Relatório de Experimental IV - Linhas de transmissão

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Linhas de transmissão
William Geib - 218987
UFRGS – Instituto de Física
Professora: Cilaine Veronica Teixeira - Física Experimental IV - A
27 de Agosto de 2018
Resumo
Para poder transmitir informações via pulsos elétricos, um dos
meios mais utilizados é o cabo coaxial. Neste relatório será visto como
a tensão e corrente no cabo obedece a equação diferencial da onda, as-
sim como a velocidade da propagação neste meio. Para finalizar será
feito uma analise de como a onda de sinal se comporta ao chegar no
final do cabo em três situações distintas.
1 Introdução
A descoberta da capacidade de enviar informação via ondas eletromagné-
ticas fez com que a ciência desenvolve-se meios cada vez mais eficazes para
isto. Assim, em 1880 o matemático e engenheiro Oliver Heaviside patentou o
cabo coaxial (figura 1), que leva este nome devido ao seus materiais estarem
distribuídos de maneria concêntrica. Sendo muito bem construído para evitar
interferências elétricas e magnéticas ele é muito utilzado para transmissão de
sinais de áudio e televisão, podendo chegar a uma velocidade de transmissão
de 20Mb/s(3).
Neste relatório será mostrado como a tensão e corrente tem um comporta-
mento ondulatório e também a velocidade de propagação desta transmissão.
Também será analisado como o pulso da onda se comporta ao chegar no final
do cabo quando a sua resistência é nula, infinita e igual a impedância do
mesmo.
1
Figura 1: Estrutura do cabo coaxial.(2)
2 Procedimento
2.1 Materiais
• Um cabo coaxial de 12,9m;
• Osciloscópio de 100 MHz;
• Gerador de pulso (50 ns) com 4 saídas;
• Multímetro;
• Fios curtos (10 cm) com uma saída bnc e 2 jacarés na ponta;
• Potenciômetro linear de 100Ω;
• T’s com saída bnc;
• Paquímetro;
• Trena.
2.2 Montagem
O primeiro procedimento foi medir o comprimento do cabo coaxial e os
raios r1 (fio condutor do cabo) e r2 (o dielétrico). Após, foi utilizado o
multímetro para medir a capacitância e indutância do cabo, conectando um
bico de jacaré em cada extremidade do cabo. No final, foi conectado o cabo
2
ao osciloscópio para detectar o pulso elétrico em R = ∞, R = 0 colocando
ele em curto e R = Z com o potenciômetro e um multímetro.
3 Referencial teórico
Ao aplicar um sinal alternado num dos extremos do cabo, ele produz um
campo elétrico (por consequência também produz um campo magnético) e
uma corrente. Com a existência de energia elétrica e magnética é possível
considerar o cabo como uma sucessão de indutores e capacitores. Conside-
rando L′ e C ′ como a indutância e capacitância por unidade de comprimento,
respectivamente.
L′∆x
C ′∆x
Assim a variação da tensão aplicada no cabo é dada por:
∆V = −L′∆x∆I
∆t
Dividindo a equação por ∆x e aplicando o limite (∆x, ∆t)→ (0, 0), temos:
δV
δx
= −L′ δI
δt
(1)
Com a variação da tensão ao longo do cabo a carga acumulada no capa-
citor também varia, sendo equacionada por:
∆I∆t = −C ′∆x∆V
Assim, também dividindo por ∆x e aplicando (∆x,∆t)→ (0, 0), podemos
obter:
δI
δx
= −C ′ δV
δt
(2)
Agora é possível mostrar que as equações 3 e 2 possuem um comporta-
mento ondulatório modelado por:
δ2y
δx2
=
1
v2
δ2y
δt2
(3)
Para isso derivamos a equação 3 em relação a x, assim temos:
3
δ2V
δx2
= −L′ δI
δtδx
Sabemos δI
δx
pela equação 2, assim fazendo a substituição, temos:
δ2V
δx2
= −L′(−C ′ δV
δt
)
1
δt
δ2V
δx2
= L′C ′
δ2V
δt2
(4)
Para a corrente o processo é análogo.
δ2I
δx2
= −C ′ δV
δtδx
⇒ δ
2I
δx2
= −C ′(−L′ δI
δt
)
1
δt
δ2I
δx2
= L′C ′
δ2I
δt2
(5)
Portanto é possível observar que as equações 4 e 5 obedecem a equação
3. Devido a esse comportamento a velocidade de propagação da onda é dado
por:
1
v2
= L′C ′ ⇒ v = 1√
L′C ′
(6)
Ao aplicar uma tensão V0 e uma corrente I0 em um dos extremos do cabo,
no sentido positivo, será propagado um pulso modelado por:
V+(x, t) = V0(t− x
v
) (7)
I+(x, t) = I0(t− x
v
) (8)
Substituindo as equações 7 e 8 na equação 3 teremos:
V0(t− x
v
) = vL′I0(t− x
v
)
V+(x, t) = vL
′I+(x, t)
Como a impedância é uma forma de resistência do cabo ao pulso ela é
definda como:
Z =
V+(x, t)
I+(x, t)
⇒ Z = vL′ = L′ 1√
L′C ′
=
√
L′
C ′
(9)
4
Para uma onda que percorre o sentido negativo do cabo, temos:
V−(x, t) = V0(t+
x
v
)
I−(x, t) = I0(t+
x
v
)
Analogamente ao sentido positivo temos a diferença de potencial dado
por:
V−(x, t) = −vL′I−(x, t)
Z = −vL′
Considerando que o cabo termina numa resistência R podemos expressar
a tensão como uma soma do pulso incidente e refletido.
