GEOMETRIA_ANALITICA_-_Aula_9

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HIPÉRBOLE
A hipérbole é o lugar geométrico dos pontos de um plano cujas distâncias a dois pontos fixos (focos) desse plano têm diferença, em valor absoluto, constante e igual a 2a.
Vamos considerar dois pontos F1 e F2 em um plano a, tais que F1F2 = 2c e uma distância 2a, tal que 2a < 2c.
|PF1 – PF2| = 2a
ELEMENTOS DA HIPÉRBOLE
Vamos ver agora os elementos de uma hipérbole:
Focos: São os pontos F1 e F2
Vértices: São os pontos A1 e A2
Centro da hipérbole: É o ponto O, que é o ponto médio de F1F2
Distância Focal: É a distância dos pontos F1 e F2. Note que a definição de hipérbole estabelece que a distância focal é F1F2 = 2c. Então a semidistância focal é c.
Eixo Imaginário: O segmento B1B2 é chamado eixo imaginário ou eixo conjugado da hipérbole cuja medida é 2b. Assim o semieixo imaginário é b.
Eixo Real: A reta que passa pelos focos intercepta a hipérbole nos pontos A1
e A2. O segmento A1A2 é o eixo real ou eixo transverso da hipérbole. Assim A1A2 = 2a, então o semieixo real é a.
Observando a figura anterior você pode visualizar o triângulo retângulo com as medidas a, b e c provenientes de:
A1A2 = 2a
B1B2 = 2b
F1F2 = 2c
Porém, veja que as letras a, b e c não estão na mesma posição que para a elipse.
Repare que a, b e c são, respectivamente, as medidas do semieixo real, do semieixo imaginário e da semidistância focal. 
Além disso, observe que c2 = a2 + b2. 
Esta relação é muito importante na resolução de problemas sobre as hipérboles.
MEDIDA DO EIXO REAL
Conforme vimos anteriormente, todo ponto P pertencente à hipérbole satisfaz a condição |PF1 – PF2| = 2a. Esta é a medida do eixo real. Vamos conferir isso:
Como A1 e A2 pertencem à hipérbole, temos:
Então, podemos dizer que:
Na igualdade anterior, vamos então substituir A1F1 por A2F2, assim:
MEDIDA DO EIXO IMAGINÁRIO
Observe a figura: Pelo centro da hipérbole, conduzimos a reta r perpendicular ao eixo real. 
Sobre r determinamos os dois pontos B1 e B2, tais que A1B1 = c e A1B2 = c
O segmento B1B2 é chamado eixo imaginário ou eixo conjugado da hipérbole. Se atribuirmos ao eixo imaginário a medida 2b, temos:
A1A2 = 2a
B1B2 = 2b
F1F2 = 2c
Vamos resolver alguns exemplos para que você possa entender melhor o que vimos até aqui:
Exemplo 1: Os eixos de uma hipérbole medem 4 cm e 3 cm. Calcule a distância focal dessa hipérbole.
O eixo real é a distância A1A2 = 2a, então podemos dizer que 2a = 4 ou a = 2 cm.
O eixo imaginário é a distância B1B2 = 2b, o que vale dizer que 2b = 3 ou b = 1,5 cm.
Usando a relação c2 = a2 + b2, encontraremos o valor de c.
Encontramos o valor de c = 2,5. Assim, a distância focal da hipérbole em questão é F1F2 = 2c.
2c = 5 cm
Exemplo 2: O eixo real de uma hipérbole mede e sua distância focal é igual a
8 cm. Calcule a medida do eixo imaginário.
Da mesma forma que no exemplo anterior, usaremos a relação c2 = a2 + b2. Se a medida do eixo real é , a = . Se a distância focal mede 8 cm, então c = 4.
EQUAÇÕES DA HIPÉRBOLE
Neste item você estudará as equações da hipérbole com foco no eixo das abscissas (x) com foco no eixo das ordenadas (y).
COM FOCO NO EIXO DAS ABSCISSAS (X)
Vamos considerar uma hipérbole com centro na origem de um sistema de coordenadas cartesianas e com focos situados no eixo das abscissas, conforme mostra a figura a seguir.
Seja P(x, y) e a e b os semieixos reais (transverso) e imaginário (conjugado).
Observe que:
A1A2 = 2a então A1 = (-a; 0) e A2 = (a; 0)
B1B2 = 2b então B1 = (0; b) e B2 = (0; -b)
F1F2 = 2c então F1 = (-c; 0) e F2 = (c; 0)
Observe agora a figura a seguir. Considere P (x, y) um ponto qualquer da nossa hipérbole em estudo:
Então, | d(P, F1) – d(P, F2)| = 2a, que pode ainda ser escrita como:
A figura acima representa a hipérbole com o eixo real na horizontal e cuja equação é:
Com foco no eixo das ordenadas (y)
Se invertermos a posição da hipérbole de tal modo que os focos fiquem situados no eixo 0y e o centro continue na origem do sistema de coordenadas cartesianas, sua equação passa a ser
Observe a figura a seguir que representa a hipérbole com o eixo real vertical:
Exemplo 1
Obter a equação da hipérbole cujos focos são F1(-6,0) e F2(6,0) e cujos vértices são A1 (-3,0) e A2(3,0).
Esta situação-problema trata do primeiro caso estudado, com foco no eixo dos x. 
Então, a equação é 
Dos nossos estudos anteriores, e pelos dados do problema sabemos que: 
a = 3 e c = 6, como c2 = a2 + b2 assim 36 = 9 + b2 ou seja b2 = 27
Substituindo na fórmula, temos que:
Exemplo 2
Obter as medidas dos semieixos e as coordenadas dos focos da hipérbole de equação y2 – 3x2 = 9.
Vamos iniciar dividindo ambos os membros da equação por 9 para tornar a equação igual a 1.
Pela equação obtida, concluímos que a hipérbole tem seu eixo real vertical, isto é, o segundo caso por nós estudado, e que: 
a2 = 9 então a = 3; 
b2 = 3 então b = ; 
c = ; 
F1 = (0,) e F2 = (0, -).
�
Exercícios
1 Determine as medidas dos eixos e as coordenadas dos focos das hipérboles de equações:
a) 
b) 
c) 4y2 – 5x2 = 20.
2 Calcule a distância focal de uma hipérbole cujos eixos medem 30 cm (real) e 16 cm (imaginário). Dê a equação da hipérbole considerando que a distância focal está no eixo y.
3 A distância focal de uma hipérbole mede 58 mm e seu eixo imaginário mede 42 mm. Calcule a medida do semieixo real. Dê a equação da hipérbole considerando que a distância focal está no eixo x.