analise_dimensional_e_semelhanca

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Análise Dimensional e Semelhança 
 A solução dos problemas da mecânica dos 
fluidos sempre dependeu, em grande parte, dos 
resultados experimentais, pois escoamentos 
reais tem solução analítica complexa. 
 
Análise Dimensional e Semelhança 
 Soluções empíricas do escoamento real, 
desenvolvidas sem análise e revisão cuidadosa 
dos dados experimentais, são dispendiosas e 
pobres ou inadequadas do ponto de vista do 
desempenho 
 
 O trabalho experimental em laboratório é 
demorado e caro. Portanto, o objetivo é obter o 
máximo de informações com um mínimo de 
experiências. A análise dimensional auxilia para 
atingir esse objetivo. 
Análise Dimensional e Semelhança 
 
 A análise dimensional permite a correlação de 
dados para a apresentação sucinta do fenômeno 
estudado, usando o menor número possível de 
gráficos 
 
 A análise dimensional também é necessária e 
utilizada em estudos de semelhança dinâmica 
Exemplo de Aplicação da Análise 
Dimensional 
 Deseja-se conhecer a força de arrasto (F) sobre 
uma esfera lisa, estacionária, imersa em um 
escoamento. 
 
 Quantos e quais experimentos devem ser 
conduzidos para se determinar a força de arrasto 
sobre a esfera? 
Exemplo de Aplicação da Análise 
Dimensional 
 A experiência com escoamentos indica as 
grandezas relevantes para a determinação da 
força de arrasto: 
 
 tamanho da esfera (D); 
 velocidade do fluido (V); 
 viscosidade do fluido (); 
 massa específica do fluido (). 
A suspeita de que um dado fenômeno 
depende de certa grandeza, deverá incluí-lo. 
Se a suspeita for correta, a experiência prática 
demonstrará que a grandeza deve ser incluída 
para a obtenção de resultados consistentes; 
se a suspeita for incorreta, a experiência 
prática indicará que tal grandeza deverá ser 
desconsiderada. 
Atenção 
Portanto para encontrar uma relação: 
F= f (D, V, , ) 
Uma série de experimentos para se determinar a 
dependência de F com relação a D, V,  e  
iria requerer, por exemplo: 
- 10 testes para estabelecer a relação de F x V, 
mantidos constantes D,  e  
- outros 10 testes fazendo-se variar D e mantendo 
as demais grandezas constantes; 
- 10 testes variando ρ 
- e outros 10 variando  
 104 testes deveriam ser realizados!!! O tempo 
necessário seria enorme, com elevados custos e 
dificuldades para utilizar os resultados. 
 Com a análise dimensional estabelece-se a 
relação funcional entre apenas 2 parâmetros 
adimensionais: 
 
 
 
 em que a forma da função precisa ser 
determinada experimentalmente. 
 Em lugar de 104 experimentos, serão 
necessários apenas 10 experimentos, onde 
apenas 
 
 pode-se variar p. ex., V ou D 

VD
)(122 


VD
f
DV
F

 
)(122 


VD
f
DV
F

Teorema Pi de Buckingham 
 É um procedimento formalizado para deduzir 
grupos adimensionais representativos para um 
dado problema de mecânica dos fluidos 
 
 é um enunciado da relação entre uma função 
expressa em termos de parâmetros dimensionais e 
uma função correlata expressa em termos de 
parâmetros adimensionais. 
 Qual é o número de grupos adimensionais 
necessários para substituir a relação original de 
variáveis? 
 
 Uma equação dimensionalmente homogênea que 
envolve n variáveis pode ser reduzida a uma relação 
entre (n-m) produtos adimensionais independentes 
 onde m é o número mínimo de dimensões de referência 
necessários para descrever todas as variáveis originais da 
equação. 
(teorema básico da análise dimensional) 
Teorema Pi de Buckingham 
 Um problema físico envolvendo n grandezas (variáveis), nas 
quais comparecem m dimensões (MLT ou FLT), as 
grandezas podem ser agrupadas em n-m parâmetros 
adimensionais independentes (produto de grandezas π ). 
 
