀𝑧
𝐼𝑧
𝑦
𝑀𝑦 ≠0
Momentos aplicados nos eixos principais de inércia
𝑀𝑧 ≠0 
Momento atuando num único eixo
𝑀𝑦=0
z
y
Mz
My
CG
Flexão Assimétrica – eixos principais 
• Momento de inércia de uma área em relação a
eixos inclinados
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29
dA
𝜃
𝜃
x
y
x
y 𝜃
x´=xcos𝜃 + ysen𝜃
y´=− xsen𝜃 +ycos𝜃
𝐼𝑥= 𝑦
2𝑑𝐴
𝑦´=ycosθ − 𝑥𝑠𝑒𝑛θ𝐼𝑥´= 𝑦´
2𝑑𝐴
𝐼𝑥´= ycosθ − 𝑥𝑠𝑒𝑛θ
2𝑑𝐴
𝐼𝑥´=
𝐼𝑥+𝐼𝑦
2
+
𝐼𝑥−𝐼𝑦
2
cos2θ − 𝐼𝑥𝑦𝑠𝑒𝑛2θ
𝐼𝑦= 𝑥
2𝑑𝐴 𝐼𝑥𝑦= 𝑥𝑦𝑑𝐴
De forma análoga se obtém:
𝐼𝑦´=
𝐼𝑥+𝐼𝑦
2
−
𝐼𝑥−𝐼𝑦
2
cos2θ + 𝐼𝑥𝑦𝑠𝑒𝑛2θ
𝐼𝑥´𝑦´=
𝐼𝑥−𝐼𝑦
2
𝑠𝑒𝑛2θ + 𝐼𝑥𝑦cos2θ
𝐼𝑝 = 𝐼𝑥+𝐼𝑦=𝐼𝑥´+𝐼𝑦´
Momento de inércia polar:
x´
y´
=
cos𝜃 sen𝜃
−sen𝜃 cos𝜃
x
y
Flexão Assimétrica – eixos principais 
• Eixos principais de inércia
• Par de eixos particular onde tem-se os valores extremos dos momentos 
de inércia
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30
𝐼𝑥´=
𝐼𝑥+𝐼𝑦
2
+
𝐼𝑥−𝐼𝑦
2
cos2θ − 𝐼𝑥𝑦𝑠𝑒𝑛2θ
Substituído na primeira equação:
𝐼𝑚𝑎𝑥,𝑚𝑖𝑛=
𝐼𝑥+𝐼𝑦
2
±
𝐼𝑥−𝐼𝑦
2
2
+ 𝐼𝑥𝑦
2
dA
x
y
x
y 𝜃
𝜃
𝜃
𝑑𝐼𝑥´
𝑑θ
= 0 −2
𝐼𝑥−𝐼𝑦
2
sen2θ − 2𝐼𝑥𝑦𝑐𝑜𝑠2θ=0
tg 2θ𝑝 =
−𝐼𝑥𝑦
 (𝐼𝑥−𝐼𝑦) 2
θ𝑝
Rotação de eixos que leva aos 
eixos principais de inércia:
θ𝑝
θ𝑝Substituído em: 𝐼𝑥´𝑦´=
𝐼𝑥−𝐼𝑦
2
𝑠𝑒𝑛2θ + 𝐼𝑥𝑦cos2θ
Conclui-se que: 𝐼𝑥´𝑦´=0
Em seções com pelo menos um eixo de simetria, os eixos principais coincidem com os eixos coordenados
Exercício 2
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31
• O momento M atua em um plano vertical e é aplicado a uma
viga com orientação dos eixos coordenados como mostrado na
figura. Determine a tensão normal nos pontos A, B e C. Dados:
Iz=10198 x 10
3 mm4; Iy=3621 x 10
3 mm4 e Iyz=3455 x 10
3 mm4.
Exercício 3
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32
• Considere a mesma cantoneira do Exercício 2, agora
associada como mostrado abaixo e determine qual o momento
Mz que pode ser aplicado ao conjunto para gerar as mesmas
tensões normais nos pontos A, B e C do problema anterior.
Propriedades da cantoneira isolada: Iz=34668cm
4; Iy=13932
cm4 e Iyz=-15552cm
4.
1
5
2
,4
m
m
20mm
Flexão composta (força axial excêntrica)
• Flexão (reta ou oblíqua) + força normal
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33
yz
zy
ePM
ePM
centrada força P


zeye
Superposição de efeitos
Sistema equivalente
𝜎𝑥 =
𝑃
𝐴
−
𝑀𝑧
𝐼𝑧
𝑦 +
𝑀𝑦
𝐼𝑦
𝑧
Flexão composta (força axial excêntrica)
• Linha Neutra
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34
Equação da linha neutra
• Não passa pela origem do sistema 
de referência 
• Inclinação entre o vetor momento e 
o eixo de menor inércia 
A
P
z
I
M
yI
M
0
I
zPe
I
yPe
A
P
y
y
z
z
y
z
z
y
x


