GEOMETRIA_ANALITICA_-_Aula_7

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Posições relativas entre duas circunferências
Dadas duas circunferências, (α1) x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 - r2 = 0 e 
(α2) x2 + y2 – 2dx – 2ey + f2 + g2 - r2 = 0 num mesmo plano, podemos ter as seguintes posições relativas:
Dois pontos de intersecção. Então as circunferências são secantes.
Um ponto de intersecção. Então as circunferências são tangentes.
Nenhum ponto de intersecção. Então as circunferências são externas.
Temos assim uma situação muito parecida com a do tópico anterior, quando analisamos reta e circunferência.
A posição relativa de duas circunferências é determinada comparando as distâncias entre os centros com a soma dos dois raios ou com o módulo da diferença entre os raios.
Assim, duas circunferências distintas podem ter dois, um ou nenhum ponto comum. Veja as possíveis posições relativas:
1) Dois pontos comuns ( circunferências secantes):
As duas circunferências acima são secantes, portanto possuem dois pontos comuns.
2) Um ponto comum (circunferências tangentes):
Se a distância entre os dois centros for igual à soma dos raios, as duas circunferências são tangentes exteriormente. 
Observe as circunferências da primeira figura acima. A distância entre os dois centros é exatamente a soma do raio da circunferência um com o raio da circunferência dois.
d = r1 + r2
Se a distância entre os dois centros for igual ao módulo da diferença entre os dois raios, então as duas circunferências são tangentes interiormente. 
Agora observe as circunferências da segunda figura acima. O raio da circunferência maior menos o raio da circunferência menor é exatamente a distância entre os dois raios.
d = | r1 – r2|
3) Nenhum ponto comum (circunferências externas):
Se a distância entre os dois centros for maior que a soma dos dois raios, as duas circunferências são externas.
d > r1 + r2
Se a distância entre os centros for menor que a diferença entre os dois raios, então uma circunferência é interna à outra (a de raio menor é interna).
d < r1 – r2
A partir das equações das duas circunferências, podemos descobrir quantos e quais são os pontos comuns resolvendo o sistema formado por elas. 
Além disso, no segundo caso (um ponto comum) e no terceiro caso (nenhum ponto comum) podemos identificar a posição relativa usando os dois raios e a distância entre os centros. Para entendermos melhor este assunto, vamos fazer alguns exemplos:
Exemplo 1: Vamos determinar a posição relativa da circunferência 1:
 x2 + y2 – 16x + 48 = 0 em relação à circunferência 2: x2 + y2 – 4x = 0.
Podemos encontrar a solução desta situação-problema de duas maneiras:
a) Encontrando o centro e o raio das duas circunferências e comparando o raio com a distância entre os centros:
Vamos calcular C1 (centro da circunferência 1) e r1 (raio da circunferência 1)
Vamos calcular C2 (centro da circunferência 2) e r2 (raio da circunferência 2)
Assim, temos que R1 + R2 = 6
Vamos agora calcular a distância dos centros. Para tanto usamos a fórmula da distância entre dois pontos:
Comparando a distância com a soma dos raios vemos que são iguais (igual a 6), logo as duas circunferências se tangenciam externamente.
b) Podemos ainda encontrar a posição relativa das duas circunferências através de um sistema de equações que nos fornece os pontos comuns às duas, se existirem. Vamos resolver:
Se o valor de x é 4, substituindo em qualquer uma das duas equações, encontraremos o valor de y:
Encontramos somente um ponto comum às duas circunferências, (4, 0) o que prova que realmente as duas circunferências são tangentes.
Podemos ainda visualizar esta situação através da figura:
Exemplo 2: Dadas as circunferências de equações: x2 + y2 – 100 = 0 e 
x2 + y2 – 12x – 12y + 68 = 0, obter o ponto ou pontos de intersecção.
Já que a situação-problema solicita a intersecção, o melhor caminho é resolver um sistema de equações:
Simplificando a equação temos:
Vamos substituir o valor de y na primeira equação:
Podemos simplificar a equação: x2 –14x + 48 = 0
Aplicando a fórmula de Báskara encontramos x’ = 6 e x’’ = 8, que substituindo em y = 14 – x, encontraremos y’ = 8 e y’’ = 6.
Então, temos dois pontos comuns às duas circunferências: (6, 8) e (8, 6). Assim sendo, as circunferências são secantes.
Exercícios
1 Determine a posição relativa da circunferência x2 + y2 – 4x – 6y – 3 = 0 em relação à circunferência x2 + y2 + 6x + 2y + 1 = 0.
2 Determine as coordenadas dos pontos comuns, se existirem, entre as circunferências x2 + y2 – 16x + 48 = 0 e x2 + y2 – 4x = 0.
3 Qual é a posição relativa das circunferências x2 + y2 = 49 e x2 + y2 – 6x – 8y + 21 = 0?
4 Encontre os pontos de intersecção das circunferências x2 + y2 – 2x – 3 = 0 e 
x2 + y2 + 2x – 4y + 1 = 0.