 Sejam A1, A2, A3… , An as grandezas envolvidas (pressão, 
velocidade, viscosidade, massa específica, … ), sendo todas 
essenciais à solução 
 
 logo, existe uma: 
 
A1 = f (A2, A3,… , An) 
 
Teorema Pi de Buckingham 
 Na relação apresentada a dimensão da variável do lado 
esquerdo da equação deve ser igual a dimensão de 
qualquer termo isolado presente no lado direito. 
 
 Portanto, a partir do Teorema de Pi de Buckingham a 
equação pode ser rearranjada em um conjunto de produtos 
adimensionais (termos pi) de modo que: 
 
π 1 = G (π 2, π 3,....., π n-m) 
 
 Onde π 1, π 2, … representam grupos adimensionais das 
grandezas A1, A2, … , An, com m dimensões envolvidas. 
 
Teorema Pi de Buckingham 
 m é normalmente o número mínimo de dimensões 
independentes (r) requerido para definir as dimensões de 
todas as grandezas envolvidas 
 
 em geral m = r (mas nem sempre) 
 
 Normalmente as dimensões de referência necessárias para 
descrever as variáveis originais são as dimensões M, L e T 
ou F, L e T. Em alguns casos, apenas duas dimensões 
como L e T, são necessárias e em outros apenas uma. Em 
alguns casos excepcionais as variáveis podem ser 
descritas por alguma combinação de dimensões básicas, 
tal como M/T2 e L, neste caso r é igual a dois, ao invés de 
três. 
 . 
Teorema Pi de Buckingham 
 
 O teorema não prediz a forma funcional da função G. A 
relação funcional entre os parâmetros π adimensionais 
independentes deve ser determinada experimentalmente. 
Teorema Pi de Buckingham 
Determinação dos termos π 
1 – Fazer uma lista com todas as variáveis envolvidas no 
problema. – obtidas a partir do conhecimento 
experimental e/ou leis físicas aplicáveis. 
- variável: qualquer quantidade, constantes dimensionais ou 
adimensionais importantes no fenômeno estudado. 
- por exemplo: 
- geometria do sistema: diâmetro, comprimento, área, etc... 
- propriedade do fluido: viscosidade, massa específica, etc.. 
- efeitos externos: gravidade, gradiente de pressão, etc... 
 
* as variáveis devem ser independentes entre si!!!! 
Determinação dos termos π 
2 – Expressar as variáveis em dimensões básicas. 
usar M, L e T ou F, L e T e outras necessárias .... 
 
 
Determinação dos termos π 
3 – Determinar o número necessário de termos pi 
 
número de pi = n - r 
n – número de variáveis 
r – número mínimo de dimensões de referência necessários 
para descrever estas variáveis 
Determinação dos termos π 
4 – Escolher as variáveis repetidas. 
O número de variáveis repetidas é igual ao número de 
dimensões repetidas (r). 
As variáveis escolhidas devem incluir todas as dimensões 
primárias e devem ser dimensionalmente independente 
umas das outras.. 
Essas variáveis serão combinadas com cada um dos 
parâmetros remanescentes, um de cada vez, para 
determinar um termo pi 
Não escolher a variável dependente 
 
Determinação dos termos π 
5 – Construir os termos pi pelo produto de cada variável 
não repetida com as variáveis repetidas elevadas a um 
expoente que torne a combinação adimensional. 
Cada termo pi terá a forma 
 
 
onde: 
Ai é uma das variáveis não repetidas e 
A1, A2 e A3 são as variáveis repetidas 
a, b e c são expoentes a serem determinados de modo que a 
combinação seja adimensional. 
cba
i AAAA 321
(Atenção: se apenas 2 dimensões estiverem 
envolvidas, deve-se selecionar 2 grandezas A 
para formar a base, e haverá apenas 2 
equações a 2 incógnitas para cada π ) 
Determinação dos termos π 
6 – Expressar o resultado da análise como uma relação 
entre os termos pi e analisar o significado da relação 
obtida. 
A relação dos termos pi apresenta a forma: 
 
π 1 = G (π 2, π 3,....., π n-m) 
 
 onde 1 deve conter a variáveldependente no numerador. 
EXEMPLO 1: 
EXEMPLO 2: 
um adimensional pode ser elevado a 
qualquer potência que não perde seu 
caráter de adimensional 
EXEMPLO 3: 
Principais grupos adimensionais: 
Número de Reynolds 
 
Relação entre Forças de Inércia e Forças Viscosas; 
 
Um número de Reynolds "crítico"diferencia os regimes de 
escoamento laminar e turbulento em condutos na camada 
limite ou ao redor de corpos submersos. 
 