Inclinação da LN
A Linha Neutra L.N. pode cair fora da seção??
1 −
𝐴. 𝑒𝑦
𝐼𝑧
𝑦 +
𝐴. 𝑒𝑧
𝐼𝑦
𝑧 = 0
𝑀𝑧
𝐼𝑧
𝑦 −
𝑀𝑦
𝐼𝑦
𝑧 =
𝑃
𝐴
𝑦 =
𝐼𝑧
𝐼𝑦
𝑀𝑦
𝑀𝑧
𝑧 +
𝐼𝑧
𝑀𝑧
𝑃
𝐴
Flexão composta (força axial excêntrica)
• Núcleo central
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35
x
y
z
b
hy
e
P
A B
CD
x
y
z
b
h
P
A B
CD
yz PeM 
z
y
x
z
z
x
I
yPe
A
P
I
yM
A
P
 






z
y
x
I
yAe
1
A
P
A menor tensão de compressão 
ocorre na aresta AB onde 
2
h
y 







z
y
x
I2
hAe
1
A
P
Para que essa tensão permaneça 
de compressão:
Ah
I2
e1
I2
hAe
z
y
z
y
 12
bh
I
3
z 
6
h
ey 
y
x
z
b
hP
A B
CD
6
h
ey 
6
h
ey 
Terço médio da seção
Flexão composta (força axial excêntrica)
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36
x
z
b
h
P
A B
CD
6
b
ez 
6
b
ez 
x
z
b
h
P
A B
CD
6
b
6
h
• Núcleo central
Por analogia – excentricidade variando na direção Z Composição: excentricidade 
nas duas direções
Núcleo central de inércia
0
b
e6
h
e6
1 z
y

Ab
I2
e1
I2
bAe y
z
y
z 
6
b
ez 
12
3hb
I z 
Exercício 3
• Determinar as tensões nos vértices do pilar da figura abaixo
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37
y
z
A
B
C
D
N=800kN
z
y
A B
C D
4
,5
m
3m
ze
ye
mez 25,0
mey 5,0
Exercício 4 
• Determinar o máximo momento M que pode ser aplicado ao 
pilar sobre o bloco de fundação para que não ocorra tensão 
de tração no solo.
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38
N=600kN
M
H=50cm
B
=4
0
cm
Exercício 5
• Determinar a espessura da barragem de alvenaria de
comprimento L para que a mesma não seja submetida a
tensões de tração.
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39
d
H
=2
m
Água: ga=1t/m3
Alvenaria: gm=1,6t/m3
Flexão inelástica
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40
Flexão em materiais com 
comportamento não linear
Flexão inelástica
• Material em regime não-linear (inelástico)
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41
fp
fy
fu

f

fu - resistência última
fy - resistência ao escoamento
fp - tensão de proporcionalidade 
E=tg
Trecho de comportamento elástico linear
Limite de validade da Lei de Hooke
O caso do aço
Diagrama tensão x deformação
Flexão inelástica 
• Deformações plásticas
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42
mx
c
y
 
I
My
x 
Relembrando... Material elástico linear
Distribuição linear de tensão e deformação na seção
LN passa no centroide
Material com comportamento tensão x deformação não linear
  0dAF xx
  dAyM x
Flexão inelástica
• Material elastoplástico
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43
fp
fy
fu

f

fu - resistência última
fy - resistência ao escoamento
fp - tensão de proporcionalidade 
E=tg
y



E=tg
Comportamento elastoplástico perfeito 
Flexão inelástica
• Material elastoplástico (Seção retangular)
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44
y



E=tg
I
Mc
myx 
yy WM 
yyym
c
I
M 
Momento correspondente ao escoamento
da fibra mais solicitada
h
h/2
Flexão inelástica
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45
Equilíbrio da seção plastificada:
• Material elastoplástico (Seção retangular)
0RR ´pp 
2
h
bRR y
´
pp 
4
h
b
2
h
2
h
bM
2
yyp 
y
2
p bh
4
1
M 
Z - Módulo resistente plástico
yp ZM 
yx 
yy WM 
y
2
y bh
6
1
M 
5,1
bh
6
1
bh
4
1
M
M
y
2
y
2
y
p




