Hidrodinâmica: Estudo dos Fluidos

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CONCEITOS FUNDAMENTAIS 
- parte da Física que estuda o efeito das forças 
em fluidos. 
 
- Hidrostática: fluidos em equilíbrio estático. 
 
- Hidrodinâmica: fluidos sujeitos a forças externas 
cujo somatório é diferente de zero. 
FLUIDO 
Substância que se deforma continuamente sob a 
aplicação de uma tensão de cisalhamento 
(tangencial), não importando o quão pequeno ela 
possa ser. 
Sólido  deforma-se, mas não continuamente. 
 
CONDIÇÃO DE NÃO DESLIZAMENTO (no slip)  
o fluido em contato com a superfície sólida tem 
a velocidade da própria fronteira (parada ou em 
movimento) – vídeo V1-2 e V 6-1 
IMPORTÂNCIA DA HIDRODINÂMICA 
Praticamente qualquer projeto de Engenharia envolve 
escoamentos de fluido, alguns com maiores ou menores 
importância. 
- Construção Civil: efeitos do vento 
 Sistemas hidráulicos 
- Sistemas de transportes: arrasto 
 Sistemas hidráulicos 
- Aeronaves: sustentação 
 arrasto 
- Embarcações: arrasto 
 Estabilidade 
- Esportes: “folha seca” no futebol 
 bola de golfe 
bombas, ventiladores, lubrificação, turbinas, sistema 
circulatório humano, condicionadores de ar..... 
EQUAÇÕES BÁSICAS 
1. Conservação da massa 
2. Segunda lei do movimento de Newton 
3. Princípio da quantidade de movimento angular 
4. Primeira Lei da Termodinâmica 
5. Segunda Lei da Termodinâmica 
 
* Nem todas são necessárias em todos os problemas 
EQUAÇÕES CONSTITUTIVAS 
 
p. ex.: 
 
Equação de estado: 
 
Equação da viscosidade: 
 
 Lei de Hook 
RTpv 
dy
du
 
LkF 
FORMULAÇÃO DIFERENCIAL E FORMULAÇÃO 
INTEGRAL 
 
Equações diferenciais  preveem o comportamento 
detalhado do escoamento. - Campo de velocidade, 
campo de pressão 
Equações integrais  dão informações do 
comportamento do escoamento e dos corpos como 
um todo. - Escoamento médio 
SOLUÇÕES 
 
- solução analítica das equações básicas + 
constitutivas; 
 
- métodos numéricos  modelagem matemática + 
computação; 
 
- associação entre métodos analíticos, dados 
experimentais e/ou numéricos e experimentais 
(calibração de modelos) 
MÉTODOS DE ANÁLISE 
 
1. SISTEMA  quantidade fixa de massa que pode 
ser identificada – objeto de estudo 
 
Fronteira: região definida como a separação entre 
o sistema e a vizinhança. Pode ser fixa ou móvel, 
mas massa não a atravessa. 
 
2. VOLUME DE CONTROLE  volume arbitrário no 
espaço definido em função do objeto em estudo, 
através do qual, o fluido escoa. A fronteira do 
volume de controle é chamada superfície de 
controle. 
MÉTODOS DE DESCRIÇÃO 
 
MÉTODO LAGRANGEANO 
 
Quando é possível identificar e acompanhar os 
elementos de massa que se quer estudar. 
 
P.EX.: 
Segunda Lei de Newton aplicado a um sistema de 
massa m: 
  2
2
dt
rd
m
dt
dV
mF
MÉTODO EULERIANO 
 
Para fluidos é muito difícil acompanhar partículas 
do escoamento, por isso, usando a ideia de Volume 
de Controle, usa-se o método Euleriano que enfoca 
as propriedades do escoamento num determinado 
ponto no espaço como uma função do tempo. 
Nesse método as propriedades do campo de 
escoamento são descritas como funções das 
coordenadas espaciais e do tempo. 
A massa de um fluido não está distribuída de forma 
contínua no espaço, está concentrada em moléculas 
separadas por regiões de espaço vazio. 
 