Principais grupos adimensionais: 
Número de Froude 
 
Relação entre Forças de Inércia e Peso (forças da 
gravidade). 
Aplica-se aos fenômenos que envolvem a superfície livre do 
fluido. É útil nos cálculos de ressalto hidráulico, no projeto de 
estruturas hidráulicas e no projeto de navios. 
Principais grupos adimensionais: 
Número de Euler 
 
Relação entre Forças de Pressão e as Forças de Inércia. 
 
Tem extensa aplicação nos estudos das máquinas 
hidráulicas e nos estudos aerodinâmicos. 
Principais grupos adimensionais: 
Número de Mach 
 
Relação entre Forças de Inércia e Forças Elásticas. 
 
É uma medida da relação entre a energia cinética do 
escoamento e a energia interna do fluido. 
Principais grupos adimensionais: 
Número de Weber 
 
Relação entre Forças de Inércia e Forças de tensão 
Superficial. 
 
É importante no estudo das interfaces gás-líquido ou líquido-
líquido e também onde essas interfaces estão em contato 
com um contorno sólido. 
 
Principais grupos adimensionais: 
Número de Strouhal 
 
Relação entre Forças de Inércia (local) e Forças de Inércia 
(convectiva) 
 
Escoamentos transitórios com frequência característica de 
oscilação – desprendimento de vórtices 
 
V
l
St


Modelos em escala: 
- Vantagens econômicas (tempo e dinheiro); 
- Podem ser utilizados fluidos diferentes dos fluidos de 
trabalho; 
- Os resultados podem ser extrapolados; 
- Podem ser utilizados modelos reduzidos ou expandidos 
(dependendo da conveniência); 
 
Para ser possível esta comparação entre o modelo e a 
realidade, é indispensável que os conjuntos de condições 
sejam Fisicamente Semelhantes. 
Modelos em escala: 
O termo Semelhança Física é um termo geral que envolve 
uma variedade de tipos de semelhança: 
 
- Semelhança Geométrica 
 
- Semelhança Cinemática 
 
- Semelhança Dinâmica 
Semelhança geométrica: 
- Semelhança de forma; 
- A propriedade característica dos sistemas geometricamente 
semelhantes é que a razão entre qualquer comprimento 
correspondente é constante. 
- Esta razão é conhecida como Fator de Escala. 
 
Deve-se lembrar que não só a forma global do modelo tem 
que ser semelhante como também a rugosidade das 
superfícies deve ser geometricamente semelhante. 
 
Muitas vezes, a rugosidade de um modelo em escala reduzida 
não pode ser obtida de acordo com o fator de escala - 
problema de construção/ de material/ de acabamento das 
superfícies do modelo. 
Semelhança cinemática: 
Quando dois fluxos de diferentes escalas geométricas tem o 
mesmo formato de linhas de corrente. 
 
É a semelhança do movimento. 
 
Exemplo de semelhança cinemática: Planetário. 
 
O firmamento é reproduzido de acordo com um certo fator de 
escala de comprimento e, ao copiar os movimentos dos 
planetas, utiliza-se uma razão fixa de intervalos de tempo e, 
portanto, de velocidades e acelerações. 
Semelhança dinâmica: 
É a semelhança das forças; 
 
Dois sistemas são dinamicamente semelhantes quando os 
valores absolutos das forças, em pontos equivalentes dos dois 
sistemas estão numa razão fixa. 
 
Origem das forças que determinam o comportamento dos 
fluidos: 
 - Forças devido à diferenças de Pressão; 
 - Forças resultantes da ação da viscosidade; 
 - Forças devido à tensão superficial; 
 - Forças elásticas; 
 - Forças de inércia; 
 - Forças devido à atração gravitacional. 
Semelhança: 
Exemplos de estudos em modelos: 
 
- Ensaios em túneis aero e hidrodinâmicos; 
 
- Escoamento em condutos; 
 
- Estruturas hidráulicas livres; 
 
- Resistência ao avanço de embarcações; 
 
- Máquinas hidráulicas.