Fator de forma 
da seção
W
Z

yp MM 
Flexão inelástica
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46
• Material elastoplástico (Seção assimétrica)
21 RR 
y2y1 AA 
portanto
21 AA 
LN divide a seção em 2 partes com áreas iguais
dA
2
1
M yp 
  iiyAZydAZ
Exercício 6
• Para a viga AB, fabricada em aço de alta resistência, com comportamento
elastoplástico, módulo de elasticidade E=200 GPa, e resistência ao
escoamento de 345 MPa, determine: a) o momento correspondente ao início da
plastificação, b) a relação entre os momentos da fase elástica e quando apenas
as mesas atingem a plastificação total e c) o fator de forma (=Z/W).
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47
Flexão inelástica
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48
Flexão em barras de vários 
materiais
Flexão em barras com seções de vários materiais
• Seções de aço 
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49
y
x
bf
bf
tn
z
y
xbw
bf
tn
z
y
x
bf
tn
D
bw
y
x
tn
bw
bf
D
y
x
bf
d
tw
y
x
bf
tw
y
x
bf
tf
tw
d d
tftf
• Seções mistas aço-concreto
• Seções madeira laminada 
colada 
• Seções em concreto 
armado
Apenas um material na seção
Mais de um material na seção para absorver 
as tensões de flexão
• Seções mista madeira -
concreto
Laminas de Madeira 
mais resistente nas 
extremidades e menos 
resistente no centro
Flexão em barras com seções de vários materiais
• Método da seção transformada
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50
Deformação normal varia linearmente na
seção (que permanece plana).


y
x
Tensões normais variam linearmente em 
cada material

yE
E
yE
E xx
2
22
1
11 
LN não passa pelo centróide da seção 
composta.
21 EE 
As forças que atuam no elemento são:
dA
yE
dAdFdA
yE
dAdF 222
1
11




1
2
E
E
n 
Definindo: Relação modular
Flexão em barras com seções de vários materiais
• Método da seção transformada
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51
x2x1
tr
x
n
I
My


Criar uma seção equivalente constituída
Totalmente do material 1
  1112 ndFndA
yE
dA
ynE
dF 




Seção transformada
Agora a LN passa pelo centroide da seção transformada
1
2
E
E
n 
Obs: para compor uma seção equivalente
constituída pelo material 2, a largura da seção
deve ser dividida por n e, consequentemente, a
tensão também.
Flexão em barras com seções de vários materiais
• Método da seção transformada
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52
Seção em concreto armado
Exercício 7
• Determinar a máxima tensão no concreto e a força em cada barra de aço. Módulo
de elasticidade do concreto Ec =3600 kN/cm
2 e módulo de elasticidade do aço
Es=29000 kN/cm
2
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53
12cm
16cm
M=6kNm=25mm2cm
Flexão em barras com seções de vários materiais
• Seções de concreto armado
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54
   
0dAnyAnyb
0ydAn
2
y
by
ss
2
2
1
s


xssxc
tr
x
nAF
I
My


Na LN o momento estático deve ser nulo
LN passa no cg da seção transformada
c
s
1
2
E
E
E
E
n  ss nAA 
y
1/2y
d-y
seção transformada
(concreto fissurado)
Seção de aço transformada
Flexão em barras com seções de vários materiais
• Método da seção transformada
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55
Seção mista de aço e concreto
Exercício 8
Sabendo que a máxima tensão admissível no aço é fad=25 kN/cm
2, verifique se o perfil de
aço da seção mista abaixo é adequado para o momento aplicado de 8000 kN.cm.
Considerando que a seção trabalha em regime elástico e que o módulo de elasticidade do
concreto é Ec =2100 kN/cm
2 e módulo de elasticidade do aço é Es= 20000 kN/cm
2
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56
cotas em mm
80
4,75
250
9,5
160M
1550
Flexão em barras com seções de vários materiais
• Seções mistas de aço e concreto
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57
d
tctc
d
LNE
h
LNE
b
b tr=b/N
y a
y tr
x x y trx
y a
xh
b tr=b/N
b
a
d
tctc
d
LNE
h
LNE
b
b tr=b/N
y a
y tr
x x y trx
y a
xh
b tr=b/N
b
a
c
s
1
2
E
E
E
E
n 
n
b
b
n
A
A tr
c
c 
´AA
2
t
d´AyA
y
ca
c
caa
tr