V (x, t) = V+ + V− = V0(t− x
v
) + V0(t+
x
v
) (10)
Pela impedância da equação 9 temos I(x, t) como:
I(x, t) =
(
V0(t− xv ) + V0(t+ xv )
Z
)
(11)
Ao chegar na extremidade do cabo x = l, assim:
V (l, t) = RI(l, t) (12)
Assim, substituindo as equações 10 e 11 na equação 12 temos:
V0(t− x
v
) + V0(t+
x
v
) = R
(
V0(t− xv ) + V0(t+ xv )
Z
)
Isolando o V−(x, t) = V0(t + xv ) temos a descrição do pulso refletido ao
chegar no extremo do cabo, dado por:
V−(x, t) =
(
R− Z
R + Z
)
V+(x, t) (13)
Para finalizar, C ′ e L′ podem ser definidos analiticamente por:
C ′ =
2pi�r
ln( r2
r1
)
(14)
L′ =
µ0
2pi
ln
(r2
r1
)
(15)
5
4 Dados experimentais
Como só foi utilizado um cabo, com os precedimentos descritos na seção
2, obteve-se os seguintes dados experimentais:
l(m) 2r1(mm) 2r2(mm) C(nF ) L(µH)
12, 90± 5.10−4 0, 95± 0, 05 4, 85± 0, 05 1, 27± 0, 031 21, 00
Tabela 1: Medidas do cabo e dados do multímetro
A incerteza de l foi dado pela metade da menor divisão da trena. Para
2r1 e 2r2 foi considerado a metade da menor divisão do paquímetro. Para o
C foi utilizado 2, 5% do valor obtido com o multímetro, conforme o manual
do fabricante. Para L não foi encontrado a incerteza.
Ao conectar o cabo no osciloscópio obteve-se os seguintes dados:
l(m) tprop(ns) R = Z(Ω)
12, 90 126 64, 4
Tabela 2: Dados do osciloscópio
Figura 2: Pulso no cabo para R =∞.
Figura 3: Pulso no cabo para R = 0.
6
Figura 4: Pulso no cabo para R = Z.
5 Análise dos dados
Como os dados da tabela 1 e as equações da seção 3, obteve-se os seguintes
resultados para o cabo estudado:
C ′(pF/m) �r(pF/m) L′(µH/m) v(m/s) Z(Ω))
98, 45± 2, 4 23, 82± 1, 02 0, 30± 0, 01 (1, 82± 0, 03).108 55, 67± 1, 2
Tabela 3: Resultados obtidos pelos dados experimentais
Para C ′ foi utilizado sua definição C ′ = C
l
. Para determinar �r foi uti-
lizado a equação 14, onde, considerando a faixa de incerteza chegou-se na
permissividade do polietileno. Para o L′ foi descartado a medida do mul-
tímetro por ter dado um valor muito a baixo do esperado, sendo assim, foi
utilizado o valor dado pela equação 15. A velocidade de transmissão v, obtida
pela equação 6, chegou a 60, 66% da velocidade da luz, isso evidência a utili-
dade deste tipo de cabo para transmissão dados. A impedância Z foi o dado
mais distante em comparação com a impedância da tabela 2, que foi obtida
com o potênciometro. As incertezas foram determinadas via propagação de
erro por derivadas parciais.
Com os dados da tabela 2 pode ser determinado uma segunda velocidade
de transmissão, considerando:
v =
2l
tprop.
Assim obteve-se uma segunda velocidade v = 2, 04.108m/s. Sendo este
um resultado mais preciso pelo fato do osciloscópio ser um instrumento de
melhor precisão.
Também é possível analisar como o pulso se comporta ao percorrer todo
o cabo. Como foi descrito na seção 3, tanto a tensão quanto a corrente
7
se comportam como uma onda. Sendo assim o pulso elétrico ao chegar no
final do cabo ele sofre um reflexão e começa a se propagar no sentido oposto
ao emitido. Esse movimento é descrito pela equação 13, ou seja, caso a
resistênciano final do cabo ser R = ∞ a onda retornará com a mesma fase
correspondente (figura 2). Se a resistência for nula a onda retornará com a
fase invertida (figura 3). Por último se R = Z a onda refletida é anulada
(figura 4).
6 Conclusão
Através dos estudos sobre ondas eletromagnéticas foi possível criar equi-
pamentos para grandes transmissões dados. O cabo coaxial mostrou-se ser
muito eficiente para esta finalidade, podendo transmitir informações entre
60 − 70% da velocidade da luz, o que faz com que em qualquer lugar da
Terra a transmissão seja praticamente instântanea. Como a informação se
propaga de maneira ondulatória é possível envia-la alterando a amplitude e
frequência da onda.
Infelizmente só foi possível estudar um cabo, não podendo ter mais opções
a fim de fazer uma análise estatística, porém os resultados obtidos, com
excessão da impedância, podem ser considerados satisfatórios.
Referências
1 HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamen-
tos de física 9a edição. [S.l.]: LTC, 2012. v. 4, p. 1–9.
2 LIVRE, Mercado.Cabo coaxial. [S.l.: s.n.]. Acessado em 21 de Agosto de
2018. Disponível em: <https://produto.mercadolivre.com.br/MLB-
780306680- cabo- coaxialrf- rg6- 60- de- malha- 2- metros- com-
conectores-_JM>.
3 POZZEBOM, Rafaela. O que é cabo coaxial ? [S.l.: s.n.]. Acessado em
21 de Agosto de 2018. Disponível em: <https://www.oficinadanet.
com.br/post/10155-o-que-e-cabo-coaxial>.
8
	Introdução
	Procedimento
	Materiais
	Montagem
	Referencial teórico
	Dados experimentais
	Análise dos dados
	Conclusão