Prova II - 2012.2

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Ca´lculo II
Prof. Valdecir Ju´nior
2a PROVA
NOME:
DATA / /
Obs.: Fac¸a todos os ca´lculos necessa´rios, de maneira precisa e coesa, para as
resoluc¸o˜es das questo˜es.
1. Moatre que a se´rie
∑∞
n=1
1
n2+1 e´ convergente.
2. Mostre que a se´rie
∑∞
n=1
lnn
n
3
2
converge.
Sugesta˜o: Observe que lnn cresce mais lentamente que nc com c uma
costante. Desta forma tome lnn < n
1
4 .
3. Mostre que a se´rie
∑∞
n=2
n
(lnn)n e´ convergente.
4. Mostre que a se´rie
∑∞
n=1(−1)nn2( 23 )n e´ absolutamente convergente.
Sugesta˜o: Use o teste da raza˜o.
5. Para os itens
i) f(x, y) = 1√
16−x2−y2 ;
ii) f(x, y) = yx2 .
fac¸a:
a) Encontre o domı´nio das func¸o˜es;
b) Encontre as imagens das fuc¸o˜es;
c) Escreva as curvas de n´ıvel das fuc¸o˜es;
d) Encontre a fronteira do dominio das func¸o˜es;
e) Determine se o domı´nio e´ uma regia˜o aberta, uma rega˜o fechada ou
nenhuma das duas;
f) Decida se o domı´nio e´ limitado ou ilimitado.
6. Apresente os valores da func¸a˜o
f(x, y) = y2
da seguinte forma:
1
a) Esboc¸ando a superf´ıcie z = f(x, y);
b) Desenhando va´rias curvas de n´ıvel no domı´nio da func¸a˜o. Identifique
cada curva de n´ıvel com o seu respectivo valor da func¸a˜o.
BOA PROVA!
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