dy tr 
dy tr 
LN no perfil de aço
LN na laje de concreto
n
I
My
x
cxa
tr
x



Flexão em barras com seções de vários materiais
• Método da seção transformada
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58
Seção mista de aço e madeira
Exercício 9
Duas placas de aço foram soldadas para formar uma seção T que foi reforçada parafusando-
a firmemente a duas placas de madeira. Os módulos de elasticidade da madeira e do aço
são, respectivamente, Em = 12,5 GPa e Es= 200 GPa. Sabendo que um momento fletor de
50 kN.m é aplicado à viga mista, determine: a) a tensão máxima na madeira e b) a tensão no
aço ao longo da borda superior.
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59
Exercício 10 (proposto)
Três vigas de madeira e duas chapas de aço são parafusadas para formar o elemento misto
da figura. Determine o máximo momento fletor que pode ser aplicado à seção quando a viga
sofre flexão em torno do eixo horizontal. Os módulos de elasticidade da madeira e do aço
são, respectivamente, Em = 13,8 GPa e Es= 200 GPa. As máximas tensões admissíveis no
aço e na madeira, são 250 MPa e 13,8 MPa.
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60
Mmax=4780,8 kN.cm
Resposta:
Universidade Federal de São Carlos
Departamento de Engenharia Civil 
Cisalhamento na flexão
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Mecânica dos Sólidos para Engenharia Civil
Cisalhamento Transversal (revisão)
• Tensão de cisalhamento longitudinal e transversal
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62
Distribuição mais complexas
Cisalhamento Transversal (revisão)
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63
• Deformação por cisalhamento
Distorção da seção transversal
  










 


0tdxAyd
I
M
Ayd
I
dMM
AA
Cisalhamento Transversal (revisão)
• Fórmula do cisalhamento
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64
dx
dM
V 
Fazendo o equilíbrio:
  0tdxAdAd0F
AA
x   

y
I
dMM

AyAydQ
A
 

It
VQ

 tdxAyd
I
dM
A

















A
Ayd
dx
dM
It
1
y
I
M

Cisalhamento Transversal (revisão)
• Tensão de cisalhamento (seção retangular)
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65
by
4
h
2
1
by
2
h
y
2
h
2
1
yAyQ 2
2

























It
VQ

12
bh
I
3

12
bh
b
by
4
h
2
1
V
3
2
2














 2
2
3
y
4
h
bh
V6
bt 
Distribuição parabólica
VdA
A

Exercício 1
• A viga de madeira mostrada na figura é submetida a uma força
cortante V=30 kN. Determine a tensão de cisalhamento no
ponto p e a tensão de cisalhamento máxima na seção.
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66
p
10cm
1
3
cm
V
5
cm
3,5cm
Cisalhamento Transversal (revisão)
• Tensão de cisalhamento (seção tipo I)
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67
It
VQ

Formada por 3 seções retangulares






 2
2
3
y
4
h
bh
V6
Distribuição parabólica nas mesas e na alma
Fluxo de cisalhamento longitudinal
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68
• Aplicação nas emendas de seções compostas
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68
Fluxo de cisalhamento longitudinal
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69
• Cisalhamento horizontal
• Materiais coesivos e homogêneos: não ocorre mas existe
a tendência
• Materiais ortotrópicos: planos horizontal longitudinal e
vertical transversail de cisalhamento
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69
Fluxo de cisalhamento longitudinal
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70
  


A
Ayd
I
dM
tdxdF
dx
dF
q 
Resultante de cisalhamento na interface
Fluxo de cisalhamento: cisalhamento por unidade de comprimento



A
Ayd
I
dM
dF
Dividindo por dx



A
Ayd
I
1
dx
dM
dx
dF
I
VQ
q 
AyAydQ
A
 

dx
dM
V 
Exercício 2
• Pregos com resistência ao cisalhamento de 4 kN devem ser utilizados para
compor vigas de madeira nas duas configurações da figura. Se o
espaçamento entre pregos deve ser de 25 cm determine a maior força cortante
vertical que pode ser aplicada a viga, em cada caso, sem que ocorra falha.
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Profa. Dra. Silvana De Nardin
71
1
3
cm
1.5cm
7,5cm
1.5cm
1
0
cm
Exercício 3
• Uma viga é confeccionada unindo-se partes de madeira e aço com parafusos
de 12mm de diâmetro espaçados longitudinalmente de 200mm. Os módulos de
elasticidade da madeira e do aço são, respectivamente, 10GPa e 200 GPa.
Para uma força cortante vertical de 4 kN, determine: a) a tensão de
cisalhamento média nos parafusos e b) a tensão de cisalhamento no centro da
seção transversal.
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72
Elementos de parede fina
• Fluxo de cisalhamento na seção
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73
  


