Buscar

AP2-AI-2013-1_solução

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 3, do total de 3 páginas

Prévia do material em texto

A´lgebra I
AP2 - Segunda Avaliac¸a˜o Presencial - Aulas 11 a 18
Questa˜o 1: (2,0 pontos) Para pintar um pre´dio sa˜o necessa´rios 250 litros de tinta que sa˜o
vendidas em latas de 3 e de 18 litros. De quantas maneiras podemos comprar as tintas de
modo que a sobra seja mı´nima?
Soluc¸a˜o: Seja x o nu´mero de latas de tinta de 3 litros e y o nu´mero de latas de 18 litros que
precisamos comprar para obter 250 litros de tinta. Temos que 3x+18y = 250. Contudo esta
equac¸a˜o diofantina na˜o possui soluc¸a˜o pois 3 = mdc(3, 18) na˜o divide 250. Enta˜o precisamos
comprar 252 litros de tinta porque 3 tambe´m na˜o divide 251. Passemos agora a resolver a
equac¸a˜o
3x + 18y = 252.
Dividindo os dois lados por 3 obtemos a equac¸a˜o x + 6y = 84. Como o coeficiente de x e´ 1
podemos chamar y de t e obter a soluc¸a˜o x = 84− 6ty = t , t ∈ Z.
E´ claro que precisamos de t ≥ 0 e x = 84−6t ≥ 0, logo t ≤ 14. Portanto, t ∈ {0, 1, 2, · · · , 14}.
Resposta: Podemos comprar as tintas de 15 modos diferentes.
Questa˜o 2: (2,0 pontos) Mostre que todo ano tem ao menos uma sexta-feira 13. Embora
na˜o seja necessa´rio voceˆ pode supor que o ano na˜o seja bisexto. Lembre-se que os meses do
ano teˆm respectivamente 31, 28, 31, 30, 31, 30, 31, 31, 30, 31, 30, 31. (Sugesta˜o: Considere
uma correspondeˆncia entre os dias da semana e os elementos de Z7 tal que 13 de janeiro
corresponda ao zero em Z7)
Soluc¸a˜o: Criamos uma correspondeˆncia biun´ıvoca entre os dias da semana e os elementos
de Z7, conforme a sugesta˜o. Associamos o dia da semana de 13 de janeiro ao 0. Em seguida
constru´ımos uma tabela em que na primeira linha esta´ o dia 13 de cada meˆs do ano. Na
segunda linha esta´ o nu´mero de dias entre o dia 13 do meˆs anterior e o dia 13 do meˆs corrente.
1
Em cada entrada da terceira linha esta´ o elemento de Z7 correspondente ao dia da semana
do dia 13 daquele meˆs, obtido tomando a classe do nu´mero da linha anterior mo´dulo 7.
13/1 13/2 13/3 13/4 13/5 13/6 13/7 13/8 13/9 13/10 13/11 13/12
0 +31 +28 +31 +30 +31 +30 +31 +31 +30 +31 +30
0 3 3 6 1 4 6 2 5 0 2 5
Agora a soluc¸a˜o do exerc´ıcio segue diretamente da tabela observando que todas as classes
de equivaleˆncia mo´dulo 7 aparecem na u´ltima linha. Logo, ao longo de um ano, o dia 13 cai
em todos os dias da semana, em particular na sexta-feira.
Questa˜o 3: (2,0 pontos) Um grupo de 17 macacos guarda suas bananas em uma pilha
com 6 bananas e outras 11 pilhas de igual tamanho entre si, cada uma contendo mais de
uma banana. Quando eles dividem as pilhas em 17 partes iguais, nenhuma banana e´ deixada
de fora. Qual e´ o menor nu´mero de bananas que eles podem possuir?
Soluc¸a˜o: Seja N o nu´mero de bananas que possui o grupo de macacos. Como a divisa˜o
entre os 17 macacos e´ exata temos que N e´ um mu´ltiplo de 17, isto e´, existe x inteiro positivo
tal que N = 17x. Como dividindo as bananas em 11 pilhas sobram 6 bananas, existe y ∈ Z
tal que N = 11y + 6. Cada uma das 11 pilhas possui ao menos 2 bananas, logo y > 1.
Juntando as duas equac¸o˜es obtemos
17x− 11y = 6.
E´ fa´cil ver que (x, y) = (1, 1) e´ uma soluc¸a˜o particular da equac¸a˜o diofantina. Assim,
todas as soluc¸o˜es sa˜o da forma  x = 1 + 11ty = 1 + 17t , t ∈ Z
Sabemos que y > 1, por isso t > 0. Observe que quanto maior for t, maior sera´ N =
17(1 + 11t). Portanto, o menor nu´mero de bananas que os macacos podem ter e´ obtido
quando t = 1. Temos N = 17(1 + 11) = 204.
Questa˜o 4: Determine se cada uma das afirmac¸o˜es e´ verdadeira ou falsa. Prove as ver-
dadeiras e deˆ contra-exemplo para as falsas.
2
(a) (1,0 ponto) Um quadrado perfeito e´ divis´ıvel por 3 ou deixa resto 1 quando dividido
por 3.
(b) (1,0 ponto) A func¸a˜o p : Z71 → Z71 dada por p(x) = x71 − x possui 53 ra´ızes.
Soluc¸a˜o:
(a) Verdade, pois dado n ∈ Z, temos que n ≡ 0 mod 3, n ≡ 1 mod 3 ou n ≡ 2 mod 3.
Logo, n2 ≡ 0 mod 3 ou n2 ≡ 1 mod 3. Enta˜o o resto da divisa˜o de um quadrado perfeito
por 3 e´ igual a 0 ou 1.
(b) Falso, como 71 e´ um nu´meros primo, o Teorema de Fermat garante que para todo x ∈ Z
temos x71 ≡ x mod 71, logo x71 − x ≡ 0 mod 71, ou seja, x71 − x = 0 para todo x ∈ Z71.
5a Questa˜o: (2,0 pontos) Use o Teorema de Fermat para provar que para todo inteiro n,
o nu´mero
n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3
e´ divis´ıvel por 9.
Soluc¸a˜o: Observe que devemos mostrar que a expressa˜o dada e´ congruente a zero mo´dulo 9.
Expandindo pelo binoˆmio ficamos com
3n3 + 9n2 + 15n + 9 = 3n3 + 9n2 + 9n + 6n + 9.
Como 9n2 + 9n + 9 e´ mu´ltiplo de 9 temos
n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3 ≡ 3 (n3 + 2n) mod 9.
Note que esta u´ltima expressa˜o sera´ mu´ltiplo de 9 se (n3 + 2n) for mu´ltiplo de 3. Mas pelo
Teorema de Fermat sabemos que n3 ≡ n mod 3 e portanto (n3 + 2n) ≡ (n + 2n) ≡ 3n ≡ 0
mod 3 o que conclui a prova.
3

Materiais relacionados

10 pág.
008_Números_Racionais_e_Exercícios

Instituto Federal De Educacao Ciencia E Tecnologia Do Maranhao Campus Timon

User badge image

Francisco Mateus Coelho da Silva

Perguntas relacionadas

Materiais recentes

71 pág.
80 pág.

Perguntas Recentes