A hipótese de contínuo não é válida quando a trajetória 
media livre das moléculas é da mesma ordem de 
grandeza da menor dimensão característica significativa 
do problema. 
 
por exemplo: 
 
- gases ideais a 150C e 101,3 kPa (CNTP): ~ 6 x 10-8 m 
 
 
 
Volume V de massa m 
Volume V de 
massa m 
x 
y 
z 
xo 
zo 
yo 
C 




m
'
lim


m
'




m
'
lim
medindo a massa específica em um número infinito de 
pontos no fluido em estudo, resultaria em uma expressão 
como função das coordenadas espaciais: 
 zyx ,, 
 tzyx ,,, 
se além, disso, a massa específica também variar com o 
tempo  representação de “campo”: 
Observação: massa específica é um campo escalar 
A massa específica é um campo escalar, pois uma 
única informação é necessária para cada posição 
A velocidade é uma grandeza descrita por 
um vetor: módulo, direção, sentido e ponto 
de aplicação. 
kwjviuV ˆˆˆ 

Um campo vetorial representa todas as 
partículas de um escoamento em qualquer tempo. 
 tzyxVV ,,,


Regime permanente 
0


t
0


t
 zyx ,,
 
0


t
V

 zyxVV ,,


 
onde  representa uma propriedade qualquer. 
caracteriza um escoamento em regime permanente, ou 
seja, a propriedade pode variar de ponto para ponto no 
campo de escoamento, mas permanece constante em 
relação ao tempo. 
x 
y 
R 
u 
umáx 
 
r 















2
1
R
r
uu máx
Exemplo de escoamento unidimensional 
 
)(ruu 
Exemplo de escoamento uniforme numa seção 
Escoamento unidimensional 
x 
y 
z 
)(xuu 
Exemplo de escoamento bidimensional 
x 
y 
z 
),( xruu 
Exemplo de escoamento 
 tridimensional 
x 
y 
z 
F 
t0 t1 t2 
Linha de tempo (timeline)  conjunto de 
partículas de fluido que formam uma linha em 
um dado instante de tempo 
 
Ex.: vídeo bolhas de hidrogênio (linha do tempo.m) 
F 
t0 t1 t2 
Linha de trajetória (pathline)  é o caminho ou 
trajetória traçada por uma partícula fluida em 
movimento. 
F 
t0 
t2 
Linha de emissão (streakline)  é uma linha 
unindo todas as partículas que passaram por 
um local fixo no espaço em um intervalo de 
tempo. 
Linha de corrente 
(streamline)  é uma linha 
tangente em todos os 
pontos ao vetor velocidade 
em um dado instante. 
OBS.: 
Como as linhas de corrente são tangentes ao vetor 
velocidade em cada ponto do campo, não pode 
haver escoamento através delas. 
OBS: em um tubo de corrente o fluido está confinado 
porque não pode cruzar as linhas de corrente 
Em regime permanente linhas de corrente, 
linhas de trajetória e linhas de emissão são 
coincidentes 
jyixV ˆ3,0ˆ3,0 

Para o campo de velocidades dado: 
(a) obter a equação das linhas de corrente no plano xy 
(b) trace a linha corrente que passa pelo ponto (2,8) 
(c) determine a velocidade de uma partícula no ponto 
(2,8) 
(d) se a partícula passando pelo ponto x,y= (2,8) no 
instante t=0 for marcada, determine sua localização no 
instante t=6s. 
(e) qual a velocidade dessa partícula em t=6s. 
(f) mostre que a equação da trajetória da partícula é a 
mesma equação da linha de corrente. 
C 

A 
F
C 
A

F
nF


tF


nˆ
n
n
A
n
A
F
n 


 0
lim
n
t
A
n
A
F
n 


 0
lim
x
x
A
xx
A
F
x 


 0
lim
x
y
A
xy
A
F
x 


 0
lim
x 
y 
z 
x 
y 
z 
C xF
yF
zF
C xx
xy
xz
x
z
A
xz
A
F
x 


 0
lim
Ax Ax 













zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
x 
y 
z 
xx
xy
xz
yx
yy
yz
zx
zy
zz
xz
xy
xx
yz
yy
yx
zz
zy
zx
Força F , 
Velocidade u 
t0 t1 
 
l 
y 
y
x
y
x
A
yx
dA
dF
A
F
y




 0
lim
dt
d
t
deformaçãodetaxa
t





 0
lim
tul 
 yl
 
y
u
t 



  
dy
du
dt
d


dy
du
yx 
dy
duyx 



 = viscosidade dinâmica 
 = viscosidade cinemática 
Mecânica dos Fluidos Contínuos 
Invíscido 
 = 0 
Viscoso 
Laminar Turbulento 
Compressível Incompressível Interno Externo 
• Camada limite 
– Tensão de cisalhamento (tangencial) 
 
Viscoso 
Invíscido 
• Turbulência 
)()( tvvtv 
)(tv
)(tv
t
v
ref. bibliográficas: 
 
 
Robert Fox, Philip Pritchard e Alan McDonald, Introdução à 
Mecânica dos Fluidos 
 
Frank White, Mecânica dos Fluidos