A
Ayd
I
dM
tdxdF
dx
dF
q 
tq 
Fluxo de cisalhamento constante na espessura 
Prof. Dr. Alex Sander Clemente de Souza
Profa. Dra. Silvana De Nardin74
dx
dF
q 
Fluxo de cisalhamento linear
I
VQ
q 






 x
2
b
I2
Vtd
q
tx
2
b
2
d
AyQ 






I4
Vbtd
q 0x 
0q
2
b
x


I16
Vtdb
dxx
2
b
I2
Vtd
qdxF
22
b
0
2
b
0
mesa 





 
Força resultante na mesa
Analisando as mesas (abas)
Elementos de parede fina
• Fluxo de cisalhamento na seção
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Profa. Dra. Silvana De Nardin
75
dx
dF
q 
Fluxo de cisalhamento parabólico
I
VQ
q 












 2
2
y
4
d
2
1
2
db
I2
Vt
q
ty
d
yy
d
bt
d
AyQ 


















222
1
2


















 

3
2
442
1
22
22
2
2
22
2
d
b
I
Vtd
dxy
ddb
I
Vt
qdyF
d
d
d
d
alma
Força resultante na alma
Analisando a alma
Distribuição do fluxo de cisalhamento na seção







3
2
4
2 d
b
I
Vtd
Falma
Elementos de parede fina
• Fluxo de cisalhamento na seção
Prof. Dr. Alex Sander Clemente de Souza
Profa. Dra. Silvana De Nardin
76
Elementos de parede fina
• Fluxo de cisalhamento na seção
Prof. Dr. Alex Sander Clemente de Souza
Profa. Dra. Silvana De Nardin
77
Centro de cisalhamento (seções abertas)
• Situações estudadas até agora...
• Força cortante nos eixos principais de inércia
• Eixos principais são eixos de simetria 
Prof. Dr. Alex Sander Clemente de Souza
Profa. Dra. Silvana De Nardin
78
Centro de cisalhamento (seções abertas)
• Outras situações encontradas na prática...
 
v v
 
v
• Força aplicada no centroide 
• Nos eixos principais que não são eixos simetria
• Fora dos eixos principais de inércia
Prof. Dr. Alex Sander Clemente de Souza
Profa. Dra. Silvana De Nardin
79
Centro de cisalhamento (seções abertas)
• Outras situações encontradas na prática...
• Tendência de rotação da seção no sentido horário 
Prof. Dr. Alex Sander Clemente de Souza
Profa. Dra. Silvana De Nardin
80
Centro de cisalhamento (seções abertas)
• Outras situações encontradas na prática...
PedFM abaA 
P
dF
e aba
)( VPfFaba 
geometria)da somente(fe 
Ponto O – centro de torção ou centro de cisalhamento
É uma propriedade geométrica da seção 
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Profa. Dra. Silvana De Nardin
81
Centro de cisalhamento (seções abertas)
• Outras situações encontradas na prática...
Ponto O – centro de torção ou 
centro de cisalhamento
É uma propriedade geométrica da 
seção 
Prof. Dr. Alex Sander Clemente de Souza
Profa. Dra. Silvana De Nardin
82
Centro de cisalhamento (seções abertas)
• A mesma seção girada de 90o
Não há efeito de torção
O centro de torção estará sempre sobre o eixo de simetria
Em seções duplamente simétrica o centro de torção coincide com o centro de gravidade
Exercício 4
• Determine o centro de cisalhamento O da seção U de
espessura uniforme tomando b=100mm, h=150mm e
t=3,8mm.
Prof. Dr. Alex Sander Clemente de Souza
Profa. Dra. Silvana De Nardin
83
3
h
b2
b
e
2


Exercício 4
• Agora, determine as tensões de cisalhamento
geradas por uma força cortante vertical V igual a 12
kN aplicada no centro de torção.
Prof. Dr. Alex Sander Clemente de Souza
Profa. Dra. Silvana De Nardin
84
Exercício 4
• Se a força cortante for aplicada no CG da seção...
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85
Efeito combinado: flexão + torção
max=23,2 MPa