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A´lgebra I AP2 - Segunda Avaliac¸a˜o Presencial - Aulas 11 a 18 Questa˜o 1: (2,0 pontos) Para pintar um pre´dio sa˜o necessa´rios 250 litros de tinta que sa˜o vendidas em latas de 3 e de 18 litros. De quantas maneiras podemos comprar as tintas de modo que a sobra seja mı´nima? Soluc¸a˜o: Seja x o nu´mero de latas de tinta de 3 litros e y o nu´mero de latas de 18 litros que precisamos comprar para obter 250 litros de tinta. Temos que 3x+18y = 250. Contudo esta equac¸a˜o diofantina na˜o possui soluc¸a˜o pois 3 = mdc(3, 18) na˜o divide 250. Enta˜o precisamos comprar 252 litros de tinta porque 3 tambe´m na˜o divide 251. Passemos agora a resolver a equac¸a˜o 3x + 18y = 252. Dividindo os dois lados por 3 obtemos a equac¸a˜o x + 6y = 84. Como o coeficiente de x e´ 1 podemos chamar y de t e obter a soluc¸a˜o x = 84− 6ty = t , t ∈ Z. E´ claro que precisamos de t ≥ 0 e x = 84−6t ≥ 0, logo t ≤ 14. Portanto, t ∈ {0, 1, 2, · · · , 14}. Resposta: Podemos comprar as tintas de 15 modos diferentes. Questa˜o 2: (2,0 pontos) Mostre que todo ano tem ao menos uma sexta-feira 13. Embora na˜o seja necessa´rio voceˆ pode supor que o ano na˜o seja bisexto. Lembre-se que os meses do ano teˆm respectivamente 31, 28, 31, 30, 31, 30, 31, 31, 30, 31, 30, 31. (Sugesta˜o: Considere uma correspondeˆncia entre os dias da semana e os elementos de Z7 tal que 13 de janeiro corresponda ao zero em Z7) Soluc¸a˜o: Criamos uma correspondeˆncia biun´ıvoca entre os dias da semana e os elementos de Z7, conforme a sugesta˜o. Associamos o dia da semana de 13 de janeiro ao 0. Em seguida constru´ımos uma tabela em que na primeira linha esta´ o dia 13 de cada meˆs do ano. Na segunda linha esta´ o nu´mero de dias entre o dia 13 do meˆs anterior e o dia 13 do meˆs corrente. 1 Em cada entrada da terceira linha esta´ o elemento de Z7 correspondente ao dia da semana do dia 13 daquele meˆs, obtido tomando a classe do nu´mero da linha anterior mo´dulo 7. 13/1 13/2 13/3 13/4 13/5 13/6 13/7 13/8 13/9 13/10 13/11 13/12 0 +31 +28 +31 +30 +31 +30 +31 +31 +30 +31 +30 0 3 3 6 1 4 6 2 5 0 2 5 Agora a soluc¸a˜o do exerc´ıcio segue diretamente da tabela observando que todas as classes de equivaleˆncia mo´dulo 7 aparecem na u´ltima linha. Logo, ao longo de um ano, o dia 13 cai em todos os dias da semana, em particular na sexta-feira. Questa˜o 3: (2,0 pontos) Um grupo de 17 macacos guarda suas bananas em uma pilha com 6 bananas e outras 11 pilhas de igual tamanho entre si, cada uma contendo mais de uma banana. Quando eles dividem as pilhas em 17 partes iguais, nenhuma banana e´ deixada de fora. Qual e´ o menor nu´mero de bananas que eles podem possuir? Soluc¸a˜o: Seja N o nu´mero de bananas que possui o grupo de macacos. Como a divisa˜o entre os 17 macacos e´ exata temos que N e´ um mu´ltiplo de 17, isto e´, existe x inteiro positivo tal que N = 17x. Como dividindo as bananas em 11 pilhas sobram 6 bananas, existe y ∈ Z tal que N = 11y + 6. Cada uma das 11 pilhas possui ao menos 2 bananas, logo y > 1. Juntando as duas equac¸o˜es obtemos 17x− 11y = 6. E´ fa´cil ver que (x, y) = (1, 1) e´ uma soluc¸a˜o particular da equac¸a˜o diofantina. Assim, todas as soluc¸o˜es sa˜o da forma x = 1 + 11ty = 1 + 17t , t ∈ Z Sabemos que y > 1, por isso t > 0. Observe que quanto maior for t, maior sera´ N = 17(1 + 11t). Portanto, o menor nu´mero de bananas que os macacos podem ter e´ obtido quando t = 1. Temos N = 17(1 + 11) = 204. Questa˜o 4: Determine se cada uma das afirmac¸o˜es e´ verdadeira ou falsa. Prove as ver- dadeiras e deˆ contra-exemplo para as falsas. 2 (a) (1,0 ponto) Um quadrado perfeito e´ divis´ıvel por 3 ou deixa resto 1 quando dividido por 3. (b) (1,0 ponto) A func¸a˜o p : Z71 → Z71 dada por p(x) = x71 − x possui 53 ra´ızes. Soluc¸a˜o: (a) Verdade, pois dado n ∈ Z, temos que n ≡ 0 mod 3, n ≡ 1 mod 3 ou n ≡ 2 mod 3. Logo, n2 ≡ 0 mod 3 ou n2 ≡ 1 mod 3. Enta˜o o resto da divisa˜o de um quadrado perfeito por 3 e´ igual a 0 ou 1. (b) Falso, como 71 e´ um nu´meros primo, o Teorema de Fermat garante que para todo x ∈ Z temos x71 ≡ x mod 71, logo x71 − x ≡ 0 mod 71, ou seja, x71 − x = 0 para todo x ∈ Z71. 5a Questa˜o: (2,0 pontos) Use o Teorema de Fermat para provar que para todo inteiro n, o nu´mero n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3 e´ divis´ıvel por 9. Soluc¸a˜o: Observe que devemos mostrar que a expressa˜o dada e´ congruente a zero mo´dulo 9. Expandindo pelo binoˆmio ficamos com 3n3 + 9n2 + 15n + 9 = 3n3 + 9n2 + 9n + 6n + 9. Como 9n2 + 9n + 9 e´ mu´ltiplo de 9 temos n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3 ≡ 3 (n3 + 2n) mod 9. Note que esta u´ltima expressa˜o sera´ mu´ltiplo de 9 se (n3 + 2n) for mu´ltiplo de 3. Mas pelo Teorema de Fermat sabemos que n3 ≡ n mod 3 e portanto (n3 + 2n) ≡ (n + 2n) ≡ 3n ≡ 0 mod 3 o que conclui a prova. 3
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