Taxas_rel_2013

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Taxas Relacionadas
Caderno de Exercícios
Produção: profª Maria Cristina Kessler
 
Nome:
2013
1
Considere a seguinte situação:
No estudo de caso de Taxas Relacionadas, vamos nos deparar com problemas envolvendo variáveis e taxas que variam com o tempo. 
Se duas variáveis estão relacionadas, suas taxas de variação em relação ao tempo também se relacionam, justificando o título desse assunto: Taxas Relacionadas.
Taxas Relacionadas
Vamos ver um exemplo!
Um petroleiro sofre acidente em alto mar e começa a perder óleo, por uma abertura no casco. Se o combustível se espalha, de forma circular, de modo que o raio da mancha cresce a uma taxa constante de 4m/s, com que velocidade a área do derramamento está crescendo quando o raio da mancha for de 100 m.
Mãos à obra!
2
Passo 1: Fazer um esquema/desenho associando, nele, os valores das variáveis envolvidas. 
Utilize símbolos (letras) para representá-las.
R
Passo 2: Expressar os dados fornecidos pelo problema.
Taxa de variação do raio em relação ao tempo.
O que está sendo solicitado pelo problema?
Velocidade com que a área está crescendo, ou seja, a taxa de variação da área em relação ao tempo.
3
Relembrando...
Passo 3: Expressar a relação entre as taxas.
Notação de Leibniz
As taxas relacionadas na situação descrita no problema são: 
A área varia em relação ao raio e, o raio, varia em relação ao tempo. Temos, então, duas taxas que se relacionam (taxas relacionadas). 
4
Passo 4: Derivar utilizando a regra da cadeia. 
Como a taxa solicitada vincula-se ao raio = 100m, então: 
Vamos a outro exemplo!
5
Uma escada de 5m de comprimento está recostada em uma parede. A base da escada escorrega, afastando-se da parede a uma taxa (velocidade) de 2cm/seg.
Com que velocidade cai o topo da escada, no momento em que a base da escada está
a 3m da parede ?
Passo 1: Fazer um esquema/desenho explicitando, nele, os valores das variáveis envolvidas. Utilize símbolos (letras) para representá-las.
Passo 2: Expressar os dados fornecidos pelo problema. 
Taxa de variação da base em relação ao tempo, ou seja, velocidade de afastamento da base da escada.
Expresse nesta caixa, em linguagem simbólica, a respectiva taxa. 
Escreva nas caixas a taxa que está sendo solicitada pelo problema.
Vejamos...
6
Passo 3: Determinar uma equação que relacione as variáveis envolvidas no problema a partir do desenho construído.
Esta função está escrita na forma implícita e, por isso, podemos encontrar as taxas por meio da derivação implícita.
5
y
x
x²+ y² = 25
Saiba mais sobre derivação implícita assistindo ao vídeo. 
Saiba mais
Veja a seguir outra forma de resolver. 
Passo 4: Derivar implicitamente.
7
Passo 3: Usar o desenho para determinar uma equação que relacione as variáveis envolvidas no problema.
Esta função está escrita na forma implícita mas, pode ser escrita explicitamente.
5
y
x
x²+ y² = 25
Vamos direto ao passo 3. 
A velocidade com que o topo da escada desliza é:
Derivação em cadeia
Passo 4: Derivar utilizando a regra da cadeia.
Vamos a outro exemplo!
Forma explícita.
8
Vejamos...
Um míssil é lançado verticalmente para cima de um ponto que está a 8km de uma estação de rastreamento, e a mesma altura desta. Durante os primeiros 20 segundos de vôo seu ângulo de elevação θ varia à razão constante de 2°por segundo. Determine a velocidade do míssil quando o ângulo de elevação for 30°.
 
Passo 1: Fazer um esquema/desenho associando, nele, os valores das variáveis envolvidas. Utilize símbolos (letras) para representá-las.
8 km
y
θ
9
Taxa de variação do ângulo de elevação em relação ao tempo.
Passo 2: Expressar os dados fornecidos pelo problema. 
Expresse nesta caixa, em linguagem simbólica, a respectiva taxa. 
Escreva nas caixas, a taxa que está sendo solicitada pelo problema.
Passo 3: Determinar uma equação que relacione as variáveis envolvidas no problema a partir do desenho construído.
8 km
y
θ
10
RESPOSTA: 
Para salvar suas respostas você precisa:
Clicar em esc , para sair do modo de apresentação.
 Salvar.
18
RESPOSTA: 
Não esqueça de transformar a taxa de variação de 2°/s para rad/s. 
Para salvar suas respostas você precisa:
Clicar em esc , para sair do modo de apresentação.
 Salvar.
17
Escreva nas caixas, a taxa que está sendo solicitada pelo problema.
Passo 3: Determinar uma equação que relacione as variáveis envolvidas no problema a partir do desenho construído.
Taxa de variação da base em relação ao tempo, ou seja, velocidade de afastamento da base da escada.
Expresse nesta caixa, em linguagem simbólica, a respectiva taxa. 
Passo 2: Expressar os dados fornecidos pelo problema. 
R
h
Como R = h
Volume do cone
 
R = h
13
Ainda no Passo 3. 
Trabalhando os dados do problema: taxa de variação do volume em relação ao tempo.
A taxa solicitada é quando h=r=4:
Taxa de variação do raio em relação ao tempo.
Taxa de variação do volume em relação ao raio. 
Taxa de variação do raio em relação ao tempo.
Taxa de variação da área em relação ao tempo. 
1
2
Teremos que trabalhar com as expressões 1 e 2.
14
Passo 4: Derivar (1) utilizando a regra da ceira.
Podemos encontrar quando h=r=4:
1
2
“Entrando” com este valor em “2” encontra-se a taxa solicitada.
Veja a RESPOSTA
15
Vídeos de apoio: 
Vídeo 1 
Vídeo 2 
Vídeo 3 
1 – Problemas com solução
2 – Problemas com solução
Outros endereços: 
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