Prova 4 2014

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Universidade Federal de Vic¸osa
Centro de Cieˆncias Exatas
Departamento de Matema´tica
4a Prova - MAT 135 - Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Linear
DATA: 10/12/2014
NOME: MATRI´CULA: TURMA: 01
Em todas as questo˜es justifique suas respostas.
Boa Prova!
1a Questa˜o: (30 pontos) Seja k ∈ IR e considere a matriz
A =
 2 0 00 −3 4
0 4 3
 .
Sabe-se que:
A
 10
0
 = 2
 10
0
 , A
 01
2
 = 5
 01
2
 , A
 0−2
1
 = −5
 0−2
1
 .
(a) (25 pontos) Seja fixado um sistema de coordenadas ortogonal no espac¸o. A equac¸a˜o
8
(
x
′′
)2
+ 20
(
y
′′
)2
− 20
(
z
′′
)2
= 13
e´ uma equac¸a˜o reduzida de uma qua´drica de equac¸a˜o:
2x2 − 3y2 + 3z2 + 8yz +
√
5y + 2
√
5z + k = 0
se, e somente se:
(i) ( ) k = −4;
(ii) ( ) k = 1;
(iii) ( ) k = 3;
(iv) ( ) k = −2;
(v) ( ) k = 0.
Justifique todos os passos!
(b) (5 pontos) Qual e´ o trac¸o da superf´ıcie no plano x
′′
= 0.
1
2
2a Questa˜o: (40 pontos) Dado o operador linear T : IR3 → IR3 definido por
T (x, y, z) = (x+ z, y − z, z),
determine:
(a) (8 pontos) O nu´cleo de T .
(b) (10 pontos) Uma base e a dimensa˜o da imagem de T .
(c) (12 pontos) T e´ isomorfismo? Justifique! Em caso afirmativo, determine o isomorfismo inverso.
(d) (10 pontos) Os autovalores e autovetores de T . T e´ operador diagonaliza´vel?
3
3a Questa˜o: (30 pontos) Verifique se as sentenc¸as abaixo sa˜o verdadeiras ou falsas (V ou F).
Respostas sem justificativas sera˜o desconsideradas.
(a) (9 pontos) ( ) Seja T : IR2 → IR2 a transformac¸a˜o linear tal que T (2, 3) = (4, 6) e T (1, 1) =
(2,−1). Se T (x, y) = (a, b), enta˜o a+ b = 8y − 7x.
(b) (7 pontos) ( ) Seja T : IRn → IRn operador linear tal que Im (T ) = Ker (T ), enta˜o n pode ser
igual a 9.
(c) (7 pontos) ( ) Seja T : IR3 → IR3 operador linear com polinoˆmio caracter´ıstico
p (x) = (α− x) (1− x) (2− x) , α ∈ IR.
Se α = 0, enta˜o T e´ um isomorfismo.
(d) (7 pontos) ( ) Seja T : IRn → IRn tal que T ◦ T = 0. Enta˜o Im(T ) ⊆ Ker(T ).
4